第二部分專題提升專題三數(shù)學(xué)建模第35講代數(shù)類通過建立方程(組)、

一元一次不等式(組)、函數(shù)模型解決實際問題．1．已知電燈電路兩端的電壓U為220V，通過燈泡的電流強(qiáng)度I(A)的最大限度不得超過0.11A．設(shè)選用燈泡的電阻為R(Ω)，下列說法正確的是(

)A．R至少2000ΩB．R至多2000ΩC．R至少24.2ΩD．R至多24.2ΩA2．(2024·棗莊)為提高生產(chǎn)效率，某工廠將生產(chǎn)線進(jìn)行升級改造，改造后比改造前每天多生產(chǎn)100件，改造后生產(chǎn)600件的時間與改造前生產(chǎn)400件的時間相同，則改造后每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為(

)A．200 B．300C．400 D．5003．某班為獎勵在數(shù)學(xué)競賽中成績優(yōu)異的同學(xué)，花費(fèi)48元錢購買了甲、乙兩種獎品，每種獎品至少購買1件，其中甲種獎品每件4元，乙種獎品每件3元．則有___種購買方案．B34．如圖，用一段長為16m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜地(墻足夠長)，則這個菜地的最大面積為______m2.325.某商場在世博會上購置A，B兩種玩具，其中B玩具的單價比A玩具的單價貴25元，且購置2個B玩具與1個A玩具共花費(fèi)200元．(1)求A，B玩具的單價．(2)若該商場要求購置B玩具的數(shù)量是A玩具數(shù)量的2倍，且購置玩具的總額不高于20000元，則該商場最多可以購置多少個A玩具？解：(1)設(shè)A玩具的單價為x元，則B玩具的單價為(x＋25)元．根據(jù)題意，得2(x＋25)＋x＝200.解得x＝50.可得x＋25＝50＋25＝75.答：A玩具的單價為50元，B玩具的單價為75元．(2)設(shè)商場可以購置A玩具y個，則購置B玩具2y個．根據(jù)題意，得50y＋75×2y≤20000.解得y≤100.答：最多可以購置A玩具100個．典型考題類型一方程(組)與不等式應(yīng)用題1．(2025·銅仁三模)貴州近年來光伏建筑一體化廣受關(guān)注．某社區(qū)擬修建A，B兩種光伏車棚．已知修建3個A種光伏車棚和1個B種光伏車棚共需投資11萬元，修建5個A種光伏車棚和3個B種光伏車棚共需投資21萬元．(1)求修建每個A種、B種光伏車棚分別需投資多少萬元；(2)若修建A，B兩種光伏車棚共20個，要求投資總額不超過55萬元，則最多可以修建A種光伏車棚多少個？解：(1)設(shè)修建每個A種光伏車棚需投資x萬元，每個B種光伏車棚需投資y萬元．答：修建每個A種光伏車棚需投資3萬元，每個B種光伏車棚需投資2萬元．(2)設(shè)可以修建A種光伏車棚m個，則可以修建B種光伏車棚(20－m)個．根據(jù)題意，得3m＋2(20－m)≤55.解得m≤15.∴m的最大值為15.答：最多可以修建A種光伏車棚15個．變式訓(xùn)練1.某汽車貿(mào)易公司銷售A，B兩種型號的新能源汽車，A型車每臺進(jìn)貨價格比B型車每臺進(jìn)貨價格少3萬元，該公司用24萬元購買A型車的數(shù)量和用30萬元購買B型車的數(shù)量相同．(1)求購買一臺A型、一臺B型新能源汽車的進(jìn)貨價格各是多少萬元？(2)該公司準(zhǔn)備用不超過300萬，采購A，B兩種新能源汽車共22臺，問最少需要采購A型新能源汽車多少臺？解：(1)設(shè)一臺B型新能源汽車的進(jìn)貨價格是x萬元，則一臺A型新能源汽車的進(jìn)貨價格是(x－3)萬元．經(jīng)檢驗，x＝15是原方程的解，且符合題意．∴x－3＝12.答：購買一臺A型新能源汽車的進(jìn)貨價格是12萬元，購買一臺B型新能源汽車的進(jìn)貨價格是15萬元．(2)設(shè)需要采購A型新能源汽車a臺，則采購B型新能源汽車(22－a)臺．由題意，得12a＋15(22－a)≤300.解得a≥10.答：最少需要采購A型新能源汽車10臺．類型二方程(組)與一次函數(shù)應(yīng)用題2．(2024·德陽)羅江糯米咸鵝蛋是德陽市非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一，至今有200多年歷史，采用羅江當(dāng)?shù)亓窒吗B(yǎng)殖的鵝產(chǎn)的散養(yǎng)鵝蛋，經(jīng)過傳統(tǒng)秘方加以糯米、青豆等食材以16道工序手工制作而成．為了迎接端午節(jié)，進(jìn)一步提升糯米咸鵝蛋的銷量，德陽某超市將購進(jìn)的糯米咸鵝蛋和肉粽進(jìn)行組合銷售，有A，B兩種組合方式，其中A組合有4枚糯米咸鵝蛋和6個肉粽，B組合有6枚糯米咸鵝蛋和10個肉粽．A，B兩種組合的進(jìn)價和售價如下表：(1)求每枚糯米咸鵝蛋和每個肉粽的進(jìn)價分別為多少？(2)根據(jù)市場需求，超市準(zhǔn)備的B種組合數(shù)量是A種組合數(shù)量的3倍少5件，且兩種組合的總件數(shù)不超過95件，假設(shè)準(zhǔn)備的兩種組合全部售出，為使利潤最大，該超市應(yīng)準(zhǔn)備多少件A種組合？最大利潤為多少？價格AB進(jìn)價/(元/件)94146售價/(元/件)120188答：每枚糯米咸鵝蛋的進(jìn)價為16元，每個肉粽的進(jìn)價為5元．(2)設(shè)該超市準(zhǔn)備m件A種組合，則B種組合數(shù)量是(3m－5)件，利潤為w元．根據(jù)題意，得m＋(3m－5)≤95.解得m≤25.則利潤w＝(120－94)m＋(188－146)(3m－5)＝152m－210.可以看出利潤w是m的一次函數(shù)，w隨著m的增大而增大，∴當(dāng)m＝25時，w最大，最大值為152×25－210＝3590.答：為使利潤最大，該超市應(yīng)準(zhǔn)備25件A種組合，最大利潤為3590元．2.(2025·貴陽一模)貴州玉屏縣被譽(yù)為“簫笛之鄉(xiāng)”．玉屏縣某中學(xué)舉辦“簫笛藝術(shù)節(jié)”活動，現(xiàn)需購買玉簫、玉笛若干支．已知玉簫單價比玉笛單價高10元，用1000元購買的玉簫數(shù)量與800元購買的玉笛數(shù)量相同．(1)玉簫和玉笛的單價各是多少元？(2)學(xué)校計劃購買玉簫與玉笛共30支，且玉簫的數(shù)量不少于玉笛數(shù)量的2倍，則學(xué)校最少需花費(fèi)多少元？解：(1)設(shè)玉簫的單價是x元，則玉笛的單價是(x－10)元．解得x＝50.經(jīng)檢驗，x＝50是所列方程的解，且符合題意．∴x－10＝40.答：玉簫的單價是50元，玉笛的單價是40元．(2)設(shè)購買玉簫m支，則購買玉笛(30－m)支．根據(jù)題意，得m≥2(30－m)．解得m≥20.設(shè)學(xué)校需花費(fèi)w元．根據(jù)題意，得w＝50m＋40(30－m)＝10m＋1200.∵10＞0，∴w隨m的增大而增大．∴當(dāng)m＝20時，w有最小值，w最?。?0×20＋1200＝1400.答：學(xué)校最少需花費(fèi)1400元．類型三方程(組)與二次函數(shù)應(yīng)用題3．(2024·遂寧)某酒店有A，B兩種客房，其中A種24間，B種20間．若全部入住，一天營業(yè)額為7200元；若A，B兩種客房均有10間入住，一天營業(yè)額為3200元．(1)求A，B兩種客房每間定價分別是多少元？(2)酒店對A種客房調(diào)研發(fā)現(xiàn)：如果客房不調(diào)價，房間可全部住滿；如果每個房間定價每增加10元，就會有一個房間空閑．當(dāng)A種客房每間定價為多少元時，A種客房一天的營業(yè)額w最大，最大營業(yè)額為多少元？解：(1)設(shè)A種客房每間定價為x元，B種客房每間定價為y元．答：A種客房每間定價為200元，B種客房每間定價為120元．答：當(dāng)A種客房每間定價為220元時，A種客房一天的營業(yè)額最大，最大營業(yè)額為4840元．3.端午節(jié)是我國入選世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的傳統(tǒng)節(jié)日，端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗．市場上豆沙粽的進(jìn)價比豬肉粽的進(jìn)價每盒便宜10元，某商家用8000元購進(jìn)的豬肉粽和用6000元購進(jìn)的豆沙粽盒數(shù)相同．在銷售中，該商家發(fā)現(xiàn)豬肉粽每盒售價50元時，

每天可售出100盒；每盒售價提高1元時，每天少售出2盒．(1)求豬肉粽和豆沙粽每盒的進(jìn)價；(2)設(shè)豬肉粽每盒售價x元(50≤x≤65)，y表示該商家每天銷售豬肉粽的利潤(單位：元)，求

y關(guān)于x的函數(shù)解析式及最大利潤．答：豬肉粽每盒進(jìn)價40元，豆沙粽每盒進(jìn)價30元．(2)由題意，得當(dāng)豬肉粽每盒售

x元時，每天可售[100－2(x－50)]盒(50≤x≤65)．∴y＝(x－40)·[100－2(x－50)]＝－2x2＋280x－8000＝－2(x－70)2＋1800.∵－2＜0，且50≤x≤65，∴當(dāng)x＝65時，y取最大值，最大值為1750.答：y

關(guān)于

x

的函數(shù)解析式為y＝－2x2＋280x－8000(50≤x≤65)，最大利潤為1750元．類型四函數(shù)應(yīng)用題4．(2024·貴州)某超市購入一批進(jìn)價為10元/盒的糖果進(jìn)行銷售，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單價不低于進(jìn)價時，日銷售量y(盒)與銷售單價x(元)是一次函數(shù)關(guān)系，下表是y與x的幾組對應(yīng)值.銷售單價x/元…1214161820…銷售量y/盒…5652484440…(1)求y與x的函數(shù)解析式．(2)糖果銷售單價定為多少元時，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是多少？(3)若超市決定每銷售一盒糖果就向兒童福利院贈送一件價值為m元的禮品，則贈送禮品后，為確保該種糖果日銷售獲得的最大利潤為392元，求m的值．(2)設(shè)日銷售利潤為w元．根據(jù)題意，得w＝(x－10)·y＝(x－10)·(－2x＋80)＝－2x2＋100x－800＝－2(x－25)2＋450.∴當(dāng)x＝25時，w有最大值，最大值為450.∴糖果銷售單價定為25元時，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是450元．(3)設(shè)日銷售利潤為w′元．根據(jù)題意，得w′＝(x－10－m)·y＝(x－10－m)·(－2x＋80)＝－2x2＋(100＋2m)x－800－80m.4.為加強(qiáng)生態(tài)文明建設(shè)，某市環(huán)保局對一企業(yè)排污情況進(jìn)行檢測，結(jié)果顯示：所排污水中硫化物的濃度超標(biāo)，即硫化物的濃度超過最高允許的1.0mg/L.環(huán)保局要求該企業(yè)立即整改，在15天內(nèi)(含15天)排污達(dá)標(biāo)．整改過程中，所排污水中硫化物的濃度y(mg/L)與時間x(天)的變化規(guī)律如圖所示，其中線段AC表示前3天的變化規(guī)律，第3天時硫化物的濃度降為4.5mg/L.從第3天起，所排污水中硫化物的濃度y與時間x滿足下面表格中的關(guān)系：時間x/天3569…硫化物的濃度y/(mg/L)4.52.72.251.5…(1)在整改過程中，當(dāng)0≤x＜3時，求硫化物的濃度y關(guān)于時間x的函數(shù)解析式．(2)在整改過程中，當(dāng)x≥3時，硫化物的濃度y關(guān)于時間x的函數(shù)解析式．(3)該企業(yè)所排污水中硫化物的濃度能否在15天以內(nèi)不超過最高允許的1.0mg/L？為什么？1．(2024·甘肅)如圖①為一汽車停車棚，其棚頂?shù)臋M截面可以看作是拋物線的一部分，如圖②是棚頂?shù)呢Q直高度y(單位：m)與距離停車棚支柱AO的水平距離x(單位：m)近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝－0.02x2＋0.3x＋1.6的圖象，點(diǎn)B(6，2.68)在圖象上．若一輛廂式貨車需在停車棚下避雨，貨車截面看作長CD＝4m，高