第1頁/共1頁2024年沈陽市高中三年級教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測（一）數(shù)學(xué)命題：___________主審：___________本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.考生作答時(shí)，將答案答在答題卡上，在本試卷上答題無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考號填寫在答題卡上，并將條碼粘貼在答題卡指定區(qū)域.2.第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.第II卷用黑色墨水簽字筆在答題卡指定位置書寫作答，在本試題卷上作答無效.3.考試結(jié)束后，考生將答題卡交回.第I卷（選擇題共60分）一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1已知集合，集合，則（）A. B. C. D.2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C.1 D.3.曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C D.4已知單位向量滿足，則（）A. B. C. D.5.已知有100個(gè)半徑互不相等的同心圓，其中最小圓的半徑為1，在每相鄰的兩個(gè)圓中，小圓的切線被大圓截得的弦長都為2，則這100個(gè)圓中最大圓的半徑是（）A.8 B.9 C.10 D.1006.如圖，小明從街道的處出發(fā)，到處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，若中途共轉(zhuǎn)向3次，則小明到老年公寓可以選擇的不同的最短路徑的條數(shù)是（）A.8 B.12 C.16 D.247.已知，則（）A. B. C. D.8.已知，則（）A. B.C. D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下圖是離散型隨機(jī)變量的概率分布直觀圖，其中，則（）A. B.C. D.10.已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，且滿足條件，可以解得雙曲線的方程為，則條件可以是（）A.實(shí)軸長4 B.雙曲線為等軸雙曲線C.離心率為 D.漸近線方程為11.如圖，點(diǎn)是函數(shù)的圖象與直線相鄰的三個(gè)交點(diǎn)，且，則（）A.B.C.函數(shù)在上單調(diào)遞減D.若將函數(shù)的圖象沿軸平移個(gè)單位，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖像，則的最小值為12.正方體的8個(gè)頂點(diǎn)分別在4個(gè)互相平行的平面內(nèi)，每個(gè)平面內(nèi)至少有一個(gè)頂點(diǎn)，且相鄰兩個(gè)平面間的距離為1，則該正方體的棱長為（）A. B. C.2 D.第II卷（非選擇題共90分）三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.的展開式中常數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為__________.14.已知拋物線的焦點(diǎn)為，若點(diǎn)是拋物線上到點(diǎn)距離最近的點(diǎn)，則__________.15.的一個(gè)充分不必要條件是__________.16.已知是半徑為1的球面上不同的三點(diǎn)，則的最小值為__________.四?解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知等比數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求證：.18.在中，角所對的邊分別為，且.（1）求證：；（2）當(dāng)取最小值時(shí)，求的值.19.如圖，在三棱錐中，平面平面，且，，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上.（1）求證：；（2）若平面，求的值；（3）在（2）的條件下，求平面與平面所成角的余弦值.20.某城市有甲、乙兩個(gè)網(wǎng)約車公司，相關(guān)部門為了更好地監(jiān)管和服務(wù)，通過問卷調(diào)查的方式，統(tǒng)計(jì)當(dāng)?shù)鼐W(wǎng)約車用戶（后面簡稱用戶，并假設(shè)每位用戶只選擇其中一家公司的網(wǎng)約車出行）對甲，乙兩個(gè)公司的乘車費(fèi)用，等待時(shí)間，乘車舒適度等因素的評價(jià)，得到如下統(tǒng)計(jì)結(jié)果：①用戶選擇甲公司的頻率為，選擇乙公司的頻率為：②選擇甲公司的用戶對等待時(shí)間滿意的頻率為，選擇乙公司的用戶對等待時(shí)間滿意的頻率為；③選擇甲公司的用戶對乘車舒適度滿意的頻率為，選擇乙公司的用戶對乘車舒適度滿意的頻率為；④選擇甲公司的用戶對乘車費(fèi)用滿意的頻率為，選擇乙公司的用戶對乘車費(fèi)用滿意的頻率為.將上述隨機(jī)事件發(fā)生的頻率視為其發(fā)生的概率.（1）分別求出網(wǎng)約車用戶對等待時(shí)間滿意、乘車舒適度滿意、乘車費(fèi)用滿意的概率，并比較用戶對哪個(gè)因素滿意的概率最大，對哪個(gè)因素滿意的概率最小.（2）若已知某位用戶對乘車舒適度滿意，則該用戶更可能選擇哪個(gè)公司的網(wǎng)約車出行？并說明理由.21.已知如圖，點(diǎn)為橢圓的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，且的坐標(biāo)為，橢圓的離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線不經(jīng)過橢圓的中心，且分別交橢圓與直線于不同的三點(diǎn)（點(diǎn)在線段上），直線分別交直線于點(diǎn).求證：四邊形為平行四邊形.22.已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù).（1）若函數(shù)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；（2）若與為方程的兩個(gè)不等實(shí)根，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

2024年沈陽市高中三年級教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測（一）數(shù)學(xué)命題：___________主審：___________本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.考生作答時(shí)，將答案答在答題卡上，在本試卷上答題無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考號填寫在答題卡上，并將條碼粘貼在答題卡指定區(qū)域.2.第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.第II卷用黑色墨水簽字筆在答題卡指定位置書寫作答，在本試題卷上作答無效.3.考試結(jié)束后，考生將答題卡交回.第I卷（選擇題共60分）一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合的交并補(bǔ)即可求解.【詳解】由題知，故選：A.2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法解出，由模長公式計(jì)算.【詳解】由解得，所以.故選：C.3.曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求在處的導(dǎo)數(shù)值，即切線的斜率，再寫出切線方程.【詳解】由題知，切線方程為，即，故選：B.4.已知單位向量滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量垂直得到方程，求出，再利用向量夾角余弦公式求出答案.【詳解】由得，又為單位向量，，，.故選：B.5.已知有100個(gè)半徑互不相等的同心圓，其中最小圓的半徑為1，在每相鄰的兩個(gè)圓中，小圓的切線被大圓截得的弦長都為2，則這100個(gè)圓中最大圓的半徑是（）A.8 B.9 C.10 D.100【答案】C【解析】【分析】設(shè)這100個(gè)圓的半徑從小到大依次為，由題意得且，可求.【詳解】設(shè)這100個(gè)圓的半徑從小到大依次為，則由題知，每相鄰的兩個(gè)圓中，小圓的切線被大圓截得的弦長都為2，有，則是首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列，，所以，得.故選：C.6.如圖，小明從街道的處出發(fā)，到處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，若中途共轉(zhuǎn)向3次，則小明到老年公寓可以選擇的不同的最短路徑的條數(shù)是（）A8 B.12 C.16 D.24【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分步分類計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】中途共三次轉(zhuǎn)向可以分為兩類:第一類，先向北走再往東走的情況，即第一次向右轉(zhuǎn)，第二次向上轉(zhuǎn)，第三次向右轉(zhuǎn)，此時(shí)有種方法，第二類，先向東走再往北走的情況上右上，此時(shí)共有種方法.故總的方法有24種，故選：D.7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)和差角公式以及誘導(dǎo)公式可得，由輔助角公式以及二倍角公式即可求解.【詳解】由得，進(jìn)而可得，結(jié)合輔助角公式得，則，故選：B.8.已知，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】觀察選項(xiàng)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得其單調(diào)性，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，所以且，所以且，即且，所以，又，所以，綜上所述，，故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問題：1．通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；2．利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；3．適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；4．構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下圖是離散型隨機(jī)變量的概率分布直觀圖，其中，則（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】由所有取值頻率之和為1，結(jié)合已知條件，解出，利用期望和方差公式計(jì)算數(shù)據(jù)，驗(yàn)證選項(xiàng)即可.【詳解】由題知解得，A選項(xiàng)正確；所以，B選項(xiàng)正確；，C選項(xiàng)正確；，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.10.已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，且滿足條件，可以解得雙曲線的方程為，則條件可以是（）A.實(shí)軸長為4 B.雙曲線為等軸雙曲線C.離心率為 D.漸近線方程為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)雙曲線實(shí)軸、離心率、漸近線方程等性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可.【詳解】設(shè)該雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為，則.對于A選項(xiàng)，若實(shí)軸長為4，則，，符合題意；對于B選項(xiàng)，若該雙曲線為等軸雙曲線，則，又，，可解得，符合題意；對于C選項(xiàng)，由雙曲線離心率大于1知，不合題意；對于D選項(xiàng)，若漸近線方程為，則，結(jié)合，可解得，符合題意，故選：ABD.11.如圖，點(diǎn)是函數(shù)的圖象與直線相鄰的三個(gè)交點(diǎn)，且，則（）A.B.C.函數(shù)在上單調(diào)遞減D.若將函數(shù)的圖象沿軸平移個(gè)單位，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖像，則的最小值為【答案】ACD【解析】公眾號：高中試卷君【分析】令求得根據(jù)求得，根據(jù)求得的解析式，再逐項(xiàng)驗(yàn)證BCD選項(xiàng).【詳解】令得，或，，由圖可知：，，，所以，，所以，所以，故A選項(xiàng)正確，所以，由得，所以，，所以，，所以，，故B錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵跒闇p函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，故C正確；將函數(shù)的圖象沿軸平移個(gè)單位得，（時(shí)向右平移，時(shí)向左平移），為偶函數(shù)得，，所以，，則的最小值為，故D正確.故選：ACD.12.正方體的8個(gè)頂點(diǎn)分別在4個(gè)互相平行的平面內(nèi)，每個(gè)平面內(nèi)至少有一個(gè)頂點(diǎn)，且相鄰兩個(gè)平面間的距離為1，則該正方體的棱長為（）A. B. C.2 D.【答案】BD【解析】【分析】分類討論兩個(gè)平面的位置，作截面結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)該正方體為，且其棱長為，若考慮4個(gè)平面中最中間的兩個(gè)平面，共有兩種情況.①若中間的兩個(gè)平面為平面和平面，如圖1所示，則過作截面，截面圖如圖2所示，其中分別為中點(diǎn)，則，設(shè)相鄰兩平面間距離即為A到的距離，可得，解得，即相鄰兩平面間距離即為A到的距離，可知，解得；②若中間的兩個(gè)平面如圖3所示，過作截面，截面圖如圖4所示，其中分別為中點(diǎn)，則，設(shè)相鄰兩平面間距離即為到距離，可得，解得，即相鄰兩平面間距離即為到的距離，則，解得；故選：BD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)題意分類討論平面的位置分布，結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征以及截面分析求解.第II卷（非選擇題共90分）三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.的展開式中常數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為__________.【答案】20【解析】【分析】求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，令的次數(shù)為0，求得答案.【詳解】此二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，，則當(dāng)時(shí)，對應(yīng)的為常數(shù)項(xiàng)，故常數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，故答案為：20.14.已知拋物線的焦點(diǎn)為，若點(diǎn)是拋物線上到點(diǎn)距離最近的點(diǎn)，則__________.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解,由拋物線的焦半徑公式即可求解.【詳解】由題知，設(shè)，其中，則由于點(diǎn)是拋物線上到點(diǎn)距離最近的點(diǎn)，，故答案為：3.15.的一個(gè)充分不必要條件是__________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合充分不必要條件即可求解.【詳解】因?yàn)闀r(shí)，由可得,故的一個(gè)充分不必要條件是，故答案為：（答案不唯一）16.已知是半徑為1的球面上不同的三點(diǎn)，則的最小值為__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的幾何意義結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】是球面上不同的三點(diǎn)，不共線，故平面截球面得到的是一個(gè)圓，記此圓半徑為，當(dāng)且僅當(dāng)平面過球心時(shí)，.在半徑為的圓中，對于任意的弦，過作于,由向量數(shù)量積的幾何意義知，當(dāng)在如圖所示的位置時(shí)，取最小值，則的最小值為，當(dāng)時(shí)，取最小值，又的最大值為1，故所求最小值為.故答案為：四?解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求證：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用等比數(shù)列基本量計(jì)算；（2）根據(jù)對數(shù)運(yùn)算求得，由得證.【小問1詳解】設(shè)的公比為，由知，，由得，.【小問2詳解】證明：由題知，所以，.18.在中，角所對的邊分別為，且.（1）求證：；（2）當(dāng)取最小值時(shí)，求的值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理并結(jié)合正弦函數(shù)兩角和差公式化簡即可求解.（2）利用基本不等式求得的最小值時(shí)的取等條件，再結(jié)合余弦定理從而求解.【小問1詳解】證明：由余弦定理知，又因?yàn)?，所以，化簡得，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)椋曰颍ㄉ幔?，所?【小問2詳解】由題知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，又因?yàn)?，所以，所?19.如圖，在三棱錐中，平面平面，且，，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上.（1）求證：；（2）若平面，求的值；（3）在（2）的條件下，求平面與平面所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形全等，可證明線線垂直，進(jìn)而可得線面垂直，進(jìn)而可求證，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量即可求解.或者利用空間垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化即可結(jié)合三角形的邊角關(guān)系求解.（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的夾角即可求解.【小問1詳解】證明：過作直線于，連接.由題知，，即，又平面,平面，又平面，，即【小問2詳解】方法一：平面平面，平面平面，平面平面.以為原點(diǎn)，以的長度為單位長度，以的方向分別為軸，軸，的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則.平面.為中點(diǎn)，由題知設(shè)，，，又在中，，所以.方法二：平面.設(shè)，由知，.平面平面，平面平面平面，平面，又平面，又，平面.【小問3詳解】由（2）知，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則令則，，平面與平面所成角的余弦值為.20.某城市有甲、乙兩個(gè)網(wǎng)約車公司，相關(guān)部門為了更好地監(jiān)管和服務(wù)，通過問卷調(diào)查的方式，統(tǒng)計(jì)當(dāng)?shù)鼐W(wǎng)約車用戶（后面簡稱用戶，并假設(shè)每位用戶只選擇其中一家公司的網(wǎng)約車出行）對甲，乙兩個(gè)公司的乘車費(fèi)用，等待時(shí)間，乘車舒適度等因素的評價(jià)，得到如下統(tǒng)計(jì)結(jié)果：①用戶選擇甲公司的頻率為，選擇乙公司的頻率為：②選擇甲公司的用戶對等待時(shí)間滿意的頻率為，選擇乙公司的用戶對等待時(shí)間滿意的頻率為；③選擇甲公司的用戶對乘車舒適度滿意的頻率為，選擇乙公司的用戶對乘車舒適度滿意的頻率為；④選擇甲公司的用戶對乘車費(fèi)用滿意的頻率為，選擇乙公司的用戶對乘車費(fèi)用滿意的頻率為.將上述隨機(jī)事件發(fā)生的頻率視為其發(fā)生的概率.（1）分別求出網(wǎng)約車用戶對等待時(shí)間滿意、乘車舒適度滿意、乘車費(fèi)用滿意的概率，并比較用戶對哪個(gè)因素滿意的概率最大，對哪個(gè)因素滿意的概率最小.（2）若已知某位用戶對乘車舒適度滿意，則該用戶更可能選擇哪個(gè)公司網(wǎng)約車出行？并說明理由.【答案】（1）答案見解析（2）該用戶選擇乙公司出行的概率更大，理由見解析【解析】【分析】（1）利用全概率公式可計(jì)算出用戶網(wǎng)約車用戶對等待時(shí)間滿意、乘車舒適度滿意、乘車費(fèi)用滿意的概率，即可得出結(jié)論；（2）利用條件概率公式計(jì)算出該用戶對甲、乙兩個(gè)公司網(wǎng)約車舒適度滿意率，比較大小后可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：設(shè)事件用戶選擇甲公司的網(wǎng)約車出行，事件用戶對等待時(shí)間滿意，事件用戶對乘車舒適度滿意，事件用戶對乘車費(fèi)用滿意.則，，所以，用戶對等待時(shí)間滿意的概率最大，對乘車費(fèi)用滿意的概率最小.【小問2詳解】解：由題知，，，所以，，故該用戶選擇乙公司出行的概率更大.21.已知如圖，點(diǎn)為橢圓的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，且的坐標(biāo)為，橢圓的離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線不經(jīng)過橢圓的中心，且分別交橢圓與直線于不同的三點(diǎn)（點(diǎn)在線段上），直線分別交直線于點(diǎn).求證：四邊形為平行四邊形.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)條件列方程組求解得橢圓方程；（2）設(shè)直線方程，證明后知平分對角線得四邊形為平行四邊形.【小問1詳解】由題知解得.故橢圓的方程為.【小問2詳解】方法一：顯然直線不能水平，故設(shè)直線方程為，設(shè)，由得，令得，.所以，令，得.故直線方程為，直線方程為.由得，將中換成得.，為