2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．某直線的斜率為，則此直線的傾斜角為（

）A．0 B． C． D．2．如圖：在平行六面體中，為與的交點.若，，，則可以表示為（

）

A． B．C． D．3．已知事件兩兩互斥，若，，，則（）．A． B． C． D．4．某次朗誦比賽，9位評委分別給某選手評分，最后去掉一個最高分和一個最低分，得到7個有效分.7個有效分與9個原始分比較，一定不變的數(shù)字特征是（

）A．平均數(shù) B．中位數(shù) C．眾數(shù) D．方差5．過直線與的交點，且一個方向向量為的直線方程為（

）A． B．C． D．6．已知，，且，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．7．在三棱錐中，、、兩兩垂直且，點為的外接球上任意一點，則的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題8．為了關(guān)注學(xué)生的健康成長，某學(xué)校開展了一次高一年級學(xué)生身高的抽樣調(diào)查，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，將他們的身高劃分成了A，B，C，D，E五個層次，根據(jù)抽樣結(jié)果得到如下統(tǒng)計圖，則從圖中能得出的信息是（

）A．樣本中A層次身高的女生少于男生B．樣本中B層次身高的學(xué)生人數(shù)最多C．樣本中D層次身高的學(xué)生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的17%D．樣本中E層次身高的男生有6人9．下列四種抽樣中，不是簡單隨機(jī)抽樣的是（

）A．從一個不透明的盒中，抽取2個球（盒中每個球的大小和質(zhì)感一樣）B．一節(jié)公開課，老師點了7位同學(xué)回答問題或板書C．根據(jù)某校學(xué)生的學(xué)籍號，教務(wù)處利用電腦軟件抽取了20名學(xué)生D．利用投擲硬幣的方法，選出一個班級中所有擲出正面的學(xué)生10．已知：，：，則下列說法正確的是（

）A．的充要條件是或B．若，則C．若直線不經(jīng)過第四象限，則D．若將直線關(guān)于原點對稱后得到的直線縱截距為1，則11．如圖，在長方體中，，點P為線段上的動點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時，，P，D三點共線B．當(dāng)時，C．當(dāng)時，平面D．當(dāng)時，平面三、填空題12．已知一組數(shù)據(jù)1，3，5，的平均數(shù)為4，則這組數(shù)據(jù)的方差為.13．如圖是某班級50名學(xué)生參加數(shù)學(xué)、語文、英語興趣小組的情況，設(shè)事件“參加數(shù)學(xué)興趣小組”，事件“參加語文興趣小組”，事件“參加英語興趣小組”.現(xiàn)從這個班任意選擇一名學(xué)生，則事件所代表的區(qū)域是（填區(qū)域編號）.14．已知實數(shù)，，，滿足，則的最小值為.四、解答題15．某多選題有，，，四個選項.(1)若已知有且僅有兩個選項正確，則隨機(jī)任選兩項，能全對的概率是多少；(2)若已知有且僅有三個選項正確，則隨機(jī)任選兩項，能得分（不是0分）的概率是多少？16．已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CC1上的動點．（1）求證：A1E⊥BD；（2）若平面A1BD⊥平面EBD，試確定E點的位置．17．平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點，，(1)求直線的方程和線段長度；(2)求三角形的面積；(3)求的角平分線所在直線的方程.18．文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽(yù)稱號，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要創(chuàng)造者.某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：[40,50)，[50,60)，，[90,100]得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求頻率分布直方圖中的值及樣本成績的第75百分位數(shù)；(2)求樣本成績的眾數(shù)，中位數(shù)和平均數(shù)；(3)已知落在的平均成績是54，方差是7，落在的平均成績?yōu)?6，方差是4，求兩組成績合并后的平均數(shù)和方差.19．如圖，四棱錐的底面是正方形，平面，.已知點為中點，點在線段上，且滿足，平面交于點.(1)求證平面；(2)求的值；(3)判斷線段上是否存在一點，使得點到平面的距離為？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

1．C2．B3．B4．B5．A6．D7．D8．ABC9．BD10．ABD11．ACD12．513．414．15．（1）隨機(jī)選兩項共有6種選法，其中只有1種全對，所以全對的概率為；（2）從四個選項中隨機(jī)任選兩項，共有種情況，能得分的情況相當(dāng)于從三個正確選項中隨機(jī)選兩個，共有種，所以能得分（不是0分）的概率是.方法二：假設(shè)正確答案為，其概率為.隨機(jī)選兩項共有6種，其中3種可得分，所以能得分概率為，若正確答案為其它，同理可得.所以能得分概率為.方法三：假設(shè)選的是，其概率為.正確答案的可能選項共有4種，其中有2種可以得分，所以得分概率為，其它同理可得.所以能得分概率為.16．以D為坐標(biāo)原點，以DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)正方體的棱長為a，則A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)．設(shè)E(0，a，e)(0≤e≤a)．（1）＝(－a，a，e－a)，＝(－a，－a，0)，＝a2－a2＋(e－a)·0＝0，∴，即A1E⊥BD；（2）設(shè)平面A1BD，平面EBD的法向量分別為＝(x1，y1，z1)，＝(x2，y2，z2)．∵＝(a，a，0)，＝(a，0，a)，＝(0，a，e)∴，，，.∴,取x1＝x2＝1，得＝(1，－1，－1)，＝(1，－1，)．由平面A1BD⊥平面EBD得⊥.∴2－＝0，即e＝.∴當(dāng)E為CC1的中點時，平面A1BD⊥平面EBD.17．（1），，；（2）點到直線的距離為：，所以，即三角形的面積為；（3）設(shè)的角平分線所在直線的斜率為，顯然斜率存在，則此直線方程為，在角平分線上取不同于的一點，，，，直線方程為，即，則由角平分線性質(zhì)可知：點到的距離相等，所以，解得：，由圖形觀察可知為外角平分線，為內(nèi)角平分線，所以的角平分線所在直線為：.

18．（1）由每組小矩形的面積之和為1，得，解得，成績在內(nèi)的頻率為，在內(nèi)的頻率為，顯然第75百分位數(shù)，由，解得，所以第75百分位數(shù)為84.（2）由，得樣本成績的眾數(shù)為75，成績落在[40,70)內(nèi)的頻率為，成績落在內(nèi)的頻率為，故中位數(shù)在[70,80)內(nèi)，由，得樣本成績的中位數(shù)為75，由.得樣本成績的平均數(shù)為74.（3）由頻率分布直方圖知，成績在的市民人數(shù)為，成績在的市民人數(shù)為，所以，總方差為.19．（1）在四棱錐中，底面是正方形，平面，則直