曹楊二中2025-2026學(xué)年第一學(xué)期高一年級數(shù)學(xué)期中2025.11一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）1.已知，，則______．【答案】12.當(dāng)時(shí)，式子的值為______．【答案】03.設(shè)，，用表示的結(jié)果為______．【答案】4.已知冪函數(shù)的圖象不過原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為______．【答案】35.使不等式中等號成立的的取值范圍是______．【答案】6.已知，若關(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍是______．【答案】7.已知，若關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)根，且，則的值為______．【答案】8.已知，冪函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之差為，則的值為______．【答案】或9.已知且，若，則的最小值為______．【答案】410.已知，若關(guān)于的方程有負(fù)根，則的取值范圍是______．【答案】11.集合有8個(gè)元素，設(shè)的所有非空子集為，每一個(gè)中所有元素乘積為，則______．【答案】12.已知實(shí)數(shù)滿足，，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則______．【答案】二、選擇題（本大題共有4題，每題4分，共16分）13.若，則（）A. B.C. D.【答案】D14.已知、在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)與函數(shù)的圖象可能為（）A. B. C. D.【答案】B15.已知，，，且，若恒成立，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D16.已知，用表示非空集合中元素個(gè)數(shù)，定義，集合，，若，則的可能的取值有（）個(gè)．A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D三、解答題（本大題共有4題，共42分）17.第（1）問4分，第（2）問4分，共8分已知，，．（1）若，求；（2）若是的充分條件，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】（1），即，得．因此，．（2）由題知，因?yàn)樵谏鲜菄?yán)格增函數(shù)，所以，得．由是的充分條件，可知，即或，得．18.第（1）問4分，第（2）問4分，共8分美國對中國芯片的技術(shù)封鎖，激發(fā)了中國“芯”的研究熱潮．近年來，某公司已成功研發(fā)、兩種芯片，研發(fā)芯片前期已經(jīng)耗費(fèi)資金3千萬元，現(xiàn)在準(zhǔn)備投入資金進(jìn)行生產(chǎn)．經(jīng)市場調(diào)查與預(yù)測，生產(chǎn)芯片的凈收入與投入的資金成正比，已知每投入1千萬元，公司獲得凈收入0.2千萬元；生產(chǎn)芯片的凈收入（千萬元）是關(guān)于投入的資金（千萬元）的冪函數(shù)，其圖象如圖所示．（1）試分別求出生產(chǎn)、兩種芯片的凈收入（千萬元）與投入的資金（千萬元）的函數(shù)關(guān)系式；（2）現(xiàn)在公司準(zhǔn)備投入5億元資金同時(shí)生產(chǎn)、兩種芯片．設(shè)投入千萬元生產(chǎn)芯片，用表示公司所獲利潤，求公司最大利潤及此時(shí)生產(chǎn)芯片投入的資金．（利潤芯片凈收入芯片凈收入研發(fā)耗費(fèi)資金）【答案】（1）見解析（2）公司最大利潤為8.25千萬元，此時(shí)生產(chǎn)B芯片投入的資金為6.25千萬元．【解析】（1）芯片：；芯片：由冪函數(shù)的圖像過可知，函數(shù)關(guān)系式為；（2）當(dāng)即時(shí)，取得最大值為；因此，公司最大利潤為8.25千萬元，此時(shí)生產(chǎn)B芯片投入的資金為6.25千萬元．19.第（1）問2分，第（2）問4分，第（3）問4分，共10分已知，，設(shè)關(guān)于的不等式的解集為．（1）若，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，若中有且僅有兩個(gè)整數(shù)，求的取值范圍；（3）若關(guān)于的不等式的解集為，求的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）若，則，得的取值范圍為；（2），即，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；由于中有且僅有兩個(gè)整數(shù)，可知兩個(gè)整數(shù)只能為2和3，則，得的取值范圍為；（3）設(shè)，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；因?yàn)闀r(shí)，恒成立，所以若在上恒成立，只需滿足當(dāng)時(shí)，恒成立；顯然時(shí)，不滿足條件；當(dāng)時(shí)，數(shù)形結(jié)合可知只需滿足即可，解得．20.第（1）問4分，第（2）問6分，第（3）問6分，共16分對于任意實(shí)數(shù)，定義區(qū)間，，，的長度均為．若集合是若干個(gè)兩兩交集為空集的區(qū)間的并集，則把這些區(qū)間的長度的和稱為的長度．特別地，記正整數(shù)集，且，若對任意的，區(qū)間的長度始終不小于恒成立，則稱該集合為“稱心集”．（1）若的解集為，求集合的區(qū)間長度；（2）若關(guān)于的不等式組的解集構(gòu)成的各區(qū)間長度之和為5，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）求“稱心集”中元素個(gè)數(shù)的最大值，并說明理由．【答案】（1）2（2）（3）最大值為9．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，得；當(dāng)時(shí)，，得；綜上，解得，集合的區(qū)間長度為2．（2）不等式的解集為，不等式，即，由于在上是嚴(yán)格增函數(shù)，可得，設(shè)其解集為，由于不等式組的解集構(gòu)成的各區(qū)間長度之和為5，可知，則，解