期末檢測(cè)綜合壓軸題分類(lèi)專(zhuān)題（考點(diǎn)梳理與分類(lèi)講解）第一部分【考點(diǎn)目錄】選擇填空題（?？季C合題）【考點(diǎn)1】利用全等三角形性質(zhì)與判定求值.......................................2【考點(diǎn)2】利用線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)、角平分線(xiàn)性質(zhì)與判定求值.........................4【考點(diǎn)3】利用等腰三角形、直角三角形性質(zhì)與判定求值...........................6【考點(diǎn)4】利用勾股定理解直角三角形...........................................8【考點(diǎn)5】作圖題中求線(xiàn)段與角................................................11【考點(diǎn)6】一次函數(shù)圖象與性質(zhì)綜合............................................13【考點(diǎn)7】坐標(biāo)與圖形+一次函數(shù)與幾何問(wèn)題.....................................15解答題（常考綜合題）【考點(diǎn)8】解不等式（組）....................................................19【考點(diǎn)9】勾股定理+全等三角形...............................................20【考點(diǎn)10】線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)+角平分線(xiàn)+等腰三角形...............................23【考點(diǎn)11】一次函數(shù)的圖象與性質(zhì).............................................27【考點(diǎn)12】一次函數(shù)與幾何問(wèn)題...............................................30三、選擇填空題（?？?jí)狠S題）【考點(diǎn)13】折疊問(wèn)題.........................................................33【考點(diǎn)14】動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題.........................................................37【考點(diǎn)15】最值問(wèn)題.........................................................40【考點(diǎn)16】規(guī)律問(wèn)題.........................................................43【考點(diǎn)17】不等式（組）參數(shù)問(wèn)題.............................................46解答題（常考?jí)狠S題）【考點(diǎn)18】幾何圖形探究性問(wèn)題...............................................47【考點(diǎn)19】平面直角坐系中探究性問(wèn)題.........................................52【考點(diǎn)20】一次函數(shù)與幾何問(wèn)題探究題.........................................55第二部分【考點(diǎn)展示與方法點(diǎn)撥】【考點(diǎn)1】利用全等三角形性質(zhì)與判定求值【1-1】（23-24七年級(jí)下·遼寧丹東·期末）如圖，由9個(gè)完全相同的小正方形拼接而成的網(wǎng)格，圖形中各個(gè)頂點(diǎn)均為格點(diǎn)，設(shè)，，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查網(wǎng)格中的全等圖形、三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，即可求解．解：如圖，，，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，故選：B．【1-2】（23-24八年級(jí)上·貴州畢節(jié)·期末）如圖，四邊形是等腰梯形，上底，過(guò)點(diǎn)作，且，連接．若的面積為，則的長(zhǎng)為．

【答案】30【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，平行線(xiàn)的性質(zhì)與判定，等腰梯形的性質(zhì)等等，過(guò)點(diǎn)E作交延長(zhǎng)線(xiàn)與F，過(guò)點(diǎn)D作于G，過(guò)點(diǎn)C作于H，先根據(jù)三角形面積公式求出，證明，得到，再證明，得到，進(jìn)一步證明，則．解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作交延長(zhǎng)線(xiàn)與F，過(guò)點(diǎn)D作于G，過(guò)點(diǎn)C作于H，∵的面積為，，∴，∴，∵四邊形是等腰梯形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，同理可得，∴，∴，故答案為：30．

【考點(diǎn)2】利用線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)、角平分線(xiàn)性質(zhì)與判定求值【2-1】（23-24八年級(jí)下·四川成都·期末）如圖，直線(xiàn)，點(diǎn)A是直線(xiàn)m上一點(diǎn)，點(diǎn)B是直線(xiàn)n上一點(diǎn)，與直線(xiàn)m，n均不垂直，點(diǎn)P為線(xiàn)段的中點(diǎn)，直線(xiàn)l分別與m，n相交于點(diǎn)C，D，若，m，n之間的距離為2，則的值為．【答案】【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，中垂線(xiàn)的判定和性質(zhì)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，證明，得到，進(jìn)而得到，證明，得到，再根據(jù)等積法，得到，等量代換，即可得出結(jié)果．解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，∵，∴，，∴，，∵點(diǎn)P為線(xiàn)段的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，∵，∴，∴垂直平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴；故答案為：．【2-2】（22-23七年級(jí)下·貴州·期末）如圖，已知，射線(xiàn)平分，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)H，作于點(diǎn)F，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，連接．若，則的長(zhǎng)為．

【答案】2【分析】先根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得，再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義和“等角的余角相等”可得，再由，可得，由角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得，即可求出的長(zhǎng)．解：，，即．，

，．∵平分，，，∴平分．，．，，∴．故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的性質(zhì)，“等角對(duì)等邊”．熟練掌握以上知識(shí)，且證明平分是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)3】利用等腰三角形、直角三角形性質(zhì)與判定求值【3-1】（24-25八年級(jí)上·安徽蕪湖·階段練習(xí)）如圖，是等邊三角形，點(diǎn)，，，…在射線(xiàn)BC上，且…，分別以，，，…為腰在射線(xiàn)上方作等腰，，，…，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圖形類(lèi)變化規(guī)律問(wèn)題，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出底角的變化特點(diǎn)，根據(jù)變化規(guī)律得出答案．解：∵是等邊三角形，∴．∵，，，…均為等腰三角形，且，，，…為腰，∴，，，……以此類(lèi)推，．故選：B．【3-2】（24-25八年級(jí)上·浙江溫州·期中）兩個(gè)直角三角形積木和按如圖所示擺放在水平桌面上，已知，，把下端掛有鉛錘的細(xì)繩的上端拴在直角頂點(diǎn)處，則°．【答案】【分析】延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)，交于點(diǎn)，由題意可得，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余得再利用三角形的外角性質(zhì)即可得解。解：延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)，交于點(diǎn)，由題意可得，∴∴∵，∴∴故答案為：【3-3】（24-25八年級(jí)上·浙江寧波·期中）如圖，是與的斜邊，，，位于的異側(cè)，是的中點(diǎn)，連接，，，若，，則的大小是．

【答案】【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，所以，進(jìn)而求出的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，即可求出的度數(shù)．解：點(diǎn)是的斜邊的中點(diǎn)，，，，點(diǎn)是的斜邊的中點(diǎn)，，，，，故答案為：．【考點(diǎn)4】利用勾股定理解直角三角形【4-1】（24-25八年級(jí)上·江蘇宿遷·期中）如圖，，，，垂足分別為、、，若，，則．【答案】1【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、勾股定理求出，，根據(jù)證明，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可．解：，，，，，，，，，，在和中，，，，，故答案為：1．【4-2】（24-25八年級(jí)上·江蘇·期末）如圖，在中，，，，為等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，的面積為．【答案】【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，利用勾股定理求得的長(zhǎng)，作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，證明，推出，利用三角形的面積公式求解即可，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．解：∵，，，∴，∵是中點(diǎn)，∴，作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，∵為等腰直角三角形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴的面積為，故答案為：．【考點(diǎn)5】作圖題中求線(xiàn)段與角【5-1】（24-25八年級(jí)上·四川·期中）如圖，在中，，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)M，交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N；分別以點(diǎn)M、N為圓心，以大于，兩弧交于點(diǎn)P，作射線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D．過(guò)點(diǎn)D作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，，，則．【答案】6【分析】本題考查作圖—角平分線(xiàn)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理．由作圖過(guò)程判斷出為的平分線(xiàn)是解題關(guān)鍵．根據(jù)題意可知為的平分線(xiàn)，易證，再結(jié)合勾股定理求解即可．解：由作圖過(guò)程可知，為的平分線(xiàn)，∴．∵，∴．∵，∴，∴．在中，由勾股定理得，∴．設(shè)，則．在中，由勾股定理得，即，解得，∴．故答案為：6．【5-2】（23-24八年級(jí)下·遼寧錦州·期中）如圖，在中，，以B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，分別以M，N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)D，射線(xiàn)交于點(diǎn)E，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，連接，若，則的長(zhǎng)是.【答案】【分析】本題考查角平分線(xiàn)尺規(guī)作圖，等腰三角形底邊上三線(xiàn)合一，勾股定理，直角三角形斜邊上中線(xiàn)等于斜邊一半，根據(jù)題意綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．根據(jù)作圖得到是的角平分線(xiàn)，結(jié)合可得，，根據(jù)勾股定理即可得到，根據(jù)F為的中點(diǎn)得到，即可得到答案．解：∵以B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，分別以M，N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)D，射線(xiàn)交于點(diǎn)E，∴是的角平分線(xiàn)，∵，∴，，∵，∴，∵F為的中點(diǎn)，，∴，故答案為：．【5-3】（24-25八年級(jí)上·內(nèi)蒙古包頭·期中）如圖，已知直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫(huà)弧，交軸于點(diǎn)，則．

【答案】【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形、一次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸交點(diǎn)、勾股定理等知識(shí)，解題關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析問(wèn)題．先根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到A-2,0，，再利用勾股定理計(jì)算出，然后根據(jù)圓的半徑相等得到，再利用進(jìn)行計(jì)算即可．解：當(dāng)時(shí)，可得，解得，則A-2,0當(dāng)時(shí)，，則，所以，因?yàn)橐渣c(diǎn)為圓心，為半徑畫(huà)弧，交軸于點(diǎn)，所以，所以．故答案為：．【考點(diǎn)6】一次函數(shù)圖象與性質(zhì)綜合【6-1】（24-25八年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）已知直線(xiàn)為常數(shù)，且．當(dāng)變化時(shí)，下列結(jié)論正確的有．①當(dāng)，圖象經(jīng)過(guò)一、三、四象限；②當(dāng)m>0時(shí)，隨的增大而減??；③坐標(biāo)原點(diǎn)到定點(diǎn)的距離是；④直線(xiàn)必過(guò)定點(diǎn)．【答案】①③/③①【分析】本題考查的是一次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系及增減性判斷①②；根據(jù)直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)得出定點(diǎn)坐標(biāo)判斷④；利用兩點(diǎn)間的距離公式即可判斷③．解：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)一次函數(shù)，經(jīng)過(guò)一、三、四象限，故①正確；對(duì)于直線(xiàn)為常數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，隨的增大而增大；故②錯(cuò)誤；直線(xiàn)，當(dāng)x=2時(shí)，，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，故④錯(cuò)誤；由④知直線(xiàn)必過(guò)定點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)到定點(diǎn)的距離是，故③正確．故答案為：①③．【6-2】（23-24八年級(jí)下·湖北武漢·期末）一次函數(shù)與的圖象交于點(diǎn)，有下列結(jié)論：①；②關(guān)于x的方程的解為；③關(guān)于x的不等式組的解集為；④若，則或6．其中正確的結(jié)論是．（填寫(xiě)序號(hào)）【答案】②③④【分析】根據(jù)一次函數(shù)與方程的關(guān)系求解可判斷①；再根據(jù)函數(shù)圖象判斷②；再由一次函數(shù)的系數(shù)與圖象的關(guān)系求解判斷③；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解判斷④．解：根據(jù)題意畫(huà)函數(shù)圖象如下：當(dāng)時(shí)，把點(diǎn)A3,2代入得，，解得，∴當(dāng)時(shí)，，故①錯(cuò)誤；∵一次函數(shù)與的圖象交于點(diǎn)A3,2，∴，解得，∴與x軸的交點(diǎn)為1,0，由圖象得，關(guān)于x的方程的解為，故②正確；由圖象得，不等式組的解集為，故③正確；∵，∴，解得，，由三角形全等得，，故④正確，故答案為：②③④．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系、一次函數(shù)圖象與一元一次不等式、一次函數(shù)的系數(shù)與圖象的關(guān)系，三角形全等的性質(zhì)、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)7】坐標(biāo)與圖形+一次函數(shù)與幾何問(wèn)題【7-1】（23-24七年級(jí)下·遼寧盤(pán)錦·期末）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，滿(mǎn)足，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別是，點(diǎn)B在y軸上，在坐標(biāo)平面內(nèi)存在一點(diǎn)D（不與點(diǎn)C重合），使，且與是對(duì)應(yīng)邊，請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)．【答案】【分析】本題考查了平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．過(guò)作軸于，過(guò)作軸于，根據(jù)已知可得是等腰直角三角形，得到，利用等量代換，進(jìn)而可證，由此得到，，再證明，即可得到，，，由此可求點(diǎn)D的坐標(biāo)．解：過(guò)作軸于，過(guò)作軸于，點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，，的坐標(biāo)是.故答案為:.【7-2】（23-24八年級(jí)上·陜西西安·期末）如圖，已知直線(xiàn)和，點(diǎn)在直線(xiàn)上，點(diǎn)在直線(xiàn)上，作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，當(dāng)以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為正方形時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

【答案】45或【分析】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，分類(lèi)討論；設(shè)，，根據(jù)，列出方程，解方程，即可求解．解：設(shè)，

∵在∴解得：，當(dāng)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，∵四邊形是正方形，∴∴解得：∴當(dāng)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，∴解得：∴，故答案為：45或．【7-3】（2024·山東威?！ひ荒＃┤鐖D所示，點(diǎn)，坐標(biāo)分別為，，點(diǎn)是軸上的動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)為中點(diǎn)．若點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到，則此過(guò)程中，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路線(xiàn)長(zhǎng)．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，設(shè)，，證得出則，進(jìn)而可得點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)，進(jìn)而根據(jù)勾股定理，即可求解．解：設(shè)，，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，∵且，又∴，∴∴，，∴∵是的中點(diǎn)，∴∴點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，∴點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離為故答案為：．【考點(diǎn)8】解不等式（組）【8-1】（23-24七年級(jí)下·湖北宜昌·期末）解決下面問(wèn)題(1)解不等式；(2)解下列不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．【答案】(1)；(2)，數(shù)軸見(jiàn)解析．【分析】此題考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式組，以及在數(shù)軸上表示不等式的解集．解一元一次不等式組需分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無(wú)解了確定不等式組的解集．（1）不等式移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)，化系數(shù)為1即可；（2）分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分確定出不等式組的解集，表示在數(shù)軸上即可．解：（1）解：將不等式兩邊同乘以得，，移項(xiàng)合并得，解得；（2）解：解不等式①得，，解不等式②得，，則不等式組的解集為，在數(shù)軸上表示：【8-2】（23-24七年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期末）（1）解不等式：；（2）解不等式組，并在數(shù)軸上表示此不等式組的解集．【答案】（1）；（2），數(shù)軸表示見(jiàn)解析．【分析】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、系數(shù)化為1可得；（2）分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．解：（1），去分母，得：，去括號(hào)，得：，移項(xiàng)，得：，合并同類(lèi)項(xiàng)，得：，系數(shù)化為1，得：；（2），解不等式①得：，解不等式②得：，不等式組的解集為：，在數(shù)軸上表示不等式組的解集為：【考點(diǎn)9】勾股定理+全等三角形【9-1】（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，的平分線(xiàn)交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)的長(zhǎng)為．【分析】（1）根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到，再證明即可得到；（2）根據(jù)勾股定理求得，設(shè)，則，，再應(yīng)用勾股定理即可求解．本題考查了解平分線(xiàn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．解：（1）解：是的角平分線(xiàn)，，，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，，∴，，∴，設(shè)，則，，在中，，即，解得：，∴的長(zhǎng)為．【9-2】（2024·貴州貴陽(yáng)·一模）如圖，一艘船由A島沿北偏東方向航行至B島，然后再沿北偏西方向航行至C島．(1)求A，C兩島之間的距離；(2)確定C島在A島的什么方向？【答案】(1)(2)北偏西【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是對(duì)方向角的熟練掌握．（1）根據(jù)，，推出，在中，利用勾股定理即可求出距離；（2）證明，根據(jù)即可求解．解：（1）如圖，由題意可知：，∵，∴，∴，在中，，答：A，C兩島之間的距離是；（2）又∵，，∴，∵，∴，∴C島在A島北偏西的方向上．【考點(diǎn)10】線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)+角平分線(xiàn)+等腰三角形【10-1】（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，等腰中，，，點(diǎn)、分別在邊AB、CB上，，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交AB于點(diǎn)．(1)求證：；(2)求證：為等腰三角形．【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．（1）根據(jù)題意和圖形，利用全等三角形的判定可以證明結(jié)論成立；（2）根據(jù)題意和（1）中的結(jié)論，利用全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的判定可以證明結(jié)論成立．（1）證明：∵，∴，∵，∴，在與中，，∴，；（2）證明：由（1）知，，∴，∵在中，，∴，∴，∴，∵交于點(diǎn)G，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴是等腰三角形．【10-2】（2024·吉林長(zhǎng)春·一模）如圖，在等腰中，頂角，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，連接，作于點(diǎn)E，再作交于點(diǎn)F．

(1)求證：；(2)若，則的面積為_(kāi)_____．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)4【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線(xiàn)，三角形中線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用等腰三角形的性質(zhì)得出，，利用余角的性質(zhì)可得出，，利用等邊對(duì)等角得出，，取中點(diǎn)G，連接，利用直角三角形斜邊上中線(xiàn)的性質(zhì)得出，利用等邊對(duì)等角得出，然后利用含的直角三角形的性質(zhì)即可得證；（2）利用（1）中求出，利用直角三角形斜邊上中線(xiàn)的性質(zhì)求出，則可求的面積，然后利用三角形中線(xiàn)的性質(zhì)求解即可．解：（1）證明：∵，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，∴，，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，取中點(diǎn)G，連接，

∴，∴，，∴，∴，∴（2）解：∵，∴，∵，G為中點(diǎn)，∴，∴，∵點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，∴，故答案為：4．【10-2】（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，在上取點(diǎn)使得，連結(jié)BD，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連結(jié)．(1)求證：為等腰三角形；(2)若，，，求AB的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）證明出垂直平分，然后得到，進(jìn)而求解即可；（2）首先證明出，然后得到，過(guò)作于，得到，進(jìn)而求解即可．（1）證明：，，，垂直平分，∴為等腰三角形；（2）解：，，，，，，，，，，，，，，過(guò)作于，∴，，，．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，垂直平分線(xiàn)的判定，含角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)11】一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)【11-1】（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，連接，在線(xiàn)段整數(shù)點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)）處設(shè)置感應(yīng)燈，當(dāng)有點(diǎn)落在整點(diǎn)處，或從點(diǎn)發(fā)出光線(xiàn)（射線(xiàn)）照射到線(xiàn)段上的整數(shù)點(diǎn)時(shí)，該處的感應(yīng)燈會(huì)亮．

(1)求線(xiàn)段所在直線(xiàn)的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明點(diǎn)是否會(huì)使感應(yīng)燈亮；(3)若線(xiàn)段上的感應(yīng)燈被射線(xiàn)分為兩部分，并且兩部分感應(yīng)燈的個(gè)數(shù)相同（不包括邊界上的點(diǎn)），直接寫(xiě)出的取值范圍．【答案】(1)；(2)會(huì)，理由見(jiàn)詳解；(3)【分析】本題主要考查函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)線(xiàn)段所在直線(xiàn)的函數(shù)解析式為，將，代入即可得到答案；（2）將代入函數(shù)解析式即可得到答案；（3）先求出線(xiàn)段上的整數(shù)點(diǎn)，設(shè)為，為，由待定系數(shù)法得：，，，進(jìn)而即可求解．（1）解：設(shè)線(xiàn)段所在直線(xiàn)的函數(shù)解析式為，將，代入，，解得，故線(xiàn)段所在直線(xiàn)的函數(shù)解析式為；（2）解：將代入函數(shù)解析式，即，，故，是整數(shù)，會(huì)使感應(yīng)燈亮；（3）解：上整數(shù)點(diǎn)，設(shè)為，為，由待定系數(shù)法得：，，，，解得．【11-2】（2024·江西南昌·模擬預(yù)測(cè)）剪紙是一種鏤空藝術(shù)，在視覺(jué)上給人以透空的感覺(jué)和藝術(shù)享受，剪紙內(nèi)容多，寓意廣，生活氣息濃厚．某商家在春節(jié)前夕購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種剪紙裝飾套裝共60套進(jìn)行銷(xiāo)售，已知購(gòu)進(jìn)一套甲種剪紙比購(gòu)進(jìn)一套乙種剪紙多10元，購(gòu)進(jìn)2套甲種剪紙和3套乙種剪紙共需220元．(1)求這兩種剪紙購(gòu)進(jìn)時(shí)的單價(jià)分別為多少元？(2)設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種剪紙裝飾x套()，購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種剪紙裝飾共花費(fèi)y元，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)若甲種剪紙的售價(jià)為65元/套，乙種剪紙的售價(jià)為50元/套，該商家計(jì)劃購(gòu)進(jìn)這批剪紙裝飾所花的總費(fèi)用不超過(guò)2800元，要使這批剪紙裝飾全部售完時(shí)商家能獲得最大利潤(rùn)，請(qǐng)你幫助商家設(shè)計(jì)購(gòu)進(jìn)方案，并求出最大利潤(rùn)．【答案】(1)甲種剪紙裝飾套裝單價(jià)為50元，乙種剪紙裝飾套裝單價(jià)為40元(2)(3)甲種剪紙裝飾40套，乙種剪紙裝飾套時(shí)，所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為元【分析】本題考查一次函數(shù)和一元一次方程的應(yīng)用：（1）設(shè)乙種剪紙裝飾套裝單價(jià)為元，則甲種剪紙裝飾套裝單價(jià)為元，根據(jù)題意列方程，解方程即可；（2）購(gòu)進(jìn)甲種剪紙裝飾套乙種剪紙裝飾套，總費(fèi)用元為甲乙種剪紙裝飾套裝費(fèi)用的和列出一次函數(shù)即可；（3）甲種剪紙裝飾套裝利潤(rùn)為元，乙種剪紙裝飾套裝利潤(rùn)為元，則利潤(rùn)為根據(jù)隨的增大而增大，且為非負(fù)整數(shù)可得當(dāng)時(shí)，取最大值．解：（1）設(shè)乙種剪紙裝飾套裝單價(jià)為元，則甲種剪紙裝飾套裝單價(jià)為元，根據(jù)題意，得解得，∴甲種剪紙裝飾套裝單價(jià)為50元，乙種剪紙裝飾套裝單價(jià)為40元．（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種剪紙裝飾套，則購(gòu)進(jìn)乙種剪紙裝飾套，購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種剪紙裝飾共花費(fèi)元，根據(jù)題意，得，即∴與之間的函數(shù)關(guān)系式為；（3）設(shè)甲、乙兩種剪紙裝飾獲得的利潤(rùn)為元，根據(jù)題意，得即，∴隨的增大而增大∵該商家計(jì)劃購(gòu)進(jìn)這批剪紙裝飾所花的總費(fèi)用不超過(guò)元，，即，解得，∵為非負(fù)整數(shù)∴當(dāng)時(shí)，取最大值，(元)，此時(shí)套，即商家購(gòu)進(jìn)甲種剪紙裝飾40套，乙種剪紙裝飾套時(shí)，所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為元．【考點(diǎn)12】一次函數(shù)與幾何問(wèn)題【12-1】（2024·河北保定·一模）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，連接．(1)求所在直線(xiàn)的表達(dá)式；(2)從點(diǎn)處發(fā)射激光．①當(dāng)激光軸時(shí)，與交于點(diǎn)Q，求線(xiàn)段的長(zhǎng)度；②已知所在直線(xiàn)的表達(dá)式為，請(qǐng)直接寫(xiě)出激光與線(xiàn)段（不含端點(diǎn)）有交點(diǎn)時(shí)m的取值范圍．【答案】(1)(2)①；②【分析】本題主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、一次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)成為解題的關(guān)鍵．（1）直接運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可；（2）由題意可得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為3，然后將代入所在直線(xiàn)的表達(dá)式可求得點(diǎn)C的縱坐標(biāo)即可；②先根據(jù)所在直線(xiàn)過(guò)C、B兩點(diǎn)可求得一個(gè)臨界點(diǎn)m，在根據(jù)當(dāng)軸時(shí)，與交于點(diǎn)Q，即可取無(wú)限大，據(jù)此即可解答．解：（1）設(shè)直線(xiàn)的函數(shù)解析式為，則有：，解得：，∴設(shè)直線(xiàn)的函數(shù)解析式為．（2）①如圖：∵點(diǎn)處發(fā)射激光，軸，與交于點(diǎn)Q，∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為3，將代入所在直線(xiàn)的表達(dá)式可得：,∴,∴線(xiàn)段的長(zhǎng)度為．②∵所在直線(xiàn)的表達(dá)式為，∴，即∵，，∴當(dāng)所在直線(xiàn)過(guò)時(shí)，，解得：，由當(dāng)軸時(shí)，與交于點(diǎn)Q，即可取無(wú)限大∴m的取值范圍．【12-2】（2022·河北石家莊·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，，射線(xiàn)DE平行于x軸，且與射線(xiàn)BC相交于點(diǎn)E．點(diǎn)P從D點(diǎn)出發(fā)，沿DE向右勻速運(yùn)動(dòng)，速度為5v．點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)，沿的方向，以速度勻速運(yùn)動(dòng)．P、Q兩運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E后停止運(yùn)動(dòng)．(1)直接寫(xiě)出直線(xiàn)AB的函數(shù)解析式：______．(2)求直線(xiàn)BC的函數(shù)解析式，并求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)若P、Q同時(shí)到達(dá)點(diǎn)E處，點(diǎn)Q的速度為多少？【答案】(1)(2)，(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）利用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)BC的函數(shù)解析式，然后將點(diǎn)E的縱坐標(biāo)代入求出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)即可；（3）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸于F，根據(jù)點(diǎn)A、B、E的坐標(biāo)求出OA，OB，BF，EF及DE的長(zhǎng)，然后利用勾股定理求出AB和BE，再由P、Q同時(shí)到達(dá)點(diǎn)E處列式計(jì)算即可．解：（1）解：設(shè)直線(xiàn)AB的函數(shù)解析式為：，代入，得：，解得：，∴直線(xiàn)AB的函數(shù)解析式為：，故答案為：；（2）設(shè)直線(xiàn)BC的函數(shù)解析式為：，代入，得：，解得：，∴直線(xiàn)BC的函數(shù)解析式為：，∵射線(xiàn)DE平行于x軸，且，∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為9，當(dāng)時(shí)，解得，∴；（3）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸于F，∵，，，∴OA＝3，OB＝6，BF＝，EF＝9，DE＝，∴，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，勾股定理，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)13】折疊問(wèn)題【13-1】（23-24八年級(jí)上·山西晉中·期末）如圖，數(shù)學(xué)課上小花把長(zhǎng)方形紙片放入平面直角坐標(biāo)系中，使點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合分別落在軸軸上，連接將紙片沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)的位置與軸交于點(diǎn)則點(diǎn)的坐標(biāo)為．

【答案】【分析】由平行可得，由折疊的性質(zhì)可知，，則，設(shè)，則，由勾股定理得，，即，計(jì)算求解，然后作答即可．解：：∵長(zhǎng)方形，，∴，，∴，由折疊的性質(zhì)可知，，∴，設(shè)，則，由勾股定理得，，即，解得，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等角對(duì)等邊，勾股定理，坐標(biāo)與圖形．熟練掌握平行線(xiàn)的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等角對(duì)等邊，勾股定理，坐標(biāo)與圖形是解題的關(guān)鍵．【13-2】（22-23八年級(jí)上·遼寧沈陽(yáng)·期末）如圖：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有長(zhǎng)方形，點(diǎn)，分別在軸，軸上，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，沿折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合．若點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且面積是18，則點(diǎn)坐標(biāo)為．【答案】或或或【分析】過(guò)作于F，如圖：根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，，，根據(jù)三角形的面積公式和勾股定理得到，當(dāng)P在x軸上時(shí)，連接交x軸于H，得到，當(dāng)P在y軸上時(shí)，根據(jù)三角形的面積公式列方程即可得到結(jié)論．解：：過(guò)作于F，如圖：∵，∴，∴，∵沿折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)O重合，點(diǎn)C與點(diǎn)重合，∴，，，，∵，∴，∴，∴，∴，即，∴，∵，且，∴，∴；當(dāng)P在x軸上時(shí)，連接交x軸于H，如圖：∵，；∴直線(xiàn)為，令得，∴，∵面積是18，∴，即，∴，∴或；當(dāng)P在y軸上時(shí)，如圖：∵面積是18，∴，即，∴，∴或，綜上所述，P的坐標(biāo)為或或或，故答案為：或或或．【點(diǎn)睛】本題考查長(zhǎng)方形中的折疊問(wèn)題，坐標(biāo)與圖形，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)，熟練應(yīng)用勾股定理．【13-3】（23-24七年級(jí)下·山東青島·期末）如圖，在中，點(diǎn)D、點(diǎn)E分別是邊、的點(diǎn)，將和分別沿和折疊至．已知且，則為．【答案】54【分析】本題考查了基本圖形變換折疊，三角形的內(nèi)角和定理，換元的思想方法，關(guān)鍵是利用換元的思想方法，使分析思路更清晰．設(shè)，則，設(shè)，由翻折可知，，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，即可得出結(jié)果．解：：設(shè)，則，設(shè)，由翻折可知，，，，，由，得，在中，，，解得：，在中，，解得：由得，在中，，．故答案為：54．【考點(diǎn)14】動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題【14-1】（23-24八年級(jí)下·遼寧沈陽(yáng)·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A，兩點(diǎn)分別在軸，軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為射線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為．【答案】3或6/6或3【分析】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，分三種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)分別根據(jù)圖形利用勾股定理求出即可．解：：設(shè)，點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，，當(dāng)為直角三角形時(shí)，分三種情況：當(dāng)時(shí)，如圖：三點(diǎn)共線(xiàn)，，解得，；當(dāng)時(shí)，如圖：為等腰直角三角形，；當(dāng)時(shí)，則，與相矛盾，故不存在．故答案為：或．【14-2】（23-24八年級(jí)下·黑龍江牡丹江·期末）如圖，在中，，D為邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)，沿邊往點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)停止．已知點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，當(dāng)是直角三角形時(shí)，t的值為．【答案】或【分析】本題考查勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，難點(diǎn)在于要分情況討論．分兩種情況討論即可．解：：，，當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)與點(diǎn)重合，；當(dāng)時(shí)，則，，，，；綜上，當(dāng)t為或10時(shí)，是直角三角形．故答案為：或．【考點(diǎn)15】最值問(wèn)題【15-1】（23-24八年級(jí)上·江蘇常州·期末）如圖，在中，，，則．請(qǐng)?jiān)谶@一結(jié)論的基礎(chǔ)上繼續(xù)思考：若是的中點(diǎn)，P為邊上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為【答案】【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半等知識(shí)點(diǎn)，正確找出當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值是解題關(guān)鍵．過(guò)作于，過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半、等邊三角形的性質(zhì)可得，再兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短、垂線(xiàn)段最短可得的最小值為，利用勾股定理求出即可．解：：如圖，過(guò)作于，過(guò)點(diǎn)作于，連接，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，為正三角形，∴，，，，由兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可知，當(dāng)點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，取得最小值，最小值為，由垂線(xiàn)段最短可知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值，最小值為，即的最小值為的長(zhǎng)，，，，，即的最小值為，故答案為：．【15-2】（22-23八年級(jí)下·安徽阜陽(yáng)·期末）如圖，在四邊形中，于點(diǎn)O，，，點(diǎn)P為線(xiàn)段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）的長(zhǎng)是；（2）過(guò)點(diǎn)P分別作于點(diǎn)M，作于點(diǎn)H．連接，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的最小值為．【答案】10【分析】本題考查勾股定理，垂線(xiàn)段最短：（1）勾股定理求出的長(zhǎng)即可；（2）連接，等積法求出的長(zhǎng)，再根據(jù)垂線(xiàn)段最短，得到當(dāng)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，最小，即可得出結(jié)果．解：：（1）∵于點(diǎn)O，，，∴；故答案為：10；（2）連接，∵于點(diǎn)M，于點(diǎn)H，∴，即：，∴，∴，∵點(diǎn)P為線(xiàn)段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，的值最小，∵，∴當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的值最小，為的長(zhǎng)，即，∴的最小值為；故答案為：．【考點(diǎn)16】規(guī)律問(wèn)題【16-1】（23-24八年級(jí)上·廣西貴港·期末）如圖，已知，在射線(xiàn)上分別取點(diǎn)，使，連接，在上分別取點(diǎn)，使，連接，按此規(guī)律下去，記，，，則．

【答案】【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，設(shè)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得出，同理求得，，即可得出答案，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．解：：設(shè)，則，，，設(shè)，則，，由得：，，同理可得：，故答案為：．【16-2】（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)的坐標(biāo)是，以為邊在右側(cè)作等邊三角形，過(guò)作軸的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)，以為邊在右側(cè)作等邊三角形，再過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)，以為邊在右側(cè)作等邊三角形，，按此規(guī)律繼續(xù)作下去，得到等邊三角形，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．【答案】【分析】本題考查了圖形和數(shù)字規(guī)律的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角坐標(biāo)系、等邊三角形、垂線(xiàn)、圖形和數(shù)字規(guī)律、含角的直角三角形的性質(zhì)，從而完成求解．根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)是，以為邊在右側(cè)作等邊三角形，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)是根據(jù)以為邊在右側(cè)作等邊三角形，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)是此類(lèi)推，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，得到答案．解：：點(diǎn)的坐標(biāo)是，以為邊在右側(cè)作等邊三角形，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)，，，，點(diǎn)縱坐標(biāo)是，以為邊在右側(cè)作等邊三角形，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)，，，，點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，即，以為邊在右側(cè)作等邊三角形，同理，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，按此規(guī)律繼續(xù)作下去，得：點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，即．故答案為：．【16-2】（23-24八年級(jí)下·山東臨沂·期中）如圖，在直角坐標(biāo)系中，每個(gè)網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度，以點(diǎn)為頂點(diǎn)作正方形，正方形，…，按此規(guī)律作下去，所作正方形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，其中正方形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【分析】本題考查了一次函數(shù)解析式，點(diǎn)坐標(biāo)的規(guī)律探究．根據(jù)題意推導(dǎo)一般性規(guī)律是解題的關(guān)鍵．由圖象可知，、、、……在直線(xiàn)上，、、、……在軸上，、、、……在直線(xiàn)上，由，可知，即在直線(xiàn)上，由，，，可推導(dǎo)，根據(jù)，作答即可．解：：由圖象可知，、、、……在直線(xiàn)上，、、、……在軸上，、、、……在直線(xiàn)上，∵，∴，∴在直線(xiàn)上，∵，，，∴，∴，即，故答案為：．【考點(diǎn)17】不等式（組）參數(shù)問(wèn)題【17-1】（23-24八年級(jí)下·河南南陽(yáng)·期末）已知關(guān)于x的分式方程的解為非負(fù)數(shù)，則a的取值范圍是．【答案】且【分析】本題考查了分式方程的解，熟練掌握分式方程的解法以及分式方程有增根的情況是解題的關(guān)鍵．先求出分式方程的解，再根據(jù)分式方程的解為非負(fù)數(shù)且分母不為0即可求出的取值范圍．解：：，方程可化為，方程兩邊同乘，得，解得：，∵方程的解為非負(fù)數(shù)，解得：，又∵，∴，∴，∴的取值范圍是且，故答案為：且．【17-2】（2021·湖北襄陽(yáng)·一模）已知不等式組有解但沒(méi)有整數(shù)解，則的取值范圍為．【答案】【分析】先求得不等式組的解集，根據(jù)解集沒(méi)有整數(shù)解，建立起新的不等式組，解之即可解：∵，∴解①得，x＜-a，解②得，x＞-1，∴不等式組的解集為：-1＜x＜-a，∵不等式組有解但沒(méi)有整數(shù)解，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式組的解法，能根據(jù)不等式組無(wú)整數(shù)解建立新不等式組并解之是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)18】幾何圖形探究性問(wèn)題【18-1】（24-25八年級(jí)上·江西贛州·期中）【課題學(xué)習(xí)】三角形是平面幾何最基本的圖形之一，構(gòu)造全等三角形是幾何學(xué)中的重要問(wèn)題．一些較復(fù)雜的問(wèn)題，只要依據(jù)條件構(gòu)造合適的全等三角形，把條件相對(duì)集中起來(lái)，再進(jìn)行等量代換，就可以化難為易了．【初步感知】（1）如圖1，在中，，點(diǎn)在邊上，，若在上取一點(diǎn)，使得．寫(xiě)出圖中一對(duì)全等的三角形是___________．【深入探究】（2）如圖2，在中，，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別是、0,4，邊交軸于點(diǎn)，若，求的值；【拓展探索】（3）如圖3，在和中，，，射線(xiàn)交線(xiàn)段于點(diǎn)，求證：點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)．【答案】（1）；（2）3；（3）見(jiàn)解析【分析】（1）利用等邊對(duì)等角求得，，推出，再利用即可得到；（2）在x軸上取M，使得，連接，證明，推出即可；（3）連接，過(guò)N作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)C，證明，推出，，再證明，即可．（1）解：，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故答案為：；（2）解：在x軸上取M，使得，連接，

在和中，，，∴，又，∴，∵，∴；（3）證明：連接，過(guò)N作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)C，則，

設(shè)，則，∵，∴，∴，又，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，又，∴，∴．∴為線(xiàn)段的中點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是條件合適的輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形．【18-2】（24-25八年級(jí)上·遼寧沈陽(yáng)·期中）著名的趙爽弦圖(如圖①，其中四個(gè)直角三角形較大的直角邊長(zhǎng)都為，較小的直角邊長(zhǎng)都為，斜邊長(zhǎng)都為)，大正方形的面積可以表示為，也可以表示為，由此推導(dǎo)出重要的勾股定理：如果直角三角形兩條直角邊長(zhǎng)為，，斜邊長(zhǎng)為，則．【結(jié)論探究】(1)圖②為美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請(qǐng)你利用圖②推導(dǎo)勾股定理；【結(jié)論應(yīng)用】(2)如圖③，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)，，，由于某種原因，由到的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)，，在同一條直線(xiàn)上)，并新修一條路，且．測(cè)得千米，千米，求新路比原路CA少多少千米？【問(wèn)題拓展】(3)中，，，，，垂足為，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．【答案】[結(jié)論探究]（1）見(jiàn)解析；[結(jié)論應(yīng)用]（2）千米；[問(wèn)題拓展]（3）【分析】此題考查了勾股定理的證明方法、勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)．[結(jié)論探究]（1）利用梯形的面積的兩種表示方法即可證明；[結(jié)論應(yīng)用]（2）設(shè)千米，在中，根據(jù)勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案；[問(wèn)題拓展]（3）作，垂足為，在中，，在中，，則，則，解得：，利用勾股定理即可得出．解：[結(jié)論探究]（1）解：梯形的面積為，也可以表示為，，即；[結(jié)論應(yīng)用]（2）設(shè)千米，千米，在中，根據(jù)勾股定理得：，，解得，即千米，(千米)，答：新路比原路CA少千米；[問(wèn)題拓展]（3）作，垂足為，設(shè)，，，，，，根據(jù)勾股定理：在中，，在中，，，即，解得：，，．【考點(diǎn)19】平面直角坐系中探究性問(wèn)題【19-1】（23-24八年級(jí)上·河南鄭州·期末）【問(wèn)題呈現(xiàn)】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為1,0，以線(xiàn)段為邊在第四象限內(nèi)作等邊三角形，點(diǎn)為軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以線(xiàn)段為邊在第四象限內(nèi)作等邊三角形，連接并延長(zhǎng)，交軸于點(diǎn)．【問(wèn)題提出】（1）在此過(guò)程中，線(xiàn)段與有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；【嘗試探究】（2）在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生變化？如果不變，請(qǐng)求出的度數(shù)；如果改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；【拓展延伸】（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？【答案】（1），見(jiàn)解析；（2）點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的度數(shù)是個(gè)定值，不會(huì)發(fā)生變化；（3）當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，以為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形【分析】對(duì)于（1），根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再說(shuō)明，可證，進(jìn)而得出答案；對(duì)于（2），根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得，最后根據(jù)得出結(jié)論；對(duì)于（3），，先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)得，即可得出以為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，和是腰，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得，進(jìn)而得出答案．解：（1）答：．證明：都是等邊三角形，，，即，，；（2）點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的度數(shù)不會(huì)發(fā)生變化，理由如下：是等邊三角形，．，，．故：點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，不變，；（3），．又，，，以為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，和是腰.在中，，，，．當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，以為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，解決本題時(shí)要結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)注意多種討論．【19-2】（23-24八年級(jí)上·云南昆明·階段練習(xí)）【問(wèn)題解決】已知中，三點(diǎn)都在直線(xiàn)1上，且有．如圖①，當(dāng)時(shí)，線(xiàn)段的數(shù)量關(guān)系為：

【類(lèi)比探究】（1）如圖②，在（1）的條件下，當(dāng)時(shí)，線(xiàn)段的數(shù)量關(guān)系是'否變化，若不變，請(qǐng)證明：若變化，寫(xiě)出它們的關(guān)系式；【拓展應(yīng)用】（2）如圖③，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）的數(shù)量關(guān)系不變，理由見(jiàn)解析；（2）【分析】本題考查的是三角形全等的判定和性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；（2）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，根據(jù)（1）的結(jié)論得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可．解：：（1）的數(shù)量關(guān)系不變，理由如下：是的一個(gè)外角，，，，在和中，，，，，；（2）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，由（1）可知，，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為．【考點(diǎn)20】一次函數(shù)與幾何問(wèn)題探究題【20-1】（24-25八年級(jí)上·河南鄭州·期中）我們將等腰直角三角板放在平面直角坐標(biāo)系中進(jìn)行探究：(1)操作思考：如圖，在平面直角坐標(biāo)