5/5專題01集合與常用的邏輯用語

【清單01】元素與集合（1）集合中元素的三個(gè)特性：、、.（2）元素與集合的關(guān)系：或，數(shù)學(xué)符號(hào)分別記為：和.（3）集合的表示方法：、、.（4）常見數(shù)集和數(shù)學(xué)符號(hào)數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)特別提醒：①確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的；也就是說，給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了.給定集合，可知,在該集合中，,不在該集合中；②互異性：一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的；也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的.集合應(yīng)滿足.③無序性：組成集合的元素間沒有順序之分。集合和是同一個(gè)集合.④列舉法：把集合的元素出來，并用花括號(hào)“”括起來表示集合的方法叫做列舉法.⑤描述法：用集合所含元素的表示集合的方法稱為描述法.具體方法是：在花括號(hào)內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征.【清單02】集合間的基本關(guān)系（1）子集（subset）：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合、，如果集合中都是集合中的元素，我們就說這兩個(gè)集合有，稱，記作（或），讀作“包含于”（或“包含”）.（2）真子集（propersubset）：如果集合，但，且，我們稱集合是集合的，記作（或）.讀作“真包含于”或“真包含”.（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此時(shí)，集合與集合中的元素是一樣的，因此，集合與集合相等，記作.（4）空集的性質(zhì)：我們把不含任何元素的集合叫做，記作；是任何集合的，是任何非空集合的

【清單03】集合的基本運(yùn)算集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集符號(hào)表示A∪BA∩B若全集為U，則集合A的補(bǔ)集為?UA圖形表示集合表示【清單04】集合的運(yùn)算性質(zhì)（1），，．（2），，．（3），，．【解題方法總結(jié)】（1）若有限集中有個(gè)元素，則的子集有個(gè)，真子集有個(gè)，非空子集有個(gè)，非空真子集有個(gè)．（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．（3）．（4）,．【清單05】充分條件與必要條件(1)一般地，“若p，則q”為真命題，是指由p通過推理可以得出q，這時(shí)，我們就說，由p可以推出q，記作p?q，并且說，p是q的，q是p的．(2)幾點(diǎn)說明若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p是q的必要不充分條件p是q的充要條件p是q的既不充分也不必要條件

【清單06】充要條件(1)如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有p?q，又有q?p，就記作p?q，此時(shí)，p既是q的充分條件，也是q的必要條件，我們就說p是q的充分必要條件，簡稱為充要條件．(2)如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件．概括地說，如果p?q，那么p與q互為充要條件．【清單07】全稱量詞與存在量詞（1）全稱量詞與全稱量詞命題．短語“所有的”、“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做，并用符號(hào)“”表示．含有全稱量詞的命題叫做．全稱量詞命題“對(duì)中的任意一個(gè)，有成立”可用符號(hào)簡記為“”，讀作“對(duì)任意屬于，有成立”．（2）存在量詞與存在量詞命題．短語“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做，并用符號(hào)“”表示．含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題“存在中的一個(gè)，使成立”可用符號(hào)簡記為“”，讀作“存在中元素，使成立”．【清單08】含有一個(gè)量詞的命題的否定(1)全稱量詞命題p：?x∈M，p(x)，它的否定﹁p：；(2)存在量詞命題p：?x∈M，p(x)，它的否定﹁p：．注意：全稱、存在量詞命題的否定是高考常見考點(diǎn)之一．【題型一】集合的三要素【例1】．（25-26高一上·福建泉州·期中）下列所給對(duì)象不能構(gòu)成集合的是（

）A．一個(gè)平面內(nèi)的所有點(diǎn) B．某校高一（1）班的高個(gè)子學(xué)生C．所有大于零的正整數(shù) D．不等于0的偶數(shù)【變式1-1】．（25-26高一上·福建莆田·期中）下列各組對(duì)象不能構(gòu)成集合的是（）A．中國古代四大發(fā)明 B．小于5的正整數(shù)C．關(guān)于方程的實(shí)數(shù)解 D．中國著名的數(shù)學(xué)家【變式1-2】．（25-26高一上·江西九江·月考）（多選題）已知非空數(shù)集T滿足：對(duì)任意的，都有，且集合T中的元素個(gè)數(shù)不超過4．下列說法正確的是（

）A．T可能為雙元素集合 B．T中元素不可能都大于0C．T中所有元素之積為 D．T中所有元素之和可能為【題型二】元素與集合的關(guān)系【例2】．（25-26高一上·遼寧遼陽·期中）若，則（

）A． B．1 C．或1 D．或2【變式2-1】．（25-26高一上·湖南長沙·期中）已知集合，則0與集合A的關(guān)系為（

）A． B． C． D．【變式2-2】．（25-26高一上·云南文山·月考）若，則，則稱是伙伴關(guān)系集合，在集合的所有非空子集中，具有伙伴關(guān)系的集合個(gè)數(shù)為（

）A．16 B．15 C．14 D．13【型三】集合與集合的關(guān)系：子集與真子集【例3】．（25-26高一上·上?！て谥校┰O(shè)集合，則滿足的集合的子集最多個(gè)數(shù)是（

）．A．4 B．8 C．16 D．32【變式3-1】．（25-26高一上·江蘇南京·期中）若集合，，則集合，之間的關(guān)系表示最準(zhǔn)確的為（

）A． B． C． D．無法確定【變式3-2】．（2026高三·全國·專題練習(xí)）已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值集合為（）A． B．C． D．【型四】集合的運(yùn)算：交集、并集與補(bǔ)集【例4】．（25-26高三上·重慶·月考）已知集合，則（

）A． B．C． D．【變式4-1】．（25-26高一上·廣東惠州·月考）已知集合，，則（

）A． B．C． D．【變式4-2】．（25-26高一上·遼寧大連·期中）已知集合，集合．(1)若，求和．(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

【型五】含有一個(gè)量詞的命題的否定【例5】．（25-26高一上·遼寧大連·期中）命題“”的否定為（

）A． B．C． D．【變式5-1】．（25-26高一上·江蘇南京·期中）命題“，”的否定為（

）A．， B．，C．， D．，【變式5-2】．（24-25高一上·江蘇南通·月考）命題：“”的否定是（

）A． B．C． D．【題型六】命題真假的判斷【例6】．（25-26高一上·江西贛州·月考）（多選題）下列命題中，是真命題的有（

）．A．已知集合，，則的真子集個(gè)數(shù)為3B．設(shè)集合，，若，則或C．若，，則D．【變式6-1】．（24-25高一上·貴州遵義·月考）（多選題）下面命題正確的是（）A．若且，則，至少有一個(gè)大于1B．直角三角形的外心一定不在斜邊上C．如果實(shí)數(shù)集的非空子集是有限集，那么中的元素必然有最大值D．任何分?jǐn)?shù)都是有理數(shù)【變式6-2】．（23-24高一上·重慶·期中）（多選題）下列命題是真命題的是（

）A．所有平行四邊形的對(duì)角線互相平分B．若是無理數(shù)，則一定是有理數(shù)C．若，則關(guān)于的方程有兩個(gè)負(fù)根D．兩個(gè)相似三角形的周長之比等于它們對(duì)應(yīng)的邊長之比【題型七】根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍【例7】．（25-26高一上·山東聊城·期中）若“，”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式7-1】．（25-26高一上·北京·月考）已知命題p：，；命題q：，，若命題p，q均為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【變式7-2】．（24-25高一上·江蘇蘇州·月考）已知命題，都有，命題存在，若與不全為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【題型八】充分、必要及充要條件的判斷【例8】．（25-26高一上·江蘇南京·期中）“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式8-1】．（25-26高一上·廣東深圳·期中）“”是“冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【題型九】根據(jù)充分、必要及充要條件求參數(shù)的取值范圍【例9】．（25-26高三上·廣東梅州·月考）已知“”是“”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【變式9-1】．（25-26高一上·河北衡水·期中）已知集合，非空集合．若是的必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【變式9-2】．（25-26高一上·江蘇無錫·期中）已知集合，．(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

【易錯(cuò)題型一】在解含參數(shù)集合問題時(shí)忽略空集易錯(cuò)分析：由于空集是一個(gè)特殊的集合，它是任何集合的子集，因此對(duì)于集合就有可能忽視了，導(dǎo)致解題結(jié)果錯(cuò)誤．尤其是在解含參數(shù)的集合問題時(shí)，更應(yīng)注意到當(dāng)參數(shù)在某個(gè)范圍內(nèi)取值時(shí)，所給的集合可能是空集的情況．考生由于思維定式的原因，往往會(huì)在解題中遺忘了這個(gè)集合，導(dǎo)致答案錯(cuò)誤或答案不全面．【例1】．（25-26高一上·江蘇南京·期中）已知命題，命題．(1)已知，命題都是真命題，求的取值范圍；(2)若是的充分不必要條件，求的取值范圍．【變式1-1】．（25-26高一上·福建廈門·期中）已知集合，.(1)若，求和；(2)若“”是“”的必要而不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【易錯(cuò)題型二】在解含參數(shù)集合問題時(shí)忽略空集易錯(cuò)分析：(1)全稱量詞命題p：?x∈M，p(x)，它的否定﹁p：?x∈M，﹁p(x)；(2)存在量詞命題p：?x∈M，p(x)，它的否定﹁p：?x∈M，﹁p(x)．【例2】．（25-26高一上·河南信陽·期中）命題“存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得”的否定是（

）A．對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有B．存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得C．對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有D．存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得4【變式1-1】．（25-26高一上·海南?？凇ぴ驴迹ǘ噙x題）下列說法正確的是（

）A．命題“”的否定是“” B．命題“”是假命題C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分不必要條件

專題01集合與常用的邏輯用語【答案】一、1、確定性無序性互異性2、屬于或不屬于3、列舉法描述法、韋恩圖二、1、為的子集，記作（或）2、是的真子集，記作（或）3、我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作4、集合與集合相等，記作.5、若有限集中有個(gè)元素，則的子集有個(gè)，真子集有個(gè)，非空子集有個(gè)，非空真子集有個(gè)．三、1、A∩B={x|x∈A，且x∈B}2、A∪B={x|x∈A，或x∈B}3、?UA={x|x∈U，且x?A}四、1、p?q且q?p2、p?q且q?p3、p?q五、1、“所有的”、“任意一個(gè)”2、“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”六、1、p：?x∈M，p(x)，它的否定﹁p：?x∈M，﹁p(x)；2、p：?x∈M，p(x)，它的否定﹁p：?x∈M，﹁p(x)．

【清單01】元素與集合（1）集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無序性.（2）元素與集合的關(guān)系：屬于或不屬于，數(shù)學(xué)符號(hào)分別記為：和.（3）集合的表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖（圖）.（4）常見數(shù)集和數(shù)學(xué)符號(hào)數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)或特別提醒：①確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的；也就是說，給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了.給定集合，可知,在該集合中，,不在該集合中；②互異性：一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的；也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的.集合應(yīng)滿足.③無序性：組成集合的元素間沒有順序之分。集合和是同一個(gè)集合.④列舉法：把集合的元素一一列舉出來，并用花括號(hào)“”括起來表示集合的方法叫做列舉法.⑤描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法.具體方法是：在花括號(hào)內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征.【清單02】集合間的基本關(guān)系（1）子集（subset）：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合、，如果集合中任意一個(gè)元素都是集合中的元素，我們就說這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合為集合的子集，記作（或），讀作“包含于”（或“包含”）.（2）真子集（propersubset）：如果集合，但存在元素，且，我們稱集合是集合的真子集，記作（或）.讀作“真包含于”或“真包含”.（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此時(shí)，集合與集合中的元素是一樣的，因此，集合與集合相等，記作.（4）空集的性質(zhì)：我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

【清單03】集合的基本運(yùn)算集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集符號(hào)表示A∪BA∩B若全集為U，則集合A的補(bǔ)集為?UA圖形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x?A}【清單04】集合的運(yùn)算性質(zhì)（1），，．（2），，．（3），，．【解題方法總結(jié)】（1）若有限集中有個(gè)元素，則的子集有個(gè)，真子集有個(gè)，非空子集有個(gè)，非空真子集有個(gè)．（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．（3）．（4）,．【清單05】充分條件與必要條件(1)一般地，“若p，則q”為真命題，是指由p通過推理可以得出q，這時(shí)，我們就說，由p可以推出q，記作p?q，并且說，p是q的充分條件，q是p的必要條件．(2)幾點(diǎn)說明若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p?q且q?pp是q的必要不充分條件p?q且q?pp是q的充要條件p?qp是q的既不充分也不必要條件p?q且q?p

【清單06】充要條件(1)如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有p?q，又有q?p，就記作p?q，此時(shí)，p既是q的充分條件，也是q的必要條件，我們就說p是q的充分必要條件，簡稱為充要條件．(2)如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件．概括地說，如果p?q，那么p與q互為充要條件．【清單07】全稱量詞與存在量詞（1）全稱量詞與全稱量詞命題．短語“所有的”、“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“”表示．含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題．全稱量詞命題“對(duì)中的任意一個(gè)，有成立”可用符號(hào)簡記為“”，讀作“對(duì)任意屬于，有成立”．（2）存在量詞與存在量詞命題．短語“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“”表示．含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題．存在量詞命題“存在中的一個(gè)，使成立”可用符號(hào)簡記為“”，讀作“存在中元素，使成立”．【清單08】含有一個(gè)量詞的命題的否定(1)全稱量詞命題p：?x∈M，p(x)，它的否定﹁p：?x∈M，﹁p(x)；(2)存在量詞命題p：?x∈M，p(x)，它的否定﹁p：?x∈M，﹁p(x)．注意：全稱、存在量詞命題的否定是高考常見考點(diǎn)之一．【題型一】集合的三要素【例1】．（25-26高一上·福建泉州·期中）下列所給對(duì)象不能構(gòu)成集合的是（

）A．一個(gè)平面內(nèi)的所有點(diǎn) B．某校高一（1）班的高個(gè)子學(xué)生C．所有大于零的正整數(shù) D．不等于0的偶數(shù)【答案】B【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】判斷元素能否構(gòu)成集合【分析】根據(jù)集合的定義一一判斷即可．【詳解】對(duì)于A，“一個(gè)平面內(nèi)的所有點(diǎn)”是確定的，能構(gòu)成集合，故A不符合題意；對(duì)于B，“某校高一（1）班的高個(gè)子學(xué)生”的標(biāo)準(zhǔn)不確定，因而不能構(gòu)成集合，故B符合題意；對(duì)于C，“所有大于零的正整數(shù)”的標(biāo)準(zhǔn)確定，能構(gòu)成集合，故C不符合題意；對(duì)于D，“不等于0的偶數(shù)”的標(biāo)準(zhǔn)確定，能構(gòu)成集合，故D不符合題意.故選：B.【變式1-1】．（25-26高一上·福建莆田·期中）下列各組對(duì)象不能構(gòu)成集合的是（）A．中國古代四大發(fā)明 B．小于5的正整數(shù)C．關(guān)于方程的實(shí)數(shù)解 D．中國著名的數(shù)學(xué)家【答案】D【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】判斷元素能否構(gòu)成集合【分析】根據(jù)集合的意義，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，中國古代四大發(fā)明可以明確可知，故可以構(gòu)成集合；對(duì)于B，小于5的正整數(shù)明確可知，可以構(gòu)成集合；對(duì)于C，關(guān)于方程的實(shí)數(shù)解有明確的解，可以構(gòu)成集合；對(duì)于D，中國著名的數(shù)學(xué)家，對(duì)著名沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)，不可以構(gòu)成集合.故選：D.【變式1-2】．（25-26高一上·江西九江·月考）（多選題）已知非空數(shù)集T滿足：對(duì)任意的，都有，且集合T中的元素個(gè)數(shù)不超過4．下列說法正確的是（

）A．T可能為雙元素集合 B．T中元素不可能都大于0C．T中所有元素之積為 D．T中所有元素之和可能為【答案】BCD【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】利用集合中元素的性質(zhì)求集合元素個(gè)數(shù)、集合新定義【分析】根據(jù)題意得，，得，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由，，得，，要使得T為雙元素集合，則x，，中必有兩個(gè)相等，另外一個(gè)和它們不相等．因?yàn)?，，，所以T不可能是雙元素集合，所以A錯(cuò)誤．由上知，T中必有三個(gè)元素，所以，則，所以B正確，C正確．當(dāng)時(shí)，，，所以D正確．故選：BCD【題型二】元素與集合的關(guān)系【例2】．（25-26高一上·遼寧遼陽·期中）若，則（

）A． B．1 C．或1 D．或2【答案】A【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】利用集合元素的互異性求參數(shù)、根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，結(jié)合互異性即可求解.【詳解】若，則，，不符合題意；若，則（舍去）或，則，符合題意．故選：A【變式2-1】．（25-26高一上·湖南長沙·期中）已知集合，則0與集合A的關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】判斷元素與集合的關(guān)系【分析】先求出集合，再判斷元素與集合的關(guān)系.【詳解】，因?yàn)樵嘏c集合的關(guān)系是屬于和不屬于，所以.故選：A.【變式2-2】．（25-26高一上·云南文山·月考）若，則，則稱是伙伴關(guān)系集合，在集合的所有非空子集中，具有伙伴關(guān)系的集合個(gè)數(shù)為（

）A．16 B．15 C．14 D．13【答案】B【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】判斷元素與集合的關(guān)系、集合新定義【分析】由已知，根據(jù)給出的定義列舉出所有滿足條件的情況即可.【詳解】時(shí)，則；時(shí)，則；時(shí)，則；時(shí)，則，集合的所有滿足新定義的元素有6個(gè)，那么，，，，，，，，，，，，，，，共有15個(gè).故選：B【型三】集合與集合的關(guān)系：子集與真子集【例3】．（25-26高一上·上?！て谥校┰O(shè)集合，則滿足的集合的子集最多個(gè)數(shù)是（

）．A．4 B．8 C．16 D．32【答案】C【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】判斷集合的子集（真子集）的個(gè)數(shù)【分析】先由并集分析集合的元素可能個(gè)數(shù)，再求子集個(gè)數(shù)即可.【詳解】因?yàn)榧希瑒t滿足，所以集合的元素可能是2個(gè)，3個(gè)，4個(gè)，所以集合的子集最多個(gè)數(shù)是個(gè).故選：C【變式3-1】．（25-26高一上·江蘇南京·期中）若集合，，則集合，之間的關(guān)系表示最準(zhǔn)確的為（

）A． B． C． D．無法確定【答案】A【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】判斷兩個(gè)集合是否相等【分析】對(duì)分奇偶進(jìn)行討論，即可判斷集合，之間的關(guān)系.【詳解】對(duì)于集合，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.故選：A.【變式3-2】．（2026高三·全國·專題練習(xí)）已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值集合為（）A． B．C． D．【答案】B【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)兩個(gè)集合相等求參數(shù)【分析】根據(jù)，可得，再分和兩種情況討論即可.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，則，所以，得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，則，所以，所以，所以，則，此時(shí)，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值集合為.故選：B.【型四】集合的運(yùn)算：交集、并集與補(bǔ)集【例4】．（25-26高三上·重慶·月考）已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】C【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算、列舉法表示集合【分析】應(yīng)用列舉法表示出集合，再由集合的交運(yùn)算求結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，，所以.故選：C【變式4-1】．（25-26高一上·廣東惠州·月考）已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】并集的概念及運(yùn)算【分析】根據(jù)并集的定義進(jìn)行運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：B.【變式4-2】．（25-26高一上·遼寧大連·期中）已知集合，集合．(1)若，求和．(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，或(2)【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、交集的概念及運(yùn)算、并集的概念及運(yùn)算【分析】（1）解分式不等式求得集合，進(jìn)而求得，可求和．（2）由題意可得，分與討論，列出不等式，計(jì)算可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由，得，所以，所以所以，解得，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，或；（2）由，則，由（1）可知若，則，解得，滿足；若，由，得，解得，即，綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為．【型五】含有一個(gè)量詞的命題的否定【例5】．（25-26高一上·遼寧大連·期中）命題“”的否定為（

）A． B．C． D．【答案】C【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】特稱命題的否定及其真假判斷【分析】根據(jù)題意，結(jié)合全稱量詞命題與存在量詞命題的關(guān)系，準(zhǔn)確改寫，即可求解.【詳解】根據(jù)全稱量詞命題與存在量詞命題的關(guān)系，可知命題“”的否定為“”.故選：C.【變式5-1】．（25-26高一上·江蘇南京·期中）命題“，”的否定為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】全稱命題的否定及其真假判斷【分析】根據(jù)全稱命題的否定是存在量詞命題即可得到答案.【詳解】命題“”的否定為“”.故選：A.【變式5-2】．（24-25高一上·江蘇南通·月考）命題：“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】B【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】特稱命題的否定及其真假判斷【分析】根據(jù)存在量詞命題否定的結(jié)構(gòu)形式可得正確的選項(xiàng).【詳解】命題：“”為存在量詞命題，故其否定為：，故選：B.【題型六】命題真假的判斷【例6】．（25-26高一上·江西贛州·月考）（多選題）下列命題中，是真命題的有（

）．A．已知集合，，則的真子集個(gè)數(shù)為3B．設(shè)集合，，若，則或C．若，，則D．【答案】AD【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的真假、判斷集合的子集（真子集）的個(gè)數(shù)、交集的概念及運(yùn)算、根據(jù)兩個(gè)集合相等求參數(shù)【分析】對(duì)于A計(jì)算進(jìn)而得的真子集個(gè)數(shù)即可判斷，對(duì)于B由計(jì)算，驗(yàn)證是否滿足集合的互異性即可判斷，對(duì)于C根據(jù)不等式的性質(zhì)即可得的范圍進(jìn)而判斷，對(duì)于D根據(jù)集合的子集的定義即可判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)榧?，，所以．故的真子集個(gè)數(shù)為3，A為真命題；對(duì)于B，集合，，由，得或，解得或，當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，不符合題意，所以，B為假命題；對(duì)于C，因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以，所以，C為假命題；對(duì)于D，，所以，所以，D為真命題．故選：AD．【變式6-1】．（24-25高一上·貴州遵義·月考）（多選題）下面命題正確的是（）A．若且，則，至少有一個(gè)大于1B．直角三角形的外心一定不在斜邊上C．如果實(shí)數(shù)集的非空子集是有限集，那么中的元素必然有最大值D．任何分?jǐn)?shù)都是有理數(shù)【答案】ACD【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的真假、判斷元素與集合的關(guān)系【分析】借助反證法可得A、C；結(jié)合直線三角形性質(zhì)與外心定義可得B；利用分?jǐn)?shù)與有理數(shù)定義可得D.【詳解】對(duì)A：假設(shè)，都小于或等于，則，與已知矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤，故A正確；對(duì)B：直角三角形的外心在斜邊中點(diǎn),故B錯(cuò)誤；對(duì)C：假設(shè)非空集合中的元素?zé)o最大值，則集合必為無限集，這與實(shí)數(shù)集的非空子集是有限集矛盾，故中的元素必然有最大值，故C正確；對(duì)D：由有理數(shù)定義可知，任何分?jǐn)?shù)都是有理數(shù)，故D正確.故選：ACD.【變式6-2】．（23-24高一上·重慶·期中）（多選題）下列命題是真命題的是（

）A．所有平行四邊形的對(duì)角線互相平分B．若是無理數(shù)，則一定是有理數(shù)C．若，則關(guān)于的方程有兩個(gè)負(fù)根D．兩個(gè)相似三角形的周長之比等于它們對(duì)應(yīng)的邊長之比【答案】AD【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的真假【分析】根據(jù)真命題的定義對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，所有平行四邊形的對(duì)角線互相平分，所以A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，是無理數(shù)，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由關(guān)于的方程有兩個(gè)負(fù)根，得解得，所以C錯(cuò)誤．對(duì)于D，兩個(gè)相似三角形的周長之比等于它們對(duì)應(yīng)的邊長之比，所以D正確．故選：AD【題型七】根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍【例7】．（25-26高一上·山東聊城·期中）若“，”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)全稱命題的真假求參數(shù)【分析】由，且，分析得解.【詳解】因?yàn)?，且，所以等價(jià)于，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C.【變式7-1】．（25-26高一上·北京·月考）已知命題p：，；命題q：，，若命題p，q均為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)或且非的真假求參數(shù)、根據(jù)全稱命題的真假求參數(shù)、根據(jù)特稱（存在性）命題的真假求參數(shù)【分析】結(jié)合全稱量詞命題及存在量詞命題的真假關(guān)系即可求解．【詳解】命題p：，；命題q：，，若命題p，q均為假命題，則，為真命題，且，為真命題.在上恒成立，且有解，故且，解得或.故選：D.【變式7-2】．（24-25高一上·江蘇蘇州·月考）已知命題，都有，命題存在，若與不全為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)全稱命題的真假求參數(shù)、根據(jù)特稱（存在性）命題的真假求參數(shù)【分析】求得為真命題，實(shí)數(shù)的取值范圍；為真命題，實(shí)數(shù)的取值范圍；進(jìn)而可得與全為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍，進(jìn)而可得結(jié)論.【詳解】若為真命題，則，又，所以，所以，若為真命題，則有解，所以，解得或，所以與全為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是或，所以與不全為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是或.故選：D.【題型八】充分、必要及充要條件的判斷【例8】．（25-26高一上·江蘇南京·期中）“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的充分不必要條件【分析】先求解出方程的根，然后根據(jù)互相推出關(guān)系判斷出結(jié)果.【詳解】由解得或，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A.【變式8-1】．（25-26高一上·廣東深圳·期中）“”是“冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】由冪函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)、充要條件的證明、根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)求參數(shù)值【分析】先根據(jù)冪函數(shù)的定義求出的值，再結(jié)合函數(shù)單調(diào)性判斷條件.【詳解】是冪函數(shù)，則，求解得，，時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，充分性成立，時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故舍去，若冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，必要性成立，因此“”是“冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減”的充要條件，故選：A【題型九】根據(jù)充分、必要及充要條件求參數(shù)的取值范圍【例9】．（25-26高三上·廣東梅州·月考）已知“”是“”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】．【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)充分不必要條件求參數(shù)【分析】根據(jù)充分不必要條件判斷集合間的包含關(guān)系，進(jìn)而列出不等式，求出參數(shù)范圍即可.【詳解】由題可得：，，因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件，則集合是集合的真子集；所以，解得：，檢驗(yàn)：時(shí)，，滿足條件；時(shí)，，滿足條件；所以綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為：；故答案為：【變式9-1】．（25-26高一上·河北衡水·期中）已知集合，非空集合．若是的必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、必要條件【分析】由題意得是的子集，再根據(jù)包含關(guān)系列出不等式組即可求解.【詳解】因?yàn)槭堑谋匾獥l件，所以是的子集，所以，解得，所以的取值范圍是.故答案為：.【變式9-2】．（25-26高一上·江蘇無錫·期中）已知集合，．(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、交集的概念及運(yùn)算、根據(jù)充分不必要條件求參數(shù)【分析】（1）根據(jù)交集的定義域運(yùn)算直接得出結(jié)果；（2）根據(jù)充分條件、必要條件的定義可得，結(jié)合集合的包含關(guān)系建立關(guān)于的不等式組，解之即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以.（2）因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件，所以是的真子集.由，知集合為非空集合，則且等號(hào)不能同時(shí)成立，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.

【易錯(cuò)題型一】在解含參數(shù)集合問題