3/3專題02不等式與基本不等式（期末復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律作差法比大小與不等式的基本性質(zhì)回顧利用作差法比大小以及掌握依據(jù)不等式性質(zhì)進(jìn)行簡單的數(shù)值比較和不等式推導(dǎo)基礎(chǔ)考點(diǎn)，常出現(xiàn)在選擇題，填空題基本不等式的推導(dǎo)與最值定理回顧基本不等式的推導(dǎo)，理解其幾何意義，掌握最值定理的使用要求基礎(chǔ)考點(diǎn)，常出現(xiàn)在選擇題，填空題基本不等式求最值的常用方法回顧“配湊法”“換元法”““1”的代換法”等方法在基本不等式中的應(yīng)用重難必考點(diǎn)，常出現(xiàn)選擇題，填空題，解答題基本不等式的情境應(yīng)用能熟練根據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)模型，并利用基本不等式求解最值重要考點(diǎn)，常出現(xiàn)在解答題一元二次不等式的解法回顧一元二次不等式與方程和函數(shù)之間的聯(lián)系，能熟練運(yùn)用“化正→求根→畫圖→寫解集”的步驟求解基礎(chǔ)考點(diǎn)，常出現(xiàn)在選擇題，填空題含參一元二次不等式的解法能根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)、判別式Δ、根的大小進(jìn)行分類討論重要考點(diǎn)，常出現(xiàn)在選擇題，填空題分式不等式的解法回顧分式不等式與一元二次不等式間的轉(zhuǎn)化規(guī)則，能熟練通過移項(xiàng)、通分化為商的形式，再利用符號法則轉(zhuǎn)化為整式不等式組求解基礎(chǔ)考點(diǎn)，常出現(xiàn)選擇題，填空題，解答題不等式的恒成立與有解問題能準(zhǔn)確將“恒成立”與“有解”問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，并求解參數(shù)范圍重難必考點(diǎn)，常出現(xiàn)在選擇題，填空題，解答題知識點(diǎn)01作差法比較大小作差法的依據(jù)：①；②；③步驟：(1)作差；(2)變形；（目的：便于判定差的符號，常用的方法：因式分解、配方、通分、分子有理化等）(3)定號；（當(dāng)差的符號不確定時，一般需要分類討論）(4)下結(jié)論。（根據(jù)當(dāng)差的正負(fù)與實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)下結(jié)論）知識點(diǎn)02不等式的性質(zhì)性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意1對稱性a>b?b<a?2傳遞性a>b，b>c?a>c不可逆3可加性a>b?a＋c>b＋c可逆4可乘性a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac<bcc的符號5同向可加性a>b，c>d?a＋c>b＋d同向6同向同正可乘性a>b>0，c>d>0?ac>bd同向7可乘方性a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)同正知識點(diǎn)03基本不等式（1）重要不等式①若任意，則 當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立②公式變形：.當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立（2）基本不等式①如果，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立。其中，叫作正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，作正數(shù)的幾何平均數(shù)。因此基本不等式也可以敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。②變形公式：③用基本不等式求最值時，要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”④重要不等式串：即調(diào)和平均值幾何平均值算數(shù)平均值平方平均值(注意等號成立的條件)知識點(diǎn)04最值定理①如果(定值)，則(當(dāng)且僅當(dāng)“”時取“=”).即“和為定值，積有最大值”.②如果(定值)，則(當(dāng)且僅當(dāng)“”時取“=”).即積為定值，和有最小值”.知識點(diǎn)05糖水不等式、權(quán)方和不等式與柯西不等式1、若,則一定有通俗的理解:就是克的不飽和糖水里含有克糖,往糖水里面加入克糖,則糖水更甜2、二維形式的柯西不等式（，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）3、若則當(dāng)且僅當(dāng)時取等.(注：熟練掌握柯西不等式與權(quán)方和不等式的初級應(yīng)用，足以解決考試中的這類型最值問題的秒殺)知識點(diǎn)06解一元二次不等式判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩相異實(shí)根x1，x2(x1<x2)有兩相等實(shí)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a))))){x|x∈R}ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??知識點(diǎn)07解分式不等式與絕對值不等式1、分式不等式的解法①②③④2、絕對值不等式的解法①②；；③含有兩個或兩個以上絕對值符號的不等式，可用零點(diǎn)分段法和圖象法求解知識點(diǎn)08高次不等式的解法核心解法：數(shù)軸穿根法（序軸標(biāo)根法）步驟1：求根并標(biāo)在數(shù)軸上步驟2：“穿針引線”定區(qū)間符號①從數(shù)軸最右側(cè)上方開始，按照“奇穿偶回”的原則畫曲線：②“奇穿”：若因式的次數(shù)為奇數(shù)（如一次因式），曲線穿過該根對應(yīng)的點(diǎn)；③“偶回”：若因式的次數(shù)為偶數(shù)（如(x?1)2），曲線接觸該根對應(yīng)的點(diǎn)后返回，不穿過數(shù)軸步驟3：根據(jù)不等號確定解集知識點(diǎn)09不等式恒成立問題1．一元二次不等式恒成立問題(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集為R)時，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ<0))；(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集為R)時，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ≤0))；(3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集為R)時，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ<0))；(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集為R)時，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ≤0)).（5）)對于ax2＋bx＋c>0不等式恒成立時，最高次數(shù)的系數(shù)含參要考慮為零情況。2．區(qū)間恒成立問題.函數(shù)在某區(qū)間恒成立時，若能夠分離參數(shù)成k<f(x)或k>f(x)形式．則可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域求解．設(shè)f(x)的最大值為M，最小值為m.(1)k<f(x)恒成立?k<m，k≤f(x)恒成立?k≤m.(2)k>f(x)恒成立?k>M，k≥f(x)恒成立?k≥M.題型一不等式比大小解｜題｜技｜巧比較大小的常用方法（1）作差法：①作差；②變形；③定號；④得出結(jié)論.（2）作商法：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關(guān)系；④得出結(jié)論.（3）構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.（4）取特值，舉反例.【典例1】下列命題是真命題的是（

）A．若，則. B．若，則C．若，則 D．若，，則【變式1】（多選）已知，，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【變式2】（多選）若，則下列說法不一定正確的是（

）A． B．C． D．若，則【變式3】從下列三組式子中選擇一組比較大?。孩僭O(shè)，比較的大??；②設(shè)，比較的大??；③設(shè)，比較的大小.注：如果選擇多組分別解答，按第一個解答計(jì)分.題型二利用不等式性質(zhì)求解不等式范圍解｜題｜技｜巧核心解題原則利用不等式性質(zhì)求范圍的核心是遵循性質(zhì)的約束條件，避免因“隨意變形”導(dǎo)致范圍擴(kuò)大或縮小，關(guān)鍵是保持變形的等價性，優(yōu)先采用“待定系數(shù)法”或“線性組合”的方法?；拘再|(zhì)直接變形法適用于簡單的單變量或雙變量不等式，需嚴(yán)格遵循不等式的基本性質(zhì)：性質(zhì)1（傳遞性）：若a>b且b>c，則a>c，可用于連不等式的范圍推導(dǎo)；性質(zhì)2（加減性質(zhì)）：不等式兩邊同時加/減同一數(shù)（或式），不等號方向不變性質(zhì)3（乘除正數(shù)）：兩邊同時乘/除同一正數(shù)，不等號方向不變性質(zhì)4（乘除負(fù)數(shù)）：兩邊同時乘/除同一負(fù)數(shù)，不等號方向改變性質(zhì)5（同向可加）：若a>b,c>d，則a+c>b+d（僅可加不可直接減）性質(zhì)6（同向同正可乘）：若a>b>0,c>d>0，則ac>bd（負(fù)數(shù)不可直接乘）。待定系數(shù)法：適用于雙變量或多變量的線性組合范圍（如求ax+by的范圍），避免分步變形導(dǎo)致范圍偏差：①設(shè)目標(biāo)式（如m=2x+y）為已知不等式的線性組合，即m=p(x+y)+q(x-y)；②聯(lián)立系數(shù)求出p,q的值；③利用不等式同向可加性，分別求出p(x+y)和\q(x-y)的范圍，再相加得目標(biāo)式范圍。端點(diǎn)驗(yàn)證法：用于檢驗(yàn)所求范圍是否準(zhǔn)確，尤其是分步變形后：取已知不等式的端點(diǎn)值，代入目標(biāo)式計(jì)算，判斷目標(biāo)式的最值是否能取到，排除因“不當(dāng)變形”擴(kuò)大的范圍。易錯提醒1.禁止“同向相減/異向相乘”：不等式無“同向相減”“異向相乘”的性質(zhì)，強(qiáng)行操作會導(dǎo)致范圍錯誤2.乘除需判斷符號：對不等式兩邊乘除含參數(shù)的式子時，必須分“正數(shù)/負(fù)數(shù)/0”討論，避免漏解3.非線性式慎用性質(zhì)：求xy、x2等非線性式范圍時，不能直接用線性性質(zhì)，需結(jié)合函數(shù)單調(diào)性【典例1】已知，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式1】已知實(shí)數(shù)x，y滿足，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式2】（多選）已知，，則（

）A． B．C． D．【變式3】已知，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．的取值范圍為 B．的取值范圍為C．的取值范圍為 D．取值范圍為題型三糖水不等式及其應(yīng)用（跨章節(jié)）解｜題｜技｜巧若,則一定有通俗的理解:就是克的不飽和糖水里含有克糖,往糖水里面加入克糖,則糖水更甜易錯提醒1.條件限制：必須滿足0<b<a且m>0，若a<b或m<0，不等式方向會反轉(zhuǎn)，需先驗(yàn)證條件；2.不可逆用：由不能推出0<b<a且m>0，需結(jié)合具體場景判斷；3.非線性拓展慎用：糖水不等式僅適用于“分子分母同加正數(shù)”的線性分式，對平方、乘積型分式不直接適用?！镜淅?】十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“”作為等號使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“”和“”符號，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).如糖水在日常生活中經(jīng)常見到，可以說大部分人都喝過糖水.如果克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了，將這一事實(shí)表示為不等式正確的是（

）A． B．C． D．【變式1】已知，則“”是“”的（

）A．充要條件 B．既不充分也不必要條件C．充分不必要條件 D．必要不充分條件【變式2】克糖水中含有克糖，糖的質(zhì)量與糖水的質(zhì)量比為，這個質(zhì)量比決定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假設(shè)全部溶解），生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們糖水會變甜，對應(yīng)的不等式為，這個不等式趣稱為糖水不等式．根據(jù)糖水不等式，下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．【變式3】（多選）生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水會更甜，于是得出“糖水不等式”：.根據(jù)“糖水不等式”等知識判斷，下列命題一定正確的是（

）A．若，，則B．若，且，則C．若，，為三條邊長，則D．若，，為三條邊長，則題型四基本不等式的理解及常見變形解｜題｜技｜巧即調(diào)和平均值幾何平均值算數(shù)平均值平方平均值(注意等號成立的條件)易錯提醒1.忽略“一正”條件：若變量為負(fù)，需先提取負(fù)號轉(zhuǎn)化為正數(shù)2.未構(gòu)造“二定”：直接套公式導(dǎo)致最值錯誤3.多變量等號條件矛盾：多個不等式同時取等時，需確保變量取值一致【典例1】《幾何原本》中的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成為了后世數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù).通過這一原理，很多的代數(shù)公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明，如圖所示的圖形中，在上取一點(diǎn)C，使得，，過點(diǎn)C作交以為直徑的半圓弧于D，連結(jié)，作，垂足為E，由可以直接證明的不等式是（

）.A． B．C． D．【變式1】下列問題中，a，b是不相等的正數(shù)，比較x，y，z的表達(dá)式．下列選項(xiàng)正確的是（

）問題甲：一個直徑a寸的披薩和一個直徑b寸的披薩，面積和等于兩個直徑都是x寸的披薩；問題乙：某人散步，第一圈的速度是a，第二圈的速度是b，這兩圈的平均速度為y；問題丙：將一物體放在兩臂不等長的天平測量，放左邊時右側(cè)砝碼質(zhì)量為a（天平平衡），放右邊時左邊砝碼質(zhì)量為b（天平平衡），物體的實(shí)際質(zhì)量為z．A． B． C． D．【變式2】數(shù)學(xué)里有一種證明方法叫Proofswithoutwords，也稱為無字證明，一般是指僅用圖形語言而無需文字解釋就能不證自明的數(shù)學(xué)命題．由于這種證明方法的特殊性，無字證明被認(rèn)為比嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明更為優(yōu)雅與有條理．如圖，在等腰直角中，為斜邊的中點(diǎn)，是斜邊上異于、的一個動點(diǎn)，設(shè)，，則該圖形可以完成的無字證明是（

）A． B．C． D．【變式3】《幾何原本》中的幾何代數(shù)法研究代數(shù)問題，這種方法是后西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱為無字證明．現(xiàn)有圖形如圖所示，C為線段AB上的點(diǎn)，且AC＝a，BC＝b，O為AB的中點(diǎn)，以AB為直徑作半圓，過點(diǎn)C作AB的垂線交半圓于點(diǎn)D，連接OD，AD，BD，過點(diǎn)C作OD的垂線，垂足為點(diǎn)E，則該圖形可以完成的無字證明為（

）A．≤(a>0，b>0)B．a(chǎn)2＋b2≥2ab(a>0，b>0)C．≥(a>0，b>0)D．≥(a>0，b>0)題型五基本不等式求最值之“常值代換法”解｜題｜技｜巧核心原理“常值代換法”（又稱“1的代換”）是基本不等式求最值的高頻技巧，核心是利用已知的“定值條件”（通常為“1”的等式），對目標(biāo)式進(jìn)行恒等變形，構(gòu)造出可使用基本不等式的“積定”或“和定”形式，進(jìn)而求解最值。1.識別定值條件，鎖定代換核心先從題目中提取“定值等式”，優(yōu)先將其整理為等于1的形式（若為其他定值，可轉(zhuǎn)化為1，2.對目標(biāo)式進(jìn)行“乘1代換”：將目標(biāo)式乘以步驟1中的“1”（即定值等式的變形形式），展開后得到含“分式和”或“整式和”的式子，且展開項(xiàng)中會出現(xiàn)可利用基本不等式的“積為定值”的項(xiàng)。3.應(yīng)用基本不等式求最值：展開后，對符合“一正二定三相等”條件的項(xiàng)，套用基本不等式求出最值。4.驗(yàn)證等號成立條件：聯(lián)立“基本不等式取等條件”和“原始定值條件”，驗(yàn)證變量取值是否為正且一致，確保最值可取得。易錯提醒1.忽略“一正”條件：代換前需確認(rèn)所有變量均為正，若變量有負(fù)區(qū)間需先限定范圍；2.代換后未構(gòu)造出“定值積”：展開后需確保AB為定值，否則無法用基本不等式3.等號條件矛盾：需同時滿足基本不等式取等和原始定值條件，若解得變量為負(fù)或無解，說明不能用此方法，需換用函數(shù)單調(diào)性求解?！镜淅?】已知，滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．【變式1】正數(shù)滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．8【變式2】已知，且，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．3【變式3】已知，且，則的最小值是（

）A．8 B．6 C．4 D．2題型六基本不等式求最值之“換元法”解｜題｜技｜巧核心原理①整體思想②將分式雙換元后，易化成,再分離常數(shù)化簡成可利用基本不等式的結(jié)構(gòu)來求解答案；比如；【典例1】設(shè)正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【典例2】已知正實(shí)數(shù)x,y滿足x+y≤2且x?y>0，則2【變式1】已知正數(shù)a，b，c滿足2a+b+3c=8，則a+b+2cb+c+1A．22 B．3+224 C．3【變式2】設(shè)m，n為正數(shù)，且，則的最小值為.【變式3】已知，，則的最小值.題型七條件等式變形求最值解｜題｜技｜巧核心思路對條件等式和目標(biāo)式同時進(jìn)行拆項(xiàng)、添項(xiàng)、湊系數(shù)，構(gòu)造出基本不等式要求的“和定”或“積定”形式，再用均值不等式求最值。解題步驟1.分析條件等式的結(jié)構(gòu)：判斷是否可轉(zhuǎn)化為“和為定值”或“積為定值”；2.配湊目標(biāo)式：對目標(biāo)式進(jìn)行變形，使其出現(xiàn)與條件等式相關(guān)的“和/積”項(xiàng)；3.套用基本不等式：滿足“一正二定三相等”后，求出最值并驗(yàn)證等號條件易錯提醒1.消元后定義域遺漏：消元時需根據(jù)原變量的約束條件（如正數(shù)、實(shí)數(shù)）確定新變量的范圍，否則會導(dǎo)致最值求解錯誤；2.基本不等式等號條件矛盾：用均值不等式時，需同時滿足“一正二定三相等”，若等號條件與原條件等式無正解，需換用函數(shù)單調(diào)性等方法；3.判別式法忽略二次項(xiàng)系數(shù)：整理一元二次方程時，需討論二次項(xiàng)系數(shù)是否為0，避免漏解（如系數(shù)為0時為一次方程，需單獨(dú)驗(yàn)證是否有解）。【典例1】若正數(shù)、滿足，則的最小值為（）A． B．C． D．【變式1】若正數(shù)滿足，則ab的最小值為（）A．9 B．4 C．3 D．2【變式2】已知，則的最小值是（

）A．1 B．5 C． D．【變式3】已知正數(shù)，，滿足，則的最小值為（

）A．1 B．4 C．8 D．16題型八權(quán)方和不等式與柯西不等式（拓展）解｜題｜技｜巧柯西不等式（1）二元柯西不等式：對于任意的，都有．（2）元柯西不等式：，取等條件：或（）．注意等號取到的條件.權(quán)方和不等式（1）二維形式的權(quán)方和不等式對于任意的，都有．當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．（2）一般形式的權(quán)方和不等式若，，，則，當(dāng)時等號成立【典例1】函數(shù)的最大值為（

）A．1 B． C．2 D．【典例2】已知，且，則的最小值為（

）A．1 B． C．9 D．【變式1】為非零常數(shù)，的最小值為.【變式2】已知正實(shí)數(shù)x、y、z的和為1，則的最小值為．【變式3】已知，，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．題型九利用基本不等式解決恒成立問題解｜題｜技｜巧核心轉(zhuǎn)化邏輯：恒成立不等式f(x)≥k等價于f(x)min≥k；f(x)≤k等價于f(x)max≤k，基本不等式用于快速求f(x)的最值。解題三步法：①分離/鎖定函數(shù)：將不等式整理為參數(shù)與函數(shù)分離的形式，確定需最值的目標(biāo)函數(shù)f(x)②用基本不等式求最值：對f(x)配湊“一正二定三相等”的條件，算出其最小/最大值③建立參數(shù)關(guān)系：根據(jù)恒成立邏輯，將最值與參數(shù)聯(lián)立，解出參數(shù)范圍，同時驗(yàn)證等號條件的有效性。易錯提醒①優(yōu)先分離參數(shù)，避免變量與參數(shù)混雜；配湊“和定/積定”時，可拆項(xiàng)、用常數(shù)代換②若等號條件不滿足定義域，改用函數(shù)單調(diào)性求最值③區(qū)分恒成立方向，勿顛倒“最值與參數(shù)”的不等關(guān)系。【典例1】已知正實(shí)數(shù)x，y滿足時，有恒成立，則的最大值為（

）A．14 B．15 C．16 D．17【變式1】若正實(shí)數(shù)滿足，且恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式2】設(shè)實(shí)數(shù)滿足，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A．12 B．24 C．32 D．48【變式3】已知，，且若關(guān)于，的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．題型十解一元二次不等式（不含參）【典例1】不等式的解集是（

）A． B．C． D．【變式1】不等式的解集為【變式2】不等式的解集是（

）A． B． C． D．【變式3】對于實(shí)數(shù)，規(guī)定表示不大于的最大整數(shù)，例，那么使得不等式成立的的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型十一解一元二次不等式（含參）解｜題｜技｜巧對含參的不等式，應(yīng)對參數(shù)進(jìn)行分類討論，常見的分類有（1）根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)為正、負(fù)及零進(jìn)行分類.（2）根據(jù)判別式Δ與0的關(guān)系判斷根的個數(shù).（3）有兩個根時，有時還需根據(jù)兩根的大小進(jìn)行討論.【典例1】解不等式.【變式1】若，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B．C．或 D．或【變式2】設(shè).(1)若，求不等式的解集；(2)解關(guān)于的不等式.【變式3】已知函數(shù).(1)若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的值；(2)當(dāng)時，（i）解關(guān)于x的不等式；（i）若存在，使得，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.題型十二由一元二次不等式的解求系數(shù)解｜題｜技｜巧核心解題邏輯一元二次不等式的解集與對應(yīng)一元二次方程的根、二次項(xiàng)系數(shù)的符號直接相關(guān)，解題核心是“解集定根，根定系數(shù)”，即先由解集反推對應(yīng)方程的根，再結(jié)合韋達(dá)定理或方程根的定義求解參數(shù)，同時需關(guān)注二次項(xiàng)系數(shù)的符號對解集方向的影響易錯提醒①忽略二次項(xiàng)系數(shù)的符號：直接用根代入方程而不判斷a的正負(fù)，會導(dǎo)致解集方向錯誤；②遺漏判別式條件：當(dāng)解集為全體實(shí)數(shù)或空集時，需同時滿足a的符號和Δ<0，不可只關(guān)注Δ；③混淆“解集端點(diǎn)”與“方程根”的關(guān)系：解集的端點(diǎn)一定是對應(yīng)方程的根，但方程的根不一定是解集的端點(diǎn)（需結(jié)合不等號方向判斷）?！镜淅?】已知不等式的解集為，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【變式1】若不等式的解集為，則（

）A．1 B． C． D．【變式2】（多選）若關(guān)于的不等式的解集為，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．不等式的解集為C． D．函數(shù)在上單調(diào)遞增【變式3】（多選）已知關(guān)于的不等式的解集為或，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．B．不等式的解集是C．D．不等式的解集為或題型十三解分式不等式與高次不等式解｜題｜技｜巧核心原理（1）①②③④（2）高次不等式可用數(shù)軸穿根法求解.【典例1】“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【典例2】解不等式【變式1】解不等式【變式2】關(guān)于的不等式的解集為.【變式3】已知，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．題型十四一元二次不等式的恒成立與有解問題解｜題｜技｜巧核心原理（1）弄清楚自變量、參數(shù).一般情況下，求誰的范圍，誰就是參數(shù).（2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判別式Δ；一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立，不能用判別式Δ，一般分離參數(shù)求最值或分類討論【典例1】已知關(guān)于的不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【變式1】若不等式對一切恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式2】不等式對一切實(shí)數(shù)x都成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式3】已知關(guān)于的不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．題型十四不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用解｜題｜技｜巧核心原理（1）利用基本不等式求解實(shí)際問題時，要根據(jù)實(shí)際問題設(shè)出變量，注意變量應(yīng)滿足實(shí)際意義，抽象出目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式，建立數(shù)學(xué)模型，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值（2）一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用關(guān)鍵是能根據(jù)題意建立出不等關(guān)系，從而根據(jù)實(shí)際求解不等式【典例1】兩次購買同一種物品，不考慮物品價格的升降，有以下兩種方案：甲方案是每次購買這種物品的數(shù)量一定；乙方案是每次購買這種物品所花的錢數(shù)一定.對于以下兩種購物方案的優(yōu)惠程度的說法正確的是（

）A．甲方案更優(yōu)惠 B．乙方案更優(yōu)惠C．甲乙一樣優(yōu)惠 D．無法確定【典例2】據(jù)市場調(diào)查，某超市的某種商品每月的銷售量（單位：百件）與銷售價格（單位：元/件）滿足關(guān)系式，其中.已知該商品的成本為元/件，則該超市每月銷售該商品所獲得利潤的最小值為（

）A．元 B．元 C．元 D．元【典例3】（24-25高一上·江蘇鹽城·期中）某主播在直播平臺上銷售一款成本為每件24元的商品.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量（件）與銷售單價（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示.(1)求該商品每天的銷售量與銷售單價之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若該主播按單價不低于成本價，且不高于50元銷售，則銷售單價定為多少元時利潤最大？最大利潤是多少？(3)若該主播要使銷售該商品每天獲得的利潤不低于1280元，則每天的銷售量最少應(yīng)為多少件？【變式1】據(jù)市場調(diào)查，某超市的某種商品每月的銷售量（單位：百件）與銷售價格（單位：元／件）滿足關(guān)系式，其中．已知該商品的成本為10元／件，則該超市每月銷售該商品所獲得利潤的最小值為元．【變式2】“谷子”經(jīng)濟(jì)發(fā)展越來越快，某公司要生產(chǎn)1000個玩偶，已知該公司每小時生產(chǎn)玩偶數(shù)量固定，且每小時的生產(chǎn)成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成，可變部分與生產(chǎn)速度x（個∕時）的平方成正比，比例系數(shù)為0.2，固定部分為720元，為使全程生產(chǎn)成本最低，該公司的生產(chǎn)速度是個∕時．【變式3】某市對新建住宅的屋頂和外墻都要求建造隔熱層．某建筑物準(zhǔn)備建造可以使用30年的隔熱層，據(jù)當(dāng)年的物價，每厘米厚的隔熱層的建造成本是9萬元．根據(jù)建筑公司的前期研究得到，該建筑物30年間每年的能源消耗費(fèi)用（單位：萬元）與隔熱層的厚度（單位：厘米）滿足關(guān)系：．經(jīng)測算知道，如果不建造隔熱層，那么30年間每年的能源消耗費(fèi)用為10萬元．設(shè)為隔熱層的建造費(fèi)用與30年間的能源消耗費(fèi)用的總和，則的最小值是萬元．1．（24-25高一上·江蘇南通·期末）若a＞b，c＞d，則（

）A． B．a(chǎn)－c＞b－dC．a(chǎn)－d＞b－c D．a(chǎn)c＞bd2．（24-25高一上·江蘇連云港·期末）不等式的解集為（

）A． B．或C． D．3．（24-25高一上·江蘇無錫·期末）以下命題中是不等式“”成立的充分不必要條件的是（

）A． B． C．且 D．4．（24-25高一上·江蘇·期末）若正數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．5．（24-25高一上·江蘇南通·期末）用總長為的籬笆圍成一塊矩形菜地，其中一邊空出的缺口作為進(jìn)出通道.若要使菜地的面積最大，則有缺口的一邊的籬笆長為（

）A． B． C． D．6．（24-25高一上·江蘇無錫·期末）已知正數(shù)滿足，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．7．（多選）（24-25高一上·江蘇蘇州·期末）若，，則（

）A． B． C． D．8．（多選）（24-25高一上·江蘇鹽城·期末）已知關(guān)于的不等式的解集為，則（

）A． B．C．不等式的解集為 D．不等式的解集為9．（24-25高一上·江蘇連云港·期末）若，，且，則的最小值為.10．（24-25高一上·江蘇·月期末）已知方程的一個實(shí)根小于2，另一個實(shí)根大于2，求實(shí)數(shù)的取值范圍.11．（24-25高一上·江蘇宿遷·期末）已知不等式的解集為．(1)求的值；(2)若不等式對于均成立，求實(shí)數(shù)取值范圍．12．（24-25高一上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）（1）已知，且，求的最小值；（2）已知，證明：.期末重難突破練（測試時間：20分鐘）1．（24-25高一上·江蘇宿遷·期末）設(shè)a，b，c為實(shí)數(shù)，不等式的解集是或，則的最大值為（

）A． B． C． D．2．（24-25高一上·江蘇·期末）“”是“對任意恒成立”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件3．（24-25高一上·江蘇鹽城·期末）若，且，則的最小值為（

）．A． B． C． D．4．（多選）（24-25高一上·江蘇淮安·期末）下列說法正確的有（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則5．（多選）（24-25高一上·江蘇無錫·期末）已知x，y，z為正實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則6．（24-25高一上·江蘇南通·期末）若正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值．7．（24-25高一上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）如圖，互相垂直的兩條小路AM，AN旁有一長方形花壇ABCD，其中.現(xiàn)欲經(jīng)過點(diǎn)修一條直路l，l交小路AM，AN分別為點(diǎn)P，Q.計(jì)劃準(zhǔn)備將長方形花壇ABCD擴(kuò)建成一個更大的三角形花壇APQ.要求AP的長不小于40m且不大于90m.記三角形花園APQ的面積為(1)設(shè)，試用表示AP，并求的取值范圍；(2)當(dāng)DQ的長度是多少時，取最小值？最小值是多少？8．（24-25高一上·江蘇蘇州·期末）已知二次函數(shù)滿足.(1)求的解析式.(2)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.(3)記.①當(dāng)?shù)亩x域?yàn)闀r，值域?yàn)?，求?shí)數(shù)c的取值范圍；②若，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，求的表達(dá)式.

專題02不等式與基本不等式（期末復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律作差法比大小與不等式的基本性質(zhì)回顧利用作差法比大小以及掌握依據(jù)不等式性質(zhì)進(jìn)行簡單的數(shù)值比較和不等式推導(dǎo)基礎(chǔ)考點(diǎn)，常出現(xiàn)在選擇題，填空題基本不等式的推導(dǎo)與最值定理回顧基本不等式的推導(dǎo)，理解其幾何意義，掌握最值定理的使用要求基礎(chǔ)考點(diǎn)，常出現(xiàn)在選擇題，填空題基本不等式求最值的常用方法回顧“配湊法”“換元法”““1”的代換法”等方法在基本不等式中的應(yīng)用重難必考點(diǎn)，常出現(xiàn)選擇題，填空題，解答題基本不等式的情境應(yīng)用能熟練根據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)模型，并利用基本不等式求解最值重要考點(diǎn)，常出現(xiàn)在解答題一元二次不等式的解法回顧一元二次不等式與方程和函數(shù)之間的聯(lián)系，能熟練運(yùn)用“化正→求根→畫圖→寫解集”的步驟求解基礎(chǔ)考點(diǎn)，常出現(xiàn)在選擇題，填空題含參一元二次不等式的解法能根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)、判別式Δ、根的大小進(jìn)行分類討論重要考點(diǎn)，常出現(xiàn)在選擇題，填空題分式不等式的解法回顧分式不等式與一元二次不等式間的轉(zhuǎn)化規(guī)則，能熟練通過移項(xiàng)、通分化為商的形式，再利用符號法則轉(zhuǎn)化為整式不等式組求解基礎(chǔ)考點(diǎn)，常出現(xiàn)選擇題，填空題，解答題不等式的恒成立與有解問題能準(zhǔn)確將“恒成立”與“有解”問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，并求解參數(shù)范圍重難必考點(diǎn)，常出現(xiàn)在選擇題，填空題，解答題知識點(diǎn)01作差法比較大小作差法的依據(jù)：①；②；③步驟：(1)作差；(2)變形；（目的：便于判定差的符號，常用的方法：因式分解、配方、通分、分子有理化等）(3)定號；（當(dāng)差的符號不確定時，一般需要分類討論）(4)下結(jié)論。（根據(jù)當(dāng)差的正負(fù)與實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)下結(jié)論）知識點(diǎn)02不等式的性質(zhì)性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意1對稱性a>b?b<a?2傳遞性a>b，b>c?a>c不可逆3可加性a>b?a＋c>b＋c可逆4可乘性a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac<bcc的符號5同向可加性a>b，c>d?a＋c>b＋d同向6同向同正可乘性a>b>0，c>d>0?ac>bd同向7可乘方性a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)同正知識點(diǎn)03基本不等式（1）重要不等式①若任意，則 當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立②公式變形：.當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立（2）基本不等式①如果，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立。其中，叫作正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，作正數(shù)的幾何平均數(shù)。因此基本不等式也可以敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。②變形公式：③用基本不等式求最值時，要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”④重要不等式串：即調(diào)和平均值幾何平均值算數(shù)平均值平方平均值(注意等號成立的條件)知識點(diǎn)04最值定理①如果(定值)，則(當(dāng)且僅當(dāng)“”時取“=”).即“和為定值，積有最大值”.②如果(定值)，則(當(dāng)且僅當(dāng)“”時取“=”).即積為定值，和有最小值”.知識點(diǎn)05糖水不等式、權(quán)方和不等式與柯西不等式1、若,則一定有通俗的理解:就是克的不飽和糖水里含有克糖,往糖水里面加入克糖,則糖水更甜2、二維形式的柯西不等式（，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）3、若則當(dāng)且僅當(dāng)時取等.(注：熟練掌握柯西不等式與權(quán)方和不等式的初級應(yīng)用，足以解決考試中的這類型最值問題的秒殺)知識點(diǎn)06解一元二次不等式判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩相異實(shí)根x1，x2(x1<x2)有兩相等實(shí)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a))))){x|x∈R}ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??知識點(diǎn)07解分式不等式與絕對值不等式1、分式不等式的解法①②③④2、絕對值不等式的解法①②；；③含有兩個或兩個以上絕對值符號的不等式，可用零點(diǎn)分段法和圖象法求解知識點(diǎn)08高次不等式的解法核心解法：數(shù)軸穿根法（序軸標(biāo)根法）步驟1：求根并標(biāo)在數(shù)軸上步驟2：“穿針引線”定區(qū)間符號①從數(shù)軸最右側(cè)上方開始，按照“奇穿偶回”的原則畫曲線：②“奇穿”：若因式的次數(shù)為奇數(shù)（如一次因式），曲線穿過該根對應(yīng)的點(diǎn)；③“偶回”：若因式的次數(shù)為偶數(shù)（如(x?1)2），曲線接觸該根對應(yīng)的點(diǎn)后返回，不穿過數(shù)軸步驟3：根據(jù)不等號確定解集知識點(diǎn)09不等式恒成立問題1．一元二次不等式恒成立問題(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集為R)時，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ<0))；(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集為R)時，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ≤0))；(3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集為R)時，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ<0))；(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集為R)時，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ≤0)).（5）)對于ax2＋bx＋c>0不等式恒成立時，最高次數(shù)的系數(shù)含參要考慮為零情況。2．區(qū)間恒成立問題.函數(shù)在某區(qū)間恒成立時，若能夠分離參數(shù)成k<f(x)或k>f(x)形式．則可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域求解．設(shè)f(x)的最大值為M，最小值為m.(1)k<f(x)恒成立?k<m，k≤f(x)恒成立?k≤m.(2)k>f(x)恒成立?k>M，k≥f(x)恒成立?k≥M.題型一不等式比大小解｜題｜技｜巧比較大小的常用方法（1）作差法：①作差；②變形；③定號；④得出結(jié)論.（2）作商法：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關(guān)系；④得出結(jié)論.（3）構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.（4）取特值，舉反例.【典例1】下列命題是真命題的是（

）A．若，則. B．若，則C．若，則 D．若，，則【答案】D【分析】舉例說明判斷ABC；作差推理判斷D.【詳解】對于A，取，則，，此時，A錯誤；對于B，取，則，，此時，B錯誤；對于C，取，則，C錯誤；對于D，由，得，，因此，即，D正確.故選：D【變式1】（多選）已知，，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】由作差法結(jié)合題意可判斷各選項(xiàng)正誤；【詳解】由，，對于，由，所以A正確；對于B，由，所以B錯誤；對于C，由，因?yàn)榈姆柌淮_定，則與的大小無法確定，所以C錯誤；對于中，因?yàn)?，又，所以，故，即，所以D正確．故選：AD【變式2】（多選）若，則下列說法不一定正確的是（

）A． B．C． D．若，則【答案】AD【分析】A、D應(yīng)用特殊值判斷即可；B由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷；C由不等式性質(zhì)判斷.【詳解】A：當(dāng)時；當(dāng)時；不一定正確；B：由，則，一定正確；C：由，則，故一定正確；D：當(dāng)時；當(dāng)時；不一定正確.故選：AD【變式3】從下列三組式子中選擇一組比較大小：①設(shè)，比較的大小；②設(shè)，比較的大??；③設(shè)，比較的大小.注：如果選擇多組分別解答，按第一個解答計(jì)分.【答案】①；②；③；【分析】①利用有理根式可得，再由即可得的大小關(guān)系；②用作差法比較即可；③用作差法或作商法比較即可.【詳解】解：①，因?yàn)?，所以，即?②，.③方法一（作差法），因?yàn)?，所以，所以，所?..方法二（作商法）因?yàn)?，所以，所以，所?.題型二利用不等式性質(zhì)求解不等式范圍解｜題｜技｜巧核心解題原則利用不等式性質(zhì)求范圍的核心是遵循性質(zhì)的約束條件，避免因“隨意變形”導(dǎo)致范圍擴(kuò)大或縮小，關(guān)鍵是保持變形的等價性，優(yōu)先采用“待定系數(shù)法”或“線性組合”的方法?；拘再|(zhì)直接變形法適用于簡單的單變量或雙變量不等式，需嚴(yán)格遵循不等式的基本性質(zhì)：性質(zhì)1（傳遞性）：若a>b且b>c，則a>c，可用于連不等式的范圍推導(dǎo)；性質(zhì)2（加減性質(zhì)）：不等式兩邊同時加/減同一數(shù)（或式），不等號方向不變性質(zhì)3（乘除正數(shù)）：兩邊同時乘/除同一正數(shù)，不等號方向不變性質(zhì)4（乘除負(fù)數(shù)）：兩邊同時乘/除同一負(fù)數(shù)，不等號方向改變性質(zhì)5（同向可加）：若a>b,c>d，則a+c>b+d（僅可加不可直接減）性質(zhì)6（同向同正可乘）：若a>b>0,c>d>0，則ac>bd（負(fù)數(shù)不可直接乘）。待定系數(shù)法：適用于雙變量或多變量的線性組合范圍（如求ax+by的范圍），避免分步變形導(dǎo)致范圍偏差：①設(shè)目標(biāo)式（如m=2x+y）為已知不等式的線性組合，即m=p(x+y)+q(x-y)；②聯(lián)立系數(shù)求出p,q的值；③利用不等式同向可加性，分別求出p(x+y)和\q(x-y)的范圍，再相加得目標(biāo)式范圍。端點(diǎn)驗(yàn)證法：用于檢驗(yàn)所求范圍是否準(zhǔn)確，尤其是分步變形后：取已知不等式的端點(diǎn)值，代入目標(biāo)式計(jì)算，判斷目標(biāo)式的最值是否能取到，排除因“不當(dāng)變形”擴(kuò)大的范圍。易錯提醒1.禁止“同向相減/異向相乘”：不等式無“同向相減”“異向相乘”的性質(zhì)，強(qiáng)行操作會導(dǎo)致范圍錯誤2.乘除需判斷符號：對不等式兩邊乘除含參數(shù)的式子時，必須分“正數(shù)/負(fù)數(shù)/0”討論，避免漏解3.非線性式慎用性質(zhì)：求xy、x2等非線性式范圍時，不能直接用線性性質(zhì)，需結(jié)合函數(shù)單調(diào)性【典例1】已知，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，，則，即的取值范圍是.故選：C.【變式1】已知實(shí)數(shù)x，y滿足，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求得，再根據(jù)題中條件即可求得范圍.【詳解】設(shè)，則，所以，又，，則，所以，故選：【變式2】（多選）已知，，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)不等性質(zhì)分別判斷各選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)：由，，得，A選項(xiàng)錯誤；B選項(xiàng)：由，得，而，故，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：由，，得，故，C選項(xiàng)錯誤；對于D，由，得，而，則，D選項(xiàng)正確；故選：BD．【變式3】已知，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．的取值范圍為 B．的取值范圍為C．的取值范圍為 D．取值范圍為【答案】D【分析】根據(jù)的取值范圍，可得到以及的取值范圍，然后相加相乘即可得解.【詳解】對于A，因?yàn)?，所以，即，所以的取值范圍為，故A正確，不符合題意；對于B，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，即，所以的取值范圍為，故B正確，不符合題意；對于C，因?yàn)?，則，所以，則，所以的取值范圍為，故C正確，不符合題意；對于D，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)椋?，則，所以取值范圍為，故D錯誤，符合題意；故選：D.題型三糖水不等式及其應(yīng)用（跨章節(jié)）解｜題｜技｜巧若,則一定有通俗的理解:就是克的不飽和糖水里含有克糖,往糖水里面加入克糖,則糖水更甜易錯提醒1.條件限制：必須滿足0<b<a且m>0，若a<b或m<0，不等式方向會反轉(zhuǎn)，需先驗(yàn)證條件；2.不可逆用：由不能推出0<b<a且m>0，需結(jié)合具體場景判斷；3.非線性拓展慎用：糖水不等式僅適用于“分子分母同加正數(shù)”的線性分式，對平方、乘積型分式不直接適用?！镜淅?】十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“”作為等號使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“”和“”符號，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).如糖水在日常生活中經(jīng)常見到，可以說大部分人都喝過糖水.如果克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了，將這一事實(shí)表示為不等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)加糖前后糖水濃度的變化即可得答案.【詳解】解：由題意可知，加入克糖（）后糖水變甜了，即糖水的濃度增加了，加糖之前，糖水的濃度為：；加糖之后，糖水的濃度為：；所以.故選：A.【變式1】已知，則“”是“”的（

）A．充要條件 B．既不充分也不必要條件C．充分不必要條件 D．必要不充分條件【答案】D【分析】利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合不等式的性質(zhì)判斷得解.【詳解】若，，則，則，反之，若，則，又，所以，即，此時不一定成立，比如，此時，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：D【變式2】克糖水中含有克糖，糖的質(zhì)量與糖水的質(zhì)量比為，這個質(zhì)量比決定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假設(shè)全部溶解），生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們糖水會變甜，對應(yīng)的不等式為，這個不等式趣稱為糖水不等式．根據(jù)糖水不等式，下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定的信息，利用不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即得.【詳解】對于A，，，A錯誤；對于B，，，則，B錯誤.對于C，由，得，C正確；對于D，，D錯誤；故選：C【變式3】（多選）生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水會更甜，于是得出“糖水不等式”：.根據(jù)“糖水不等式”等知識判斷，下列命題一定正確的是（

）A．若，，則B．若，且，則C．若，，為三條邊長，則D．若，，為三條邊長，則【答案】ACD【分析】對A，利用作差法比較；對B，舉反例說明；對CD，根據(jù)糖水不等式可依次判斷.【詳解】對于A，，，即，故A正確；對于B，當(dāng)，時，，，故B錯誤；對于C，由題，，則，，又，所以，故C正確；對于D，，，，，故D正確.故選：ACD.題型四基本不等式的理解及常見變形解｜題｜技｜巧即調(diào)和平均值幾何平均值算數(shù)平均值平方平均值(注意等號成立的條件)易錯提醒1.忽略“一正”條件：若變量為負(fù)，需先提取負(fù)號轉(zhuǎn)化為正數(shù)2.未構(gòu)造“二定”：直接套公式導(dǎo)致最值錯誤3.多變量等號條件矛盾：多個不等式同時取等時，需確保變量取值一致【典例1】《幾何原本》中的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成為了后世數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù).通過這一原理，很多的代數(shù)公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明，如圖所示的圖形中，在上取一點(diǎn)C，使得，，過點(diǎn)C作交以為直徑的半圓弧于D，連結(jié)，作，垂足為E，由可以直接證明的不等式是（

）.A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)、射影定理求出CD和DE的長度，利用即可得到答案..【詳解】連接DB，因?yàn)锳B是圓O的直徑，所以，所以在中，中線，由射影定理可得，所以.在中，由射影定理可得，即，由得，故選：D【變式1】下列問題中，a，b是不相等的正數(shù)，比較x，y，z的表達(dá)式．下列選項(xiàng)正確的是（

）問題甲：一個直徑a寸的披薩和一個直徑b寸的披薩，面積和等于兩個直徑都是x寸的披薩；問題乙：某人散步，第一圈的速度是a，第二圈的速度是b，這兩圈的平均速度為y；問題丙：將一物體放在兩臂不等長的天平測量，放左邊時右側(cè)砝碼質(zhì)量為a（天平平衡），放右邊時左邊砝碼質(zhì)量為b（天平平衡），物體的實(shí)際質(zhì)量為z．A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)條件分別列出x，y，z與a，b的關(guān)系，再根據(jù)基本不等式比較大小，得到答案.【詳解】由問題甲，結(jié)合圓的面積公式可得，有，即，由問題乙，設(shè)每圈的長度為，則，整理為可得，由問題丙，設(shè)天平左邊的杠桿長為m，右邊的杠桿長為n，則，可得，即，因?yàn)?、是不相等的正?shù)，則有，可得，根據(jù)重要不等式可知，得，則有，所以.故選：B．【變式2】數(shù)學(xué)里有一種證明方法叫Proofswithoutwords，也稱為無字證明，一般是指僅用圖形語言而無需文字解釋就能不證自明的數(shù)學(xué)命題．由于這種證明方法的特殊性，無字證明被認(rèn)為比嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明更為優(yōu)雅與有條理．如圖，在等腰直角中，為斜邊的中點(diǎn)，是斜邊上異于、的一個動點(diǎn)，設(shè)，，則該圖形可以完成的無字證明是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，且，即可得答案.【詳解】由題設(shè)，且，其中，或，且，由圖知，即.故選：A【變式3】《幾何原本》中的幾何代數(shù)法研究代數(shù)問題，這種方法是后西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱為無字證明．現(xiàn)有圖形如圖所示，C為線段AB上的點(diǎn)，且AC＝a，BC＝b，O為AB的中點(diǎn)，以AB為直徑作半圓，過點(diǎn)C作AB的垂線交半圓于點(diǎn)D，連接OD，AD，BD，過點(diǎn)C作OD的垂線，垂足為點(diǎn)E，則該圖形可以完成的無字證明為（

）A．≤(a>0，b>0)B．a(chǎn)2＋b2≥2ab(a>0，b>0)C．≥(a>0，b>0)D．≥(a>0，b>0)【答案】C【分析】先明確的幾何意義，即在圖中相對應(yīng)的線段，根據(jù)直角三角形的相似可得相應(yīng)的比例式，結(jié)合不等關(guān)系，即可證明選項(xiàng)；由于在該圖中沒有相應(yīng)的線段與之對應(yīng)，可判斷選項(xiàng).【詳解】由題意可知，由可知，即，所以；在中，，即當(dāng)時，點(diǎn)重合，，此時，所以錯誤；在中，可得即，所以，由于，所以，當(dāng)時，,此時，所以正確；由于在該圖中沒有相應(yīng)的線段與之對應(yīng)，故中的不等式無法通過這種幾何方法來證明，故選：C.題型五基本不等式求最值之“常值代換法”解｜題｜技｜巧核心原理“常值代換法”（又稱“1的代換”）是基本不等式求最值的高頻技巧，核心是利用已知的“定值條件”（通常為“1”的等式），對目標(biāo)式進(jìn)行恒等變形，構(gòu)造出可使用基本不等式的“積定”或“和定”形式，進(jìn)而求解最值。1.識別定值條件，鎖定代換核心先從題目中提取“定值等式”，優(yōu)先將其整理為等于1的形式（若為其他定值，可轉(zhuǎn)化為1，2.對目標(biāo)式進(jìn)行“乘1代換”：將目標(biāo)式乘以步驟1中的“1”（即定值等式的變形形式），展開后得到含“分式和”或“整式和”的式子，且展開項(xiàng)中會出現(xiàn)可利用基本不等式的“積為定值”的項(xiàng)。3.應(yīng)用基本不等式求最值：展開后，對符合“一正二定三相等”條件的項(xiàng)，套用基本不等式求出最值。4.驗(yàn)證等號成立條件：聯(lián)立“基本不等式取等條件”和“原始定值條件”，驗(yàn)證變量取值是否為正且一致，確保最值可取得。易錯提醒1.忽略“一正”條件：代換前需確認(rèn)所有變量均為正，若變量有負(fù)區(qū)間需先限定范圍；2.代換后未構(gòu)造出“定值積”：展開后需確保AB為定值，否則無法用基本不等式3.等號條件矛盾：需同時滿足基本不等式取等和原始定值條件，若解得變量為負(fù)或無解，說明不能用此方法，需換用函數(shù)單調(diào)性求解?！镜淅?】已知，滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)基本不等式“”的代換可得最值.【詳解】由，，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，則的最小值是3.故選：B.【變式1】正數(shù)滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．8【答案】A【分析】應(yīng)用常數(shù)代換結(jié)合基本不等式計(jì)算求解最小值.【詳解】正數(shù)滿足，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時取等號，即的最小值是.故選：A.【變式2】已知，且，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．3【答案】D【分析】可利用配湊法與“1的妙用”，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解.【詳解】由題可知，，又因?yàn)?則,當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立.因此的最小值為4，故的最小值為3.故選：D.【變式3】已知，且，則的最小值是（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【分析】首先利用對數(shù)運(yùn)算求得，再利用“1”的妙用，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由得，所以，所以，即．因?yàn)?，所以?dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.故選：C題型六基本不等式求最值之“換元法”解｜題｜技｜巧將分式雙換元后，易化成,再分離常數(shù)化簡成可利用基本不等式的結(jié)構(gòu)來求解答案；比如；【典例1】設(shè)正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可得出，利用基本不等式可得出的最小值.【詳解】設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即，時，等號成立．故選：B．【典例2】已知正實(shí)數(shù)x,y滿足x+y≤2且x?y>0，則2【答案】3+2【詳解】設(shè)x+3y=mx?y=n，則2x+2y=m+n≤42當(dāng)且僅當(dāng)n2m=m4n且m+n=4，即故答案為：3+2【變式1】已知正數(shù)a，b，c滿足2a+b+3c=8，則a+b+2cb+c+1A．22 B．3+224 C．3【答案】D【詳解】正數(shù)a，b，c滿足2a+b+3c=8，故2a+c令a+c=m,b+c=n，故2m+n=8，m>0,n>0，a+b+2c=8?n4n當(dāng)且僅當(dāng)8mn=nm，即故a+b+2cb+c故選：D【變式2】設(shè)m，n為正數(shù)，且，則的最小值為.【答案】【分析】令，則，可化為，利用基本不等式可求的最小值，從而可得所求的最小值.【詳解】令，則，且，，又，而，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最小值為.故答案為：.【變式3】已知，，則的最小值.【答案】20【分析】設(shè)，利用表示，利用得到，再變形得到，利用基本不等式求出最小值.【解析】令，則，去分母化簡得：，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．故答案為：20題型七條件等式變形求最值解｜題｜技｜巧核心思路對條件等式和目標(biāo)式同時進(jìn)行拆項(xiàng)、添項(xiàng)、湊系數(shù)，構(gòu)造出基本不等式要求的“和定”或“積定”形式，再用均值不等式求最值。解題步驟1.分析條件等式的結(jié)構(gòu)：判斷是否可轉(zhuǎn)化為“和為定值”或“積為定值”；2.配湊目標(biāo)式：對目標(biāo)式進(jìn)行變形，使其出現(xiàn)與條件等式相關(guān)的“和/積”項(xiàng)；3.套用基本不等式：滿足“一正二定三相等”后，求出最值并驗(yàn)證等號條件易錯提醒1.消元后定義域遺漏：消元時需根據(jù)原變量的約束條件（如正數(shù)、實(shí)數(shù)）確定新變量的范圍，否則會導(dǎo)致最值求解錯誤；2.基本不等式等號條件矛盾：用均值不等式時，需同時滿足“一正二定三相等”，若等號條件與原條件等式無正解，需換用函數(shù)單調(diào)性等方法；3.判別式法忽略二次項(xiàng)系數(shù)：整理一元二次方程時，需討論二次項(xiàng)系數(shù)是否為0，避免漏解（如系數(shù)為0時為一次方程，需單獨(dú)驗(yàn)證是否有解）?！镜淅?】若正數(shù)、滿足，則的最小值為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由已知等式得出，求得，化簡得出，結(jié)合基本不等式可求得其最小值.【詳解】由可得，因?yàn)椋?，由可得，故，且，?當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，故的最小值為.故選：D.【變式1】若正數(shù)滿足，則ab的最小值為（）A．9 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】由得到，直接利用基本不等式求解即可.【詳解】，，，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即，解得，的最小值為9.故選：A.【變式2】已知，則的最小值是（

）A．1 B．5 C． D．【答案】A【分析】由基本不等式得，結(jié)合條件求解.【詳解】由，，得，又，即，令，上式為，解得或（舍去），，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以得最小值為1.故選：A.【變式3】已知正數(shù)，，滿足，則的最小值為（

）A．1 B．4 C．8 D．16【答案】D【分析】首先可得，則，從而得到，再由基本不等式求出的最大值，最后利用基本不等式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，又，，為正?shù)，所以，所以；所以，由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，取最小值.所以的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)，，時取等號.故選：D.題型八權(quán)方和不等式與柯西不等式（拓展）解｜題｜技｜巧柯西不等式（1）二元柯西不等式：對于任意的，都有．（2）元柯西不等式：，取等條件：或（）．注意等號取到的條件.權(quán)方和不等式（1）二維形式的權(quán)方和不等式對于任意的，都有．當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．（2）一般形式的權(quán)方和不等式若，，，則，當(dāng)時等號成立【典例1】函數(shù)的最大值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【詳解】，由，解得，當(dāng)時，，當(dāng)，，當(dāng)，則，此時且，由柯西不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時，即，所以函數(shù)的最大值為2.故選：C.【典例2】已知，且，則的最小值為（

）A．1 B． C．9 D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以由?quán)方和不等式可得當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．【變式1】為非零常數(shù)，的最小值為.【答案】【詳解】由柯西不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時，等號成立.【變式2】已知正實(shí)數(shù)x、y、z的和為1，則的最小值為．【答案】【分析】利用不等式構(gòu)造定值求解即可.【詳解】（柯西不等式）∵x，y，，，∴，則．當(dāng)且僅當(dāng)時取等號【變式3】已知，，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由可得，即.由可知，所以.由，可得，由柯西不等式得，所以，當(dāng)即時，取等號.所以的最大值為.故選：C.題型九利用基本不等式解決恒成立問題解｜題｜技｜巧核心轉(zhuǎn)化邏輯：恒成立不等式f(x)≥k等價于f(x)min≥k；f(x)≤k等價于f(x)max≤k，基本不等式用于快速求f(x)的最值。解題三步法：①分離/鎖定函數(shù)：將不等式整理為參數(shù)與函數(shù)分離的形式，確定需最值的目標(biāo)函數(shù)f(x)②用基本不等式求最值：對f(x)配湊“一正二定三相等”的條件，算出其最小/最大值③建立參數(shù)關(guān)系：根據(jù)恒成立邏輯，將最值與參數(shù)聯(lián)立，解出參數(shù)范圍，同時驗(yàn)證等號條件的有效性。易錯提醒①優(yōu)先分離參數(shù)，避免變量與參數(shù)混雜；配湊“和定/積定”時，可拆項(xiàng)、用常數(shù)代換②若等號條件不滿足定義域，改用函數(shù)單調(diào)性求最值③區(qū)分恒成立方向，勿顛倒“最值與參數(shù)”的不等關(guān)系?！镜淅?】已知正實(shí)數(shù)x，y滿足時，有恒成立，則的最大值為（

）A．14 B．15 C．16 D．17【答案】C【分析】將問題轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而根據(jù)基本不等式求的最小值即可得答案.【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)x，y滿足，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即時，等號成立，因?yàn)檎龑?shí)數(shù)x，y滿足時，有恒成立，所以，即，所以，的最大值為.故選：C【變式1】若正實(shí)數(shù)滿足，且恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意可得，再由乘1法和基本不等式可得最小值，由二次不等式的解法可得所求范圍．【詳解】正實(shí)數(shù)滿足，所以，由恒成立，可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時上式取等號，則，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：B.【變式2】設(shè)實(shí)數(shù)滿足，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A．12 B．24 C．32 D．48【答案】B【分析】原不等式可轉(zhuǎn)化為，利用均值不等式求最小值即可.【詳解】由，變形可得，，令，，則轉(zhuǎn)化為，即，其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，所以不等式恒成立，只需.故選：B【變式3】已知，，且若關(guān)于，的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先對不等式進(jìn)行變形，然后利用已知條件，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，再通過均值不等式求函數(shù)的最值來確定實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】令，則代入得，將代入原不等式，得，兩邊同時除以，得，把代入，得，即，由均值不等式可得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，，恒成立，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：.題型十解一元二次不等式（不含參）【典例1】不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求解一元二次不等式，判斷.【詳解】由，得，所以不等式的解集為.故選：A.【變式1】不等式的解集為【答案】；【分析】（1）利用配方法即可求解；【詳解】，即，解得，則其解集為.【變式2】不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用一元二次不等式的求解方法判斷即得.【詳解】不等式化為：，而，所以的不等式無解，即解集為.故選：B【變式3】對于實(shí)數(shù)，規(guī)定表示不大于的最大整數(shù)，例，那么使得不等式成立的的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由不等式解得的范圍，然后根據(jù)的定義求出的范圍．【詳解】由題得，即，解得，則．故選：D．題型十一解一元二次不等式（含參）解｜題｜技｜巧對含參的不等式，應(yīng)對參數(shù)進(jìn)行分類討論，常見的分類有（1）根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)為正、負(fù)及零進(jìn)行分類.（2）根據(jù)判別式Δ與0的關(guān)系判斷根的個數(shù).（3）有兩個根時，有時還需根據(jù)兩根的大小進(jìn)行討論.【典例1】解不等式.【答案】見詳解【分析】由不等式的性質(zhì)化簡，然后由相應(yīng)二次方程根的大小得出不等式的解．【詳解】當(dāng)時，原不等式可化為，解集為，當(dāng)時，原不等式可化為，解集為，當(dāng)時，原不等式可化為，當(dāng)，即時，解集為；當(dāng)，即時，解集為；當(dāng)，即時，解集為．綜上所述：當(dāng)時，解集為，當(dāng)時，解集為，當(dāng)時，解集為，當(dāng)時，解集為，當(dāng)時，解集為．【變式1】若，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】由不等式的性質(zhì)化簡，然后由相應(yīng)二次方程根的大小得出不等式的解．【詳解】因?yàn)?，，所以，又不等式對?yīng)方程的根為：，且，所以不等式的解為或，故選：C．【變式2】設(shè).(1)若，求不等式的解集；(2)解關(guān)于的不等式.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）當(dāng)時，直接利用二次不等式的解法額可得出原不等式的解集；（2）將所求不等式變形為，對實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，利用二次不等式和一次不等式的解法可得出原不等式的解集.【詳解】（1）若，則由，解得，所以不等式的解集為.（2）不等式，即，當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，則，解原不等式可得；當(dāng)時，，解原不等式可得或；當(dāng)時，原不等式即為，即恒成立；當(dāng)時，，解原不等式可得或.綜上所述，當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為.【變式3】已知函數(shù).(1)若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的值；(2)當(dāng)時，（i）解關(guān)于x的不等式；（i）若存在，使得，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)(2)（i）答案見解析；（ii）【分析】（1）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為得到和是方程的兩個實(shí)數(shù)根據(jù)，列出方程組，即可求解；（2）（i）由，求得，把不等式，轉(zhuǎn)化為，分類討論，即可求得不等式的解集；（ii）由（i）中不等式的解集，結(jié)合存在，使得，分類討論，即可求解.【詳解】（1）解：由函數(shù)，因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，可得和是方程的兩個實(shí)數(shù)根據(jù)，則，解得.（2）解：（i）由函數(shù)，因?yàn)?，可得，即，所以，由不等式，即，?dāng)時，即時，解得或；當(dāng)時，即時，即為解得；當(dāng)時，即時，解得或，綜上可得，當(dāng)時，不等式解集為；當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為.（ii）由（i）知，當(dāng)時，不等式解集為，若存在，使得，則滿足，解得；當(dāng)時，不等式的解集為，此時不存在，使得；當(dāng)時，不等式的解集為，此時不存在，使得，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.題型十二由一元二次不等式的解求系數(shù)解｜題｜技｜巧核心解題邏輯一元二次不等式的解集與對應(yīng)一元二次方程的根、二次項(xiàng)系數(shù)的符號直接相關(guān)，解題核心是“解集定根，根定系數(shù)”，即先由解集反推對應(yīng)方程的根，再結(jié)合韋達(dá)定理或方程根的定義求解參數(shù)，同時需關(guān)注二次項(xiàng)系數(shù)的符號對解集方向的影響易錯提醒①忽略二次項(xiàng)系數(shù)的符號：直接用根代入方程而不判斷a的正負(fù)，會導(dǎo)致解集方向錯誤；②遺漏判別式條件：當(dāng)解集為全體實(shí)數(shù)或空集時，需同時滿足a的符號和Δ<0，不可只關(guān)注Δ；③混淆“解集端點(diǎn)”與“方程根”的關(guān)系：解集的端點(diǎn)一定是對應(yīng)方程的根，但方程的根不一定是解集的端點(diǎn)（需結(jié)合不等號方向判斷）?！镜淅?】已知不等式的解集為，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法，求得a，c值，代入所求，即可求得答案.【詳解】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所以，解得，則所求的解為.故選：A【變式1】若不等式的解集為，則（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得，是方程的兩個根，且，利用韋達(dá)定理運(yùn)算求解.【詳解】由題意知，是方程的兩個根，且，則，解得，所以.故選：D.【變式2】（多選）若關(guān)于的不等式的解集為，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．不等式的解集為C． D．函數(shù)在上單調(diào)遞增【答案】ACD【分析】利用三個二次的關(guān)系，將條件轉(zhuǎn)化成方程的根的情況，判斷的符號，利用韋達(dá)定理得到的數(shù)量關(guān)系，再根據(jù)選項(xiàng)一一判斷或求解不等式即得.【詳解】對于A，由題意，方程有兩根為和2，且，故A正確；由韋達(dá)定理，即.對于B，由，即解得或，故B錯誤；對于C，因，且，故，故C正確；對于D，，因，故該函數(shù)在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：ACD.【變式3】（多選）已知關(guān)于的不等式的解集為或，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．B．不等式的解集是C．D．不等式的解集為或【答案】BD【分析】利用三個二次關(guān)系，待定系數(shù)可確定參數(shù)之間的關(guān)系及符號一一判定選項(xiàng)即可.【詳解】關(guān)于的不等式的解集為或，，故A錯誤；對于B、C選項(xiàng)，已知和3是關(guān)于的方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系得，則，，不等式，即，又，解得，B正確；且，C錯誤；對于D選項(xiàng)，不等式，即，即，解得或，故不等式的解集為或，D正確.故選：BD.題型十三解分式不等式與高次不等式解｜題｜技｜巧核心解題技巧（1）①②③④（2）高次不等式可用數(shù)軸穿根法求解.【典例1】“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】解分式不等式及絕對值不等式，根據(jù)解集的關(guān)系及充分、必要條件的定義計(jì)算即可.【詳解】由，解之得或，記不等式的解對應(yīng)集合，由或，解之得或，記不等式的解對應(yīng)集合，顯然A是B的真子集，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A【典例2】解不等式【答案】；【分析】利用穿根法即可求解；【詳解】，即，則，且，利用穿根法得，則其解集為.【變式1】解不等式【答案】.【分析】化分式不等式為不等式組，再利用一元二次不等式的解法求解.【詳解】不等式化為：，解得，所以原不等式的解集為.【變式2】關(guān)于的不等式的解集為.【答案】【分析】利用不等式的等價變形可得，再利用數(shù)軸標(biāo)根法可求得不等式的解集.【詳解】由，可得，所以方程的根為，由數(shù)軸標(biāo)根法可得.故答案為：.【變式3】已知，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】將不等式化簡得，將分式不等式轉(zhuǎn)化成整式不等式即可解.【詳解】由，得，所以，所以，即，解得或，故的取值范圍為．故選：D．題型十四一元二次不等式的恒成立與有解問題解｜題｜技｜巧恒成立問題求參數(shù)的范圍的解題策略（1）弄清楚自變量、參數(shù).一般情況下，求誰的范圍，誰就是參數(shù).（2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判別式Δ；一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立，不能用判別式Δ，一般分離參數(shù)求最值或分類討論【典例1】已知關(guān)于的不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】求出在的最大值，然后可得關(guān)于a的不等式，解出即可.【詳解】設(shè)，則在的最大值為4，因?yàn)殛P(guān)于的不等式在上有解，即，解得，故答案為：.【變式1】若不等式對一切恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分離參數(shù)，結(jié)合對勾函數(shù)單調(diào)性可求得參數(shù)范圍.【詳解】因?yàn)椴坏仁綄σ磺泻愠闪?，所以在區(qū)間上恒成立，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，故，故選：D.【變式2】不等式對一切實(shí)數(shù)x都成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分和兩種情況討論即可.【詳解】當(dāng)時，恒成立，當(dāng)時，則，解得，綜上所述，.故選：A.【變式3】已知關(guān)于的不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用分離變量法整理不等式，構(gòu)造函數(shù)解析式，求得新函數(shù)在給定區(qū)間上的最值，可得答案.【詳解】由題，，，即，即在上有解，設(shè)，則，，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，則，所以.故選：B.題型十四不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用解｜題｜技｜巧（1）利用基本不等式求解實(shí)際問題時，要根據(jù)實(shí)際問題設(shè)出變量，注意變量應(yīng)滿足實(shí)際意義，抽象出目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式，建立數(shù)學(xué)模型，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值（2）一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用關(guān)鍵是能根據(jù)題意建立出不等關(guān)系，從而根據(jù)實(shí)際求解不等式【典例1】兩次購買同一種物品，不考慮物品價格的升降，有以下兩種方案：甲方案是每次購買這種物品的數(shù)量一定；乙方案是每次購買這種物品所花的錢數(shù)一定.對于以下兩種購物方案的優(yōu)惠程度的說法正確的是（

）A．甲方案更優(yōu)惠 B．乙方案更優(yōu)惠C．甲乙一樣優(yōu)惠 D．無法確定【答案】B【分析】設(shè)物品價格為，甲方案每次購買物品數(shù)量為y，乙方案每次購買物品所花的錢為z，分別計(jì)算比較兩種方案物品平均價格可得答案.【詳解】設(shè)物品價格為，甲方案每次購買物品數(shù)量為y，乙方案每次購買物品所花的錢為z，其中.則甲方案購買物品平均價格為：；乙方案購買物品平均價格為：.注意到，則乙方案更優(yōu)惠.故選：B【典例2】據(jù)市場調(diào)查，某超市的某種商品每月的銷售量（單位：百件）與銷售價格（單位：元/件）滿足關(guān)系式，其中.已知該商品的成本為元/件，則該超市每月銷售該商品所獲得利潤的最小值為（

）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】B【分析】根據(jù)已知條件列出利潤函數(shù)，利用換元法化簡函數(shù)表達(dá)式，再利用基本不等式求出利潤的最小值．【詳解】設(shè)該超市每月銷售該商品所獲得利潤為，每件利潤為元，每月的銷售量為件，，令，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，該超市每月銷售該商品所獲得利潤的最小值為元．故選：B．【典例3】（24-25高一上·江蘇鹽城·期中）某主播在直播平臺上銷售一款成本為每件24元的商品.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量（件）與銷售單價（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示.(1)求該商品每天的銷售量與銷售單價之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若該主播按單價不低于成本價，且不高于50元銷售，則銷售單價定為多少元時利潤最大？最大利潤是多少？(3)若該主播要使銷售該商品每天獲得的利潤不低于1280元，則每天的銷售量最少應(yīng)為多少件？【答案】(1)(2)單價定為元時利潤最大，最大利潤為元(3)【分析】（1）設(shè)出一次函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求得正確答案.（2）求得利潤的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得最值以及此時對應(yīng)的單價.（3）根據(jù)已知條件列不等式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得銷售量的最小值.【詳解】（1）設(shè)，由圖可知，函數(shù)圖象過點(diǎn)，所以，解得，所以，由解得.所以每天的銷售量與銷售單價之間的函數(shù)關(guān)系式是.（2）若單價不低于成本價24元，且不高于50元銷售，則，則利潤，其開口向下，對稱軸為，所以當(dāng)時，利潤取得最大值為，所以當(dāng)單價為元時，取得最大利潤