清單03函數(shù)的概念與性質(zhì)（10個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】函數(shù)定義域的求法（1）確定函數(shù)定義域的原則①當(dāng)函數(shù)是以解析式的形式給出時(shí)，其定義域就是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值的集合．具體地講，就是考慮分母不為零，偶次根號(hào)的被開(kāi)方數(shù)、式大于或等于零，零次冪的底數(shù)不為零以及我們?cè)诤竺鎸W(xué)習(xí)時(shí)碰到的所有有意義的限制條件．②當(dāng)函數(shù)是由實(shí)際問(wèn)題給出時(shí)，其定義域不僅要考慮使其解析式有意義，還要有實(shí)際意義．③當(dāng)函數(shù)用表格給出時(shí)，函數(shù)的定義域是指表格中實(shí)數(shù)的集合．（2）抽象函數(shù)定義域的確定所謂抽象函數(shù)是指用表示的函數(shù)，而沒(méi)有具體解析式的函數(shù)類(lèi)型，求抽象函數(shù)的定義域問(wèn)題，關(guān)鍵是注意對(duì)應(yīng)法則．在同一對(duì)應(yīng)法則的作用下，不論接受法則的對(duì)象是什么字母或代數(shù)式，其制約條件是一致的，都在同一取值范圍內(nèi)．（3）求函數(shù)的定義域，一般是轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組的問(wèn)題，注意定義域是一個(gè)集合，其結(jié)果必須用集合或區(qū)間來(lái)表示．【清單02】函數(shù)值域的求法實(shí)際上求函數(shù)的值域是個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題，雖然給定了函數(shù)的定義域及其對(duì)應(yīng)法則以后，值域就完全確定了，但求值域還是特別要注意講究方法，常用的方法有：觀(guān)察法：通過(guò)對(duì)函數(shù)解析式的簡(jiǎn)單變形，利用熟知的基本函數(shù)的值域，或利用函數(shù)的圖象的“最高點(diǎn)”和“最低點(diǎn)”，觀(guān)察求得函數(shù)的值域；配方法：對(duì)二次函數(shù)型的解析式可先進(jìn)行配方，在充分注意到自變量取值范圍的情況下，利用求二次函數(shù)的值域方法求函數(shù)的值域；判別式法：將函數(shù)視為關(guān)于自變量的二次方程，利用判別式求函數(shù)值的范圍，常用于一些“分式”函數(shù)等；此外，使用此方法要特別注意自變量的取值范圍；換元法：通過(guò)對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行適當(dāng)換元，將復(fù)雜的函數(shù)化歸為幾個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)，從而利用基本函數(shù)的取值范圍來(lái)求函數(shù)的值域．求函數(shù)的值域沒(méi)有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，還有最值法、數(shù)形結(jié)合法等．總之，求函數(shù)的值域關(guān)鍵是重視對(duì)應(yīng)法則的作用，還要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s．【清單03】函數(shù)的單調(diào)性一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，區(qū)間如果對(duì)于內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說(shuō)在區(qū)間上是增函數(shù)．如果對(duì)于內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說(shuō)在區(qū)間上是減函數(shù)．【清單04】證明函數(shù)單調(diào)性的步驟（1）取值．設(shè)是定義域內(nèi)一個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)量，且；（2）變形．作差變形（變形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商變形；（3）定號(hào)．判斷差的正負(fù)或商與1的大小關(guān)系；（4）得出結(jié)論．【清單05】函數(shù)單調(diào)性的判斷方法（1）定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號(hào)—下結(jié)論”進(jìn)行判斷．（2）圖象法：就是畫(huà)出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢(shì)，判斷函數(shù)的單調(diào)性．（3）直接法：就是對(duì)我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫(xiě)出它們的單調(diào)區(qū)間．（4）記住幾條常用的結(jié)論①若是增函數(shù)，則為減函數(shù)；若是減函數(shù)，則為增函數(shù)；②若和均為增（或減）函數(shù)，則在和的公共定義域上為增（或減）函數(shù)；③若且為增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)；若且為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，為增函數(shù)．【清單06】單調(diào)性定義的等價(jià)形式（1）函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．（2）函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．【清單07】復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷討論復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時(shí)要注意：既要把握復(fù)合過(guò)程，又要掌握基本函數(shù)的單調(diào)性．一般需要先求定義域，再把復(fù)雜的函數(shù)正確地分解為兩個(gè)簡(jiǎn)單的初等函數(shù)的復(fù)合，然后分別判斷它們的單調(diào)性，再用復(fù)合法則，復(fù)合法則如下：（1）若在所討論的區(qū)間上都是增函數(shù)或都是減函數(shù)，則為增函數(shù)；（2）若在所討論的區(qū)間上一個(gè)是增函數(shù)，另一個(gè)是減函數(shù)，則為減函數(shù)．【清單08】利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值時(shí)應(yīng)先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求最值．常用到下面的結(jié)論：（1）如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，則函數(shù)在處有最大值．（2）如果函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在處有最小值．若函數(shù)在上是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)在上一定有最大、最小值．（3）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，則的最大值是，最小值是．（4）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，則的最大值是，最小值是．【清單09】利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍若已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，可利用函數(shù)單調(diào)性，先列出關(guān)于參數(shù)的不等式，利用下面的結(jié)論求解．（1）在上恒成立在上的最大值．（2）在上恒成立在上的最小值．實(shí)際上將含參數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為恒成立問(wèn)題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在其定義域上的最大值和最小值問(wèn)題．【清單10】函數(shù)的最大（?。┲?、最大值：對(duì)于函數(shù)，其定義域?yàn)?，如果存在，，使得?duì)于任意的，都有，那么，我們稱(chēng)是函數(shù)的最大值，即當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的最大值，記作．2、最小值：對(duì)于函數(shù)，其定義域?yàn)?，如果存在，，使得?duì)于任意的，都有，那么，我們稱(chēng)是函數(shù)的最小值，即當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的最小值，記作．3、幾何意義：一般地，函數(shù)最大值對(duì)應(yīng)圖像中的最高點(diǎn)，最小值對(duì)應(yīng)圖像中的最低點(diǎn)，它們不一定只有一個(gè)．【清單10】定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟（1）求函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，若不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則該函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，若關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則進(jìn)行下一步；（2）結(jié)合函數(shù)的定義域，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式；（3）求，可根據(jù)與之間的關(guān)系，判斷函數(shù)的奇偶性．若，則是奇函數(shù)；若=，則是偶函數(shù)；若，則既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；若且，則既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)【清單11】判斷函數(shù)奇偶性的常用方法（1）定義法：若函數(shù)的定義域不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則立即可判斷該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若函數(shù)的定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的，再判斷與之一是否相等．（2）驗(yàn)證法：在判斷與的關(guān)系時(shí)，只需驗(yàn)證及是否成立即可．（3）圖象法：奇（偶）函數(shù)等價(jià)于它的圖象關(guān)于原點(diǎn)（軸）對(duì)稱(chēng)．（4）性質(zhì)法：兩個(gè)奇函數(shù)的和仍為奇函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的和仍為偶函數(shù)；兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的積是偶函數(shù)；一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積是奇函數(shù)．（5）分段函數(shù)奇偶性的判斷判斷分段函數(shù)的奇偶性時(shí)，通常利用定義法判斷．在函數(shù)定義域內(nèi)，對(duì)自變量的不同取值范圍，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)叫做分段函數(shù)．分段函數(shù)不是幾個(gè)函數(shù)，而是一個(gè)函數(shù)．因此其判斷方法也是先考查函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，然后判斷與的關(guān)系．首先要特別注意與的范圍，然后將它代入相應(yīng)段的函數(shù)表達(dá)式中，與對(duì)應(yīng)不同的表達(dá)式，而它們的結(jié)果按奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行比較．【清單12】關(guān)于函數(shù)奇偶性的常見(jiàn)結(jié)論（1）函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．（2）奇偶函數(shù)的圖象特征．函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；函數(shù)是奇函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)．（3）若奇函數(shù)在處有意義，則有；偶函數(shù)必滿(mǎn)足．（4）偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同．（5）若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)能表示成一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的和的形式．記，，則．（6）運(yùn)算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運(yùn)算函數(shù)是指兩個(gè)（或多個(gè)）函數(shù)式通過(guò)加、減、乘、除四則運(yùn)算所得的函數(shù)，如．對(duì)于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．（7）復(fù)合函數(shù)的奇偶性原來(lái)：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇．【考點(diǎn)題型一】具體、抽象函數(shù)求定義域技巧：幾類(lèi)具體函數(shù)的定義域：（1）如果是整式，那么函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R；（2）如果是分式，那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實(shí)數(shù)的集合；（3）如果是二次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號(hào)內(nèi)的式子大于或等于零的實(shí)數(shù)的集合；（4）如果是由幾個(gè)部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，那么函數(shù)定義域是使各部分式子都有意義的實(shí)數(shù)集合；（即求各集合的交集）（5）滿(mǎn)足實(shí)際問(wèn)題有意義．當(dāng)函數(shù)解析式是由多個(gè)式子構(gòu)成時(shí)，要使這多個(gè)式子對(duì)同一個(gè)自變量x有意義，必須取使得各式有意義的各個(gè)不等式的解集的交集，因此，要列不等式組求解．抽象函數(shù)的定義域：求抽象函數(shù)的定義域，一要理解定義域的含義是的取值范圍；二要運(yùn)用整體思想，也就是在同一對(duì)應(yīng)關(guān)系下括號(hào)內(nèi)的范圍是一樣的．【例1】已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【變式1-1】已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【變式1-2】已知函數(shù)的定義域是，則的定義域是（

）A． B．C． D．【變式1-3】已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【變式1-4】已知的定義域?yàn)閯t的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【考點(diǎn)題型二】求函數(shù)的值域技巧：求值域還是特別要注意講究方法，常用的方法有：觀(guān)察法：通過(guò)對(duì)函數(shù)解析式的簡(jiǎn)單變形，利用熟知的基本函數(shù)的值域，或利用函數(shù)的圖象的“最高點(diǎn)”和“最低點(diǎn)”，觀(guān)察求得函數(shù)的值域；配方法：對(duì)二次函數(shù)型的解析式可先進(jìn)行配方，在充分注意到自變量取值范圍的情況下，利用求二次函數(shù)的值域方法求函數(shù)的值域；判別式法：將函數(shù)視為關(guān)于自變量的二次方程，利用判別式求函數(shù)值的范圍，常用于一些“分式”函數(shù)等；此外，使用此方法要特別注意自變量的取值范圍；換元法：通過(guò)對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行適當(dāng)換元，將復(fù)雜的函數(shù)化歸為幾個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)，從而利用基本函數(shù)的取值范圍來(lái)求函數(shù)的值域．【例2】函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【變式2-1】集合，下列不能表示從A到B的函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【變式2-2】已知函數(shù)的定義域和值域都是，則函數(shù)的定義域和值域分別為（

）A．和 B．和C．和 D．和【變式2-3】已知集合，集合，則（

）A． B．C． D．【變式2-4】已知?jiǎng)t的取值范圍是（

）A． B．C． D．【考點(diǎn)題型三】求函數(shù)的解析式技巧：（1）解析式類(lèi)型已知的，一般用待定系數(shù)法，對(duì)于二次函數(shù)問(wèn)題要注意對(duì)一般式，頂點(diǎn)式和兩點(diǎn)式的選擇．（2）已知求的問(wèn)題，方法一是用配湊法；方法二是用換元法．（3）函數(shù)方程問(wèn)題，需建立關(guān)于的方程組，若函數(shù)方程中同時(shí)出現(xiàn)、，則一般用代之，構(gòu)造另一個(gè)方程．【例3】已知函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【變式3-1】已知函數(shù)，且，則（

）A． B．C． D．【變式3-2】已知，則函數(shù)的解析式為（

）A． B．C． D．【變式3-3】已知，則的解析式為（

）A． B．C． D．【變式3-4】已知，則的解析式為（

）A． B．C． D．【考點(diǎn)題型四】利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍技巧：（1）解答分類(lèi)問(wèn)題時(shí)，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對(duì)象以及討論對(duì)象的范圍；其次要確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不重不漏；再對(duì)所分類(lèi)逐步進(jìn)行討論，分級(jí)進(jìn)行；最后進(jìn)行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論．（2）分離參數(shù)法，即把分離出來(lái)放到不等式的左邊，不等式的右邊是關(guān)于的函數(shù)，然后轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問(wèn)題．【例4】已知是定義域?yàn)镽的函數(shù)，，若對(duì)任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式4-1】若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【變式4-2】已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，在區(qū)間上是單調(diào)的，且在該區(qū)間中有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式4-3】已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．或【變式4-4】若函數(shù)是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【考點(diǎn)題型五】利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)解不等式技巧：求字母取值范圍的題目，最終一定要變形成的形式，再依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把符號(hào)脫掉得到關(guān)于字母的不等式再求解．【例5】已知函數(shù)，是定義在R上的函數(shù)，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，，若對(duì)于任意，都有.則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式5-1】已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，，當(dāng)時(shí)，都有，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【變式5-2】已知，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【變式5-3】定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足且，有，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【變式5-4】奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，若，則不等式的解集是（

）．A． B．C． D．【考點(diǎn)題型六】抽象函數(shù)單調(diào)性的證明技巧：研究抽象函數(shù)的單調(diào)性是依據(jù)定義和題設(shè)來(lái)進(jìn)行論證的．一般地，在高中數(shù)學(xué)中，主要有兩種類(lèi)型的抽象函數(shù)，一是“”型[即給出所具有的性質(zhì)，如本例，二是“”型．對(duì)于型的函數(shù)，只需構(gòu)造，再利用題設(shè)條件將它用與表示出來(lái)，然后利用題設(shè)條件確定的范圍，從而確定與的大小關(guān)系；對(duì)型的函數(shù)，則只需構(gòu)造即可．【例6】已知是定義在非零實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，且對(duì)任意非零實(shí)數(shù)恒有.(1)求的值；(2)證明：為偶函數(shù)；(3)當(dāng)，證明在上單調(diào)遞增，并求不等式的解集.【變式6-1】已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，且?duì)于任意實(shí)數(shù)，，有，當(dāng)時(shí)，.(1)求的值；(2)求證：在定義域上是單調(diào)遞增函數(shù)；(3)求證：為奇函數(shù).【變式6-2】已知是定義在非零實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，且對(duì)任意非零實(shí)數(shù)，恒有.(1)求的值；(2)證明：為偶函數(shù)；(3)若在上單調(diào)遞增，求不等式的解集.【變式6-3】函數(shù)的定義域?yàn)椋覞M(mǎn)足對(duì)于任意，有，當(dāng).(1)證明：在上是增函數(shù)；(2)證明：是偶函數(shù)；(3)如果，解不等式.【變式6-4】已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足：．(1)判斷的奇偶性并證明；(2)若，求；(3)若，判斷并證明的單調(diào)性．【考點(diǎn)題型七】已知函數(shù)的奇偶性求表達(dá)式技巧：抓住奇偶性討論函數(shù)在各個(gè)分區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性得出關(guān)于的方程，從而可得的解析式．【例7】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.則當(dāng)時(shí)，（

）A． B．C． D．【變式7-1】函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，解析式是（

）A． B．C． D．【變式7-2】已知定義在上的函數(shù)，滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，，則滿(mǎn)足不等式的的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式7-3】已知函數(shù)f（x）=為奇函數(shù)，則等于（）A． B．1 C．0 D．【變式7-4】已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．則當(dāng)時(shí)，的解析式為（

）A． B．C． D．【考點(diǎn)題型八】已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)技巧：利用函數(shù)的奇偶性的定義轉(zhuǎn)化為，建立方程，使問(wèn)題得到解決，但是在解決選擇題、填空題時(shí)還顯得比較麻煩，為了使解題更快，可采用特殊值法求解．【例8】已知為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（

）A．－2 B．－1 C．0 D．1【變式8-1】已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增．若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【變式8-2】若函數(shù)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)（

）A． B．1 C．0 D．【變式8-3】已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，則的值為（

）A．0 B． C．1 D．2【變式8-4】已知函數(shù)，則“”是“是偶函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必