2025高考數(shù)學函數(shù)競賽專項訓練（50道情境壓軸題）一、選擇題（每題1分，共5分）1.設(shè)函數(shù)f(x)=x22x+3，則f(x)的最小值為A.1B.2C.3D.42.函數(shù)y=log?(x24x+5)的定義域為A.(1,3)B.[1,3]C.(1,+∞)D.[1,+∞)3.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)，則f(x)的周期為A.πB.2πC.π/2D.4π4.函數(shù)y=2?+2??的最小值為A.2B.3C.4D.55.設(shè)函數(shù)f(x)=x33x2+2，則f(x)的極大值點為A.x=0B.x=1C.x=2D.x=3二、判斷題（每題1分，共5分）1.函數(shù)f(x)=x2在R上為偶函數(shù)。（）2.函數(shù)y=log?x在(0,+∞)上為增函數(shù)。（）3.函數(shù)f(x)=sinx在[0,2π]上的最大值為1。（）4.函數(shù)y=2?在R上為奇函數(shù)。（）5.函數(shù)f(x)=x3在R上為嚴格遞增函數(shù)。（）三、填空題（每題1分，共5分）1.函數(shù)f(x)=x24x+3的零點為______。2.函數(shù)y=log?(x+2)的定義域為______。3.函數(shù)f(x)=cos(3x)的周期為______。4.函數(shù)y=e?+e??的最小值為______。5.函數(shù)f(x)=x36x2+9x+1的極值點為______。四、簡答題（每題2分，共10分）1.求函數(shù)f(x)=x26x+8的極值。2.判斷函數(shù)f(x)=x33x+1在R上的單調(diào)性。3.求函數(shù)y=log?(2x1)的定義域。4.求函數(shù)f(x)=sin(2x+π/6)的周期和振幅。5.求函數(shù)y=3?+3??的最小值。五、應(yīng)用題（每題2分，共10分）1.某商品的價格P與需求量Q滿足關(guān)系式P=100Q2，當Q=5時的邊際收益為多少？2.一個質(zhì)點沿直線運動，其位置函數(shù)為s(t)=t36t2+9t+1，求t=2時的瞬時速度。3.某工廠生產(chǎn)成本函數(shù)為C(x)=x210x+100，求生產(chǎn)量為6時的邊際成本。4.函數(shù)f(x)=x33x2+2在區(qū)間[0,3]上的最大值和最小值。5.求函數(shù)y=ln(x2+1)在x=1處的導數(shù)值。六、分析題（每題5分，共10分）1.已知函數(shù)f(x)=x33x2+ax+1在x=1處取得極值，求a的值，并分析函數(shù)的單調(diào)性和極值。2.設(shè)函數(shù)f(x)=e?ax，當a取何值時，方程f(x)=0在R上有唯一實數(shù)解？有兩個不同的實數(shù)解？無實數(shù)解？七、實踐操作題（每題5分，共10分）1.某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，其利潤函數(shù)分別為P?(x)=20xx2和P?(y)=30y2y2，其中x和y分別為產(chǎn)品A和B的產(chǎn)量。若總產(chǎn)量限制為x+y=15，求如何分配產(chǎn)量使總利潤最大。2.某公司投資項目的收益函數(shù)為R(t)=100te??·1?，其中t為時間（年）。求何時收益達到最大值，最大收益為多少？八、專業(yè)設(shè)計題（每題2分，共10分）1.設(shè)計一個二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，使其圖像經(jīng)過點(1,3)、(2,7)、(1,1)，求a、b、c的值。2.構(gòu)造一個分段函數(shù)f(x)，使得當x≤0時f(x)=x2+1，當x>0時f(x)=2x1，畫出該函數(shù)的圖像并說明其連續(xù)性。3.設(shè)計一個指數(shù)函數(shù)模型y=a·b?來描述某城市人口增長情況，已知初始人口為50萬，5年后增長到80萬，求a和b的值。4.構(gòu)造一個三角函數(shù)f(x)=A·sin(ωx+φ)+k，使其最大值為5，最小值為1，周期為2π，且過點(0,2)。5.設(shè)計一個復合函數(shù)f(x)=ln(g(x))，其中g(shù)(x)為二次函數(shù)，要求f(x)的定義域為[1,5]，且f(2)=0，f(4)=ln4。九、概念解釋題（每題2分，共10分）1.解釋函數(shù)的單調(diào)性概念，并舉例說明如何判斷一個函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性。2.什么是函數(shù)的奇偶性？請分別給出奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義及判斷方法。3.解釋函數(shù)的周期性概念，并說明如何求三角函數(shù)的周期。4.什么是函數(shù)的極值？請說明函數(shù)極值存在的必要條件和充分條件。5.解釋函數(shù)的連續(xù)性概念，并說明函數(shù)在一點連續(xù)的三個條件。十、思考題（每題2分，共10分）1.如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)且在(a,b)內(nèi)可導，且f(a)=f(b)，那么在(a,b)內(nèi)是否一定存在點c使得f'(c)=0？請說明理由。2.函數(shù)f(x)=x3和g(x)=|x|3在R上的單調(diào)性有何不同？為什么會出現(xiàn)這種差異？3.為什么說指數(shù)函數(shù)y=a?(a>0,a≠1)的圖像恒過點(0,1)？這個性質(zhì)在實際應(yīng)用中有什么意義？4.函數(shù)f(x)=sinx+cosx的最大值和最小值分別是多少？請思考如何通過變形來求解這類三角函數(shù)的最值問題。5.如果函數(shù)f(x)在x?點可導，那么f(x)在x?點是否一定連續(xù)？反之，如果f(x)在x?點連續(xù)，是否一定可導？請舉例說明。十一、社會擴展題（每題3分，共15分）1.某電商平臺的雙十一銷售數(shù)據(jù)可以用函數(shù)S(t)=1000·2??·1?來模擬，其中t為時間（小時），S(t)為t時刻的銷售額（萬元）。求前6小時的總銷售額，并分析該函數(shù)模型的特點。2.某城市的空氣質(zhì)量指數(shù)AQI與溫度T（℃）的關(guān)系可以用函數(shù)AQI=50+2T+0.1T2來描述。當溫度在10℃到30℃之間變化時，求AQI的平均變化率，并分析溫度對空氣質(zhì)量的影響。3.某股票的價格P(t)可以用函數(shù)P(t)=100·e?·???來模擬，其中t為時間（月）。求該股票的年增長率，并預(yù)測2年后的股票價格。4.某產(chǎn)品的市場需求量Q與價格P的關(guān)系為Q=1000·P??·?，其中P>0。求當價格從20元漲到25元時，需求量的相對變化率，并分析該產(chǎn)品的價格彈性特征。5.某地區(qū)的新冠病毒傳播可以用函數(shù)N(t)=500/(1+49·e??·3?)來描述，其中t為時間（天），N(t)為t天的累計感染人數(shù)。求該函數(shù)的拐點，并解釋拐點的流行病學意義。一、選擇題答案：1.B2.B3.A4.A5.C二、判斷題答案：1.√2.√3.√4.×5.√三、填空題答案：1.x=1,x=32.x>23.2π/34.25.x=1,x=3四、簡答題答案：1.極小值f(3)=12.在(∞,1]和[1,+∞)上遞增，在[1,1]上遞減3.x>1/24.周期π，振幅15.最小值2五、應(yīng)用題答案：1.502.33.24.最大值3，最小值15.1六、分析題答案：1.a=3，在(∞,1]上遞減，在[1,+∞)上遞增，極小值f(1)=12.a=0時唯一解，0<a<e時兩解，a≥e或a≤0時無解七、實踐操作題答案：1.x=5，y=10，最大利潤1252.t=10年，最大收益約367.9一、函數(shù)基礎(chǔ)理論1.函數(shù)概念與性質(zhì)：包括函數(shù)的定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系等基本概念2.函數(shù)的單調(diào)性：增函數(shù)、減函數(shù)的判斷與應(yīng)用3.函數(shù)的奇偶性：奇函數(shù)、偶函數(shù)的判定與性質(zhì)4.函數(shù)的周期性：周期函數(shù)的概念與周期求解5.函數(shù)的極值：極大值、極小值的求法與應(yīng)用二、初等函數(shù)理論1.二次函數(shù)：頂點式、標準式、零點求解2.指數(shù)函數(shù)：底數(shù)限制、單調(diào)性、圖像特征3.對數(shù)函數(shù)：定義域、單調(diào)性、換底公式4.三角函數(shù)：正弦、余弦函數(shù)的周期、振幅、相位5.冪函數(shù)：冪指數(shù)對函數(shù)性質(zhì)的影響三、函數(shù)應(yīng)用理論1.函數(shù)建模：實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型2.最優(yōu)化問題：函數(shù)最值在實際中的應(yīng)用3.函數(shù)圖像分析：通過圖像理解函數(shù)性質(zhì)4.函數(shù)方程：含參數(shù)函數(shù)方程的求解5.復合函數(shù)：函數(shù)的復合運算與性質(zhì)各題型考察知識點詳解及示例：一、選擇題考察要點：主要考察學生對函數(shù)基本概念的掌握程度，包括函數(shù)性質(zhì)、特殊函數(shù)特征、基本運算等。如第1題考察二次函數(shù)最值求解，需要學生掌握配方法或公式法；第3題考察三角函數(shù)周期，需要理解周期函數(shù)的定義。二、判斷題考察要點：重點檢驗學生對函數(shù)性質(zhì)判斷的準確性，包括奇偶性、單調(diào)性、周期性等性質(zhì)的識別。如第4題考察指數(shù)函數(shù)奇偶性，需要學生知道指數(shù)函數(shù)既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)。三、填空題考察要點：著重訓練學生函數(shù)計算的準確性，包括零點求解、定義域確定、周期計算等。如第1題考察二次函數(shù)零點，需要熟練運用因式分解或求根公式。四、簡答題考察要點：深入考察學生對函數(shù)性質(zhì)的理解和應(yīng)用能力，包括極值求解、單調(diào)性分析、定義域確定等。如第2題需要學生通過導數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性，體現(xiàn)導數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的關(guān)系。五、應(yīng)用題考察要點：檢驗學生將函數(shù)