全國自考公共課線性代數(shù)(經(jīng)管類)模擬試卷47(題后含答案及解析)

題型有：1.單項選擇題2.填空題3.計算題4.證明題

單項選擇題在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將

其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。

1

-27

己知可逆方陣A的逆矩陣則A=

73]

-22”

131-7-3

27-2-1

A.

B.

C.

D.

正確答案：B

……=尚")?=+?(；1

解析：12

2.已知1-1J〔V是齊次線性方程組Ax=O的兩個解，則矩陣A可為

()

A.(5,一3,—I)

/5-31\

C2T)

C.\2-17/

12-1

-12-2

D.1-531

正確答案：A

解析：將四個選項代入驗證Ax=O是否成立即可.答案為A。

+12=。，

3.方程組I12一"二°,的一組基礎(chǔ)解系由個向量組成.

A.1

B.2

C.3

D.4

正確答案：B

解言;方程組的基礎(chǔ)解系中自由未知量的個

由A=/??！鉢-f1°°J,I

數(shù).\°10->/V01°T/,得r(A)=2.故基

礎(chǔ)解系中自由未知量的個數(shù)為4-r(A)=2.

fX|4-X2+/$=0,

12?-xt-ax3=0.

4.若不一2z2、3工』二°只有零解的充要條件是

A.-1

B.-2

C.-3

D.?4

正確答案：D

解析：方程組只有零解的充要條

1

w9

-a—4

因方程組只有零解,

故IAI#0,即r(A)=3,則一a-4W0,得aW?4.

2001

0010

0-600

7000

5.行列式)

A.0

B.21

C.42

D.一42

正確答案:D

解析行列式展開性質(zhì)

200

0001

000

7

7000答案為D

產(chǎn)i—3xz+2JG=0

6.方程組?-2右+64-4電=°的一組基礎(chǔ)解系由個向量組

成.（）

A.1

B.2

C.3

D.4

正確答案：B

解析：該方程組的系數(shù)矩陣秩等于1,有3個未知數(shù)，因此基礎(chǔ)解系由2個

線性無關(guān)的向量組成.答案為B。

7.實二次型f（xL…，xn）=ATx為正定的充要條件是（）

A.f的秩為n

B.f的正慣性指數(shù)為n

C.f的正慣性指數(shù)等于f的秩

D.f的負慣性指數(shù)為n

I卜確答案：B

解析：由正定的性質(zhì)即得.答案為B

8.要使￡1=(1,0,1)T,e2=(-2,0,1)T都是線性方程組Ax=0的解,

只要系數(shù)矩陣A為

123

-121

A.312B.

112

,211

010

00

C.020D.

020

321

A.

B.

C.

D.

正確答案：D

解析：€1,￡2顯然線性無關(guān)，故系數(shù)矩陣的秩至多為3—2=1,只有D符

合.

9.若Ql,Q2,a3是齊次方程組Ax=0的基創(chuàng)解系，則下列答案中也是Ax=0

的基礎(chǔ)解系的為（）

A.a1—a2,a2--a3,a3—a1

B.a1,a2,Q3的任意三個線性組合

C.a）,a1-a2,al—a2—。3

D.al,2a1,3a1

正確答案：C

解析：本題考查基礎(chǔ)解系的定義，基礎(chǔ)解系必須線性無關(guān)，且與

等價.答案為C。

10.零為矩陣A的特征值是A不可逆的()

A.必要條件

B.充分條件

C.非充分、非必要條件

D.充要條件

正確答案：D

解析：零為矩陣A的特征值,|0XE—A|4A|=(一l)n|A|=0,|A|=0推得A不可

逆.故選D.

11.n元線性方程組Ax=0有非零解的充要條件是()

A.方程個數(shù)mVn

B.方程個數(shù)m>n

C.方程個數(shù)m=n

D.秩(A)Vn

正確答案：D

解析：對于線性方程組Ax=0來說，若r(A)Vn-Ax=0有非零解(充分條件);

同樣，若Ax=0有非零解f「(A)Vn(必要條件).答案為D。

12.若四階實對稱矩陣A是正定矩陣，則A的正慣性指數(shù)為

A.1

B.2

C.3

D.4

正確答案：D

13.設(shè)A,B,A+B,A-1+B-1均為n階可逆矩陣，則()

A.A-l+B-1

B.A+B.

C.A(A+B)-1.B

D.(A+B)-l

正確答案：C

解析：由于

(A-l+B-1)A(A+B)-1B=(A-1A+B-lA)(A+B)-1B=(B-1B+B-lA)(A+B)-1B=B-1(A+B)

(A+B)-1.B=B-1.B=L所以(AJ+B-1)特征值全大于0.負定矩陣=特征值全小于

0.半正定矩陣=特征值中含()，而其余全大于(),半負定矩陣V特征值中含0,

而其余全小于0.

16.設(shè)A、B為n階方陣，滿足A2=B2,則必有()

A.A=B

B.A=-B

C.IAI=IBI

D.IAI2=IBI2

正確答案：D

解析：VA2=B2A2=AA=BB=B2AIAI=IBI,IAAI=IBBI.：.\

AA|=|A||A|=|A|2,|BB|=|B||B|=|B|2：.IAI2=IBI

2.答案為D。

-T|+x2+x3+zQ=4

2X2+工3+居=4

K：

=2

17.線性方程組b（入+1）/=/2-1無解，則人二（）

A.0

B.1

C.一1

D.任意實數(shù)

正確答案：A

解析：當入W0且人工一1時有惟一解，當\二一1時有無窮多解.當人=0

時無解.答案為A。

18.設(shè)A是n階矩陣，C是n階正交陣，且B=CAC,則下述結(jié)論

不成立.（）

A.A與B相似

B.A與B等價

C.A與B有相同的特征值

D.A與B有相同的特征向量

正確答案：D

解析：Yc是正交陣???c=c-1,B=C-1AC,因此A與B相似.A對.c是正

交陣ICIWO,CTAC相當對A實行若干次初等行變換和初等列變換，A與B

等價，B對.兩個相似矩陣A、B有相同的特征值，C對.（入I—A）X=0與（入I

B）X=0是兩個不同的齊次線性方程組，非零解是特征向量，一般情況這兩個方

程的非零解常常不同，所以只有D不對，選D答案為D。

ab

A=

19.設(shè)2階矩陣則A*=)

a

A.

正確答案：A

解析：畝伴隨矩陣的定義即得.答案為A

20.設(shè)A,B為n階方陣，則下列各式一定成立的是()

A.(A+B)2=A2+2AB+B2

B.(A+B)2=A2+AB+BA+B2

C.(A+B)(A-B)=A-D2

D.(A-B)(A+B)=A2~B2

正確答案：B

解析;后陣乘法不滿足交換律.

填空題請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。

21.已知向量組a線性相關(guān)，則k二

正確答案：k=2

解析：向量a1,a2,Q3線性相關(guān),故對al,a2,a3組成的矩陣作初

等變換,即

n21121ri21〕

21220000—300

22k20-2k-2000k-20由于

a1,a2,a3線性相關(guān),故k=2.

22.二次型f(xl,x2,x3)=xl2—2x22+x32—2xlx2+4xlx3+8x2x3對應(yīng)的

對稱矩陣A=

1—12、

—1-24

正確答案：124b

解析：xl,x2,x3平方項系數(shù)對應(yīng)主對角線元素：1,一2,1x1x2的系數(shù)

一2對應(yīng)al2和a21的系數(shù)的和：??.al2二一la21=-1x1x3的系數(shù)4對應(yīng)al3和

a31系數(shù)的和：???al3=a31=2x2x3的系數(shù)8對應(yīng)n23和a32的系數(shù)的和；，

a23=al2=4.

23.設(shè)A、B均為3階矩陣，IAI=3,IBI=-2,則I-2T.B-1I=。

正確答案：12

解析

I—2ATB1|=(一2尸?|Ar|?B1|=-8X|A|X

=12.

1]a

—2和a?=4

24.設(shè)A為實對稱矩陣，a1=13)1J是A屬于不同特征值入1

和入2的特征向量，貝ija二.

正確答案：5

解析：由于實對稱矩陣屬于不同特征值的特征向量正交，因此(Ql,a2)=a

一8+3=a—5二0,所以a=5.

25.設(shè)a=(1,1,0,一1),8二(-2,1,0,0),y=(-l,-2,0,1),則3

a—0+5r=.

正確答案：(0，—8,0,2)

解析：3a—p+5y=3(1,1,0,一1)一(一2,1,0,0)+5(—1,一2,0,

1)=(0,一8,0,2).

01-13]

2?B=20

26.設(shè)矩陣A=-12,則3AT-BT=

/4—1-10

正確答案：(一36

-5

解析3AT

-1-214

BT=3V02—1302一36—5

fl00

010

00一］

27.已知方陣A相似于對角矩陣貝IjA10=

正確答案:E

100、

-iAP=010

00-1,

解析：存在可逆矩陣P使因此

(1001

010P

00一1

A=P所以

fl00n001

-i

/°=p010pl=p010

00100-1

100

=P00Pi=p?p—】=E.

00

28.設(shè)A是三階矩陣,其行列式|A|=5,則K5A*)?1|=.

正確答案：'5)

I(5A?尸|=11

I5A*|5J|A-|53X5Z

解析：

2-131

A=4-254

29.設(shè)12—14一4，則Ax=O的基礎(chǔ)解系含有個解向量.

正確答案：1

解析：由于r(A)=2,所以基礎(chǔ)解系含有4—2=2個解向量.

20100

10,5=021

00102

30.設(shè)矩陣，則A+2B.

320)

25

正確答案:07

解析

120,100,1201200、320、

A+2B=210+2021210+04252

,001013,001,026,027,

計算題

30

A=040

005

31.設(shè)求(2E+A)?1(A2-4E).

正確答案：(2E+A)-1(A2一4E)=(2E+A)-1(A+2E)(A一

101

=A-2E=020

003,

32.設(shè)f(x)是二次多項式，已知f(一1尸9,f(2)=—3,求出f(3).

a+6+c=1

a-6+c=9

正確答案：設(shè)f(x)=ax2+bx+c,則有4a+26+c=—3解得a=0,b=一4,

c=5?從而f(x)=-4x+5,f(3)=一7.

j：t4-ii4-工3+n,=1?

3%［卜24+zs+a74=-1，

xt4-2X3+2/4=4,

33.當a、b為何值時，非齊次線性方程組一七十x,-2x^h有唯

一解?有無窮多個解?并求有無窮多解時的通解.

32

由(A,b)一

0124

0-1-2b

1111

0-2a—3-4

0UU0

0031—ab+4

11

0I23-a4

?故當。一1#0.即“工

0030+4

0000

1時，“A)=r(A,b)=4,方粗蛆有唯一解.

當a=1.6為任意實數(shù)時?r(A)=r(A,b)=3V4.

方程蛆有無窮多解.

01224

則(A,b)

0030b+4

00000

b-5

00-1

3

4-26

002

3

6+4

0010丁

00000

6-5

b-5

-Tl3

4-26

x：=-2X+即特解fj,3

4V

6+4

6+4

^=—

0

-2

&R解系為與二,故此方程組逋解為rj

0

1

正確答案:f+k小為任京實.

<4X|-X2-X,-X4=1,

34.求線性方程組13與一/一為=3的通解.

正確答窠：對增廣矩陣作初等行變換，有

0-2-6

-1725

-162L

-2

-4