/1.3二次函數(shù)的性質培優(yōu)訓練浙教版2025-2026學年九年級上冊（一）知識梳理1.二次函數(shù)基本形式：的性質：a的絕對值越大，拋物線的開口越小。的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減?。粫r，有最小值．向下軸時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值．2.的性質：上加下減。的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值．向下軸時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值．3.的性質：左加右減。的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減?。粫r，有最小值．向下X=h時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值．4.的性質：的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值．向下X=h時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值．5.二次函數(shù)的性質1.當時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點坐標為．當時，隨的增大而減??；當時，隨的增大而增大；當時，有最小值．2.當時，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點坐標為．當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小；當時，有最大值．5.二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關系1.二次項系數(shù)二次函數(shù)中，作為二次項系數(shù)，顯然．⑴當時，拋物線開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大；⑵當時，拋物線開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大．總結起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負決定開口方向，的大小決定開口的大小．2.一次項系數(shù)在二次項系數(shù)確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸．⑴在的前提下，當時，，即拋物線的對稱軸在軸左側；當時，，即拋物線的對稱軸就是軸；當時，，即拋物線對稱軸在軸的右側．⑵在的前提下，結論剛好與上述相反，即當時，，即拋物線的對稱軸在軸右側；當時，，即拋物線的對稱軸就是軸；當時，，即拋物線對稱軸在軸的左側．總結起來，在確定的前提下，決定了拋物線對稱軸的位置．的符號的判定：對稱軸在軸左邊則，在軸的右側則，概括的說就是“左同右異”總結：3.常數(shù)項⑴當時，拋物線與軸的交點在軸上方，即拋物線與軸交點的縱坐標為正；⑵當時，拋物線與軸的交點為坐標原點，即拋物線與軸交點的縱坐標為；⑶當時，拋物線與軸的交點在軸下方，即拋物線與軸交點的縱坐標為負．總結起來，決定了拋物線與軸交點的位置．總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的．（二）知識應用一、選擇題1．對于二次函數(shù)的圖象，下列說法不正確的是（

）A．開口向下 B．當時，y隨x的增大而增大C．對稱軸是直線 D．與y軸的交點是2．已知二次函數(shù)（a、b為常數(shù)，且）的圖象經(jīng)過點，其頂點在第三象限，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．已知二次函數(shù)．若時，函數(shù)取最大值3，則的值為（

）A． B．0 C．2 D．64．拋物線的頂點為，與軸的一個交點在點和之間，其部分圖象如圖，則以下結論正確的是（

）A．B．點、在二次函數(shù)圖象上，則C．當時，隨增大而減小D．若方程有實數(shù)根，則5．同一坐標系中，一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象可能是（

）A．B． C． D．二、填空題6．已知二次函數(shù)的圖象與軸的一個交點為，則關于的一元二次方程的兩實數(shù)根是7．若拋物線與直線只有一個公共點，則的值為．8．已知方程的兩根為2和，則拋物線的對稱軸是直線．9．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列6個結論：（1）；（2）；（3）；（4）（的實數(shù)）；（5）；（6）其中正確結論的有個．10．已知拋物線與直線交于、兩點，且．若點，也在該拋物線上，則．三、解答題11．已知拋物線，若此拋物線與軸只有一個公共點且過點．(1)求此拋物線的解析式；(2)直線與該拋物線交于點和點．若，求的取值范圍12．已知拋物線的頂點坐標為．(1)求a，c的值，并寫出函數(shù)表達式．(2)已知在該拋物線上．①將點A向右平移6個單位后得到點B，且點A與點B關于對稱軸對稱，求點A的坐標．②若，時，該二次函數(shù)的最大值是最小值的2倍，求m的值．13．拋物線（a，b，c是常數(shù)，）．(1)若，且該拋物線的圖象經(jīng)過，，三個點中的其中兩個點，求該拋物線的函數(shù)解析式；(2)若拋物線與軸兩個交點的橫坐標為、，求證：；(3)若，，和是拋物線上的兩點，對于都有，求的取值范圍．14．已知二次函數(shù)，經(jīng)過點，對稱軸為直線．(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)已知點，，連結，將向上平移5個單位長度，向右平移個單位長度后，恰好與的圖象有交點，求的取值范圍．(3)當時，二次函數(shù)的最小值為，請求出的值，并說明理由．15．已知函數(shù)（a為常數(shù)）．(1)求證：函數(shù)圖象與x軸總有交點；(2)當時，不等式恒成立，求a的取值范圍．16．在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)（b，c為常數(shù)）的對稱軸為直線，且過點．(1)求該二次函數(shù)的表達式；(2)若將該函數(shù)圖象向上平移m個單位后，所得圖象與x軸只有一個交點，求m的值；(3)當自變量x滿足時，y的最大值為m，最小值為n，且，求t的值．17．已知二次函數(shù)的圖象的對稱軸是直線，并經(jīng)過點．(1)求二次函數(shù)表達式；(2)將函數(shù)圖象向上平移個單位長度，圖象與軸相交于點（當在點的左側），當時，求的值；(3)若，當時，二次函數(shù)的最大值是，求的值．18．在平面直角坐標系中，對“縱橫值”給出如下定義：點是函數(shù)圖象上任意一點，縱坐標與橫坐標的差“”稱為點的“縱橫值”．函數(shù)圖象上所有點的“縱橫值”中的最大值稱為函數(shù)的“最優(yōu)縱橫值”，最小值稱為函數(shù)的“最劣縱橫值”．例如：點在函數(shù)的圖象上，點的“縱橫值”為，函數(shù)圖象上所有點的“縱橫值”可以表示為，當時，的最大值為，最小值為，所以函數(shù)的“最優(yōu)縱橫值”為7，“最劣縱橫值”為4．(1)點的“縱橫值”為___________．(2)已知二次函數(shù)，當時，求它的“最優(yōu)縱橫值”和“最劣縱橫值”．(3)若二次函數(shù)的圖象頂點在“縱橫值”為5的函數(shù)圖象上．①二次函數(shù)的“最優(yōu)縱橫值”為，求該二次函數(shù)的表達式．②當時，設二次函數(shù)的“最優(yōu)縱橫值”為，“最劣縱橫值”為，且，求的值．19．已知二次函數(shù)的圖像過三點，直線l解析式為，(1)求二次函數(shù)解析式(2)求證：此拋物線與直線l無公共點(3)若與l平行的某直線與拋物線只有一個交點P，求P點坐標(4)若是直線l上的一個動點，求P、Q兩點距離的最小值20．二次函數(shù)，其兩實數(shù)根分別為0，4，且當時，最大值為10．(1)求函數(shù)的解析式；(2)設，當時，求函數(shù)的最小值．21．已知二次函數(shù)（是常數(shù)，且）的圖象經(jīng)過點和點．(1)若，求拋物線頂點坐標；(2)在（1）的條件下，當時，的取值范圍；(3)當時，的值增大，的值先減小再增大，且的最大值與的最小值的差等于3，求的值．參考答案一、選擇題1．C【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像與性質，熟知二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．根據(jù)二次函數(shù)的一般式，通過配方化為頂點式，確定開口方向、對稱軸、頂點坐標及與軸的交點，進而判斷各選項的正確性．【詳解】解：A、二次項系數(shù)為，故開口向下，選項A正確．B、∴開口向下，對稱軸為直線，當時，隨的增大而增大，選項B正確．C、由B知，對稱軸為直線，故選項C錯誤．D、令，得，故與軸交點為，選項D正確．故選：C．2．A【分析】此題考查了二次函數(shù)的性質，二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，根據(jù)圖象過得出a，b的關系是解決問題的關鍵．【詳解】解：將點代入二次函數(shù)，得，，二次函數(shù)的頂點坐標為，其中，又二次函數(shù)的頂點在第三象限，，，代入，得，，解得，的取值范圍是．故選：A．3．A【分析】本題考查了求代數(shù)式的值，二次函數(shù)的性質，由二次函數(shù)的性質得，，求出、的值，代值計算即可．【詳解】解：時，函數(shù)取最大值3，，，解得：，，，故選：A．4．D【分析】本題考查的是二次函數(shù)的性質，根據(jù)拋物線的對稱性求出其與軸的另一個交點在點和之間即可判斷A；根據(jù)二次函數(shù)性質可直接判斷B，C；根據(jù)二次函數(shù)性質得出函數(shù)值，即可判斷D．【詳解】解：拋物線頂點為，其對稱軸為，其與軸的另一個交點在點和之間，當時，，選項A錯誤，，，選項B錯誤，對稱軸，時，隨的增大而增大，選項C錯誤．拋物線的頂點為，開口朝上，函數(shù)值，直線與拋物線有交點，則．即有實數(shù)根，則，選項D正確．答案：D．5．A【分析】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象的性質，根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式可得一次函數(shù)與軸的交點為，二次函數(shù)的開口向上，據(jù)此判斷二次函數(shù)的圖象，掌握相關知識是解題的關鍵．【詳解】解：當時，二次函數(shù)頂點在軸正半軸，一次函數(shù)經(jīng)過一、二、四象限，當時，二次函數(shù)頂點在軸負半軸，一次函數(shù)經(jīng)過一、二、三象限，∴符合題意的是選項，故選：．二、填空題6．，【分析】此題考查拋物線與坐標軸的交點問題．根據(jù)拋物線的對稱軸，確定拋物線與x軸的兩個交點的坐標，交點的橫坐標就是方程的解．【詳解】解：由題意可知：二次函數(shù)的對稱軸是，關于的對稱點是．則一元二次方程的兩個實數(shù)根是，．故答案為：，．7．【分析】本題考查二次函數(shù)與一元二次方程的綜合，解題的關鍵是掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關系．當拋物線與直線只有一個公共點，聯(lián)立方程，根據(jù)，解出，即可．【詳解】解：拋物線與直線只有一個公共點，，，，解得：．故答案為：．8．【分析】本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程之間的關系，二次函數(shù)與x軸的兩個交點的橫坐標即為其對應的一元二次方程的兩個實數(shù)根，據(jù)此可得拋物線與x軸的兩個交點的坐標分別為，再根據(jù)對稱軸計算公式求解即可．【詳解】解：∵方程的兩根為2和，∴拋物線與x軸的兩個交點的坐標分別為，∴拋物線的對稱軸是直線，故答案為：．9．4【分析】（1）由拋物線的開口方向判斷與的關系，由拋物線與軸的交點判斷與的關系，然后根據(jù)對稱軸位置確定的符號，可對（1）作判斷；（2）根據(jù)時，函數(shù)值小于，即可求解；（3）根據(jù)對稱性可得：當時，，可作判斷；（4）根據(jù)頂點坐標的縱坐標為最大值可作判斷；（5）根據(jù)對稱軸為，即可判斷；（6）根據(jù)對稱軸為：可得：，結合時，，可作判斷；【詳解】解：（1）該拋物線開口方向向下，拋物線對稱軸在軸右側，、異號，；拋物線與軸交于正半軸，，；故（1）正確；（2）根據(jù)函數(shù)圖象，可得當時，函數(shù)值小于，即，故（2）不正確；（3）根據(jù)拋物線的對稱性知，與的函數(shù)值相等，故當時，，即；故（3）正確；（4）對應的函數(shù)值為，對應的函數(shù)值為，又時函數(shù)取得最大值，當時即，故（4）錯誤（5）∵對稱軸為：,，，故（5）正確.（6）∵對稱軸方程，，，當時，，∴，，故（6）正確；故正確的有（1）（3）（5）（6），共5個故答案為：．10．【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質、一元二次方程根與系數(shù)的關系，設，，則由一元二次方程根與系數(shù)的關系可得，，結合計算得出，從而可得，由二次函數(shù)的對稱性計算可得，從而可得，由此計算即可得解，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質是解此題的關鍵．【詳解】解：設，，∴、是方程的兩個根，∴，，∵，∴，∴，即，∴，∴，∵拋物線上有兩個點，，∴對稱軸為直線，∴，∴，∴，當時，．故答案為：．三、解答題11．(1)(2)或【分析】本題考查了二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合，二次函數(shù)與不等式等知識，熟練掌握二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合，二次函數(shù)與不等式是解題的關鍵．（1）由題意得：，計算求解，進而可得解析式；（2）將代入，可求，即，將代入，可求，聯(lián)立，，計算求解，然后根據(jù)函數(shù)與不等式組的關系求解即可．【詳解】（1）解：由題意得：，解得：，拋物線的解析式為；（2）解：將代入得，，即，將代入得，，解得，，聯(lián)立，，解得，，∴，∵，∴或．12．(1)，，(2)①；②m的值為或【分析】（1）由拋物線的頂點坐標為可得，，求出a，c的值，即可得解；（2）①由坐標平移的性質可得，由點A與點B關于對稱軸對稱，且對稱軸為直線，求得，進而可得，代入二次函數(shù)的解析式計算即可得解；②由拋物線解析式可得該拋物線的開口向上，且對稱軸為直線，分三種情況：當，即時，此時隨著的增大而減?。划敃r，，且；當時，，且；分別利用二次函數(shù)的性質計算即可得解．【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點坐標為．∴，，∴，，∴拋物線的表達式為；（2）解：①將點向右平移6個單位后得到點B，∴，∵點A與點B關于對稱軸對稱，且對稱軸為直線，∴，∴，∴，將代入拋物線解析式可得：，∴，∴；②∵拋物線的表達式為；∴該拋物線的開口向上，且對稱軸為直線，當，即時，此時隨著的增大而減小，當時，取得最大值為，當時，取得最小值為，∵該二次函數(shù)的最大值是最小值的2倍，∴，解得：或，∵，∴；當時，，且，此時，當時，取得最大值為，當時，取得最小值為，∵該二次函數(shù)的最大值是最小值的2倍，∴，解得：或，∵，∴；當時，，且，此時，當時，取得最大值為，當時，取得最小值為，∵該二次函數(shù)的最大值是最小值的2倍，∴，解得：或，∵，∴此種情況不成立；綜上所述，的值為或．13．(1)(2)見解析(3)或【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答即可；（2）利用拋物線與x軸兩個交點的橫坐標為k、，得到一元二次方程（a，b，c是常數(shù)，）的兩根為k、，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關系定理得到，，代入化簡即可得出結論；（3）利用拋物線上點的坐標的特征得到，依據(jù)題意得到不等式，利用分類討論的思想方法結合不等式的性質得到關于a的不等式，解不等式即可得出結論．【詳解】（1）解：若拋物線的圖象經(jīng)過，．，該拋物線的圖象不經(jīng)過點C．該拋物線的圖象經(jīng)過，，，解得：，該拋物線的函數(shù)解析式為；（2）證明：拋物線與x軸兩個交點的橫坐標為k、，一元二次方程（a，b，c是常數(shù)，）的兩根為k、，，，，，．；（3）解：，，，是拋物線上的點，，對于都有，，．．①當時，則，，，，．②當時，則，，，，，．綜上，a的取值范圍為或．14．(1)(2)(3)或【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答即可；（2）利用平移的性質得到平移后的點的坐標，再利用二次函數(shù)的性質解答即可；（3）利用分類討論的思想方法分三種情況討論解答：①當時，即時，利用二次函數(shù)的性質求得最大值與最小值，列出方程解答即可；②當時，利用二次函數(shù)的性質求得最大值與最小值，列出方程解答即可；③當時，利用二次函數(shù)的性質求得最大值與最小值，列出方程解答即可．【詳解】（1）解：由題意，二次函數(shù)經(jīng)過點，對稱軸為直線，，解得二次函數(shù)的表達式．（2）由題意，點，，連結，將向上平移5個單位長度，設平移后的點的對應點為，點的對應點為，平移后的，點，，又令，即，，拋物線與軸的交點為和．將再向右平移個單位長度后，恰好與的圖象有交點，．令，則，或，的長度為5，．綜上，的取值范圍為．（3）由題意，二次函數(shù)的對稱軸為直線，，當時，隨的增大而減小，當時，隨的增大而增大．①當時，即時，，最小值為．（不合題意，舍去）或．②當時，，二次函數(shù)的最小值為，不合題意，舍去．③當時，，二次函數(shù)的最小值為，（不合題意，舍去）或．綜上，或．15．(1)見解析(2)【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，二次函數(shù)最值，分類討論思想的運用是解題的關鍵．（1）分當時，和當時，利用根的判別式即可判斷；（2）根據(jù)，原不等式轉化為：，分情況：①當時，②當時，③當時，分別求解即可．【詳解】（1）解：當時，函數(shù)為，與軸交于，當時，，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴函數(shù)與軸總有交點；（2）解：∵，∴原不等式轉化為：，分情況討論：①當時，函數(shù)為：，當時，，滿足條件；②當時，函數(shù)的圖象開口向上，此時對稱軸，∴當時，隨的增大而減小，當時，，∴當時，函數(shù)恒成立；③當時，函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸，此時由圖象性質可得當時，沒有最小值，即不成立；綜上所述，滿足條件的的取值范圍是．16．(1)(2)3(3)3或【分析】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)表達式、二次函數(shù)的圖象與性質、函數(shù)圖象的平移，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解答的關鍵．（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）利用函數(shù)圖象平移的規(guī)則“左加右減，上加下減”得到平移后的函數(shù)表達式，再求得時的m值即可；（3）分，，三種情況，利用二次函數(shù)的性質求解即可．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)（b，c為常數(shù)）的對稱軸為直線，且過點，∴，，則，∴該二次函數(shù)的表達式為；（2）解：將該函數(shù)圖象向上平移m個單位后，所得函數(shù)表達為，∵所得圖象與x軸只有一個交點，∴方程有兩個相等的實數(shù)根，∴，解得；（3）解：二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線，頂點坐標為，，∴拋物線上，橫坐標為5的點的對稱的點的橫坐標為，∴當時，最大值，最小值，由得，解得，（舍去）；當時，最大值，最小值，∴不滿足，不符合題意；當時，最大值為，最小值為，由得，解得，（舍去），綜上，t的值為3或．17．(1)(2)(3)【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質，二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)圖象的平移，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質，利用分類討論思想，數(shù)形結合思想是解題的關鍵．（1）根據(jù)對稱軸是直線和經(jīng)過點，可列二元一次方程組，即可求得解析式；（2）設，則平移后拋物線的對稱軸仍然為直線，通過對稱軸不變來解出，從而得出上移距離；（3）分和兩種情況來討論函數(shù)的最大值即可，注意求出的值和和得到的范圍一致才是有解．【詳解】（1）解：由題意可得，，，；（2）解：由題意可得，設，，，把代入，得，；（3）解：①當時，當時，，（舍）②當時，當時，，，，綜上所述，．18．(1)6(2)“最優(yōu)縱橫值”為10；“最劣縱橫值”為(3)①．②或【分析】該題是自定義類函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質等知識點，解題的關鍵是掌握以上知識點，讀懂題意．（1）根據(jù)“縱橫值”的概念解答即可；（2）將二次函數(shù)圖象上所有點的“縱橫值”可以表示為頂點式，結合函數(shù)圖象的性質求出它的“最優(yōu)縱橫值”和“最劣縱橫值”；（3）根據(jù)二次函數(shù)圖象的頂點在“縱橫值”為5的函數(shù)圖象上，得到頂點坐標為．由此得到函數(shù)解析式．①根據(jù)“最優(yōu)縱橫值”定義求出a的值即可；②分別計算出當時，當時y的值，得出拋物線的開口向下，進而得到函數(shù)的增減性，再分情況解答．【詳解】（1）解：點的“縱橫值”為，故答案為：6．（2）解：二次函數(shù)圖象上所有點的“縱橫值”可以表示為．∵，∴拋物線的開口向下，∵對稱軸為直線，∴當時取最大值，“最優(yōu)縱橫值”為10．當時，；當時，．∵，∴當時取最小值，“最劣縱橫值”為．（3）解：二次函數(shù)的對稱軸為．∵頂點在“縱橫值”為5的函數(shù)圖象上，∴頂點在的圖象上．∴頂點坐標為．∴．①∵的“最優(yōu)縱橫值”為．∴，解得．∴二次函數(shù)的表達式為．②∵，∴函數(shù)的頂點坐標為．當時，；當時，．∵，∴拋物線的開口向下．∴當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小．分以下幾種情況：當，即時，．∴．解得（不合題意，舍去）或（不合題意，舍去）；當，即時，．∴．解得（不合題意，舍去）或（不合題意，舍去）；當，即時，當，即時，．∴．解得（不合題意，舍去）或或（不合題意，舍去）；當，即時，．∴．解得（不合題意，舍去）或或（不合題意，舍去）；綜上所述，的值為或．19．(1)(2)見解析(3)(4)【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；（2）把拋物線解析式和直線l解析式聯(lián)立方程組，整理得出，然后判斷即可；（3）設該直線解析式為，聯(lián)立方程組，整理得，結合已知可得出，求出m的值，然后求出方程組的解即可；（4）設直線l與x、y軸交于點A、B，求出A、B的坐標．則可求出，，，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)垂線段最短得當時，最小，此時，即可求解．【詳解】（1）解：把代入，得，解得，∴；（2）證明：聯(lián)立方程組，整理得，∴，∴該方程無實數(shù)根，∴方程組無解，∴此拋物線與直線l無公共點；（3）解：設該直線解析式為，聯(lián)立方程組，整理得，∵與l平行的某直線與拋物線只有一個交點，∴方程有兩個相等的實數(shù)根，∴，∴，∴方程為，解得，當時，，∴點P的坐標為．（4）解：設直線l與x、y軸交于點A、B，當時，，解得；當時，，∴，，又，∴，