/1.5等腰三角形（第4課時(shí)）【教學(xué)目標(biāo)】1.探索并掌握直角三角形的性質(zhì)定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半.2.在研究圖形性質(zhì)和運(yùn)動(dòng)的過程中，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念.3.經(jīng)歷借助圖形思考問題的過程，初步建立幾何直觀.【教學(xué)重點(diǎn)】探索并掌握直角三角形的性質(zhì)定理【教學(xué)難點(diǎn)】利用直角三角形的性質(zhì)定理解決問題創(chuàng)設(shè)情境：如何折疊一張直角三角形紙片，使它變成長方形？探究新知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°.作∠BCD=∠B，CD與AB交于點(diǎn)D.由∠BCD=∠B，可知BD=CD.由等角的余角相等，可知∠A=∠ACD，從而AD=CD.所以DA=DB=DC.所以CD是斜邊AB上的中線，所以CD=AB.直角三角形性質(zhì)定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．符號(hào)語言：Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，OA＝OC，∴BO＝AC例題精講：例1如圖，在中，是斜邊上的中線，，求的度數(shù).例2如圖，在四邊形中，，分別是的中點(diǎn)，證明：(1)；(2)．鞏固練習(xí)：1．如圖，在中，，，AD平分，E是AD中點(diǎn)，若，則CE的長為（

）第1題第2題第3題A． B． C．D．2．如圖，是等腰直角三角形的頂角平分線，，則等于（

）A．8 B．4 C．3 D．23．（2025?德陽）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC沿CB方向向右平移至△EGF處，使EF恰好過邊AB的中點(diǎn)D，連接CD，若CD＝1，則GE＝（）A．3 B．2 C．1D．4．如圖，已知中，，，，點(diǎn)是中點(diǎn)，兩邊，分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)，當(dāng)在內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)(點(diǎn)E不與A，B重合)，給出以下四個(gè)結(jié)論：①；②是等腰直角三角形；③；④．正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè)D．4個(gè)5．如圖，在中，是斜邊的中點(diǎn)，連接，，則的長為．第4題第5題第6題6.（2025?福建）某房梁如圖所示，立柱AD⊥BC，E，F(xiàn)分別是斜梁AB，AC的中點(diǎn)．若AB＝AC＝8m，則DE的長為m．7．如圖，的頂點(diǎn)與的中點(diǎn)均在數(shù)軸上，且，兩點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為，，當(dāng)時(shí)，則的長為．8．一個(gè)直角三角形斜邊上的中線為5，斜邊上的高為4，則此三角形的面積為．9．如圖，在中，，將繞頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接，若，則線段的最大值是．10．如圖，在中，，于點(diǎn)D，E是斜邊的中點(diǎn)，若，則．第9題第10題11．如圖所示，在△ABC中，AD是邊BC上的高，CE是邊AB上的中線，G是CE的中點(diǎn)，AB=2CD，求證：DG⊥CE．12．在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．尺規(guī)作圖：在上確定點(diǎn)，連結(jié)，使得．現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)的做法如下：(1)做法正確的同學(xué)有________．(2)用尺規(guī)作圖的方法畫出一種不同于以上三位同學(xué)的畫法．13．如圖，在中，為斜邊的中線，在線段及的延長線上依次取點(diǎn)，，連接，且，若，求的度數(shù)．14．綜合與實(shí)踐【閱讀理解】（1）如圖1，在Rt中，，為斜邊上的中點(diǎn)．為了探究中線與斜邊的數(shù)量關(guān)系，某數(shù)學(xué)小組經(jīng)過合作探究，猜想．為了證明這一猜想，他們采用了“倍長中線法”，即將中線延長到，使得，連接．據(jù)此將他們的證明過程補(bǔ)充完整．證明：為的中點(diǎn)在與中，（①______）（②____________）（③______）在與中，（④______）【深入探究】（2）如圖2，和為等腰直角三角形，．若點(diǎn)在線段上，連接為線段的中點(diǎn)，連接和．猜想和的數(shù)量、位置關(guān)系，并說明理由．【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，將（2）中條件改為點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，其余不變．問（2）中的結(jié)論仍成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．參考答案例1【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得CD＝AB＝AD，再由三角形的性質(zhì)得到∠DCA＝∠A＝20°，再由∠BCA＝90°，即可得到答案．【詳解】解：在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，∴CD＝AB＝AD，∴∠DCA＝∠A＝20°，∴∠BCD＝90°?∠DCA＝70°例2【分析】（）由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，，進(jìn)而即可求解；（）根據(jù)三線合一即可求證；本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，等腰三角形的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：∵，是的中點(diǎn)，∴，，∴；（2）證明：由（）可知，∵是的中點(diǎn)，∴．鞏固練習(xí)1.【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，根據(jù)角平分線的定義∠DAB=∠B，求出AD，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠BAC=90°-30°=60°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAB=∠BAC=30°，∴∠DAB=∠B，∴AD=BD=a，在Rt△ACB中，E是AD中點(diǎn)，∴CE=AD=，故選：B．2.【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，得，即可得到答案．【詳解】∵是等腰直角三角形的頂角平分線∴，即為等腰直角三角形的中線∴∵∴故選：B．3.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，∴CD是斜邊上的中線∴AB=2CD=2由平移得，GE=AB=2故選B4.【分析】本題考查了等腰直角三角形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．先證明是等腰直角三角形，根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可知，證明，同理可證，同理可證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】解：如圖，，，是等腰直角三角形，，是中點(diǎn)，，、都是的余角，，在與中，，，同理可證，①由得到，故①正確；②由得到，是直角，是等腰直角三角形，故②正確；③由得到，則，故③正確；④，，，，，④錯(cuò)誤；正確結(jié)論為①②③．故選：C．5.【分析】本題考查直角三角形斜邊的中線，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，由此即可計(jì)算．【詳解】解：∵中，D是斜邊的中點(diǎn)，∴．故答案為：3．6.DE=47.【分析】本題主要考查數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，直角三角形斜邊中線等于斜邊一半．根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離得到，由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半即可求解．【詳解】解：由題意可得，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，故答案為：8．8.【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)以及三角形的面積計(jì)算方法，熟練應(yīng)用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半這一性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得出斜邊的長，進(jìn)而可根據(jù)三角形的面積公式求出此三角形的面積．【詳解】解：∵一個(gè)直角三角形斜邊上的中線為5，∴該三角形斜邊長為，∵斜邊上的高為4，該三角形面積為故答案為：209.【分析】本題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短，掌握本題的輔助線的作法是解題的關(guān)鍵．連接，首先依據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)求出，然后再依據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得到，即可得的最大值為．【詳解】解：如圖連接．在中，∵，，∴，根據(jù)旋轉(zhuǎn)不變性可知，，，∵P是的中點(diǎn)，∴，∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴又∵，即，∴的最大值為6（此時(shí)P、C、M共線）．故答案為：6．10.【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．根據(jù)題意先求出，，利用直角三角形兩銳角互余求得，再根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)得到，求得的度數(shù)，進(jìn)而得到答案．【詳解】解：∵，，∴，，∵，∴，又∵E是斜邊的中點(diǎn)，∴，∴，∴．故答案為：．11.【分析】連接DE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DE=AB，再根據(jù)AB=2CD，得到CD=AB，從而可得CD=DE，根據(jù)等腰三角形的三線合一證明即可．【詳解】證明：連接DE，如圖：∵AD是邊BC上的高，CE是邊AB上的中線，∴AD⊥BD，E是AB的中點(diǎn)，∴DE=AB，∵AB=2CD，∴CD=AB，∴CD=DE，∵G是CE的中點(diǎn)，∴DG⊥CE．12.【分析】本題主要考查尺規(guī)作圖，直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，掌握以上知識(shí)，數(shù)形結(jié)合分析是關(guān)鍵．（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合作圖分析判定即可；（2）根據(jù)圓的定義作圖即可．【詳解】（1）解：甲：根據(jù)作圖可知，甲同學(xué)作的是的角平分線，∵，即是等腰三角形，∴，∵點(diǎn)是中點(diǎn)，∴在中，，符合題意；乙：根據(jù)作圖可知，，∵點(diǎn)是中點(diǎn)，∴，即，不符合題意；丙：根據(jù)作圖可知，，∴，在中，，∴，∴，∴點(diǎn)為中點(diǎn)，∴在中，，符合題意；綜上所述，做法正確的同學(xué)有甲、丙；（2）解：∵點(diǎn)是中點(diǎn)，∴，∴以點(diǎn)為圓心，以為半徑畫弧交于于點(diǎn)，連接，如圖所示，∴，∴點(diǎn)即為所求點(diǎn)的位置．13.【分析】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)．先求出，可得，再由直角三角形的性質(zhì)，可得，從而得到，進(jìn)而得到，繼而得到，即可求解．【詳解】解：∵在中，，∴，∵，∴，∵為斜邊的中線，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【分析】本題主要考查了直角三角形斜邊中線定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角定理等內(nèi)容，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上性質(zhì)，并靈活應(yīng)用．（1）根據(jù)全等三角形的判定定理和性質(zhì)，平行線的判定定理和性質(zhì)進(jìn)行證明，補(bǔ)全依據(jù)即可；（2）利用直角三角形斜邊中線定理可確定兩線段的數(shù)量關(guān)系，利用等腰直角三角形的內(nèi)角度數(shù)和三角形外角定理即可得出的度數(shù)，確定位置關(guān)系；（3）延長到，使得．連接．延長和交于,根據(jù)條件證明，得出對(duì)應(yīng)角相等，進(jìn)而利用平行線的判定和性質(zhì)證明，得出對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等，最后利用等腰三角形的性質(zhì)和等量代換得出結(jié)論．【詳解】解：