專題突破練13計(jì)數(shù)原理、概率必備知識(shí)夯實(shí)練1.(2025福建泉州二模)若(ax+1x2)n的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為32,各項(xiàng)系數(shù)之和為243,則展開(kāi)式中1x的系數(shù)是A.32 B.64C.80 D.162.(2024廣東深圳一模)骰子是質(zhì)地均勻的正方體,各面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6.現(xiàn)在擲一枚骰子兩次,記事件A=“兩次點(diǎn)數(shù)的最小值為3”,事件B=“兩次點(diǎn)數(shù)的最大值為6”,則P(B|A)=()A.14 B.C.27 D.3.(2025陜西咸陽(yáng)二模)2025年有雙春年之寓意,雙春年是指在一個(gè)農(nóng)歷年中出現(xiàn)兩個(gè)立春節(jié)氣的現(xiàn)象.這是由于農(nóng)歷和陽(yáng)歷之間的差異造成的,為了使農(nóng)歷與季節(jié)變化相適應(yīng),農(nóng)歷中會(huì)設(shè)置閏月,2025年有閏六月,從而導(dǎo)致一年中出現(xiàn)兩個(gè)立春.在傳統(tǒng)文化中,雙春年通常被認(rèn)為是非常吉利的年份,雙字寓意著好事成雙,在這一年做任何事都會(huì)有好兆頭.那么,用2025,66,2,0,2,5組成不同的10位數(shù)的個(gè)數(shù)為()A.294 B.297C.298 D.3004.(多選題)(2025福建廈門二模)某校開(kāi)展“強(qiáng)國(guó)有我,筑夢(mèng)前行”主題演講比賽,共有6位男生,4位女生進(jìn)入決賽.現(xiàn)通過(guò)抽簽決定出場(chǎng)順序,記事件A表示“第一位出場(chǎng)的是女生”,事件B表示“第二位出場(chǎng)的是女生”,則()A.P(AB)=3B.P(B|A)=1C.P(A)=P(B)D.P(A∪B)=25.(多選題)(2025浙江寧波模擬)在(1x+x2)n的展開(kāi)式中,前3項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列,A.n=8B.展開(kāi)式中所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為128C.展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為1D.展開(kāi)式中系數(shù)最大項(xiàng)為第3項(xiàng)和第4項(xiàng)6.(2025湖北武漢一模)進(jìn)位制是人們?yōu)榱擞?jì)數(shù)和運(yùn)算方便而約定的記數(shù)系統(tǒng),約定滿十進(jìn)一就是十進(jìn)制,滿八進(jìn)一就是八進(jìn)制,即“滿幾進(jìn)一”就是幾進(jìn)制,不同進(jìn)制的數(shù)可以相互轉(zhuǎn)換,如十進(jìn)制下,159=2×82+3×8+7,用八進(jìn)制表示159這個(gè)數(shù)就是237.現(xiàn)用八進(jìn)制表示十進(jìn)制的719,則這個(gè)八進(jìn)制數(shù)的最后一位為()A.3 B.4C.5 D.77.(2025上海崇明二模)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣n次(其中n為大于等于2的整數(shù)),設(shè)事件A表示“n次中既有正面朝上又有反面朝上”,事件B表示“n次中至多有一次正面朝上”,若事件A與事件B是獨(dú)立的,則n的值為()A.5 B.4C.3 D.28.(2025福建漳州一模)(x2+1x23)5的展開(kāi)式中,常數(shù)項(xiàng)為9.(2025八省聯(lián)考,13)有8張卡片,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,現(xiàn)從這8張卡片中隨機(jī)抽出3張,則抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等的概率為.

關(guān)鍵能力提升練10.(2025福建漳州一模)設(shè)A,B是兩個(gè)隨機(jī)事件,且0<P(A)<1,P(B)>0,則下列說(shuō)法正確的是()A.P(AB)>P(B|A)B.1P(AB)=(1P(A))P(B|A)C.若A與B互斥,則P(A∪B)D.若P(AB)≠0,則A與B相互獨(dú)立11.(多選題)(2025廣東茂名模擬)某高中開(kāi)展一項(xiàng)課外實(shí)踐活動(dòng),參與活動(dòng)并提交實(shí)踐報(bào)告可以獲得學(xué)分,且該校對(duì)報(bào)告的評(píng)定分為兩個(gè)等級(jí):合格,不合格.評(píng)定為合格可以獲得0.2學(xué)分,評(píng)定為不合格不能獲得學(xué)分.若評(píng)定為不合格,則下一次評(píng)定為合格的概率為45,若評(píng)定為合格,則下一次評(píng)定為合格的概率為35.已知小李參加了3次課外實(shí)踐活動(dòng),則()A.“小李第一次評(píng)定合格”與“小李第一次評(píng)定不合格”是互斥事件B.若小李第一次評(píng)定為不合格,則小李獲得0.4學(xué)分的概率為12C.若小李第一次評(píng)定為合格,則小李第三次評(píng)定為合格的概率為16D.“小李第一次評(píng)定合格”與“小李第三次評(píng)定合格”相互獨(dú)立12.(2025浙江杭州二模)甲、乙、丙三人分別從2個(gè)不同的數(shù)中隨機(jī)選擇若干個(gè)數(shù)(可以不選),分別構(gòu)成集合A,B,C,記A∩B∩C中元素的個(gè)數(shù)為m,則m≥1的概率為.13.(2025安徽合肥二模)如圖,在4×4的方格中放入棋子,每個(gè)格子內(nèi)至多放一枚棋子,若每行都放置兩枚棋子,則恰好每列都有兩枚棋子的概率為.

核心素養(yǎng)創(chuàng)新練14.(2025山東名校聯(lián)考)若a1,a2,a3,a4,a5,a6為1,2,3,4,5,6的任意排列.設(shè)X=min{max{a1,a2,a3},max{a4,a5,a6}},Y=max{min{a1,a2,a3},min{a4,a5,a6}},則()(已知min{a1,a2,…,an}表示a1,a2,…,an中最小的數(shù),max{a1,a2,…,an}表示a1,a2,…,an中最大的數(shù))A.排列總數(shù)為700B.滿足a1<a2<a3的排列有80個(gè)C.X>4的概率小于3D.X>Y的概率為9

答案：1.C解析因?yàn)?ax+1x2)n的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32,則2n=32,解得n=5,因?yàn)?ax+1x2)5展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和為243,令x=1,代入可得(a+1)5=243=35,解得a=2,(2x+1x2)5的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為Tk+1=C5k(2x)5k·(1x2)k=25k·C5kx53k,k∈{0,1,2,3,4,5},令53k=1,解得k=2,則展開(kāi)式中1x2.C解析事件A包含(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,3),(5,3),(6,3),共7種情況,其中只有(3,6)和(6,3)滿足“兩次點(diǎn)數(shù)的最大值為6”,故P(B|A)=27.故選3.B解析2025,66,2,0,2,5這6個(gè)數(shù)的全排列為A66,又0排在首位有A55種排法,又有2個(gè)2,它們之間的排序有A22種,當(dāng)2,0,2,5這4個(gè)以2025這種順序與66和2025排序有A31=3種,所以用24.BCD解析由題意得,P(AB)=C41·C3由題意得,P(A)=C41·A99A1010=4×A對(duì)于事件B可分為兩種情況,即第一位出場(chǎng)的是男生,第二位出場(chǎng)的是女生,或第一位出場(chǎng)的是女生,第二位出場(chǎng)的是女生,∴P(B)=C6∴P(A)=P(B),故C正確;P(A∪B)=P(A)+P(B)P(AB)=25+25-215=5.ABD解析(1x+x2)n展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為Tk+1=Cnk(1x)nk·(x2)k=12k·Cnkxk-n2,則前3項(xiàng)的系數(shù)分別為Cn0,12Cn1,14Cn2,對(duì)于A,由題意可得2×12Cn1=Cn0+14Cn2,即n=1+n(n-1)8,解得n=8或n=1(舍去),所以n=8,故A正確;對(duì)于B,(1x+x2)8展開(kāi)式中所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為282=128,故B正確;對(duì)于C,(6.D解析719=(81)19=819C191×818+C192×817C193×816+C194×815+…+C1918×81,而C1918×817.C解析拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣n次,所有可能的結(jié)果有2n種.事件A表示“n次中既有正面朝上又有反面朝上”,其對(duì)立事件A為“n次都是正面朝上或n次都是反面朝上”,A包含的情況有2種,所以P(A)=22n=12n-1.根據(jù)對(duì)立事件概率之和為1,可得P(A)事件B表示“n次中至多有一次正面朝上”,即“n次中沒(méi)有正面朝上(全是反面朝上)”或“n次中有一次正面朝上”.“n次中沒(méi)有正面朝上”的情況有1種;“n次中有一次正面朝上”,從n次中選1次為正面朝上,有Cn1=n種情況.所以事件B包含的情況共有n+1種,則P(B)事件A∩B表示“n次中既有正面朝上又有反面朝上且至多有一次正面朝上”,即“n次中有一次正面朝上”,有Cn1=n種情況,所以P(A∩B)因?yàn)槭录嗀與事件B是獨(dú)立的,所以P(A∩B)=P(A)P(B),即n2n=(11可得n=(112n-1)(n+1),展開(kāi)得n=n+1n+12n-1當(dāng)n=2時(shí),2+1=3,221=2,等式不成立;當(dāng)n=3時(shí),3+1=4,231=4,等式成立;當(dāng)n=4時(shí),4+1=5,241=8,等式不成立.綜上,n=3.故選C.8.873解析(x2+1x23)5的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為C51·C41·(3)3+C52·C32·(3)+(3)5=20×(3)9.356解析從8張卡片中隨機(jī)抽出3張,則樣本空間中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為C8因?yàn)?+2+3+4+5+6+7+8=36,所以要使抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等,則抽出的3張卡片上的數(shù)字之和應(yīng)為18,則抽出的3張卡片上的數(shù)字的組合有8,7,3或8,6,4或7,6,5,共3種,所以符合抽出的3張卡片上的數(shù)字之和為18的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3,所以抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等的概率為310.C解析對(duì)于A選項(xiàng),P(B|A)=P(AB)P(A),若P(AB)>P(B|A),則P(A)>對(duì)于B選項(xiàng),P(B|A)=P(AB)P(A)=P(AB)1-P(A),若1P(AB)=(1P(A))·P(B|A),則1P(AB)=P(AB),所以P(AB)對(duì)于C選項(xiàng),因?yàn)锳與B互斥,所以A∩B=?,又A∪A=Ω,B∪B=Ω,所以A?B,B?A,所以A∪B=Ω,故P(A∪對(duì)于D選項(xiàng),P(AB)≠0,不能說(shuō)明P(AB)=P(A)P(B)成立,故D選項(xiàng)不正確.故選C.11.AB解析事件“小李第一次評(píng)定合格”與“小李第一次評(píng)定不合格”不可能同時(shí)發(fā)生,所以互斥,故A正確;若第一次評(píng)定為不合格,設(shè)事件Ai=“第i次評(píng)定為合格”,i=2,3.則事件“小李獲得0.4學(xué)分”即事件A2A3,由概率乘法公式得,P(A2A3)=P(A2)P(A3|A2)=45×35=若第一次評(píng)定為合格,則由全概率公式得,P(A3)=P(A3|A2)P(A2)+P(A3|A2)P(A2)=35×35+45×(P(A3|A1)=1725,若第一次評(píng)定為不合格,由全概率公式可得P(A3)=P(A3|A2)P(A2)+P(A3|A2)P(A2)=45×35即P(A3|A1)=1625,所以P(A3|A1)≠P(A3|A1),即第一次評(píng)定是否合格對(duì)第三次評(píng)定合格的概率有影響,故“小李第一次評(píng)定合格”與“小李第三次評(píng)定合格”不相互獨(dú)立,故D錯(cuò)誤.12.1564解析設(shè)兩個(gè)不同數(shù)為1,2,一個(gè)元素被某人選中的概率為12且各元素被選中與否相互獨(dú)立,所以一個(gè)元素被甲、乙、丙三人都選中的概率為(12)3=18,由A∩B∩C中元素的個(gè)數(shù)m≥1,表示至少一個(gè)元素被三人選中,而兩個(gè)元素均未被三人選中的概率為(118)2=4964,13.572解析設(shè)“每行都放置兩枚棋子”為事件A,“每列都有兩枚棋子”為事件B,則所求概率為P(B|A)根據(jù)題意,每行都放置兩枚棋子,即每行都在4個(gè)方格中選2個(gè)放置棋子,有C42種方法,所以n(A)=C42·對(duì)于“每行每列都放置兩枚棋子”,不妨令第一行的兩枚棋子放置在左邊第一、二個(gè)方格,此時(shí)第二行有C42=6種放置方法,圖1圖2圖3圖4圖5圖6圖1有1種方法,圖2,3,4,5各有2種方法,圖6中,第三行有C42=6種放置方法,其選定方格后,第四行只有唯一的放置方法,所以總共有1+2×4+6=15因?yàn)榈谝恍衅遄佑蠧24=6種放置方法,其他5種情況同理,故n(AB)=6×15=90.所以若每行都放置兩枚棋子,則恰好每列都有兩枚棋子的概率P(B|A)=P(AB14.D解析對(duì)于A,1,2,3,4,5,6的任意排列方法總數(shù)為A66=720,故A對(duì)于B,若a1<a2<a3,則先從1,2,3,4,5,6中隨機(jī)選出3個(gè)數(shù),共有C63=20種不同的方法,再將剩下3個(gè)數(shù)任意排列,共有A33=6種不同的方法,則滿足a1<a2<a3的排列有20×6=120個(gè),故B對(duì)于C,D,因?yàn)閧a1,a2,a3}={1,2,3},{a4,a5,a6}={4,5,6},X=3,Y=4,{a1,a2,a3}={1,2,4},{a4,a5,a6}={3,5,6},X=4,Y=3,{a1,a2,a3}={1,2,5},{a4,a5,a6}={3,4,6},X=5,Y=3,{a1,a2,a3}={1,2,6},{a4,a5,a6}={3,4,5},X=5,Y=3,{a1,a2,a3}={1,3,4},{a4,a5,a6}={2,5,6},X=4,Y=2,{a1,a2,a3}={1,3,5},{a4,