瀘州高中年秋期高級半期考試數(shù)學試題命題人：李仕均、劉美君審題人：賀玲一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.命題“”的否定為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，得出答案．【詳解】命題“”的否定為“”.故選：D.2.“且”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】按照充分必要條件的判斷方法判斷，“且”能否推出“”，以及“”能否推出“且”，判斷得到正確答案，【詳解】當且時，成立，反過來，當時，例：，不能推出且.所以“且”是“”的充分不必要條件.故選：A【點睛】本題考查充分不必要條件的判斷，重點考查基本判斷方法，屬于基礎題型.第1頁/共16頁3.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)判斷各項對應函數(shù)是否符合題設.【詳解】由冪函數(shù)性質(zhì)知：、為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，為非奇非偶函數(shù)，在上遞減，遞增，綜上，是偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞減.故選：A4.已知集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】解分式不等式，可得集合，再根據(jù)集合的交集與補集知識，結(jié)合題圖求解即可.【詳解】由，得，所以，又，所以，所以圖中陰影部分表示的集合為.故選：.5.已知集合，且，則等于（）第2頁/共16頁A.－3或－1B.3C.1D.3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)元素與集合的關系列式求解，再代入檢驗即可.【詳解】因為集合，且，則或，所以或；當時，不合題意舍；當時，符合題意；故選：B.6.已知一次增函數(shù)滿足，則（）A.1或3B.3或1C.3D.1【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件，利用待定系數(shù)法，求出，即可求解.【詳解】由一次增函數(shù)，可設，則，所以，解得或當時，，此時，，故選：D7.如圖，點在邊長為1的正方形邊上運動，是的中點，當點沿運動時，點經(jīng)過的路程與的面積的函數(shù)的圖象的形狀大致是（）第3頁/共16頁C.D.E.均不是【答案】A【解析】【分析】求出點在對應線段上時的解析式，結(jié)合圖象判斷即可得.【詳解】當點在上時，，當點在上時，，當點在上時，，其中A選項符合要求，B、C、D都不符合要求，故A正確.故選：A.8.已知，，若關于的不等式在上恒成立，則的最小值是（）A.4B.C.8D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，由不等式可得兩函數(shù)有共同零點，由此得是方程的根，可得，的關系，消再利用基本不等式求解最值可得．【詳解】設，，又，所以在單調(diào)遞增，當時，；當時，，由圖象開口向上，，第4頁/共16頁可知方程有一正根一負根，即函數(shù)在有且僅有一個零點，且為異號零點；由題意知，則當時，；當時，，所以是方程的根，則，即，且，所以，當且僅當，即時，等號成立，則的最小值是8.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列各項不能表示同一個函數(shù)的是（）A.，B.，C.，D.，【答案】ABC【解析】【分析】同一函數(shù)要求定義域和解析式完全一致，根據(jù)每個選項中的解析式分別求解定義域，化簡解析式，再判斷即可.【詳解】對于，因為，不是同一函數(shù)；第5頁/共16頁對于，因為的定義域為，的定義域為，不是同一函數(shù)；對于，因為的定義域為，的定義域為，不是同一函數(shù)；對于，，所以與定義域與解析式完全一致，是同一函數(shù).故選：ABC.10.若函數(shù)，定義域為，下列結(jié)論正確的是（）A.的圖象關于軸對稱B.，使C.在和上單調(diào)遞減D.的值域為【答案】AC【解析】【分析】分析函數(shù)的奇偶性判斷A；令，求出的值和定義域比較判斷B；分別在和研究函數(shù)單調(diào)性判斷C；求出函數(shù)的值域判斷D.【詳解】對于A，，定義域為，關于原點對稱，，所以為偶函數(shù)，關于軸對稱，故A正確；對于B，，則，即，解得，與定義域矛盾，第6頁/共16頁所以不存在，使，故B錯誤；對于C，，因為當和，單調(diào)遞增，所以單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減，故C正確；對于D，由選項C可知，，因為且，則且，所以且，即且，所以的值域為，故D錯誤，故選：AC.在整數(shù)集Z中，被4除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個“類”，記為，，則下列結(jié)論正確的為（）A.B.C.D.整數(shù)a，b屬于同一“類”的充要條件是“”【答案】BCD【解析】【分析】理解“類”的定義，容易判斷AB選項的正誤；而C，則由被4除所得的余數(shù)只有四種情況理解辨析即可；而D，則需要互為條件結(jié)果各證一次，進而得以判斷.【詳解】對于A，由得，故A錯誤；對于B，由得，故B正確；對于C，所有整數(shù)被4除所得的余數(shù)只有四種情況，即剛好分成共4類，故第7頁/共16頁，故C正確.對于D，若整數(shù)屬于同一“類”，則，故，所以；反之，不妨設，則，若，則，即，所以整數(shù)屬于同一“類”；故整數(shù)屬于同一“類”的充要條件是“”，即D正確.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分．12.若冪函數(shù)圖象經(jīng)過點，則______．【答案】4【解析】【分析】設出冪函數(shù)，通過冪函數(shù)經(jīng)過的點，即可求解冪函數(shù)的解析式，再求函數(shù)值．【詳解】由題意設，冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，∴，則，∴，則，故答案為：413.定義單調(diào)遞增區(qū)間為______．【答案】和【解析】【分析】先由函數(shù)新定義和不等式解出分段函數(shù)的表達式，再求出單調(diào)遞增區(qū)間即可.【詳解】當即時，解得，第8頁/共16頁所以，因為二次函數(shù)的對稱軸為，開口向下，所以遞增區(qū)間為，一次函數(shù)在定義域上為遞增函數(shù)，綜上，的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：和.14.定義：表示不小于x的最小整數(shù)，如：，，當時，則______；當，則x的取值范圍是______．【答案】①.②.【解析】可得轉(zhuǎn)化為類討論可知當時有符合題意的解集，由此可得結(jié)果.【詳解】當時，則；由得：，即，當時，，則當時，，則，解得：；當時，，則，解得：依次類推可知，當時，不成立，綜上所述：，即取值范圍為.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（1）求值；第9頁/共16頁【答案】（1）2）329.【解析】1）利用指數(shù)運算法則計算即得.（2）利用指數(shù)運算法則化簡求值.1）.（2）由，得，所以.16.已知集合，，（1）當時，求；（2）若，且p是q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】1）由題可得集合，然后利用交集的定義運算即得；（2）由題可得，然后分為空集與不為空集兩種情況求出的范圍即可．【小問1詳解】當時，，又，則；【小問2詳解】因為p是q的充分不必要條件，所以，①若，則，解得；②若，由得到，，第10頁/共16頁解得：，綜上：的取值范圍是．17.定義在上的奇函數(shù)（，為常數(shù)）滿足．（1）求函數(shù)的解析式；（2）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并加以證明；（3）若，使得不等式成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）在上單調(diào)遞增，證明見解析（3）【解析】1）根據(jù)和，可求的值，再驗證此時為奇函數(shù)即可.（2）先猜測函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可.（3）把問題轉(zhuǎn)化成“大于在上的最小值”，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，列式求解.【小問1詳解】因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，又.此時，因為恒成立，所以函數(shù)為奇函數(shù).故為所求.【小問2詳解】因為，，所以猜測在上單調(diào)遞增.第11頁/共16頁設，所以，因為，所以，，，所以，所以，即.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.【小問3詳解】因為，使得不等式成立，所以有大于在上的最小值.由（2）可得，當時，.由或.所以，實數(shù)的取值范圍為.18.已知函數(shù)，不等式的解集為且．（1）求在的值域；（2的定義域為的取值范圍；（3）若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，求的最小值．【答案】（1）（2）（3）【解析】1）先根據(jù)一元二次不等式的解集和求的解析式，再求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的值域.第12頁/共16頁（2）問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的零點分布問題求參數(shù)的取值范圍.（3）根據(jù)區(qū)間和二次函數(shù)對稱軸的位置關系討論函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，求其最小值即可.【小問1詳解】因為不等式的解集為，所以且，所以，又，所以，.所以.當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，.所以在上的值域為.【小問2詳解】因為，其圖象是開口向上的拋物線，且對稱軸為，所以上單調(diào)遞增.由題意，是方程即的兩個正根，所以.故實數(shù)的取值范圍為.【小問3詳解】因為，其圖象是開口向上的拋物線，且對稱軸為.當，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以；第13頁/共16頁當，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以.綜上可知，函數(shù)的最小值為.19.某中學的數(shù)學小組在探究函數(shù)的性質(zhì)時，發(fā)現(xiàn)函數(shù)和，它們雖然都是增函數(shù)，但是圖象上卻有很大的差異．通過觀察圖象和閱讀數(shù)學文獻，該小組了解到了函數(shù)的凹凸性的概念．定義：設連續(xù)函數(shù)的定義域為，若對于內(nèi)任意兩數(shù)，，都有，則稱為為Jensen是區(qū)間上的凹函數(shù)，則對任意的，有不等式恒成立（當且僅當最值問題時，關鍵是構(gòu)造函數(shù)．（1）設函數(shù)，且當時，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；（2）試判斷在上的凹凸性，并說明理由；（3，的最小值．【答案】（1）；（2）在上為凹函數(shù)，理由見解析；（3）【解析】1）利用單調(diào)性化簡不等式為，再用恒成立并結(jié)合最值求解.第14頁/共16頁（3）結(jié)合（2）判斷為凹