思維特訓(xùn)(十九)eq\f(1,2)n(n－1)的應(yīng)用方法點(diǎn)津·1．?dāng)?shù)學(xué)模型下列問(wèn)題中，n表示整數(shù)，且n≥2.(1)同一平面內(nèi)有任意三個(gè)點(diǎn)不在同一條直線上的n個(gè)點(diǎn)eq\o(→,\s\up7(過(guò)其中任意兩點(diǎn)畫直線))所畫直線的條數(shù)為eq\f(1,2)n(n－1)；(2)一條直線上有n個(gè)點(diǎn)eq\o(→,\s\up7(以其中任意兩個(gè)),\s\do5(點(diǎn)為端點(diǎn)的線段))所得線段的條數(shù)為eq\f(1,2)n(n－1)；(3)平面內(nèi)有n條直線eq\o(→,\s\up7(保證兩兩相交))最多交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為eq\f(1,2)n(n－1)；(4)有公共頂點(diǎn)的n條射線eq\o(→,\s\up7(任意兩條均不重合))形成角的個(gè)數(shù)為eq\f(1,2)n(n－1)．2．知識(shí)遷移(1)n個(gè)球隊(duì)eq\o(→,\s\up7(單循環(huán)比賽),\s\do5(（即每?jī)蓚€(gè)隊(duì)都要打一場(chǎng)比賽）))比賽場(chǎng)數(shù)為eq\f(1,2)n(n－1)；(2)n個(gè)人eq\o(→,\s\up7(每?jī)扇宋找淮问?)共握手的次數(shù)為eq\f(1,2)n(n－1)．典題精練·1．我們知道過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線．閱讀下面的文字，分析其內(nèi)在含義，然后回答問(wèn)題：如圖19－S－1，同一平面內(nèi)，任意三點(diǎn)不在同一直線上的四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，過(guò)每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)畫一條直線，一共可以畫出多少條直線呢？我們可以這樣來(lái)分析：過(guò)A點(diǎn)可以畫出三條通過(guò)其他三點(diǎn)的直線，過(guò)B點(diǎn)也可以畫出三條通過(guò)其他三點(diǎn)的直線．同樣，過(guò)C點(diǎn)、D點(diǎn)也分別可以畫出三條通過(guò)其他三點(diǎn)的直線．這樣，一共得到3×4＝12(條)直線，但其中每條直線都重復(fù)過(guò)一次，如直線AB和直線BA是一條直線，因此，圖中一共有eq\f(3×4,2)＝6(條)直線．請(qǐng)你仿照上面的分析方法，回答下列問(wèn)題：圖19－S－1(1)若平面內(nèi)有五個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，E，其中任何三點(diǎn)都不在一條直線上，過(guò)每?jī)牲c(diǎn)畫一條直線，一共可以畫出________條直線；若平面上有符合上述條件的六個(gè)點(diǎn)，一共可以畫出________條直線；若平面上有符合上述條件的n個(gè)點(diǎn)，一共可以畫出________條直線(用含n的式子表示)．(2)若某校初中24個(gè)班之間進(jìn)行籃球比賽，第一階段采用單循環(huán)比賽(每?jī)蓚€(gè)班之間比賽一場(chǎng))，類比上面的分析計(jì)算第一階段比賽的總場(chǎng)次是多少．2．操作：如圖19－S－2①，有五條射線與一條直線分別交于A1，A2，A3，A4，A5五點(diǎn)．(1)請(qǐng)用字母表示以O(shè)為端點(diǎn)的所有射線；(2)直線AB上的線段共有多少條？(3)以O(shè)為頂點(diǎn)的角有多少個(gè)？拓展：如圖②，如果n條射線與一條直線分別相交于A1，A2，A3，A4，…，An點(diǎn)，那么直線AB上的線段共有多少條？以O(shè)為頂點(diǎn)的角有多少個(gè)？圖19－S－23．已知：如圖19－S－3.圖19－S－3(1)如圖19－S－3①，兩條直線相交，最多有________個(gè)交點(diǎn)；如圖②，三條直線相交，最多有________個(gè)交點(diǎn)；如圖③，四條直線相交，最多有________個(gè)交點(diǎn)；如圖④，五條直線相交，最多有________個(gè)交點(diǎn)．(2)歸納、猜想：30條直線相交，最多有多少個(gè)交點(diǎn)？(3)小明有12種不同顏色的顏料，在顏料的調(diào)色中，若只能將它們中的任意兩種顏料按2∶1的比例混合調(diào)配，那么小明畫一幅圖，總共有幾種不同顏色的顏料可供使用？4．如圖19－S－4，點(diǎn)A1，A2，A3，A4，A5，…，An在直線l上．圖19－S－4(1)探索：①圖(a)中直線l上有2個(gè)點(diǎn)，則圖中有________條線段；②圖(b)中直線l上有3個(gè)點(diǎn)，則圖中有________條線段；…③圖(c)中直線l上有n個(gè)點(diǎn)，則圖中有________條線段．(2)應(yīng)用上面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決下列問(wèn)題：①某學(xué)校七年級(jí)共有6個(gè)班進(jìn)行足球比賽，準(zhǔn)備進(jìn)行單循環(huán)賽，預(yù)計(jì)全部賽完共需________場(chǎng)比賽；②某會(huì)議有20人參加，每?jī)扇宋帐忠淮?，共握手________次．5．閱讀理解：我們知道：一條線段有兩個(gè)端點(diǎn)，線段AB和線段BA表示同一條線段．若在直線l上取了三個(gè)不同的點(diǎn)，則以它們?yōu)槎它c(diǎn)的線段共有________條，若取了四個(gè)不同的點(diǎn)，則共有線段________條……依此類推，若取了n個(gè)不同的點(diǎn)，則共有線段________條(用含n的式子表示)．類比探究：以一個(gè)銳角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)向這個(gè)角的內(nèi)部引射線．圖19－S－5(1)如圖19－S－5，若引出兩條射線，則所得圖形中共有________個(gè)銳角；(2)若引出n條射線，則所得圖形中共有________個(gè)銳角(用含n的式子表示)．拓展應(yīng)用：一條鐵路上共有8個(gè)火車站點(diǎn)，若一列火車往返過(guò)程中必須?？棵總€(gè)車站，則鐵路局需為這條線路準(zhǔn)備多少種車票？詳解詳析1．解：(1)5個(gè)點(diǎn)，共畫eq\f(5×（5－1）,2)＝10(條)直線，6個(gè)點(diǎn)，共畫eq\f(6×（6－1）,2)＝15(條)直線，n個(gè)點(diǎn)，共畫eq\f(1,2)n(n－1)條直線．(2)一共24個(gè)隊(duì)，每個(gè)隊(duì)進(jìn)行23場(chǎng)比賽，但每?jī)蓚€(gè)隊(duì)的比賽重復(fù)數(shù)一次，所以應(yīng)除以2，即第一階段比賽的總場(chǎng)次是24×23÷2＝276(場(chǎng))．2．解：操作：(1)射線OA1，OA2，OA3，OA4，OA5.(2)10條．(3)10個(gè)．拓展：直線AB上的線段共有eq\f(1,2)n(n－1)條；以O(shè)為頂點(diǎn)的角有eq\f(1,2)n(n－1)個(gè)．3．解：(1)兩條直線相交，最多有1個(gè)交點(diǎn)．三條直線相交，最多有3個(gè)交點(diǎn)．四條直線相交，最多有6個(gè)交點(diǎn)．五條直線相交，最多有10個(gè)交點(diǎn)．(2)30條直線相交，最多有eq\f(30×29,2)＝435(個(gè))交點(diǎn)．(3)總共有12×(12－1)＝132(種)不同的顏料可供使用．4．解：探索：(1)①有1條線段．②有3條線段．③有eq\f(n（n－1）,2)條線段．(2)①全部賽完共需eq\f(6×5,2)＝15(場(chǎng))比賽．②共握手eq\f(20×19,2)＝190(次)．5．解：閱讀理解：36eq\f(n（n－1）,2)類比探究：(1)引出兩條射線，共有4條