專題02一元二次函數(shù)、方程與不等式（易錯必刷50題10種題型專項訓練）題型一利用不等式的性質(zhì)比較大小題型二利用不等式的基本性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍題型三對基本不等式的理解及簡單應用題型四利用基本不等式比較大小題型五利用基本不等式求解恒成立問題題型六利用基本不等式求最值題型七解不含參數(shù)的一元二次不等式題型八一元二次不等式與根與系數(shù)關(guān)系的交匯題型九含有參數(shù)的一元二次不等式的解法題型十不等式的恒成立問題題型一利用不等式的性質(zhì)比較大?。ü?小題）1．（24-25高一上·上海楊浦·階段練習）已知，且，則下列不等式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)特值法可排除，，，根據(jù)在上單調(diào)遞增，可判斷項.【詳解】當時，，故錯誤；當，時，，故錯誤；因為在上單調(diào)遞增，且，所以，故正確；當，時，，故錯誤.綜上，正確的為.故選：.2．（24-25高一上·湖南永州·階段練習）已知，則下列不等式一定成立的是（

）.A． B． C． D．【答案】D【分析】利用不等式的性質(zhì)進行推理分析即可.【詳解】由，兩邊同時除以得：，故A錯誤；由，兩邊同時乘以得：，故B錯誤；由，兩邊同時平方得：，故C錯誤；由，兩邊同時乘以得：，故D正確；故選：D.3．（24-25高一上·貴州六盤水·階段練習）已知，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合特殊值討論各選項即可求解.【詳解】，則，對于A，，所以，A選項正確；對于BCD，當時，，，無意義，故BCD選項錯誤.故選：A4．（24-25高一上·河南·階段練習）已知，，為實數(shù)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷．【詳解】，充分性成立，時，可能有，此時，即不一定成立，必要性不滿足，所以是充分不必要條件，故選：A．5．（24-25高一上·安徽亳州·階段練習）下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【分析】通過舉反例排除A,C兩項，利用不等式的性質(zhì)進行推理，可以排除D項，證得B項.【詳解】對于A,當時，顯然不成立，故A錯誤；對于B，由，利用不等式的性質(zhì)易得，故B正確；對于C，當時，取，則，故C錯誤；對于D，當時，，由不等式的性質(zhì)，可得，故D錯誤.故選：B.題型二利用不等式的基本性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍（共5小題）6．（2024·浙江金華·一模）某高中高三（15）班打算下周開展辯論賽活動，現(xiàn)有辯題A、B可供選擇，每位學生都需根據(jù)自己的興趣選取其中一個作為自己的辯題進行資料準備，已知該班的女生人數(shù)多于男生人數(shù)，經(jīng)過統(tǒng)計，選辯題A的人數(shù)多于選辯題B的人數(shù)，則（

）A．選辯題A的女生人數(shù)多于選辯題B的男生人數(shù)B．選辯題A的男生人數(shù)多于選辯題B的男生人數(shù)C．選辯題A的女生人數(shù)多于選辯題A的男生人數(shù)D．選辯題A的男生人數(shù)多于選辯題B的女生人數(shù)【答案】A【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)以及簡單的邏輯推理，找出正確的選項即可.【詳解】設(shè)選辯題A的男生有x人，選辯題A的女生有y人，選辯題B的男生有m人，選辯題B的女生有n人.已知該班女生人數(shù)多于男生人數(shù)，即；又知選辯題A的人數(shù)多于選辯題B的人數(shù)，即.將這兩個不等式相加得到：，兩邊同時消去得到，即.這就意味著選辯題A的女生人數(shù)多于選辯題B的男生人數(shù).故選：A.7．（24-25高一上·湖南邵陽·階段練習）下列說法不正確的是（

）A．命題p：，，則命題p的否定：，B．若集合中只有一個元素，則C．若，，則D．已知集合，且，滿足條件的集合N的個數(shù)為4【答案】B【分析】利用命題的否定形式判斷A；集合的子集關(guān)系判斷B；不等式的性質(zhì)判斷C；集合的子集的個數(shù)判斷D.【詳解】對于A，由全稱命題的否定知，命題p：，，的否定為，，故A正確；對于B，若集合中只有一個元素，當時，，符合題意，又，解得，也符合題意，故B不正確；對于C，因為，，所以，，則，故C正確.對于D，由，故集合N的個數(shù)為，故D正確.故選：B8．（24-25高一上·廣東廣州·階段練習）已知，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．的取值范圍為 B．的取值范圍為C．的取值范圍為 D．取值范圍為【答案】D【分析】根據(jù)的取值范圍，可得到以及的取值范圍，然后相加相乘即可得解.【詳解】對于A，因為，所以，即，所以的取值范圍為，故A正確，不符合題意；對于B，因為，所以，因為，所以，即，所以的取值范圍為，故B正確，不符合題意；對于C，因為，則，所以，則，所以的取值范圍為，故C正確，不符合題意；對于D，因為，所以，則，因為，所以，則，所以取值范圍為，故D錯誤，符合題意；故選：D.9．（24-25高一上·廣東中山·階段練習）已知實數(shù)滿足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，可以得到的取值范圍，再根據(jù)不等式的性質(zhì)可得到結(jié)果.【詳解】因為，所以，因為，所以，所以，故選：B.10．（24-25高一上·山西大同·階段練習）若，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先利用待定系數(shù)法將用、加以表示，然后利用不等式的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】設(shè)，其中、，則，所以，，解得，所以，，因為，，所以，，，由不等式的性質(zhì)可得，即，因此，的取值范圍是.故選：C.題型三對基本不等式的理解及簡單應用（共5小題）11．（浙江省“浙南名校聯(lián)盟”2024-2025學年高一上學期期中聯(lián)考數(shù)學試題）要建造一個容積為，深為6m的長方形無蓋蓄水池，池壁的造價為95元，池底的造價為135元，問水池總造價最低時，水池的長a與寬b分別為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】設(shè)水池的長為am，寬為m，總造價為z元；從而可得，，結(jié)合基本不等式求最值即得.【詳解】設(shè)水池的長為am，寬為m；總造價為z元；則，故；.當且僅當，時等號成立.故選：A.12．（24-25高一上·福建福州·階段練習）無字證明即無需語言的證明（proofwithoutwords），本質(zhì)上是一種數(shù)學語言，形式上是隱含數(shù)學命題或定理的證明的圖象或圖形，可能包含數(shù)學符號、記號、方程，但不附帶文字．如圖，C為線段AB上的點，且，，O為AB的中點，以AB為直徑做半圓．過點C作AB的垂線交半圓于D．連結(jié)OD，AD，BD．過點C作OD的垂線，垂足為E．則下面可由進行無字證明的不等式為（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】利用射影定理求得，結(jié)合整理得出正確答案.【詳解】由于是圓的直徑，所以，圓的半徑為，而，由射影定理得.在直角三角形中，，由射影定理得，由，所以.故選：A13．（2023·河北·三模）已知，那么以下關(guān)于式子的分析判斷正確的選項是（

）（1）；（2）上式當且僅當即時，等號成立；（3）所以當時，取得最小值A(chǔ)．以上全正確 B．（1）錯 C．（2）錯 D．（3）錯【答案】D【分析】根據(jù)基本不等式及求最值的條件，逐一分析判斷，即可求解.【詳解】根據(jù)條件，由基本不等式可知，（1）（2）均正確，對于（3），由基本不等式知，求最小值，則需滿足“一正二定三相等”的原則，求和的最小值，需要乘積為定值，而不為定值，所以（3）錯，故選：D.14．（24-25高一上·浙江紹興·階段練習）已知、為互不相等的正實數(shù)，下列四個數(shù)中最大的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用重要不等式可得出四個選項中各數(shù)的大小.【詳解】因為、為互不相等的正實數(shù)，所以由重要不等式可得，則，所以，，則，由基本不等式可得，所以，因此，最大的數(shù)為.故選：C.15．（24-25高一上·青海西寧·階段練習）已知，則下列不等式中不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)基本不等式依次判斷選項即可.【詳解】A.∵（當且僅當時取等號），∴，當且僅當且時取等號.選項A正確.B.，當且僅當即時取等號.選項B正確.C.∵（當且僅當時取等號），∴.選項C正確.D.∵（當且僅當時取等號），∴.選項D錯誤.故選：D.題型四利用基本不等式比較大?。ü?小題）16．（24-25高三上·山東德州·階段練習）對于實數(shù)，下列命題為真命題的是（

）A．若，則.B．若，則.C．若則.D．若，則.【答案】C【分析】舉反例說明選項A、B為假命題；利用作差法比較大小說明選項C為真命題，選項D為假命題.【詳解】對于A，取，則，即A為假命題.對于B，當時，得，即B為假命題.對于C，由可得，所以，所以，C為真命題.對于D，由可得，所以，因為的符號不確定，所以不一定正確，即D為假命題.故選：C.17．（24-25高一上·重慶萬州·階段練習）已知，，則下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用不等式性質(zhì)，結(jié)合特殊值法逐項判斷即可.【詳解】對于A，由，得，A正確；對于B，取，，則，B錯誤；對于C，取時，得，C錯誤；對于D，取，，得，D錯誤.故選：A18．（24-25高一上·浙江紹興·階段練習）若，則下列正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用不等式及其性質(zhì)逐項判斷即可.【詳解】對A，因為，所以，所以不等式兩邊同時除以得：，故A錯誤；對B，由，若，則，故B錯誤；對C，因為，所以不等式兩邊同時同時乘以得：，故C正確；對D，因為，所以不等式兩邊同時乘以得：，故D錯誤.故選：C.19．（24-25高一上·黑龍江大慶·階段練習）已知，則下列結(jié)論不正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】對于AB，利用不等式的性質(zhì)，即可判斷；對于C，通過取特殊值，即可判斷；對于D，利用作差法判斷.【詳解】對于A，由，得，而，則，正確；對于B，由，，得，正確；對于C，若，當時，則，不正確；對于D，因，由，可得，正確.故選：C.20．（22-23高一上·福建福州·階段練習）若，且則下列命題正確的是（

）A． B．C． D．若，則【答案】C【分析】運用特殊值，結(jié)合作差法逐個判斷即可.【詳解】由于對于A，設(shè)則，故A錯誤；對于B，設(shè)則，故B錯誤；對于C，，由于，則.，則.則.故C正確.對于D，設(shè)，則，故D錯誤；故選：C.題型五利用基本不等式求解恒成立問題（共5小題）21．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）已知，滿足（為常數(shù)），若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由基本不等式，得到，再由，結(jié)合題意，得出不等式，即可求解.【詳解】由，且，可得，當且僅當時等號成立，又由，因為，所以，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：A.22．（24-25高一上·山東濟寧·階段練習）設(shè)，若恒成立，則k的最大值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】只需由基本不等式求出的最大值，即的最小值即可.【詳解】由于，則得到（當且僅當，即時，取等號）；所以又由恒成立，故，則k的最大值為8.故選：D．23．（23-24高一上·陜西延安·階段練習）當時，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)基本不等式求解最值即可求解.【詳解】當時，，故，當且僅當，即時等號成立，所以不等式恒成立，故，故，故選：D24．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若正實數(shù)、滿足，且恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】依題意可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解得即可.【詳解】因為正實數(shù)、滿足，即，所以，所以，當且僅當，即，時取等號，因為正實數(shù)、滿足，且恒成立，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故選：B．25．（23-24高一上·貴州安順·期末）若不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為（

）A．2 B．3 C．4 D．9【答案】D【分析】化簡可得恒成立，再根據(jù)基本不等式求解的最小值即可.【詳解】由題意恒成立，即恒成立.又，當且僅當時取等號.故實數(shù)的最大值為9.故選：D題型六利用基本不等式求最值（共5小題）26．（24-25高一上·安徽蕪湖·期中）已知，，，若不等式恒成立，則的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．7【答案】C【分析】先求得的最小值，由此列不等式來求得的范圍，從而求得的最大值.【詳解】，當且僅當時等號成立，所以，，而不等式恒成立，所以，所以的最大值為.故選：C27．（24-25高一上·山東青島·階段練習）若，則的最大值為（

）A．4 B． C． D．2【答案】A【分析】先判斷的正負，然后利用基本不等式求解出最大值.【詳解】因為，所以，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最大值為，故選：A.28．（24-25高一上·貴州貴陽·階段練習）下列函數(shù)的最值中錯誤的是（

）A．的最小值為2 B．已知，的最大值是C．已知，的最小值為3 D．的最大值5【答案】A【分析】舉例，判斷A選項；利用基本不等式判斷B、C、D.【詳解】當時，，故命題錯誤，A符合題意；當時，，當且僅當，即時取等號，命題正確，B不符合題意；當時，，則，當且僅當，即時取等號，故命題正確，C不符合題意；由題意，，則，當且僅當，即時取等號，故命題正確，D不符合題意.故選：A29．（24-25高一上·貴州·階段練習）若，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用基本不等式求積的最大值.【詳解】由，則，當且僅當時等號成立，故原式最大值為.故選：A30．（24-25高一上·重慶·階段練習）已知均為正實數(shù)，且，則下列選項錯誤的是（

）A．的最大值為B．的最小值為C．的最大值為D．的最小值為【答案】B【分析】利用基本不等式可判斷AC的正誤，利用“1”的代換可判斷B的正誤，利用換元法結(jié)合常數(shù)代換可判斷D的正誤.【詳解】選項A：時取等，得的最大值為，故A對；選項B：，當且僅當時取等，故的最小值為，故B錯選項C：時取等，故的最大值為，故C對；選項D：換元，令，則，故，當且僅當取等號，故的最小值為，故D正確；故選：B.題型七解不含參數(shù)的一元二次不等式（共5小題）31．（24-25高一上·遼寧·階段練習）若，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由或即可判斷.【詳解】因為或，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A32．（2024高三·全國·專題練習）在上定義的運算，則滿足的實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)規(guī)定的新定義運算法則化簡不等式，然后直接求解一元二次不等式就可以得到正確答案【詳解】根據(jù)給出在上定義運算，由得，解之得，故該不等式的解集是．故選：B33．（24-25高一上·安徽·階段練習）不等式的解集為（

）A．或 B．或C． D．【答案】D【分析】將式子因式分解為，從而解得.【詳解】由，即，解得，所以不等式的解集為.故選：D34．（24-25高三上·四川綿陽·階段練習）若正實數(shù)a，b滿足，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】根據(jù)基本不等式得到，把看做一個整體，解不等式即可.【詳解】∵，∴，∴，即，∴或（舍），∴，當且僅當時取等號，∴.故選：C.35．（24-25高一上·湖南·階段練習）使成立的一個充分不必要條件的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先解不等式得到，根據(jù)題意找到的一個真子集即可.【詳解】由得，對于A，因為是的真子集，所以是的必要不充分條件，故A錯誤；對于B，因為是的真子集，所以是的充分不必要條件，故B正確；對于C，因為是的真子集，所以是的必要不充分條件，故C錯誤；對于D，因為與不是包含關(guān)系，所以是的既不充分也不必要條件，故D錯誤.故選：B.題型八一元二次不等式與根與系數(shù)關(guān)系的交匯（共5小題）36．（23-24高一上·福建廈門·階段練習）關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的正實數(shù)根，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用一元二次方程根的分布可得答案.【詳解】因為方程有兩個不相等的正實數(shù)根，所以，解得且.故選：A.37．（23-24高一上·四川綿陽·階段練習）關(guān)于的方程至少有一個負根的充要條件是（

）A． B．C．或 D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可先求得關(guān)于的方程沒有一個負根時，的取值范圍，即可得出滿足題意的的范圍.【詳解】當方程沒有根時，，即，解得；當方程有根，且根都不為負根時，可得，解得，綜上可知，即關(guān)于的方程沒有一個負根時，，所以至少有一個負根的充要條件是.故選：B38．（23-24高一上·甘肅武威·開學考試）關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的正實數(shù)根，則的取值范圍是（

）A．B．C．D．且【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程根的分布，結(jié)合韋達定理即可求解.【詳解】根據(jù)題意可知；，由韋達定理可得，解得，故選：B39．（2023高一·全國·課后作業(yè)）已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由一元二次方程的根與二次函數(shù)的關(guān)系，即可由二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】記，則為開口向上的二次函數(shù)，要使方程的根一個大于1一個小于1，則只需要，解得，故選：C40．（22-23高一上·江蘇揚州·階段練習）已知一元二次方程的兩根都在內(nèi)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，根據(jù)二次函數(shù)零點分布可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)，由題意可得，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：B.題型九含有參數(shù)的一元二次不等式的解法（共5小題）41．（24-25高一上·山東濟南·階段練習）已知關(guān)于x的不等式組僅有一個整數(shù)解，則k的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先解不等式可得或，再解不等式，進而分，，三種情況討論，結(jié)合交集的定義求解即可.【詳解】由，即，解得或.由，即，當時，不等式為，無解；當時，不等式解集為，結(jié)合題意，此時原不等式組的解集為，且僅有一個整數(shù)解，所以，即；當時，不等式解集為，結(jié)合題意，要使不等式組僅有一個整數(shù)解，則，即.綜上所述，k的取值范圍為.故選：D.42．（24-25高一上·安徽宣城·階段練習）已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則下列說法錯誤的是（

）A．若，則且B．若，則關(guān)于的不等式的解集也為C．若，則關(guān)于的不等式的解集為或D．若{，為常數(shù)，且，則的最小值為【答案】B【分析】A由一元二次不等式解集為空直接判斷；B令即可判斷；C根據(jù)解集判斷參數(shù)關(guān)系，結(jié)合目標不等式求解即可；D根據(jù)題設(shè)得，且，將目標式化為含的表達式，再令，代換原表達式并結(jié)合基本不等式求最值.【詳解】A：由無解，則且，對；B：令，若，則等價于，此時，關(guān)于的不等式的解集不為，錯；C：由題設(shè)，則等價于，所以，可得或，對；D：由題設(shè)，則，且，所以，令，則，所以上式為，當且僅當，即，時等號成立，所以的最小值為，對.故選：B43．（24-25高一上·廣東深圳·階段練習）已知關(guān)于的不等式恰有四個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題意可得，分類討論，和，解含參的一元二次不等式，再結(jié)合不等式恰有四個整數(shù)解，即可得出答案.【詳解】不等式，即可化為，當時，不等式的解集為空集，不合題意；當時，不等式的解集為，要使不等式恰有四個整數(shù)解，則，當時，不等式的解集為，要使不等式恰有四個整數(shù)解，則，綜上可得，實數(shù)的取值范圍是．故選：D．44．（24-25高一上·廣東深圳·階段練習）已知不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)不等式的解集解出之間的關(guān)系，進而化簡不等式，從而求出它的解集.【詳解】由題意知，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，且，所以，解得，所以，所以不等式的解集為：，故選：C.45．（24-25高一上·福建龍巖·階段練習）關(guān)于x的不等式的解集是，則關(guān)于x的不等式的解集是（

）A．或 B．C． D．或【答案】B【分析】根據(jù)的解集得到且，則的根為-1，求出不等式的解集.【詳解】不等式的解集是，故且，則的根為-1，故的解集為.故選：B題型十不等式的恒成立問題（共5小題）46．（24-25高一上·海南·階段練習）命題恒成立，命題成立，若是真命題，是假命題，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)含有量詞的命題真假關(guān)系分別求出真假時的范圍，即可求解．【詳解】因為恒成立為真命題，所以在時恒成立，因為，當且僅當，即時取等號，所以，即，因為命題成立為假命題，所以為真命題，則，即，若是真命題，是假命題，則．故選：A47．（24-25高一上·重慶·階段練習）使得“”為真命題的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案