專題10函數(shù)的應用【清單01】函數(shù)的零點與方程的解1、函數(shù)零點的概念對于函數(shù)，我們把使的實數(shù)叫做函數(shù)的零點.2、方程的根與函數(shù)零點的關系方程有實數(shù)根函數(shù)的圖像與軸有公共點函數(shù)有零點.3、零點存在性定理如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內有零點，即存在，使得也就是方程的根.【清單02】二分法1、二分法的概念對于區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函數(shù)零點的近似值.2、用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟（1）確定區(qū)間，驗證，給定精度.（2）求區(qū)間的中點.（3）計算.若則就是函數(shù)的零點；若，則令（此時零點）.若，則令（此時零點）（4）判斷是否達到精確度，即若，則函數(shù)零點的近似值為（或）；否則重復第（2）~（4）步.【清單03】函數(shù)模型的應用幾種常見函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝kx＋b(k，b為常數(shù)，k≠0)反比例函數(shù)模型f(x)＝＋b(k，b為常數(shù)且k≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)指數(shù)型函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)對數(shù)型函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)冪函數(shù)型模型f(x)＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)【考點題型一】零點的存在定理【例1】.函數(shù)在區(qū)間上存在零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】若函數(shù)在區(qū)間上存在零點，由函數(shù)在的圖象連續(xù)不斷，且為增函數(shù)，則根據(jù)零點存在定理可知，只需滿足，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：D.【變式1-1】.函數(shù)的零點所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】易知增函數(shù)加增函數(shù)為增函數(shù)，函數(shù)在定義域上單調遞增，且，，所以存在唯一零點，且.故選：C.【變式1-2】.函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】在上單調遞增，在上單調遞增，函數(shù)在上單調遞增，∵，，，函數(shù)的零點所在的區(qū)間為.故選：C【變式1-3】.函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】在連續(xù)不斷，且單調遞減，，所以零點位于，故選：C【考點題型二】零點個數(shù)的判斷【例2】.已知函數(shù)是定義在R上偶函數(shù)，當時，，若函數(shù)僅有4個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】當時，，此時單調遞增，當時，，此時單調遞減，又函數(shù)是定義在R上偶函數(shù)，其圖象關于y軸對稱作出函數(shù)圖象：

因為函數(shù)僅有4個零點，所以函數(shù)y=fx與的圖象有4個交點，根據(jù)圖象可知：，即實數(shù)的取值范圍是.故選：A.【變式2-1】.已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】

設，設，則.又，所以1是函數(shù)的一個零點；因為，，所以，.又，，所以，.根據(jù)零點的存在定理，可知，，使得，即是函數(shù)的一個零點；因為，，所以，.又，，所以，.根據(jù)零點的存在定理，可知，，使得，即是函數(shù)的一個零點.結合函數(shù)圖象以及的增長速度可知，當或時，函數(shù)沒有零點.綜上所述，函數(shù)的零點為1，，，共3個零點.故選：C.【變式2-2】.函數(shù)零點的個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由，得函數(shù)的定義域為，函數(shù)零點的個數(shù)零點個數(shù)，即函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象的交點個數(shù)，如圖所示：數(shù)形結合可得函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象的交點個數(shù)為．故選:C．【變式2-3】.已知函數(shù)在R上沒有零點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設，的圖象如圖所示，問題轉化為與函數(shù)的圖象沒有交點，所以或,解得或,故選：A.【變式2-4】.已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．2 B．0 C．3 D．無窮【答案】A【詳解】由，得在區(qū)間上的函數(shù)值都是區(qū)間上相應函數(shù)值的一半，，又時，是增函數(shù)，即，所以，因此時，，令，它在上是減函數(shù)，，，，當時，，作出和在上圖象，如圖，由圖可知：在時，的圖象與的圖象沒有交點，所以在上，它們只有兩個交點，所以的零點個數(shù)為2.故選：A．【變式2-5】.（多選）已知函數(shù)關于的方程，下列命題正確的是（

）A．若，則方程恰有4個不同的解B．若，則方程恰有5個不同的解C．若方程恰有2個不同的解，則或D．若方程恰有3個不同的解，則【答案】BC【詳解】因為，所以，所以或，的圖象如圖所示，由圖可知與有兩個交點.

對于A，若且，則方程恰有2個不同的解，故A錯誤；對于B，若，則與有3個不同的交點，此時方程恰有5個不同的解，故B正確；對于C，若方程恰有2個不同的解，當與沒有交點時滿足題意，此時；當時，方程恰有2個不同的解，此時，故若方程恰有2個不同的解，則或，故C正確；對于D，若方程恰有3個不同的解，則，則與有1個交點，此時或，故D錯誤.故選：BC.【變式2-6】.若關于的方程恰有三個不同實數(shù)解，則實數(shù)的值為．【答案】【詳解】問題等價于函數(shù)的圖象和恰有三個不同公共點，的圖象可由的圖象軸上方的不動，軸下方的對稱上去，如圖數(shù)形結合可得故答案為：【考點題型三】二分法【例3】.某同學用二分法求函數(shù)的零點時，計算出如下結果：，，下列說法正確的有（

）A．是滿足精度為的近似值.B．是滿足精度為的近似值C．是滿足精度為的近似值D．是滿足精度為的近似值【答案】B【詳解】，又A錯誤；，又，滿足精度為的近似值在內，則B正確，D錯誤；，C錯誤.故選：B.【變式3-1】.用二分法求函數(shù)在區(qū)間上的零點,要求精確度為時,所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：開區(qū)間的長度等于1,每經(jīng)過一次操作,區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，?jīng)過此操作后,區(qū)間長度變?yōu)椋枚址ㄇ蠛瘮?shù)在區(qū)間上近似解,要求精確度為，，解得，故選：C.【變式3-2】.用二分法求函數(shù)的一個零點，根據(jù)參考數(shù)據(jù)，可得函數(shù)的一個零點的近似解(精確到0.1)為（

）(參考數(shù)據(jù)：，，)A．2.4 B．2.5 C．2.6 D．2.56【答案】C【詳解】由題意得因為函數(shù)在0,+∞上連續(xù)，所以函數(shù)在上有零點，故選：C【變式3-3】.用二分法求方程在區(qū)間內的實根，取區(qū)間中點，則下一個有根區(qū)間是A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：設，f（2）=-1＜0，f（3）=16＞0，f（2.5）=＞0，f（x）零點所在的區(qū)間為[2，2.5]，方程有根的區(qū)間是[2，2.5]，考點：二分法求方程的近似解【變式3-4】.利用計算器，列出自變量的函數(shù)值的對應值如下表：0.20.61.01.41.82.22.63.03.4…1.1491.5162.02.6393.4824.5956.0638.010.556…0.040.361.01.963.244.846.769.011.56…那么方程的一個根位于下列區(qū)間A．（0.6，1.0） B．（1.4，1.8） C．（1.8，2.2） D．（2.6，3.0）【答案】C【詳解】構造f(x)＝2x－x2，則f(1.8)＝0.242，f(2.2)＝－0.245，故在(1.8,2.2)內存在一點使f(x)＝2x－x2＝0，所以方程2x＝x2的一個根就位于區(qū)間(1.8,2.2)上．選C【變式3-5】.利用計算器，列出自變量的函數(shù)值的對應值如下表：0.20.61.01.41.82.22.63.03.4…1.1491.5162.02.6393.4824.5956.0638.010.556…0.040.361.01.963.244.846.769.011.56…那么方程的一個根位于下列區(qū)間A．（0.6，1.0） B．（1.4，1.8） C．（1.8，2.2） D．（2.6，3.0）【答案】C【詳解】構造f(x)＝2x－x2，則f(1.8)＝0.242，f(2.2)＝－0.245，故在(1.8,2.2)內存在一點使f(x)＝2x－x2＝0，所以方程2x＝x2的一個根就位于區(qū)間(1.8,2.2)上．選C【考點題型四】函數(shù)零點的綜合應用【例4】.已知函數(shù)，，若方程有且僅有5個不相等的整數(shù)解，則其中最大整數(shù)解和最小整數(shù)解的和等于（

）A． B．28 C． D．14【答案】A【詳解】先作出的大致圖象，如下

令，則，根據(jù)的圖象可知：要滿足題意必須有兩個不等根，且有兩個整數(shù)根，有三個整數(shù)根，結合對勾函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象與性質知，兩函數(shù)相切時符合題意，因為，當且僅當時取得等號，又，易知其定義域內單調遞減，即，此時有兩個整數(shù)根或，而要滿足有三個整數(shù)根，結合圖象知必有一根小于2，顯然只有符合題意，當時有，則，解方程得的另一個正根為，又，此時五個整數(shù)根依次是，顯然最大的根和最小的根和為.故選：A【變式4-1】.設，，分別為函數(shù)，，的零點，則，，的大小關系為(

).A． B．C． D．【答案】D【詳解】因為時，，又因為單調遞增，所以；若，則，所以時，，即；若，則，所以時，，即.綜上所述，，故選：D.【變式4-2】.已知函數(shù)滿足且，當時，，則函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．5 D．10【答案】B【詳解】由題意，知4為函數(shù)的一個周期且函數(shù)的圖象關于直線對稱．當時，由函數(shù)的解析式，兩出函數(shù)的大致圖象如圖所示．當時，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有且僅有一個交點；當時，總有．而函數(shù)在區(qū)間上單調遞增且，，所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在區(qū)間上沒有交點．綜上，函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)為1．故選：B．【變式4-3】.（多選）下列說法正確的是（

）A．方程的解在內B．函數(shù)的零點是C．函數(shù)有三個不同的零點D．用二分法求函數(shù)在區(qū)間內零點近似值的過程中得到，則零點近似值在區(qū)間上【答案】ACD【詳解】對A，記，易知都在單調遞增，所以在上單調遞增，又，所以存在唯一零點，且，即方程的唯一解在內，所以A正確；對B，令，解得或，所以函數(shù)的零點是或，所以B錯誤；對C，作出的圖象如圖：當時，函數(shù)和的圖象顯然有一個交點，又，所以函數(shù)和的圖象在處相交，所以有三個不同的零點，所以C正確；對D，因為，所以由零點存在性定理可知，零點近似值在區(qū)間上，所以D正確.故選：ACD【變式4-4】.（多選）已知定義在R的偶函數(shù)y=fx對任意的x滿足，當，函數(shù)，（且），則下列結論正確的有（

）A．函數(shù)圖象關于直線對稱B．當時，C．若在R上單調遞減，則D．若方程在R上有4個不同的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是【答案】ACD【詳解】對于A，因為函數(shù)對任意的滿足，且是偶函數(shù)，故，故圖象關于直線對稱，A正確；對于B，當時，則，，又當時，，所以，所以當時，，B錯誤；對于C，函數(shù)，（且）若在上單調遞減，則，解得，故C正確；對于D，當時，若在上有4個不同的實數(shù)根，則大致圖象如下圖所示，所以，解得；當時，若在上有4個不同的實數(shù)根，則大致圖象如下圖所示，所以，解得．綜上所述，實數(shù)的取值范圍為,,，故D正確．故選：ACD．【考點題型五】函數(shù)模型的應用【例5】.中國茶文化博大精深，飲茶深受大眾喜愛，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關研究在室溫下泡制好的茶水要等多久飲用，可以產生符合個人喜好的最佳口感，這是很有意義的事情.經(jīng)研究：把茶水放在空氣中冷卻，如果茶水開始的溫度是，室溫是，那么后茶水的溫度單位：，可由公式求得，其中是常數(shù)，為了求出這個的值，某數(shù)學建模興趣小組在室溫下進行了數(shù)學實驗，先用的水泡制成的茶水，利用溫度傳感器，測量并記錄從開始每一分鐘茶水的溫度，多次實驗后搜集整理到了如下的數(shù)據(jù)：(1)請你利用表中的一組數(shù)據(jù)，求的值，并求出此時的解析式(計算結果四舍五入精確到；(2)在室溫環(huán)境下，王大爺用的水泡制成的茶水，想等到茶水溫度降至時再飲用，根據(jù)（1）的結果，王大爺要等待多長時間計算結果四舍五入精確到分鐘)．參考數(shù)據(jù)：，，是自然對數(shù)的底數(shù)，【答案】(1)，；(2)要等待約分鐘.【詳解】（1）依題意，，且當，時，，則，，解得，所以.（2）由（1）知，，當時，，即，整理得，解得，王大爺要等待約分鐘.【變式5-1】.某學校科技創(chuàng)新小組準備模擬東風31彈道導彈的發(fā)射過程，假設該小組采用的飛行器的飛行高度（單位：米）與飛行時間（單位：秒）之間的關系可以近似用函數(shù)來表示.已知飛行器發(fā)射后經(jīng)過2秒時的高度為10米，經(jīng)過6秒時的高度為30米，欲達到50米的高度，需要（

）秒.A．15 B．16 C．18 D．20【答案】C【詳解】由題意可得：，解得：，設達到50米的高度需要秒.，解得：，所以達到50米的高度需要秒.故選：C【變式5-2】.某工廠產生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量P（單位：mg/L）與時間t（單位：h）間的關系為（e是自然對數(shù)的底數(shù)，，k為正的常數(shù)）．如果前9h消除了20%的污染物，那么消除60%的污染物需要的時間約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．33h B．35h C．37h D．39h【答案】C【詳解】依題意，，解得，即，當時，，即，解得，所以污消除60%的污染物需要的時間約為37h.故選：C【變式5-3】.某公司引進新的生產設備投入生產，新設備生產的產品可獲得的總利潤（單位：百萬元）與新設備運行的時間（單位：年，）滿足，當新設備生產的產品可獲得的年平均利潤最大時，新設備運行的時間（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意，新設備生產的產品可獲得的年平均利潤，當時，，當且僅當時，等號成立，則，所以當時，取得最大值，且最大值為，當時，，所以函數(shù)在上單調遞減，所以當時，取得最大值，且最大值為，故當新設備生產的產品可獲得的年平均利潤最大時，新設備運行的時間.故選：.【變式5-4】.汽車智能輔助駕駛已得到廣泛應用，其自動剎車的工作原理是用雷達測出車輛與前方障礙物之間的距離（并結合車速轉化為所需時間），當此距離等于報警距離時就開始報警提醒，等于危險距離時就自動剎車.某種算法（如下圖所示）將報警時間劃分為4段，分別為準備時間、人的反應時間、系統(tǒng)反應時間、制動時間，相應的距離分別為、、、.當車速為v（米/秒），且時，通過大數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析得到下表（其中系數(shù)k隨地面濕滑程度等路面情況而變化，）階段0、準備1、人的反應2、系統(tǒng)反應3、制動時間秒秒距離米米(1)請寫出報警距離d（米）與車速v（米/秒）之間的函數(shù)關系式，并求時，若汽車達到報警距離時人和系統(tǒng)均不采取任何制動措施，仍以此速度行駛，則汽車撞上固定障礙物的最短時間.（精確到0.1秒）(2)若要求汽車不論在何種路面情況下行駛，報警距離均小于80米，則汽車的行駛速度應限制在多少米/秒以下？合多少千米/小時〈精確到1千米/小時〉？【答案】(1)，3.1（秒）(2)汽車的行駛速度應限制在20米/秒以下，合72千米/小時．【詳解】（1）由題意得，，當時，，若汽車達到報警距離時人和系統(tǒng)均不采取任何制動措施，仍以此速度行駛，則汽車撞上固定障礙物的時間（秒），即最短時間為3.1秒；（2）根據(jù)題意，要求對于任意，恒成立，即對于任意，，即恒成立，由得，，即，解得，（米/秒），（千米/小時），汽車的行駛速度應限制在20米/秒以下，合72千米/小時．【變式5-5】.師大附中考入北大的學生李聰畢業(yè)后幫助某地打造“生態(tài)果園特色基地”，他決定為該地改良某種珍稀水果樹，增加產量，提高收入，調研過程中發(fā)現(xiàn)：此珍稀水果樹的單株產量W（單位：千克）與投入的成本（單位：元）滿足如下關系：，已知這種水果的市場售價為10元/千克，且供不應求.水果樹單株獲得的利潤為（單位：元）.(1)求的函數(shù)關系式；(2)當投入成本為多少時，該水果樹單株獲得的利潤最大?最大利潤是多少?【答案】(1)(2)當投入成本為90元時，該水果樹單株獲得的利潤最大，最大利潤是元【詳解】（1）由題意可知：.（2）由（1）可知：，若，則，可知其圖象開口向上，對稱軸為，此時的最大值為；若，則，當且僅當，即時，等號成立，此時的最大值為；又因為，可知的最大值為，所以當投入成本為90元時，該水果樹單株獲得的利潤最大，最大利潤是元.檢測練習1.已知函數(shù)，則函數(shù)的零點為（

）A．1 B．0 C．e D．【答案】C【詳解】由可得，由可得，，解得.故選：C.2.已知某細菌是以簡單的二分裂法進行無性繁殖，在適宜的條件下分裂一次（1個變?yōu)?個）需要23分鐘，那么適宜條件下1萬個該細菌增長到1億個該細菌大約需要（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．3小時 B．4小時 C．5小時 D．6小時【答案】C【詳解】設適宜條件下1萬個該細菌增長到1億個該細菌大約需要分鐘，則，兩邊同時取對數(shù)得，，解得，所以大約需要小時.故選：C.3.在日常生活中，我們發(fā)現(xiàn)一杯熱水放在常溫環(huán)境中，隨時間的推移會逐漸變涼，物體在常溫環(huán)境下的溫度變化有以下規(guī)律：如果物體的初始溫度為，則經(jīng)過一定時間，即分鐘后的溫度滿足稱為半衰期，其中是環(huán)境溫度.若，現(xiàn)有一杯的熱水降至大約用時1分鐘，那么水溫從降至大約還需要（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．8分鐘 B．9分鐘 C．10分鐘 D．11分鐘【答案】C【詳解】根據(jù)題意得，即；則，所以，可得，兩邊取常用對數(shù)得，故選：C.4.已知火箭在時刻的速度為（單位：千米/秒），質量為（單位：千克），滿足（為常數(shù)），、分別為火箭初始速度和質量．假設一小型火箭初始質量千克，其中包含燃料質量為500千克，初始速度為，經(jīng)過秒后的速度千米/秒，此時火箭質量千克，當火箭燃料耗盡時的速度大約為（

）（，）．A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【詳解】由題意知，火箭在時刻的速度為，質量為，滿足，因為經(jīng)過秒后的速度千米/秒，此時火箭質量千克，可得，火箭耗盡燃料時速度為，兩式相除得.故選：C．5.設函數(shù)的零點分別為a,b,c,則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】令，可得，可知與的交點橫坐標分別為a,b,c,在同一坐標系內作出，的圖象，根據(jù)圖象可知：與有2個交點，但均有，所以.故選：A.6.若，，，則正數(shù)大小關系是（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由，則為與交點的橫坐標，由，則為與交點的橫坐標，由，即，則為與交點的橫坐標，作出，，，的圖象如下所示，由圖可知，.故選：B7.已知方程的根在區(qū)間上，第一次用二分法求其近似解時，其根所在區(qū)間應為．【答案】【詳解】解：令，其在定義域上單調遞增，且，，，由f（2.