期末重難點真題特訓之壓軸滿分題型（64題15個考點）專練【精選最新考試題型專訓】壓軸滿分題一、數(shù)軸上動點問題1．（24-25七年級上·陜西榆林·期中）如圖，已知點，，是數(shù)軸上三點，為原點．點表示的數(shù)為3，點與點之間的距離為2，點與點之間的距離為6．【問題提出】（1）點表示的數(shù)是________，點表示的數(shù)是________；【問題探究】（2）動點，分別同時從點，處出發(fā)，分別以每秒8個單位長度和4個單位長度的速度沿數(shù)軸正方向運動，點在點和點之間，且點到點的距離與點到點的距離相等，點在點和點之間，且點到點之間的距離是點到點之間距離的4倍，當運動時間為時，用含的代數(shù)式表示點，對應的數(shù)；【問題解決】（3）在（2）的條件下，點到點之間的距離是否與的大小有關(guān)？若有關(guān)，用含的代數(shù)式表示點到點之間的距離；若無關(guān)，請求出點到點之間的距離．【答案】（1），；（2）點對應的數(shù)為，點對應的數(shù)為；（3）點到點之間的距離與的大小無關(guān)，為定值8．【分析】本題主要考查了數(shù)軸上的動點問題，兩點之間的距離，數(shù)軸上的點表示有理數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)軸上兩點之間的距離公式．（1）由已知、結(jié)合數(shù)軸，根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離即可求解；（2）由題意可得、的長度，從而由點A、C對應的數(shù)即可求出點M、N對應的數(shù)；（3）根據(jù)題意可得點Q對應的數(shù)，進而得到的長度，根據(jù)結(jié)果即可作出判斷；【詳解】解：（1）由題意可得：點B對應的數(shù)為：，又∵，∴點A對應的數(shù)為：，故答案為：，1；（2）由題意可得：，又∵，，∴，∴點M對應的數(shù)為：，點N對應的數(shù)為：；（3）的長度與t無關(guān)，理由如下：∵，∴點Q對應的數(shù)為：，∴，∴點M到點Q之間的距離與t的大小無關(guān)，為定值8．2．（24-25七年級上·海南儋州·期中）如圖，在數(shù)軸上點表示數(shù)，點示數(shù)，點表示數(shù)，的相反數(shù)是，且、滿足．(1)________；________；________；(2)若將數(shù)軸折疊，使得點與點重合，則點與數(shù)________表示的點重合；若數(shù)軸上有一點為線段的三等分點（點在線段內(nèi)），則點表示的數(shù)是________；(3)點、、開始在數(shù)軸上運動，若點以每秒個單位長度的速度向左運動，同時，點和點分別以每秒個單位長度和個單位長度的速度向右運動，假設秒鐘過后，若點與點之間的距離表示為，點與點之間的距離表示為，是否存在常數(shù)，使為定值，若存在，求的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，，(2)，或(3)存在，【分析】本題考查了絕對值和平方的非負性，數(shù)軸動點問題．（1）根據(jù)絕對值和平方的非負性，相反數(shù)，即可求出a，b，c的值；（2）先求出折點為，即可求出與點A重合的數(shù)，由三等分點的定義得出或，即可求出點D表示的數(shù)；（3）根據(jù)題意得出點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，即可得出，，進而得出，即可解答．【詳解】（1）解：，，，，，的相反數(shù)為，，故答案為：，，；（2）解：與重合，即，重合，折點為，與點重合的點是，由三等分點得或，∴表示的數(shù)為或．故答案為：；或；（3）解：存在，∵點表示的數(shù)是，向左的速度為每秒個單位長度，點表示的數(shù)是，向右的速度為每秒個單位長度，點表示的數(shù)是，向右的速度為每秒個單位長度，設運動時間為秒，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，，，為定值，的值與無關(guān)，，∴．3．（24-25六年級上·上海長寧·期中）閱讀理解：若、、為數(shù)軸上三個點，點到的距離是點到點距離的2倍，我們就稱點是[，]的贊點．(1)如圖1，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，表示的點到點的距離是，到點的距離是，那么點是[，]的贊點；又如表示的點到點的距離是，到點的距離是，那么點_______[，]的贊點，但點_______[，]的贊點；（橫線上填寫“是”或“不是”）(2)若、為數(shù)軸上兩點，點所表示的數(shù)是，點所表示的數(shù)是，則數(shù)_______所表示的點是[，]的贊點；(3)如圖2，、為數(shù)軸上兩點，點所表示的數(shù)為，點所表示的數(shù)是．現(xiàn)在有一輛電動小汽車從點B出發(fā)前往點，以個單位每秒的速度向左運動，到達點停止．當經(jīng)過_________秒時，、和中恰有一個點是其中兩個點的贊點？【答案】(1)不是，是(2)或(3)當經(jīng)過秒或秒或秒時，、和中恰有一個點是其中兩個點的贊點【分析】本題考查了數(shù)軸上兩點之間的距離，數(shù)軸上的動點問題，新定義，解題的關(guān)鍵是理解新定義．（1）根據(jù)題意可得：，，推出，根據(jù)新定義即可求解；（2）設這個數(shù)是，根據(jù)題意得：，即可求解；（3）設點運動的時間為，由題意得：，，，分四種情況：①當時，②當時，③當時，④當時，列方程即可求解．【詳解】（1）解：由題意得：，，，即是[，]的贊點，但不是[，]的贊點，故答案為：不是，是；（2）設這個數(shù)是，由題意得：，解得：或，數(shù)或所表示的點是[，]的贊點，故答案為：或；（3）設點運動的時間為，由題意得：，，，點到達點所用的時間為（秒），分四種情況：①當時，，解得：，此時是[，]的贊點；②當時，，解得：，此時是[，]的贊點；③當時，，解得：，此時是[，]的贊點；④當時，，解得：，此時是[，]的贊點；綜上所述，當經(jīng)過秒或秒或秒時，、和中恰有一個點是其中兩個點的贊點．4．（24-25七年級上·江蘇淮安·期中）定義：若，，為數(shù)軸上三點，若點到點的距離是點到點的距離倍，我們就稱點是【，】的美好點．若規(guī)定、兩點之間的距離為AB，即當時，我們稱點是【，】的美好點．例如：如圖，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為．表示的點到點的距離是，到點的距離是，那么點是【，】的美好點；又如，表示的點到點的距離AD是，到點的距離BD是，那么點就不是【，】的美好點，但點是【，】的美好點．如圖2，，為數(shù)軸上兩點，點所表示的數(shù)為，點所表示的數(shù)為．(1)點，，表示的數(shù)分別是，，，其中是【，】美好點的是；寫出【，】美好點所表示的數(shù)是______．(2)現(xiàn)有一只電子螞蟻從點開始出發(fā)，以個單位每秒的速度向左運動．請你寫出當為何值時，，和中恰有一個點為其余兩點的美好點？【答案】(1)；或(2)，，，，，【分析】本題考查數(shù)軸上的動點問題、數(shù)軸上兩點之間的距離、點是【M，N】的美好點的定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．（1）根據(jù)美好點的定義，結(jié)合圖，直觀考察點，，到點，的距離，只有點符合條件．結(jié)合圖，根據(jù)美好點的定義，在數(shù)軸上尋找到點的距離是到點的距離倍的點，在點的移動過程中注意到兩個點的距離的變化．（2）根據(jù)美好點的定義，，和中恰有一個點為其余兩點的美好點分種情況，須區(qū)分各種情況分別確定點的位置，進而可確定的值．【詳解】（1）解：根據(jù)美好點的定義，，，，只有點G符合條件，故答案是：．結(jié)合圖，根據(jù)美好點的定義，在數(shù)軸上尋找到點的距離是到點的距離倍的點，點N的右側(cè)不存在滿足條件的點，點M和之間靠近點一側(cè)應該有滿足條件的點，進而可以確定符合條件．點的左側(cè)距離點M的距離等于點和點的距離的點符合條件，進而可得符合條件的點是．故答案為：或；（2）解：根據(jù)美好點的定義，，和中恰有一個點為其余兩點的美好點分種情況，第一情況：當為【，】的美好點，點在，之間，如圖，當時，則，因此秒；第二種情況，當為【，】的美好點，點在，之間，如圖2，當時，則，因此秒；第三種情況，為【N，M】的美好點，點在左側(cè)，如圖3，當時，則，因此秒；第四種情況，M為【P，N】的美好點，點在左側(cè)，如圖4，當時，則，點對應的數(shù)為，因此秒；第五種情況，M為【N，P】的美好點，點在左側(cè)，如圖5，當時，則，點對應的數(shù)為，因此秒；第六種情況，M為【N，P】的美好點，點在，左側(cè)，如圖，當時，則，因此秒；第七種情況，為【，】的美好點，點在左側(cè)，當時，則，因此秒，第八種情況，N為【M，P】的美好點，點在右側(cè)，當時，則，因此秒，綜上所述，的值為：，，，，，．壓軸滿分題二、絕對值的幾何意義5．（24-25七年級上·四川眉山·期中）結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示和的兩點之間的距離是______；表示和1兩點之間的距離是______；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)和數(shù)的兩點之間的距離等于．(2)如果，那么______；(3)若數(shù)軸上表示數(shù)的點位于與5之間，則______．(4)當______時，的值最小，最小值是______．【答案】(1)；(2)或(3)(4)；【分析】此題考查絕對值的意義，數(shù)軸上兩點距離，絕對值方程，結(jié)合數(shù)軸上兩點的距離是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意列式計算即可．（2）化簡絕對值方程即可．（3）根據(jù)題意可得原式表示數(shù)到的距離，從而可得答案．（4）根據(jù)題意可得表示數(shù)軸上表示數(shù)的點與點、、之間的距離之和，根據(jù)數(shù)軸即可得當時，的最小值是．【詳解】（1）解：∵數(shù)軸上表示數(shù)和數(shù)的兩點之間的距離等于，∴數(shù)軸上表示3和2的兩點之間的距離是，表示和1兩點之間的距離是，故答案為：；．（2）解：∵，∴，∴，∴，，故答案為：或．（3）解：∵數(shù)的點位于與5之間，∴表示數(shù)到的距離∴，故答案為：．（4）解：∵表示數(shù)軸上表示數(shù)的點與表示數(shù)的點的距離，表示數(shù)軸上表示數(shù)的點與表示數(shù)的點的距離，表示數(shù)軸上表示數(shù)的點與表示數(shù)的點的距離，∴結(jié)合數(shù)軸可知：表示數(shù)軸上表示數(shù)的點與點、、之間的距離之和，當時，最小，最小值是，故答案為：；．6．（24-25七年級上·重慶綦江·期中）認真閱讀下面的材料，完成有關(guān)問題：已知數(shù)軸上兩個點之間的距離等于這兩個點表示的數(shù)的差的絕對值．如圖，在數(shù)軸上點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，則，之間的距離表示為：，，之間的距離表示為：．若點在數(shù)軸上表示的數(shù)為，則，之間的距離表示為：，，之間的距離表示為：．利用數(shù)軸探究下列問題：(1)的最小值是_____，此時的取值范圍______；(2)請按照（）問的方法思考：的最小值是_____，此時的值是_____；(3)如圖，在一條筆直的街道上有，，，四個小區(qū)，且相鄰兩個小區(qū)之間的距離均為，已知，，，四個小區(qū)各有個，個，個，個學生在同一所中學的同一班級上學，安全起見，這個同學約定先在街道上某處匯合，再一起去學校，聰明的他們通過分析，發(fā)現(xiàn)在街道上的處匯合會使所有學生從小區(qū)門口到匯合地點的路程之和最小，請直接寫出匯合地點的位置和所有學生從小區(qū)門口到匯合地點的路程之和的最小值．【答案】(1)，(2)，(3)米【分析】（）由可知式子表示到-2和到的距離之和，當在-2和之間時，距離之和最小，進而根據(jù)兩點間距離公式即可求解；（）同理（）解答即可；（）以其中一點為原點，一個單位表示建立數(shù)軸，則點四點分別表示，，，，設點表示的數(shù)為，可得所有小朋友從小區(qū)門口到匯合地點的路程之和表示為，分、、時，去絕對值，得出的取值范圍，可知當時，即點與點重合時，該距離之和最小，據(jù)此即可求解；本題考查了數(shù)軸上兩點間距離，絕對值的意義，掌握數(shù)軸上兩點間距離公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵，∴式子表示到-2和到的距離之和，當時，，當時，，當時，，∴當在-2和之間時，距離之和最小，最小值為，此時的取值范圍，故答案為：，；（2）解：∵，∴式子表示分別到、、的距離之和，同（1）可知，時，到到、的距離之和最小，∴當時，分別到、、的距離之和最小，即時，分別到、、的距離之和最小，最小值為，故答案為：，；（3）解：如圖，以其中一點為原點，一個單位表示建立數(shù)軸，則點四點分別表示，，，，設點表示的數(shù)為，則所有小朋友從小區(qū)門口到匯合地點的路程之和表示為，由（1）（2）可知點在、之間，當時，，∴，當時，，∴，當時，，∴，綜上所述：當時，即點與點重合時，該距離之和最小，最小值為，7．（24-25七年級上·湖北十堰·期中）【問題背景】我們知道的幾何意義是：在數(shù)軸上數(shù)對應的點與原點的距離．這個結(jié)論可以推廣為：點、在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)、，則A，B兩點之間的表距離示為，即．例如，在數(shù)軸上，表示和的點的距離為．【問題解決】（1）表示數(shù)軸上數(shù)與（填數(shù)字）之間的距離；（2）若點為數(shù)軸上一點，它所表示的數(shù)為，點在數(shù)軸上表示的數(shù)為，則（用含的代數(shù)式表示）；【關(guān)聯(lián)運用】（3）運用一：若，則x的值為；（4）運用二：代數(shù)式的最小值為；（5）運用三：代數(shù)式的最大值為；（6）運用四：已知動點、、分別從數(shù)軸、、的位置沿數(shù)軸正方向同時運動，速度分別為個單位長度/秒，個單位長度/秒，個單位長度/秒．原點為點，線段的中點分別為，若，且的值為常數(shù)，求出和的值【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）；（5）；（6），；或，；【分析】本題為絕對值動點綜合題，考查了數(shù)軸上絕對值的意義，絕對值的化簡，數(shù)軸上點的距離運算，數(shù)軸上中點的表達，靈活根據(jù)動點的運動速度表達出點在數(shù)軸上的情況是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)絕對值的意義作答即可；（2）根據(jù)絕對值的意義作答即可；（3）分類討論的取值范圍，結(jié)合絕對值的化簡，運算分析即可；（4）分類討論的取值范圍，結(jié)合絕對值的化簡，運算分析即可；（5）分類討論的取值范圍，結(jié)合絕對值的化簡，運算分析即可；（6）根據(jù)運動情況，用含的式子表達出各點的值，再根據(jù)各點的值表達出和的長度，套入分析出的值后即可求得的值．【詳解】（1）解：由題意可得：表示數(shù)軸上數(shù)與之間的距離；故答案為：；（2）解：；故答案為：；（3）解：根據(jù)題意可得：和表示與的距離和與的距離的和，，當時，則：，解得：；當時，則，不符合題意；當時，則：，解得：；故答案為：或；（4）解：，當時，則：，當時，則，當時，則：，∴時，的最小值為，故答案為：；（5）解：∵表示與的距離和與的距離的差，∴當時，則：，當時，則，∴，當時，則，∴綜上的最大值為：；故答案為：7；（6）解：∵動點、、分別從數(shù)軸、、的位置沿數(shù)軸正方向同時運動，速度分別為個單位長度/秒，個單位長度/秒，個單位長度/秒，設時間為，∴點可表示為：，點可表示為：，點可表示為：，∴的中點為：，的中點為：，的中點為：，∵在的左邊，在的左邊，∴在的左邊，在的左邊，∴，，∴，∴時，的值與無關(guān)，即，∴，∴，．8．（24-25七年級上·福建泉州·期中）【知識準備】若數(shù)軸上點對應的數(shù)為x，點對應的數(shù)為y，為的中點，則我們有中點公式：點對應的數(shù)為．(1)在一條數(shù)軸上，O為原點，點對應的數(shù)為5，點對應的數(shù)為，則的中點所對應的數(shù)為______；【問題探究】(2)在（1）的條件下，若點從點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時點從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向右運動．設運動時間為，為何值時，的中點所對應的數(shù)為10？【拓展延伸】(3)若數(shù)軸上點對應的數(shù)為x，點對應的數(shù)為，為靠近點的三等分點，則我們有三等分點公式：點對應的數(shù)為；若數(shù)軸上點的對應數(shù)為，點的對應數(shù)為，為最靠近點的四等分點，則我們有四等分點公式：點對應的數(shù)為：．在（2）的條件下，若是最靠近的五等分點，為的中點，是否存在使為定值？若存在，請求出的取值范圍和此時的定值．若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)17(3)當時，，理由見解析【分析】此題主要考查了有理數(shù)與數(shù)軸，絕對值的意義，理解題意，讀懂題目中新定義的分點公式，熟練掌握絕對值的意義，運用分類討論思想進行分類討論是解決問題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)中點公式進行求解即可；（2）首先依題意求出點P和點Q所表示的數(shù)，然后根據(jù)的中點公式得，由此解出t即可；（3）根據(jù)題意得出點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，然后表示出，再根據(jù)絕對值的意義即可得出答案．【詳解】（1）解：∵點對應的數(shù)為5，點對應的數(shù)為，∴的中點所對應的數(shù)為，故答案為：．（2）解：由題意得，點表示的數(shù)為：，點表示的數(shù)為：，∴，解得，∴為17時，的中點所對應的數(shù)為10．（3）解：存在，當時，，理由如下：根據(jù)題意，五等分點公式為：，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，∴，，∴，∴表示數(shù)到數(shù)10和之間的距離之和，∴當時，．壓軸滿分題三、有理數(shù)的新定義運算9．（24-25七年級上·重慶·期中）用“”和“”定義一種新運算：對于任意有理數(shù)，規(guī)定：，如：．(1)計算：____________．(2)若，則____________．(3)若，，，，，當時，求的值（用含的式子表示）．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（）根據(jù)新定義運算計算即可求解；（）根據(jù)新定義運算列出方程即可求解；（）根據(jù)新定義運算列出方程，求出與的關(guān)系，再代入代數(shù)式計算即可求解；本題考查了有理數(shù)的新定義運算，絕對值的意義，理解新定義運算是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：，故答案為：；（2）解：由題意得，，∴，∴，∴a=-1或，故答案為：或；（3）解：由題意得，，，，，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，∴，∴，∵，∴，∴，∴，同理可得，，，∴，．10．（24-25七年級上·湖南長沙·期中）定義：對于任意的有理數(shù)，．(1)探究性質(zhì)：①例：_____；_____②你還可試幾個看看，請用含，的式子表示出的一般規(guī)律：當時，_____當時，_____．(2)性質(zhì)應用：①運用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律求的值：②將，，，……，，，這個連續(xù)的整數(shù)，任意分為組，每組兩個數(shù)，現(xiàn)將每組的兩個數(shù)中任一數(shù)值記作，另一個記作，求出，組數(shù)代入后可求得個的值，則這個值的和的最小值是_____．【答案】(1)①；；②；(2)①；②【分析】本題考查了絕對值、有理數(shù)的加減混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握新定義，把所給代數(shù)式化簡，找到新定義的運算規(guī)律，利用規(guī)律進行求解．（1）①根據(jù)定義即可求解；②舉例，，通過與以上幾個比較，可以發(fā)現(xiàn)該運算是用來求大小不同的兩個有理數(shù)的最大值；（2）①直接利用規(guī)律進行求解；②由已知可知：要使這個的值的和最小，則個負數(shù)要保留最多且它們的和最小，個非負數(shù)要保留最少且它們的和最小，而兩個有理數(shù)進行已知新定義的運算，結(jié)果總是兩個數(shù)中較大的，從而得到：這個負數(shù)保留的個的值且使它們的和最小應該為：、、、、，個非負數(shù)保留個的值且使它們的和最小應該是：、、、、，從而得出結(jié)論．【詳解】（1）解：①，，，故答案為：；．②例如：，，通過以上例子發(fā)現(xiàn)，該運算是用來求大小不同的兩個有理數(shù)的最大值，用a，b的式子表示出一般規(guī)律為．故答案為：；．（2）解：①；②將，，，……，，，這個連續(xù)的整數(shù)，任意分為組，每組兩個數(shù)，現(xiàn)將每組的兩個數(shù)中任一數(shù)值記作，另一個記作，求出，組數(shù)代入后可求得個的值，要使這個的值的和最小，則個負數(shù)要保留最多且它們的和最小，個非負數(shù)要保留最少且它們的和最小，而兩個有理數(shù)進行已知新定義的運算，結(jié)果總是兩個數(shù)中較大的，這個負數(shù)保留的個的值且使它們的和最小應該為：、、、、，個非負數(shù)保留個的值且使它們的和最小應該是：、、、、，這個值的和的最小值是，故答案為：．11．（24-25七年級上·北京·期中）定義：將n個互不相等的有理數(shù)兩兩相乘．得到的乘積是m個互不相等的數(shù)（相同的乘積看作是一個數(shù)），稱這m個數(shù)為這n個有理數(shù)的二維組．例如：有三個有理數(shù)0，1，3，因為，則0和3組成這三個數(shù)的二維組．(1)求1，2，4，8這四個數(shù)的二維組中的所有數(shù)．(2)若某幾個有理數(shù)的二維組中的數(shù)是0，，，，12，18，24，嘗試求解這幾個有理數(shù)．(3)當時，即給定任意五個有理數(shù)，m的最小值是________，寫出一組滿足條件的五個有理數(shù)為________．【答案】(1)2，4，8，16，32(2)或(3)5；【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘法計算：（1）根據(jù)有理數(shù)乘法計算法則求出這4個數(shù)兩兩相乘的結(jié)果即可得到答案；（2）二維數(shù)組中有0，則這幾個有理數(shù)中必定有一個數(shù)為0，假設這幾個有理數(shù)中，有一個數(shù)不為整數(shù)，設這個數(shù)為a，則有一個數(shù)b滿足，則可推出一定是二維數(shù)組中的每個數(shù)，再由，，，12，18，24這幾個數(shù)中除以后的結(jié)果都不能是某個有理數(shù)的平方，可得這幾個有理數(shù)都是整數(shù)；若有一個有理數(shù)為1，那么其它的有理數(shù)都是偶數(shù)，則此時必有一個有理數(shù)為，再由二維數(shù)組中有24和18，此時必有有理數(shù)為和，這與假設矛盾，當有有理數(shù)時，那么其它的有理數(shù)都是偶數(shù)，此時必有一個有理數(shù)為，再由二維數(shù)組中有24和18，得到此時必有有理數(shù)為和，這與假設矛盾；當有一個有理數(shù)為3時，那么其它的有理數(shù)都是偶數(shù)，可得此時必有一個有理數(shù)為，進而推出此時必有有理數(shù)4和6，則有理數(shù)滿足題意，同理有理數(shù)也滿足題意；（3）要使m的值最小，那么一定要保證這5個數(shù)里面有1個數(shù)為0，根據(jù)4個數(shù)兩兩相乘一共有6種結(jié)果，則當剩下的4個數(shù)兩兩相乘的結(jié)果要最少，由1乘以任何數(shù)等于任何數(shù)，負1乘以任何數(shù)等于任何數(shù)的相反數(shù)，故當有時，且剩下兩個數(shù)互為相反數(shù)，那么這4個數(shù)相乘的結(jié)果就會重復2個數(shù)，即相乘的結(jié)果最少，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：，，，，，，∴1，2，4，8這四個數(shù)的二維組中的所有數(shù)為2，4，8，16，32；（2）解：∵二維數(shù)組中有0，∴這幾個有理數(shù)中必定有一個數(shù)為0，假設這幾個有理數(shù)中，有一個數(shù)不為整數(shù)，設這個數(shù)為a，則有一個數(shù)b滿足，∴一定有一個數(shù)滿足，一定有一個數(shù)滿足，∴一定是二維數(shù)組中的每個數(shù)，∵，，，12，18，24這幾個數(shù)中除以后的結(jié)果都不能是某個有理數(shù)的平方，∴這幾個有理數(shù)都是整數(shù)；若有一個有理數(shù)為1，那么其它的有理數(shù)都是偶數(shù)，∵，此時必有一個有理數(shù)為，∵二維數(shù)組中有24和18，∴此時必有有理數(shù)為和，這與假設矛盾，∴沒有有理數(shù)1，當有有理數(shù)時，那么其它的有理數(shù)都是偶數(shù)，∵，∴此時必有一個有理數(shù)為，∵二維數(shù)組中有24和18，∴此時必有有理數(shù)為和，這與假設矛盾；當有一個有理數(shù)為3時，那么其它的有理數(shù)都是偶數(shù)，∵，∴此時必有一個有理數(shù)為，∵二維數(shù)組中有24，且，∴此時必有有理數(shù)4和6，∵，∴這時有理數(shù)滿足題意，同理有理數(shù)也滿足題意；（3）解：∵0乘以任何數(shù)為0，∴要使m的值最小，那么一定要保證這5個數(shù)里面有1個數(shù)為0，∵4個數(shù)兩兩相乘一共有6種結(jié)果，∴當剩下的4個數(shù)兩兩相乘的結(jié)果要最少，∵1乘以任何數(shù)等于任何數(shù)，負1乘以任何數(shù)等于任何數(shù)的相反數(shù)，∴當有時，且剩下兩個數(shù)互為相反數(shù)，那么這4個數(shù)相乘的結(jié)果就會重復2個數(shù)，即相乘的結(jié)果最少，綜上所述，5個不同的數(shù)相乘時不同的結(jié)果最少為5個，即，此時滿足題意的有理數(shù)可以為，故答案為：5；．12．（24-25七年級上·江蘇南京·階段練習）定義“*”運算：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．據(jù)此回答下列問題：(1)計算：①；②；(2)歸納兩數(shù)進行“*”運算的法則（文字語言或符號語言均可）；(3)若整數(shù)m、n滿足，直接列出所有的m與n的值．（格式：）【答案】(1)①；②17；(2)兩數(shù)進行*運算時，同號得負，異號得正，并把兩數(shù)的平方相加．特別地，0和任何非0數(shù)進行*運算，或任何非0數(shù)和0進行*運算，等于這個數(shù)的平方，兩個0的*運算得0；(3)，或，或，或或或或或．【分析】（1）①根據(jù)示例參照求解；②根據(jù)示例參照求解；（2）根據(jù)示例，參照有理數(shù)乘法法則歸納；（3）由新定義知與異號，，得到，或，或，或或或或或，求得參數(shù)值即可．【詳解】（1）解：①；故答案為：；②；故答案為：；（2）解：歸納*運算的法則：兩數(shù)進行*運算時，同號得負，異號得正，并把兩數(shù)的平方相加．特別地，0和任何非0數(shù)進行*運算，或任何非0數(shù)和0進行*運算，等于這個數(shù)的平方，兩個0的*運算得0．（3）解：存在，∵，∴與異號，，∵m，n是整數(shù)，∴，或，或，或，或或或或，∴，或，或，或或或或或．【點睛】此題主要考查了定義新運算，有理數(shù)的混合運算．熟練掌握定義新運算的法則，有理數(shù)混合運算順序，運算法則，運算律，整數(shù)性質(zhì)，分類討論，是解決問題的關(guān)鍵．壓軸滿分題四、整式加減的應用13．（24-25七年級上·江蘇宿遷·期中）三階幻方是最基礎(chǔ)的幻方，又叫九宮格，要求由連續(xù)的九個整數(shù)組成一個三行三列的數(shù)陣，其對角線、橫行、縱行的和都相等．(1)如圖1，請用1-9這九個整數(shù)填寫幻方數(shù)陣；(2)如圖2，一數(shù)學興趣小組的同學發(fā)現(xiàn)，對于三階幻方，任何一個角上的數(shù)（如數(shù)a）都等于與這個數(shù)不在同一橫行、堅列及對角線上的兩個數(shù)（如數(shù)b、c）之和的一半，即，你認為他們的發(fā)現(xiàn)正確嗎？說你的道理；(3)如圖3，一數(shù)學興趣小組的同學研究了一個變形幻方，要求填入1-8這8個整數(shù)，使每一橫行（3個數(shù)）、每一縱行（3個數(shù)）以及里面4個數(shù)的和都相等，請你填寫出這8個數(shù)．（填寫1種情況即可）【答案】(1)見解析(2)正確，見解析(3)見解析【分析】本題考查數(shù)的特點，抓住每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)之和相等，讀懂題意是解答本題的關(guān)鍵．（1）方格正中間的數(shù)必為這9個數(shù)按從小到大的順序排列后正中間的數(shù)5，進而最大的數(shù)9，和最小的數(shù)1加上5，就組成一列，然后是8，5，2，接著是7，5，3，最后是6，5，4，保證每行、每列及對角線上各數(shù)之和都相等．（2）設九個數(shù)依次為，，…，，其各數(shù)之和為，則第一橫行、縱行和對角線上三數(shù)之和為，正中間的數(shù)為，即每一橫（縱、對角線）之和是正中間數(shù)的3倍，設正中間的數(shù)為x，填寫表格后即可證．（3）根據(jù)題意填寫即可．【詳解】（1）解：如下圖：（答案不唯一）492357816（2）解：正確，理由如下：設九個數(shù)依次為，，…，，其各數(shù)之和為，則第一橫行、縱行和對角線上三數(shù)之和為，正中間的數(shù)為，即每一橫（縱、對角線）之和是正中間數(shù)的3倍，設正中間的數(shù)為x，填表如下，則，即；（3）解：如下圖：（答案不唯一）14．（24-25七年級上·湖北武漢·期中）問題的提出：“鋪地錦”是我國古代一種乘法運算方法，可將多位數(shù)乘法運算轉(zhuǎn)化為一位數(shù)乘法和簡單的加法運算．圖（1）表示，運算結(jié)果為．（1）用示例的方法，計算，要求在圖（2）中對應位置標數(shù)．問題的拓展：（2）如圖（3）一個百位為1的三位數(shù)，十位和個位數(shù)字未知，與23相乘，請直接寫出與？的值；（3）在圖（4）中按圖（1）示例完成（2）的計算．延伸與運用：（4）圖（5）表示一個三位數(shù)與一個兩位數(shù)相乘，表格中部分數(shù)據(jù)被墨跡覆蓋，根據(jù)圖（5）中現(xiàn)有數(shù)據(jù)進行推斷，運算結(jié)果可以用含a的式子表示為____________．（直接寫出結(jié)果）【答案】（1）18450，填圖見詳解（2）（3）2852（4）【分析】本題主要考查有理數(shù)的混合運算，代數(shù)式表示數(shù)，理解題目中表格方法計算有理數(shù)的乘法，掌握有理數(shù)的混合運算法則，用代數(shù)式表示數(shù)的方法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)材料提示的方法計算即可；（2）根據(jù)有理數(shù)的乘法可得，，由此即可求解；（3）根據(jù)表格計算有理數(shù)乘法運算方法計算即可；（4）根據(jù)題意，，令，可得，，根據(jù)表格計算有理數(shù)乘法運算即可求解．【詳解】解：（1）根據(jù)材料提示，填圖如下，∴；（2）根據(jù)圖示，∵，∴，∵，∴；（3）根據(jù)（2）可得，如圖所示，∴計算結(jié)果為；（4）根據(jù)題意，，∴令，∴，，如圖所示，∴，故答案為：．15．（2024七年級上·全國·專題練習）為了加強公民的節(jié)水意識，合理利用水資源，某市采用價格調(diào)控手段達到節(jié)水的目的，該市自來水收費標準（按月結(jié)算）如表所示：每月用水量單價不超出的部分元超出不超出的部分元超出的部分元例如：若某戶居民月份用水，則應收水費：（元）．(1)若該戶居民月份用水，則應收水費元．(2)若該戶居民月份用水（其中），則應收水費多少元？（用含的整式表示，并化簡）(3)若該戶居民月份用水，兩個月共用水，且月份用水超過月份，請用含的整式表示兩個月共交的水費多少元？【答案】(1)(2)元(3)元或元或元【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算的應用，列代數(shù)式，整式的加減運算的應用，根據(jù)題意正確列出算式并運用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．（）根據(jù)材料提示的計算方法即可求解；（）根據(jù)不超過的部分的水費+超出不超出部分的水費，列式求解即可；（）根據(jù)題意，分類討論，結(jié)合（）、（）的計算方法即可求解；【詳解】（1）解：應收水費為（元），故答案為：48；（2）解：∵應收水費不超過的部分的水費超出不超出部分的水費，∴應收水費為元，∴應收水費為元；（3）解：∵月份用水量超過了月份，∴月份用水量少于，①當月份用水量少于時，則月份用水量超過，∴兩個月共交水費元；②當月份用水量大于或等于但不超過時，則月份用水量不少于但不超過，∴兩個月共交水費元；③當月份用水量超過但少于時，則月份用水量超過但少于，∴兩個月共交水費元，綜上，兩個月共交的水費為元或元或元．16．（24-25七年級上·廣東江門·期中）數(shù)學活動??探究日歷中的數(shù)字規(guī)律如圖1見2023年11月份的日歷，小樂在其中畫出一個的方框（粗線框），框住九個數(shù)，計算其中位置如圖2所示的四個數(shù)“”的值，探索其運算結(jié)果的規(guī)律．

(1)初步分析：計算圖1中的結(jié)果為______；將圖2中的方框移動到圖1中的其他位置，通過計算可以發(fā)現(xiàn)的值均為______；(2)數(shù)學思考：小樂認為（1）中猜想正確，其說理的過程如下，請你將其補充完整．解：設，則，，______．所以，（______）______(3)拓廣探究：同學們利用小樂的方法，借助圖1中的日歷．繼續(xù)進行如下探究．請從下列A，B兩題中任選一題作答．我選擇______題．A．在日歷中用“Z型框”框住位置如圖3所示的四個數(shù)．探究“”的值的規(guī)律．寫出你的結(jié)論．并說明理由．B．在日歷中用“Y型框”框住位置如圖4所示的四個數(shù)．探究“”的值的規(guī)律，寫出你的結(jié)論．并說明理由．【答案】(1)0，0；(2)，，0；(3)選A時，，理由見解析；選B時，，理由見解析；【分析】本題考查作圖應用與設計作圖，有理數(shù)的混合運算，整式的加減等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)解決問題．（1）先計算括號，再計算減法可得結(jié)論；（2）把，代入計算即可；（3）選A時，如圖3中，結(jié)論：．設，則，，，代入計算即可；選B時，如圖4中，結(jié)論：．設，則，，，代入計算即可．【詳解】（1）解：．將圖2中的方框移動到圖1中的其他位置，通過計算可以發(fā)現(xiàn)的值均為0，故答案為：0，0；（2）解：設，則，，．．的值均為0．故答案為：，，0；（3）解：選擇：A；如圖3中，結(jié)論：．理由：設，則，，，；選擇：B；如圖4中，結(jié)論：．理由：設，則，，，．壓軸滿分題五、整式加減的規(guī)律性探索17．（23-24七年級上·福建三明·期中）【閱讀】，將這三個等式的兩邊相加，則得到．【歸納】（1）根據(jù)上述規(guī)律，猜想下列等式的結(jié)果：；【應用】（2）利用（1）中得到的結(jié)論計算：；【遷移】（3）請你類比材料中的方法計算：．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】此題主要考查了數(shù)字類規(guī)律探究和有理數(shù)的混合運算；（1）觀察已知等式，得出規(guī)律，即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論進行計算即可求解；（3）類比（1）的規(guī)律，即可求解．【詳解】解：（1）……∴；故答案為：．（2）．（3）∵，，……，原式∴18．（24-25七年級上·四川內(nèi)江·期中）數(shù)學問題的分析、解決離不開其中蘊含的思想與方法，思想與方法可以說是數(shù)學的“靈魂”．整體思想就是一個很重要的數(shù)學思想．【案例學習】計算的值．分析：算式中后一個加數(shù)是前一個加數(shù)的3倍，因此，可以將原算式看作一個整體，記作S，整體擴大3倍后再解決問題．解：設，①則得，②②①得：，，，即．【實踐操作】(1)計算的值；【遷移拓展】(2)觀察分析，該算式中第56個加數(shù)為（直接寫出結(jié)果）；(3)計算的值；【靈活運用】(4)現(xiàn)有一機器跳蚤從原點出發(fā)，沿著數(shù)軸正方向按如下指令前進：第1次前進個單位長度，第2次前進個單位長度，第3次前進個單位長度依此類推，每一次前進的長度是上次長度的一半．試判斷該跳蚤第50次前進后，能否到達該數(shù)軸表示數(shù)1的點處？若能，請說明理由；若不能，用自己的語言描述該跳蚤在何處？【答案】(1)(2)(3)(4)該跳蚤第次前進后，不能到達該數(shù)軸表示數(shù)的點處，此時它在數(shù)的左側(cè)，且與之距離為個單位長度【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索，有理數(shù)的乘方的應用，理解案例方法，掌握整體思想是解題關(guān)鍵．（1）仿照例題，設，則，作差即可求解；（2）觀察該算式的各個加數(shù)發(fā)現(xiàn)第個加數(shù)為，即可求解；（3）設，則，進而得到，求出的值即可求解；（4）由題意可知，該跳蚤第50次前進后的長度為，仿照例題，求得，即可求解．【詳解】（1）解：設，①則，得，②②①得：，，即；（2）解：觀察可知，該算式中第1個加數(shù)為，該算式中第2個加數(shù)為，該算式中第3個加數(shù)為，該算式中第4個加數(shù)為，……即該算式中第個加數(shù)為，該算式中第56個加數(shù)為，故答案為：；（3）設，①則，則，②②①得：，，，即；（4）解：由題意可知，第1次前進個單位長度，第2次前進個單位長度，第3次前進個單位長度，……即第50次前進個單位長度，該跳蚤第50次前進后的長度為，設，①則，則，②②①得：，，，即該跳蚤第50次前進后，不能到達該數(shù)軸表示數(shù)1的點處，此時它在數(shù)1的左側(cè)，且與之距離為個單位長度．19．（24-25七年級上·河北石家莊·期中）【觀察思考】如圖是由正方形組成的一系列圖案，其中第個圖案有個正方形；第個圖案有個正方形；第個圖案有個正方形；【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】（）第個圖案有______個正方形；（）第（是正整數(shù)）個圖案有______（結(jié)果無需化簡）個正方形；【規(guī)律應用】（）結(jié)合圖案中正方形的組合方式，小明說：“用個正方形可以組成符合該規(guī)律的圖案．”判斷小明的說法是否正確，并說明理由．【答案】（）；（）；（）小明的說法不正確，理由見解析【分析】（）根據(jù)已知圖案正方形的各數(shù)可得第個圖案正方形的個數(shù)為個，據(jù)此即可求解；（）根據(jù)（）的結(jié)論求解即可；（）令，可得，據(jù)此即可判斷求解；本題考查了圖形類規(guī)律探究，從已有圖形找到圖形的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由所給圖形可知，第個圖案正方形的個數(shù)為；第個圖案正方形的個數(shù)為；第個圖案正方形的個數(shù)為；；∴第個圖案正方形的個數(shù)為個，當時，，即第個圖案正方形的個數(shù)為21個，故答案為：21；（）由（）知，第個圖案正方形的個數(shù)為個，故答案為：；（）小明的說法不正確，理由如下：令，解得，∵不是整數(shù)，∴用個正方形不可以組成符合該規(guī)律的圖案，∴小明的說法不正確．20．（24-25八年級上·山東青島·期中）【問題提出】以長方形的4個頂點和它內(nèi)部的n個點，共個點作為頂點，可把原長方形分割成多少個互不重疊的小三角形？【問題探究】為了解決上面的問題，我們將一般問題特殊化，先從簡單的情形入手：探究一：以長方形的4個頂點和它內(nèi)部的1個點P（如圖①），共5個點為頂點，此時可把長方形分割成個互不重疊的小三角形．探究二：以長方形的4個頂點和它內(nèi)部的2個點P、Q，共6個點為頂點，可把長方形分割成多少個互不重疊的小三角形？在探究一的基礎(chǔ)上，我們可看作在圖①長方形的內(nèi)部，再添加1個點Q，那么點Q的位置會有兩種情況：（1）點Q在圖①分割成的小三角形的某條公共邊上，不妨設點Q在上（如圖②）；（2）點Q在圖①分割成的某個小三角形內(nèi)部，不妨設點Q在的內(nèi)部（如圖③）．顯然，不管哪種情況，都可把長方形分割成個互不重疊的小三角形．探究三：長方形的4個頂點和它內(nèi)部的3個點P、Q、R，共7個點為頂點，可把長方形分割成個互不重疊的小三角形．【問題解決】以長方形的4個頂點和它內(nèi)部的n個點，共個點作為頂點，可把原長方形分割成個互不重疊的小三角形．【實際應用】以梯形的4個頂點和它內(nèi)部的2024個點作為頂點，可把梯形分割成個互不重疊的小三角形．【拓展延伸】以m邊形的m個頂點和它內(nèi)部的n個點，共個點作為頂點，可把原m邊形分割成個互不重疊的小三角形．【答案】探究一：4；探究二：6；探究三：8；[問題解決]：；[實際應用]：4050；[拓展延伸]：【分析】本題考查了應用與設計作圖，圖形的變化規(guī)律的問題，讀懂題目信息，根據(jù)前四個探究得到每多一個點，則三角形的個數(shù)增加2是解題的關(guān)鍵．探究一：根據(jù)圖形可回答；探究二：根據(jù)圖形可回答；探究三：根據(jù)圖形可回答；問題解決：由探究活動可得規(guī)律為，進而解決問題；實際應用：把2024代入所得規(guī)律，求值即可；拓展延伸：由四邊形的規(guī)律可得m邊形的規(guī)律．【詳解】解：探究一：以長方形的4個頂點和它內(nèi)部的1個點（如圖①），共5個點為頂點，此時可把長方形分割成4個互不重疊的小三角形．故答案為：4；探究二：在探究一的基礎(chǔ)上，我們可看作在圖①長方形的內(nèi)部，再添加1個點，那么點的位置會有兩種情況：一種情況是，點在圖①分割成的小三角形的某條公共邊上，不妨設點在上（如圖②）；另一種情況是，點在圖①分割成的某個小三角形內(nèi)部．不妨設點在△的內(nèi)部（如圖③）．不管哪種情況，都可把長方形分割成6個互不重疊的小三角形．故答案為：6；探究三：長方形的4個頂點和它內(nèi)部的3個點、、，共7個點為頂點，可把長方形分割成8個互不重疊的小三角形．如圖所示．故答案為：8；[問題解決]以長方形的4個頂點和它內(nèi)部的1個點，共5個點作為頂點，可把原長方形分割成互不重疊的小三角形個數(shù)為：，以長方形的4個頂點和它內(nèi)部的2個點，共6個點作為頂點，可把原長方形分割成互不重疊的小三角形個數(shù)為：，以長方形的4個頂點和它內(nèi)部的3個點，共7個點作為頂點，可把原長方形分割成互不重疊的小三角形個數(shù)為：，所以，以長方形的4個頂點和它內(nèi)部的n個點，共個點作為頂點，可把原長方形分割成互不重疊的小三角形個數(shù)為：．故答案為：；[實際應用]當時，，以梯形的4個頂點和它內(nèi)部的2024個點作為頂點，可把梯形分割成4050個互不重疊的小三角形．故答案為：4050；[拓展延伸]當內(nèi)部1個點時，可以與m邊形的m個頂點連接形成m個三角形，當內(nèi)部有n個點時，相當于在m個三角形的基礎(chǔ)上多出個三角形，∴可把原m邊形分割成個三角形．故答案為：．壓軸滿分題六、一元一次方程解的拓展問題21．（2024七年級上·全國·專題練習）定義：如果兩個一元一次方程的解互為相反數(shù)，我們就稱這兩個方程為“和諧方程”．例如：方程和為“和諧方程”．(1)若關(guān)于的方程與方程是“和諧方程”，求的值；(2)若“和諧方程”的兩個解的差為4，其中一個解為，求的值；(3)若無論取任何有理數(shù)，關(guān)于的方程（，為常數(shù)）與關(guān)于的方程都是“和諧方程”，求的值．【答案】(1)(2)或(3)【分析】本題考查一元一次方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)“和諧方程”的定義，一元一次方程的解，進行解答即可．（1）解出和的解，再根據(jù)“和諧方程”的定義列式即可．（2）根據(jù)“和諧方程”的定義，則一個方程的解為：；另一個方程的解為：，分成兩種情況即可求解．（3）先解出的解，再根據(jù)“和諧方程”的定義可得，即可列式求解和的值，代入即可求解．【詳解】（1）解：∵，解得：，∵，∴，∵與方程是“和諧方程”，∴，∴．（2）解：∵“和諧方程”的兩個解的差為，其中一個解為，∴另一個方程的解為：，∴或，解得：或，∴的值為或．（3）解：∵，∴，∴方程的解為：，∴，∴，∴，∵取任何有理數(shù)上式都成立，∴，解得：，∴．22．（23-24七年級下·四川內(nèi)江·階段練習）定義：如果兩個一元一次方程的解之和為1，我們就稱這兩個方程互為“陽光方程”．例如：的解為，的解為，所以這兩個方程互為“陽光方程”．(1)若關(guān)于x的一元一次方程與是“陽光方程”，則；(2)已知兩個一元一次方程互為“陽光方程”，且這兩個“陽光方程”的解的差為5．若其中一個方程的解為，求k的值；(3)①已知關(guān)于x的一元一次方程的解是，請寫出解是的關(guān)于y的一元一次方程：（只需要補充含有y的代數(shù)式）；②若關(guān)于x的一元一次方程和互為“陽光方程”，則關(guān)于y的一元一次方程的解為．【答案】(1)(2)3或(3)①，；②【分析】本題主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意義解答是解題的關(guān)鍵，本題是新定義型，理解并熟練應用新定義解答也是解題的關(guān)鍵．（1）分別求得兩個方程的解，利用“陽光方程”的定義列出關(guān)于m的方程解答即可；（2）利用“陽光方程”的定義得出兩個“陽光方程”的解為由兩個“陽光方程”的解的差為5列出關(guān)于k的方程解答即可；（3）①由題意可知的解是，結(jié)合，則即可求解；②求得方程的解，利用“陽光方程”的定義得到方程的解，再將關(guān)于y的方程變形得，利用同解方程的定義即可得到，從而求得方程的解．【詳解】（1）解：關(guān)于x的一元一次方程的解為：,方程的解為：，關(guān)于x的一元一次方程與是“陽光方程”，解得：；故答案為：；（2）解：互為“陽光方程”的一個解為，則另一個解為，又這兩個“陽光方程”的解的差為5則或，解得或．故k的值為3或；（3）解：①關(guān)于x的一元一次方程的解是，即的解是，關(guān)于y的一元一次方程：的解是，則的解是，即的解是，故答案為：，；②∵關(guān)于x的一元一次方程的解為，又∵關(guān)于x一元一次方程和互為“陽光方程”，方程的解為：，把關(guān)于y的一元一次方程，整理得：，解得：，關(guān)于y的一元一次方程的解為：故答案為：23．（23-24七年級上·湖南長沙·期末）我們規(guī)定，若關(guān)于的一元一次方程的解為，則稱該方程為“天心方程”．例如，的解為，而，則該方程就是“天心方程”．請根據(jù)上述規(guī)定解答下列問題：(1)一元一次方程_______（填“是”或“不是”）“天心方程”．(2)若關(guān)于的一元一次方程是“天心方程”，則_______．(3)若關(guān)于的一元一次方程是“天心方程”，且它的解為，求的值．(4)若關(guān)于的一元一次方程和關(guān)于的一元一次方程都是“天心方程”，求代數(shù)式的值．【答案】(1)不是(2)(3)，(4)【分析】（1）解得，由“天心方程”的定義得，即可求解；（2）解得，由“天心方程”的定義得，即可求解；（3）解得：，由“天心方程”的定義得及方程的解為得和，解方程組，即可求解；（4）由“天心方程”得，，從而可得，，，將此代入代數(shù)式得化簡即可求解．【詳解】（1）解：，解得：，，不是天心方程，故答案：不是；（2）解：由解得，一元一次方程是“天心方程”，，解得：，故答案：；（3）解：由解得：，方程的解為，①，一元一次方程是“天心方程”，②，聯(lián)立①②，解得，故，；（4）解：一元一次方程是“天心方程”，，①，關(guān)于的一元一次方程是“天心方程”，，，②，由①②得：③，④，⑤，將③④⑤代入代數(shù)式得：原式．【點睛】本題考查了新定義，方程的解，求代數(shù)式的值，解含參數(shù)的一元一次方程，理解新定義，能用整體代換的思想求解是解題的關(guān)鍵．24．（23-24七年級上·江蘇連云港·階段練習）閱讀解方程的途徑．(1)按照圖1所示的途徑，填寫圖2內(nèi)空格．①；②．(2)已知關(guān)于x的方程+c＝的解是x=1或x=2（a、b、c均為常數(shù)）．求關(guān)于x的方程+c＝（k、m為常數(shù)，）的解（用含k、m的代數(shù)式表示）．【答案】(1)①；②(2)，【分析】本題考查了解方程的整體思想與一元一次方程的解法，根據(jù)題意得出新的一元一次方程是解題的關(guān)鍵．（1）①把看作①的x，即可得到；解一元一次方程即可求得方程的解．（2）按照圖1途徑得到或，然后解關(guān)于x的一元一次方程即可．【詳解】（1）解：根據(jù)圖1可得：①；②．（2）解：由題意得：或，解得：，．壓軸滿分題七、一元一次方程的實際應用25．（24-25七年級上·全國·期末）某長方形人行道由相同的灰色正方形地磚與相同的白色等腰直角三角形地磚排列而成，圖1表示此人行道的地磚排列方式，其中正方形地磚為連續(xù)排列．[觀察思考]當正方形地磚只有1塊時，等腰直角三角形地磚有6塊（如圖2）；當正方形地磚有2塊時，等腰直角三角形地磚有8塊（如圖3）；以此類推．[規(guī)律總結(jié)]（1）若人行道上每增加1塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚增加塊；（2）若一條這樣的人行道一共有n（n為正整數(shù)）塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚的塊數(shù)為（用含n的代數(shù)式表示）．[問題解決]（3）現(xiàn)有2025塊等腰直角三角形地磚，若按此規(guī)律再建一條人行道，要求等腰直角三角形地磚剩余最少，則需要正方形地磚多少塊？【答案】（1）2；（2）；（3）1010塊【分析】本題為圖形規(guī)律題，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能列代數(shù)式表示其中的規(guī)律，一元一次方程、代數(shù)式的應用．（1）由圖觀察即可；（2）由每增加一塊正方形地磚，即增加2塊等腰直角三角形地磚，再結(jié)合題干中的條件正方形地磚只有1塊時，等腰直角三角形地磚有6塊，遞推即可；（3）利用上一小題得到的公式建立方程，即可得到等腰直角三角形地磚剩余最少時需要正方形地磚的數(shù)量．【詳解】解：（1）觀察圖1可知：中間的每個正方形都對應了兩個等腰直角三角形，所以每增加一塊正方形地磚，等腰直角三角形地磚就增加2塊；故答案為：2；（2）觀察圖形2可知：中間一個正方形的左上、左邊、左下共有3個等腰直角三角形，它右上和右下各對應了一個等腰直角三角形，右邊還有1個等腰直角三角形，即；圖3和圖1中間正方形右上和右下都對應了兩個等腰直角三角形，均有圖2一樣的規(guī)律，圖3：；歸納得：（即）；∴若一條這樣的人行道一共有n（n為正整數(shù)）塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚的塊數(shù)為塊；故答案為：；（3）由規(guī)律知：等腰直角三角形地磚塊數(shù)是偶數(shù)，∴用塊，再由題意得：，解得：，∴等腰直角三角形地磚剩余最少為1塊，則需要正方形地磚1010塊．26．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）國家倡導居民節(jié)約用電，第九屆哈爾濱亞冬會更是堅持“綠色、共享、開放、廉潔”的辦賽理念．為此我市實施居民用電階梯電價，方案如下：第一階梯電價：月用電量不超過220度的部分，每度電的價格為0.5元：第二階梯電價：月用電量超過220度不超過420度的部分，每度電的價格為0.55元：第三階梯電價：月用電量超過420度的部分，每度電的價格為0.8元．(1)如果按此方案計算，金鐸家10月份的用電量是200度，則金鐸家10月份的電費為__________元；書銘家10月份的用電量是300度，則書銘家10月份的電費為__________元．(2)如果按此方案計算，宇軒家10月份的電費為260元，請求出宇軒家10月份的用電量．(3)政府部門更希望用電高峰時要節(jié)約用電，并盡量讓居民減少用電支出，為此又推出了“峰谷電價”．居民可以根據(jù)用電情況，申請“峰谷電價”，其收費方式如下：高峰時段8：00-22：00，其電價仍按各檔標準分段計價，但在各檔電價基礎(chǔ)上加價0.05元/度；低谷時段8：00-22：00以外的時間，其電價還是按各檔標準分段計價，但在各檔電價基礎(chǔ)上降價0.2元/度．英赫家10月的用電量為350度，并且高峰時段用電量大于220度，他家申請“峰谷電價”后，能節(jié)省15.5元，請求出英赫家10月份高峰時段、低谷時段用電量分別是多少度？【答案】(1)；(2)宇軒家10月份的用電量為470度；(3)英赫家10月份高峰時段、低谷時段用電量分別是240度、110度．【分析】本題考查有理數(shù)混合運算的實際應用，一元一次方程的實際應用，解題的關(guān)鍵是理解階梯電價、峰谷電價的計費規(guī)則．（1）根據(jù)階梯電價計費規(guī)則列式計算即可；（2）先判斷用電量是否超過420度，再列方程求解；（3）高峰時段用電量執(zhí)行第一、第二階梯電價，低谷時段用電量執(zhí)行第二階段電價，根據(jù)申請“峰谷電價”后，能節(jié)約15.5元，列一元一次方程，即可求解．【詳解】（1）解：金鐸家10月份的電費為（元），書銘家10月份的電費為（元），故答案為：；；（2）解：用電量為420度時，電費為：（元），，宇軒家10月份的用電量比420度多，設宇軒家10月份的用電量為度，則，解得，答：宇軒家10月份的用電量為470度；（3）解：設英赫家10月份高峰時段的用電量為度，則，整理得，即，解得，．答：英赫家10月份高峰時段、低谷時段用電量分別是240度、110度．27．（24-25七年級上·廣東深圳·期中）數(shù)軸是學習有理數(shù)的一種重要工具，任何有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，這樣能夠運用數(shù)形結(jié)合的方法解決一些問題．如圖將一條數(shù)軸在原點O，點B，點C，點D處各折一下，得到一條“坡面數(shù)軸”．圖中點A表示，點B表示8，點C表示16，點D表示24，點E表示28．我們稱點A和點E相距36個單位長度，動點P從A從出發(fā)，以每秒4個單位的速度沿著“坡面數(shù)軸”的正方向移動，同時，動點Q從E出發(fā)以每秒3個單位的速度沿著“坡面數(shù)軸”的負方向移動，兩個點上坡時候的速度均是各自初始速度的一半，下坡時候的速度均是各自初始速度的2倍，平地則保持初始速度不變．當點P運動至點E時，兩點同時停止運動，設運動的時間為t秒．問：(1)動點P從點A運動到E點需要秒，此時點Q對應的數(shù)是；(2)P，Q兩點在點M出相遇，求出相遇點M所對應的數(shù)是多少?(3)當P，B兩點在這個上數(shù)軸上相距的長度與Q，D兩點在這個數(shù)軸上相距長度相等時，直接寫出此時t的值．【答案】(1)10，4(2)(3)4或8.8或10【分析】本題主要考查一元一次方程的應用、數(shù)軸，解題關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系，列出方程．本題難度適中，是中考常考題型，要求學生牢固掌握．（1）根據(jù)點在各段的運動速度結(jié)合公式：時間路程速度即可得到動點從點運動至點需要的時間，分析點在每段上運動需要的時間即可解答；（2）分析可知當，兩點在處相遇時，點在段，再求出兩點相遇所用時間，最后計算出點所對應的數(shù)即可；（3）根據(jù)題意可分情況討論：①當點在段時，點在段，此時大于8，小于4，不符合題意；②當點在段時，點在段，根據(jù)列出方程并求解；③當點在段時，點在段，根據(jù)列出方程并求解；④當點在段時，點在段時，小于8，大于8，不符合題意；⑤當點在段，點在段，根據(jù)列出方程并求解；⑥當點在段，點在段，根據(jù)列出方程并求解．【詳解】（1）解：由題意可知，動點在、、段的速度均為4單位秒，在段的速度為2單位秒，在段的速度為8單位秒，，，動點從點運動至點需要的時間為（秒，動點從點出發(fā)，以3單位秒的速度沿著數(shù)軸的負方向運動，在，，段的速度為3單位秒，段的速度為1.5單位秒，在段的速度為6單位秒，動點從點運動到點需要（秒，從點運動到點需要（秒，從點運動到點需要（秒，（秒，，．此時點對應的點是4；故答案為：10，4；（2）解：由（1）可知，，兩點在處相遇時，點在段，動點由點經(jīng)過點到點點用時為（秒，動點從點到點用時為（秒，6秒到秒動點的路程，相遇的時間（秒，點的路程，點所對應的數(shù)；（3）解：①當點在段時，點在段，此時大于8，小于4，不符合題意；②當點在段時，點在段，若，則，，，解得：；③當點在段時，點在段，若，則，，，解得：（舍去）；④當點在段時，點在段時，小于8，大于8，不符合題意；⑤當點在段，點在段，若，則，，，解得：；⑥當點在段，點在段，若，則，，，解得：．綜上所述，當為4或8.8或10時，，兩點在數(shù)軸上相距的長度與，兩點在數(shù)軸上相距的長度相等．28．（24-25七年級上·江蘇無錫·期中）我們知道，有理數(shù)包括整數(shù)、有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，事實上，所有的有理數(shù)都可以化為分數(shù)形式（整數(shù)可看作分母為1的分數(shù)），那么無限循環(huán)小數(shù)如何表示為分數(shù)形式呢？請看以下示例：例：將0.4化為分數(shù)形式．由于，設，①則，②得，解得，于是．同理可得：．根據(jù)以上閱讀，回答下列問題：（以下計算結(jié)果均用最簡分數(shù)表示）【基礎(chǔ)訓練】（1）_______，________；（2）將化為分數(shù)形式，寫出推導過程；【能力提升】（3）______，_______；（注：）【探索發(fā)現(xiàn)】（4）①試比較與1的大?。篲______1（填“>”“<”或“=”）；②若已知，則_______．（注：）【答案】（1）

（2）

（3）

（4）①

②【分析】本題考查了一元一次方程的應用，理解新方法是解題的關(guān)鍵.（1）根據(jù)題中的方法求解；（2）根據(jù)題中的方法求解；（3）根據(jù)題中的方法求解；（4）①根據(jù)題中的方法求出的值，再比較大??；②根據(jù)題中的方法求解.【詳解】（1）解：由于，設①則②，②①得，解得，于是，同理：，故答案為：；（2）由于，設①則②②①得，解得：，；故答案為：；（3）設①則，②①得，解得：；同理：，故答案為：；(4)①設則，解得：故答案為：；②，設，則，故答案為：．壓軸滿分題八、走進集合世界壓軸題29．（24-25七年級上·江蘇鹽城·階段練習）閱讀與思考下面是小軒同學的數(shù)學學習筆記，請仔細閱讀并完成相應任務．多面體歐拉公式歐拉是著名的數(shù)學家，他發(fā)現(xiàn)不論什么形狀的凸多面體，其頂點數(shù)（）、面數(shù)（）、棱數(shù)（）之間存在的一個固定的關(guān)系式，被稱為多面體歐拉公式．表格列出上面四個多面體的頂點數(shù)（）、面數(shù)（）、棱數(shù)（）多面體編號頂點數(shù)（）面數(shù)（）棱數(shù)（）任務：(1)表格空白處填_____，頂點數(shù)（）、面數(shù)（）和棱數(shù)（）之間存在的關(guān)系式是_____(2)某個簡單的多面體，是由三角形和八邊形兩種多邊形拼接而成，每個頂點處都有條棱，共有棱條．若該多面體三角形的個數(shù)比八邊形的個數(shù)的倍少，求該多面體三角形的個數(shù)．(3)小軒同學嘗試切去正方體一塊后（用平面截?。貌坏接袟l棱的多面體．如果能切出有條棱的多面體，最少需切去幾塊，如果不能切出有條棱的多面體，請說明理由．(4)年諾貝爾獎授予對有重大發(fā)現(xiàn)的三位科學家．如圖，是由個原子構(gòu)成的分子，它的結(jié)構(gòu)為簡單多面體形狀．這個多面體有個頂點，以每個頂點為一端點都有三條棱，面的形狀只有五邊形和六邊形．按照結(jié)構(gòu)，數(shù)學家構(gòu)造出頂點數(shù)為的多面體，稱為“”多面體，探究發(fā)現(xiàn)，當“”多面體的面數(shù)增多時，“”多面體的六邊形面數(shù)也會增多，你能解釋其中的道理嗎？【答案】(1)；(2)個(3)不能切出有條棱的多面體，理由見解析(4)理由見解析【分析】本題考查多面體的頂點數(shù)，面數(shù)，棱數(shù)之間的關(guān)系及靈活運用，（1）先根據(jù)四面體、長方體、正八面體的頂點數(shù)、面數(shù)和棱數(shù)，總結(jié)出頂點數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)之間存在的關(guān)系式即可；（2）設八邊形的個數(shù)個，則三角形的個數(shù)為個，由題意可得面數(shù)，解方程求出的值即可；（3）若，根據(jù)歐拉公式得，再根據(jù)，，且、、都是正整數(shù)，分兩種情況作進一步分析即可；（4）設頂點數(shù)為，得，，，設六邊形的個數(shù)為個，則五邊形的個數(shù)為個，繼而得出，解得：，可得結(jié)論；得出頂點數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)的數(shù)量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：四面體的頂點數(shù)為、面數(shù)為，棱數(shù)為，則，長方體的頂點數(shù)為、面數(shù)為，棱數(shù)為，則，正八面體的頂點數(shù)為，面數(shù)為，棱數(shù)為，則，∴關(guān)系式為：，∴頂點數(shù)為、面數(shù)為，棱數(shù)為，故答案為：；；（2）設八邊形的個數(shù)個，則三角形的個數(shù)為個，∵每個頂點處都有條棱，共有棱條，一條棱有兩個頂點，∴，∴，∴，∴，解得：，∴（個），∴該多面體三角形的個數(shù)為個；（3）不能切出有條棱的多面體．理由如下：∵，若，則，∵，，且、、都是正整數(shù)，當時，，不存在這樣的多面體；當時，，不存在這樣的多面體；∴不能切出有條棱的多面體；（4）設頂點數(shù)為，∵每個頂點處都有條棱，一條棱有兩個頂點，∴，，∴，設六邊形的個數(shù)為個，則五邊形的個數(shù)為個，∴，解得：，∵隨著的增多而增多，即六邊形的面數(shù)也會增多．30．（24-25七年級上·山西晉中·期中）綜合與探究：問題情景：學習了第一章生活中的立體圖形后，綜合實踐小組開展了“長方體紙盒制作”實踐探究活動．操作探究：(1)若準備制作一個無蓋正方體紙盒，圖中的圖形經(jīng)過折疊能圍成無蓋正方體紙盒的是_____；(2)如圖綜合實踐小組利用邊長為的正方形紙板，先在紙板四角剪去四個同樣大小且邊長為的小正方形，用含的代數(shù)式表示這個紙盒的底面邊長為______；當四角剪去的四個小正方形的邊長為時，求出紙盒的體積．(3)如圖綜合實踐小組利用邊長為的正方形紙板，先在紙板四角剪去兩個同樣大小邊長為的小正方形和兩個同樣大小的小長方形，再沿虛線折合起來．如果，．則該長方體紙盒的體積為______．【答案】(1)(2)，(3)【分析】根據(jù)正方體的折疊，可得折成一個無蓋的正方體紙盒需要有個面，根據(jù)平面圖形中小正方形的個數(shù)和位置進行判斷即可；根據(jù)正方體的表面展開圖的特征，當正方形紙板四個角都剪去一個邊長為小正方形時，得到的紙盒的底面邊長為；根據(jù)剪去的小正方形的位置和邊長，求出折疊好的長方體紙盒的長、寬、高，再根據(jù)長方體的體積公式求解即可．【詳解】（1）解：A圖中個小正方形的位置呈“田”字格形式，不能折疊成正方體，故A選項不能圍成無蓋正方體；B圖中只有個小正方形，無蓋正方體紙盒需要個小正方形，故B選項不能圍成無蓋正方體；C圖中有個小正方形，折疊后恰好是一個無蓋正方體紙盒，故C選項能圍成無蓋正方體；D圖中有個小正方形，可以折疊成一個有蓋的正方體紙盒，故D選項不能圍成無蓋正方體；故選：C．（2）解：正方形紙板四個角都剪掉一個邊長為的小正方形，得到的紙盒的底面邊長為，當時，紙盒的高為，底面是邊長為的正方形，則紙盒的體積為：；（3）解：由圖可知，折好的長方體紙盒的長為，寬為，高為，折好的長方體紙盒的體積為，當、時，【點睛】本題考查正方體的表面展開圖，長方體的體積，掌握正方體的表面展開圖的特征是解決問題的關(guān)鍵．31．（24-25六年級上·山東威海·期中）將圖1所示的大正方體在頂點處截去一個小正方體后，得到圖2所示的幾何體．(1)設原來大正方體的表面積為，圖2所示的幾何體表面積為，那么與的大小關(guān)系是：____；（填“>”“<”或“=”）(2)圖3的實線圖形是圖2所示幾何體表面展開圖的一部分，請在圖3的虛線區(qū)域?qū)D2的展開圖補全；(3)設原來大正方體的棱長之和為m，圖2所示幾何體的棱長之和為n，小明認為：n剛好比m多出大正方體3條棱的長度，小明的說法是否正確？若正確，請說明理由；若不正確，所截去的小正方體的棱長與原大正方體的棱長之間具備怎樣的數(shù)量關(guān)系時，才會正確？【答案】(1)=(2)作圖見詳解(3)不正確，所截的小正方體的棱長是大正方體棱長的一半【分析】本題主要考查立體結(jié)合圖形的特點，掌握正方體截取的方法，數(shù)形結(jié)合分析是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圖示，截去部分與增加部分的面積的比較，即可求解；（2）根據(jù)立體圖形與展開圖的特點進行分析即可求解；（3）根據(jù)截去部分與增加部分的棱長進行比較即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，截去的面與相等，面與相等，面與面相等，∴，故答案為：；（2）解：根據(jù)題意，作圖如下，（3）解：不正確，理由如下，根據(jù)題意，，，，截去了，增加了，截去了CD，增加了，截去了CF，增加了，∴截去的長為，增加的長為，∴所截的小正方體的棱長是大正方體棱長的一半，才會正確32．（24-25七年級上·廣東深圳·期中）【綜合實踐】某綜合實踐小組開展了“長方體紙盒的制作”實踐活動．【知識準備】（1）下列圖形中，不是無蓋正方體的表面展開圖的是_______；（填序號）【實踐探索】（2）綜合實踐小組利用邊長為的正方形紙板制作出兩種不同方案的長方體盒子（圖1為無蓋的長方體紙盒，圖2為有蓋的長方體紙盒）①圖1方式制作一個無蓋的長方體盒子的方法：先在紙板四角剪去四個同樣大小邊長為的小正方形，再沿虛線折合起來．則長方體紙盒的底面周長為______（用含a，b的式子表示）；②圖2方式制作一個有蓋的長方體紙盒的方法：先在紙板四角剪去兩個同樣大小邊長為的小正方形和兩個同樣大小的小長方形，再沿虛線折合起來．如果，．則該長方體紙盒的體積為_____．【實踐分析】（3）一個無蓋長方體的長、寬、高分別為，（它缺一個長為，寬為的長方形蓋子），如圖是該長方體的一種平面展開圖，它的外圍周長為．事實上，該長方體的平面展開圖還有不少，請你畫出該無蓋長方體外圍周長最大的一種表面展開圖，并求出最大外圍周長的值．【答案】（1）②（2）①②1000（3）見解析，【分析】本題考查簡單幾何體的展開圖，熟練根據(jù)簡單幾何的展開圖得出長方體的長寬高是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)無蓋正方體紙盒的面數(shù)和構(gòu)成求解；（2）①根據(jù)正方形周長公式即可得解；②根據(jù)長方體的體積公式即可得解；（3）根據(jù)邊長最長的都剪，邊長最短的剪得最少，露出外圍的邊都是長邊畫圖，再據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：②不能折成一個無蓋正方體紙盒，①③④能折成一個無蓋正方體紙盒，故答案為：②；（2）①解：由題意可知，長方體紙盒的底面為正方形，其邊長為，∴長方體紙盒的底面周長為，故答案為：；②由題意可知，該長方體紙盒的長為，高為，寬為，∴該長方體紙盒的體積為，故答案為：1000；（3）解：由題意知：邊長最長的都剪，邊長最短的剪得最少，如圖，所以該長方體表面展開圖的最大外圍周長為．壓軸滿分題九、直線、射線、線段壓軸33．（24-25七年級上·廣東茂名·階段練習）如圖1，點C在線段上，圖中有三條線段，分別為線段和，若其中一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點C是線段的“智慧點”．(1)線段的中點______這條線段的“智慧點”（填“是”或“不是”）；(2)若線段，點C為線段的“智慧點”，則______；(3)如圖2，已知，，動點P從點A出發(fā)，以的速度沿AB向點B運動，點Q從點B出發(fā)，以的速度沿向點A運動，點P、Q同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，運動停止，設運動的時間為t秒，若A、P、Q三點中，一點恰好是以另外兩點為線段的“智慧點”，求出所有可能的t值．【答案】(1)是(2)或或(3)或或或或【分析】本題考查了兩點間的距離，一元一次方程的應用，準確理解“智慧點”的概念，利用分類討論思想解題是關(guān)鍵．（1）根據(jù)“智慧點”的定義即可求解；（2）分，，，進行討論求解即可；（3）秒后，，，然后分當為的“智慧點”時，為的“智慧點”時，列方程求解即可．【詳解】（1）解：如圖，∵點為的中點，∴點C是線段的“智慧點”，故答案為：是；（2）解：∵，點C是線段的“智慧點”，∴①時，則；②時，則；③時，則，綜上所述，點C為線段的“智慧點”，則等于或或，故答案為：或或；（3）解：秒后，，，由題意可知點不可能為的“智慧點”，則當為的“智慧點”時，①時，則，∴，解得：；②當時，則，∴，解得：；③當時，∴，解得：；當為的“智慧點”時，④當時，則，∴，解得：（舍）；⑤當時，則，∴，解得：；⑥當時，∴，解得：，綜上所述：t值為或或或或．34．（24-25七年級上·遼寧沈陽·期中）定義：若線段上的一個點把這條線段分成的兩條線段，則稱這個點是這條線段的三等分點．

(1)如圖1，點M是線段的一個三等分點，滿足，若，則；(2)如圖2，已知，點C從點A出發(fā)，點D從點B出發(fā)，兩點同時出發(fā)，都以每秒的速度沿射線方向運動t秒．①當t為何值時，點C是線段的三等分點②在點C，點D開始出發(fā)的同時，點E也從點B出發(fā)，以某一速度沿射線方向運動，在運動過程中，當點C是線段的三等分點時，點E也是線段的三等分點，請直接寫此時出線段的長度．【答案】(1)3(2)①或27；②或或【分析】本題考查線段的和與差，線段的數(shù)量關(guān)系，找準線段之間的數(shù)量關(guān)系，和差關(guān)系，是解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)，，進行計算即可；（2）①分和兩種情況進行計算即可；②點，點分別是，的三等分點，可以分四種情況討論求解即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴；（2）①由題意，得：，，當時，則：，∴∴；當時，則：，∴，∴；綜上：或；②設點E的速度為每秒，由題意得：，則，，∵點，點分別是，的三等分點，∴可以分四種情況討論：當時，則，，分別解得：，∴解得：；當時，則，，分別解得：，∴解得：；當時，則，，分別解得：，∴解得：；當時，則，，分別解得：，∴解得：（舍去）；綜上：點，點分別是，的三等分點，的長為或或．35．（24-25七年級上·遼寧沈陽·階段練習）如圖，已知數(shù)軸上有三點A、B、C，若用表示A、B兩點的距離，表示、兩點的距離，且，點A、點對應的數(shù)是分別是a、c，且．(1)______，______，B、C兩點間距離______．(2)若點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)向左運動，速度分別為2個單位長度每秒、5個單位長度每秒，則運動了______秒時，到的距離與到的距離相等?(3)若點P、Q仍然以（2）中的速度分別從A、C兩點同時出發(fā)向左運動，2秒后，動點從點出發(fā)向右運動，點的速度為1個單位長度每秒，點為線段的中點，點為線段的中點，點運動了______秒時恰好滿足，并求出此時點所對應的數(shù)______．【答案】(1)，20，40(2)或20(3)，【分析】本題考查了一元一次方程的應用、數(shù)軸、絕對值的非負性以及兩點間的距離，（1）由絕對值的非負性可求出，的值，進而可得出線段的長，結(jié)合可求出的長，由可求出線段的長；（2）由的長結(jié)合點對應的數(shù)可求出點對應的數(shù)，當運動時間為秒時，點對應的數(shù)為，點對應的數(shù)為，由到的距離與到的距離相等，可得出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；（3）當運動時間為秒時，點對應的數(shù)為，點對應的數(shù)為，點對應的數(shù)為，結(jié)合點為線段的中點及點為線段的中點可得出點，對應的數(shù)，進而可得出線段的長，結(jié)合可得出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：，，，，，．，，故答案為：，20，40（2）解：，點對應的數(shù)為，且點在點的右邊，點對應的數(shù)為．當運動時間為秒時，點對應的數(shù)為，點對應的數(shù)為，到的距離與到的距離相等，，即或，解得：或．答：運動了秒或20秒時，到的距離與到的距離相等．（3）解：當運動時間為秒時，點對應的數(shù)為，點對應的數(shù)為，點對應的數(shù)為，點為線段的中點，點為線段的中點，點對應的數(shù)為，點對應的數(shù)為，．∵，．解得或，∵，∴，∴，∴點運動了秒時恰好滿足，此時點所對應的數(shù)，故答案為：，．36．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）【新知理解】如圖①，點在線段上，圖中共有三條線段、和，若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的倍，則稱點是線段的“巧點”．（1）線段的中點______這條線段的“巧點”（填“是”或“不是”）；（2）若，點是線段的巧點，則最長為______；【解決問題】（3）如圖②，已知，動點從點出發(fā)，以的速度沿向點勻速移動；點從點出發(fā)，以的速度沿向點勻速移動，點、同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，運動停止，設移動的時間為．當為何值時，為、的巧點？說明理由．【答案】（1）是；（2）；（3）當為或或時，為、的巧點【分析】本題考查了線段的相關(guān)計算，與線段有關(guān)的動點問題，一元一次方程的應用．（1）根據(jù)“巧點”的定義解答即可；（2）點為線段的巧點，則最長時，滿足，即，即可求解；