/第四章相似三角形培優(yōu)試卷浙教版2025-2026學(xué)年九年級上冊一．單項選擇題（每小題4分，滿分40分）題號1345678910答案1．下列四組線段中，是成比例線段的是（

）A． B．C． D．2．已知，則下列式子正確的是（）A． B． C． D．3．如圖，直線，直線AB和DE被，，所截，，，，則的長為（

）A．2 B．3 C．4 D．54．下列說法正確的是（

）A．菱形都是相似圖形 B．矩形都是相似圖形C．對角線相等的菱形是正方形 D．對角線互相垂直的四邊形是菱形5．如圖，點、點均在反比例函數(shù)的圖象上，分別連結(jié)、，若，則點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．6．如圖，已知，那么添加下列一個條件后，不能判定的是（

）A． B． C． D．第5題圖第5題圖第6題圖第2題圖第6題圖第2題圖7．將一個三角形的各邊擴大為原來的3倍，則這個三角形的面積擴大為原來的（

）A．3 B．6 C．9 D．128．若一個多邊形的各邊長分別為2，3，4，5，6，另一個和它相似的多邊形的最長邊長為24，則另一個多邊形的最短邊長為（

）A．6 B．8 C．10 D．129．如圖，已知和是以點C為位似中心的位似圖形，且和的周長之比為，點C的坐標(biāo)為，若點A的坐標(biāo)為，則點E的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．10．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，CD的中點，BF與CE相交于點H，直線EN交CB的延長線于點N，作CM⊥EN于點M，交BF于點G，且CM=CD，有以下結(jié)論：①BF⊥CE；②ED=EM；③S四邊形DEHF=4S△CHF，其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．0個第10題圖第11題圖第9題圖第10題圖第11題圖第9題圖二．填空題（每小題5分，滿分20分）11．如圖，在中，于點D，且，點E在上，連接，若，，，則的長．12．如圖，一束光線從點出發(fā)，經(jīng)過x軸上的點反射后經(jīng)過點，則的值是．第12題圖第13題圖第12題圖第13題圖13．如圖，正方形的頂點G在正方形的邊上，與交于點H．若，則．14．已知非負數(shù)a、b、c滿足，若，則S的最大值與最小值之差為；三．解答題（共6小題，總分60分，每題須有必要的文字說明和解答過程）15．等腰直角三角形中，，點D是的中點，連接，點E是上一點，交于點F，于點G．(1)如圖1，若，求證：；(2)如圖2，連接，若，求的值．16．【綜合運用】如圖，將矩形放置在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點與坐標(biāo)原點重合，點坐標(biāo)為，點為對角線上一點，射線交軸于點，射線交軸于點．(1)當(dāng)時，求的長度；(2)設(shè)，，當(dāng)時，求關(guān)于的函數(shù)表達式；(3)如圖，連接，交于點，若，求點的坐標(biāo)．17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三個頂點坐標(biāo)分別為，．(1)以點為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)，得到，畫出．(2)在所給圖形中，以原點為位似中心，位似比為，畫出放大后的圖形；(3)與的周長比是___________；面積比是___________．18．如圖1，內(nèi)接于，和的平分線交于點，射線交于點，交于點，連接．(1)若，求的度數(shù)．(2)若，，求的長．(3)如圖2，連接，若的半徑為4，弦，設(shè)，，求與之間的函數(shù)關(guān)系式及的最大值．19．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C．連接，．(1)求拋物線的表達式；(2)設(shè)點D在直線下方的拋物線上；①如圖2，連接，設(shè)的面積為，的面積為，當(dāng)?shù)闹底畲髸r，求點D的坐標(biāo)；②如圖3，連結(jié)，交于點E，若∽，求點D的橫坐標(biāo)．20．如圖，在中，，平分，交于點，交于點，作交于點，交于點，且．(1)求的度數(shù)；(2)探究線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)若，求的值．（直接寫出計算的結(jié)果）參考答案一、選擇題題號12345678910答案BCBCCDCBBC二、填空題11．8【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，解一元二次方程，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是綜合相似三角形的判定與性質(zhì)，解一元二次方程，線段垂直平分線的性質(zhì)解決問題．作的垂直平分線交于點，連接，根據(jù)已知條件證明，可得，設(shè)，，再根據(jù)勾股定理即可求出和的值，進而可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，作的垂直平分線交于點，連接，，，，，，，，，，設(shè)，，，，，，，整理得，在中，根據(jù)勾股定理，得，即，把代入，整理得，解得，（不符合題意舍去），．．故答案為：8．12．2【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，點的坐標(biāo)，代數(shù)式求值，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．過點作軸，過點作軸，過點作軸，先證，得出再根據(jù)點、、的坐標(biāo)即可求出答案．【詳解】解：如圖，過點作軸，過點作軸，過點作軸，，根據(jù)入射角等于反射角得，，，，點的坐標(biāo)是，點的坐標(biāo)是，點的坐標(biāo)是，，故答案為：2．13．3【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識點，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵．先根據(jù)正方形的性質(zhì)證明，再利用相似三角形的性質(zhì)列式計算即可求解．【詳解】解：∵正方形，，∴，，∵正方形，，∴，，∴，，∴，∴，即，解得∶．故答案為：3．14．3【分析】本題考查比的應(yīng)用，設(shè)，將、、分別用含的代數(shù)式表示出來，設(shè)，將、、分別用含的代數(shù)式表示出來，根據(jù)、、為非負數(shù)列關(guān)于的一元一次不等式組并求其解集，將、、分別代入并化簡，從而將用含的代數(shù)式表示出來，進而分別求出的最大值和最小值，再求出二者之差即可．【詳解】解：設(shè)，則，，，、、為非負數(shù)，，解得，，當(dāng)時值最大，，當(dāng)時值最小，，．故答案為：3．三、解答題15．(1)見解析(2)【分析】（1）取的中點T，連接，三角形的中位線定理，得到，且證明，即可得證；（2）過點A作交的延長線于點T，先證明，得到，證明，得到，設(shè)，，求出，平行線分線段成比例，得到，取的中點K，連接，證明得到進而求出的值即可．【詳解】（1）證明∶如圖1，取的中點T，連接．∵T為的中點，D為的中點，∴，且∵，∴．∵，∴．在和中，，；（2）解∶如圖2，過點A作交的延長線于點T．∵，，D為的中點，∴，∴，∴，∴．∵，∴，∴，∴．在和中，，∴，∴．∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴，設(shè)，，∴，整理，得：∴解得(舍去)，

取的中點K，連接，∵D為的中點，∴，16．(1)(2)(3)【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，一次函數(shù)等知識，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形．（1）可求得直線的解析式為：，直線的解析式為：，進而得出坐標(biāo)，進而得出直線的解析式，進一步得出結(jié)果；（2）作于，可表示出和及，根據(jù)可表示出，進而表示出的面積，根據(jù)可表示出，從而表示出的面積，進一步得出結(jié)果；（3）連接，根據(jù)，得出，進而得出，從而，，從而得出，，進而得出，從而求得的值，進一步得出結(jié)果．【詳解】（1）解：，點坐標(biāo)為，則，直線的解析式為：，，直線的解析式為：，當(dāng)時，解得：設(shè)直線的解析式為解得：直線的解析式為：（2）如圖1，四邊形是矩形，，，，，作于，，，，，，同理可得，，（3）如圖2，連接，交于，則，，，，，，，，，，，，，，即，，則，，，，，17．(1)見解析(2)見解析(3)；【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形變換-旋轉(zhuǎn)，熟練掌握作旋轉(zhuǎn)圖形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，作位似圖形是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖求解即可；（2）根據(jù)位似的性質(zhì)作圖即可；（3）根據(jù)位似圖形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：如圖，即為所求作：（2）解：如圖，即為所求作：（3）解：∵與的位似比為，∴與的周長比是，面積比是．故答案為：；．18．(1)(2)(3)的最大值是4【分析】（1）由角平分線得，再利用圓周角定理可得，等量代換即可得解；（2）由題可知平分，平分，設(shè)，從而可得，所以，再設(shè)，證，利用相似性質(zhì)建立方程求出值，進而得解；（3）連接，過點作于點，則，作，連接，利用勾股表示，從而得到關(guān)于的式子，再求解即可．【詳解】（1）解：∵，，∵和的平分線交于點，，，．（2）解：∵平分平分，∴設(shè)，，，，，設(shè)，，，，，，，，，解得，．（3）解：如圖，連接，連接交于點，，，垂直平分，，，在中，，，由（2）得，當(dāng)平分平分時，有，，作，連接，在中，，在中，，，，，即，，，∴y的最大值是4．19．(1)(2)①

②2【分析】（1）根據(jù)拋物線交點式，得到、兩點坐標(biāo)，再根據(jù)正切值求出點坐標(biāo)，代入拋物線解析式求出的值即可；（2）①設(shè)點，分別用含的式子表示出、，進而得出，再利用二次函數(shù)的最值求解即可；②求出直線的解析式，連結(jié)，交于點E，設(shè)，根據(jù)∽，則求出過點E作于F，則證得∽，根據(jù)對應(yīng)邊成比例求出，得，求出直線的解析式，聯(lián)立得方程組，即可求出點D的橫坐標(biāo)為2．【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于A，B兩點∴，∴在中，∴∴∴將代入拋物線得：解得：∴拋物線的表達式為；（2）解：①如圖，設(shè)點∵點D在直線下方的拋物線上，，∴∵∴∵∴當(dāng)時，的值最大為12此時點D的坐標(biāo)為；②設(shè)直線的解析式為，則

，解得：∴直線的解析式為連結(jié)，交于點E，設(shè)若∽，則，即∴，則過點E作于F，則∴∽∴即解得：∴設(shè)直線的解析式為，則

解得∴直線的解析式為聯(lián)立得方程組

整理得：，解得：（舍），∴點D的橫坐標(biāo)為2．20．(1)(2)，理由見解析(3)【分析】（）設(shè)，則，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；（）證明即可求證；（）過點