/第3章勾股定理一、單選題1．下列四組數(shù)中，不是勾股數(shù)的一組數(shù)是（

）A．1，1，2 B．3，4，5C．5，12，13 D．7，24，252．如圖，在中，，是的角平分線，點(diǎn)E是上任意一點(diǎn)，若，，則的最小值為（

）A．12 B．10 C．8 D．63．如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，交于點(diǎn)，垂足為，則的長(zhǎng)為（

）A．8 B． C．7 D．64．如圖，在中，，．若點(diǎn)在邊上移動(dòng)，則的最小值是（

）A．3.6 B．4 C．4.5 D．4.85．如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接交于點(diǎn)，則與的周長(zhǎng)之和為（

）．A． B． C． D．6．如圖，在邊長(zhǎng)為3的等邊中，過(guò)點(diǎn)作垂直于的直線交的平分線于點(diǎn)，則點(diǎn)到邊所在直線的距離為（

）A． B． C． D．7．如圖，為等邊三角形，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，以為邊在的右側(cè)作等邊，連接，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連接．若，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．8．已知，如圖，在中，，D是的中點(diǎn)，點(diǎn)E在上，點(diǎn)F在，且，，則周長(zhǎng)的最小值為（

）A．4 B． C． D．二、填空題9．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，已知點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離為，一只螞蟻沿著正方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)C，需要爬行的最短路程為cm．10．如圖，校園內(nèi)有一塊長(zhǎng)方形草坪，已知，，學(xué)校為了方便學(xué)生上學(xué)，從點(diǎn)A到點(diǎn)C修建一條筆直小路，則學(xué)生沿著走比原來(lái)少走．11．如圖，在中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，為外的一動(dòng)點(diǎn)并且滿足，連若，則的最大值是．12．如圖所示，中，，是斜邊的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，若，，則與的面積比為．13．如圖，為等邊三角形，相交于點(diǎn)P，于Q．若，，則AD的長(zhǎng)是．三、解答題14．如圖，四邊形是直角梯形，點(diǎn)B在上．在和中，．試?yán)迷搱D形驗(yàn)證勾股定理．

15．一天傍晚，小方和家人去小區(qū)遛狗，其示意圖如下圖所示．小方觀察發(fā)現(xiàn)，她站直身體時(shí)，牽繩的手離地面的高度，小狗的高，小狗與小方的距離．求此時(shí)牽狗繩的長(zhǎng)（繩子一直是直的）．16．如圖，和都是等腰直角三角形，，，的頂點(diǎn)在的斜邊上，連接．(1)試判斷與是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)求的度數(shù)；(3)求證：．17．如圖，在中，，，點(diǎn)P是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，射線交直線AC于點(diǎn)E，連接．(1)若點(diǎn)P不與端點(diǎn)B，C重合，求證：；(2)求證：；(3)若點(diǎn)P在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．18．已知在中，，是上的一點(diǎn)，連接，在直線右側(cè)作等腰，．(1)如圖1，，連接，則____________．(2)如圖2，，取邊中點(diǎn)，連接，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)過(guò)程中，直接寫(xiě)出線段長(zhǎng)度的最小值____________；(3)如圖3，四邊形中，，連接，已知，求的長(zhǎng)．參考答案1．A【分析】本題考查了勾股數(shù)的定義，勾股數(shù)就是可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù)，由此逐項(xiàng)判斷即可得出答案，熟練掌握勾股數(shù)的定義是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、，故不是勾股數(shù)，符合題意；B、，故是勾股數(shù)，不符合題意；C、，故是勾股數(shù)，不符合題意；D、，故是勾股數(shù)，不符合題意；故選：A．2．D【分析】本題考查的是角平分線性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是掌握垂線段最短，勾股定理求出，當(dāng)時(shí)，的值最小，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)果．【詳解】在中，∵，，∴，當(dāng)時(shí)，的值最小，∵是的平分線，，∴．∴的最小值為6．故選：D．3．B【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理以及三角形的面積等知識(shí)，運(yùn)用等面積法求出DE的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意利用等腰三角形的性質(zhì)可知是的垂直平分線，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，再利用等積法求出的長(zhǎng)，再利用進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：，，是的垂直平分線，是的角平分線，，是的角平分線，，，在中，由勾股定理得：，，，，，故選：B．4．D【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、垂線段最短、勾股定理以及三角形的面積，作于點(diǎn)D，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可求出，根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)時(shí)，最小，再利用三角形的面積求解即可．【詳解】解：作于點(diǎn)D，如圖，∵，，∴，∴，∵當(dāng)時(shí)，最小，∴，∴，解得，即的最小值是4.8．故選：D．5．A【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是由旋轉(zhuǎn)得到相等的邊．根據(jù)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，可得≌，，，從而得到為等邊三角形，在中，利用勾股定理得到，即可解答．【詳解】解：∵將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，可得：≌，，，∴為等邊三角形，∴，在中，，∴與的周長(zhǎng)之和為：．故選：A．6．D【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，勾股定理．設(shè)點(diǎn)到邊所在直線的距離為h，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)可得，，然后根據(jù)勾股定理可得，即可求解．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)到邊所在直線的距離為h，等邊的邊長(zhǎng)為3，∴，∵是的平分線，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，即點(diǎn)到邊所在直線的距離為．故選：D7．D【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，正確得出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡在射線上是解題關(guān)鍵．先求出，再證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，從而可得在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡在射線上，然后根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)時(shí)，取得最小值，最后利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可得．【詳解】解：∵點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，∴，∵和都是等邊三角形，∴，∴，即，在和中，，∴，∴，∴在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，始終有，∴在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡在射線上，由垂線段最短可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，∴在中，，∴的最小值為，故選D．8．C【分析】先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，證明,得到，設(shè)，則，得到，根據(jù)非負(fù)性，得時(shí)，取得最小值，得到當(dāng)時(shí)，取得最小，且為，由周長(zhǎng)的為，代入解答即可．本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，實(shí)數(shù)的非負(fù)性應(yīng)用，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．【詳解】解：∵，D是的中點(diǎn)，，∴，，，∵，∴，∴,∵，∴,∴，根據(jù)勾股定理，得，設(shè)，則，∴，∵，∴，且當(dāng)時(shí)，取得最小值，∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，取得最小，且為，由周長(zhǎng)為，∴周長(zhǎng)的最小值為，故選：C．9．15【分析】本題考查平面展開(kāi)—最短路線問(wèn)題，涉及到勾股定理，將正方體側(cè)面展開(kāi)，利用兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵．要求正方體中兩點(diǎn)之間的最短距離，最直接的作法，就是將正方體展開(kāi)，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答即可．【詳解】解：按照正面和右面展開(kāi)，如下：∴，，∴；按照正面和下面展開(kāi)，如下：∴，，∴，按照上面和右面展開(kāi)，如下：∴，，∴，∴需要爬行的最短距離為．故答案為：15．10．40【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確利用勾股定理求出的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．利用勾股定理求出的長(zhǎng)即可得到答案．【詳解】解：由題意得，，∴，∴．∴學(xué)生沿著走比原來(lái)少走．故答案為：40．11．10【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，中位線，直角三角形斜邊中線，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得出三點(diǎn)共線時(shí)最大是解題關(guān)鍵．先利用勾股定理求出長(zhǎng)度，再利用直角三角形斜邊中線定理，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，最大，∵，∴，∵，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∴，故答案為：10．12．/【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等，利用面積法求的長(zhǎng)是解決本題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)勾股定理可得的長(zhǎng)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得的長(zhǎng)，根據(jù)，可得的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理可得的長(zhǎng)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進(jìn)一步可得的長(zhǎng)，即可判斷出面積比．【詳解】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示：，，，∴，∵是斜邊的中點(diǎn)，∴，，，即解得在中根據(jù)勾股定理，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得，∴為等腰三角形，∵，∴，∵與的高為，∴與的面積比為．故答案為．13．【分析】由已知條件，先證明，再證明，可得，最后利用勾股定理即可求出答案．【詳解】解：∵為等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)及含30度的角的直角三角形的性質(zhì)：巧妙借助三角形全等和直角三角形中30度的性質(zhì)求解是正確解答本題的關(guān)鍵．14．見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．證明，得出，根據(jù)，，的面積分別為，和，梯形的面積為，得出，再化簡(jiǎn)即可．【詳解】證明：∵，∴，∴．∵，∴，∴．∵，，的面積分別為，和，梯形的面積為，∴，∴，化簡(jiǎn)，得．15．【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用，理解并掌握勾股定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，再根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，所以．在中，，所以，所以此時(shí)牽狗繩的長(zhǎng)為．16．(1)，理由見(jiàn)解析(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（）由，得到，進(jìn)而利用定理即可求證；（）由等腰直角三角形的性質(zhì)得，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解；（）由等腰直角三角形的性質(zhì)得到，由（）可得，進(jìn)而由勾股定理得，又由全等三角形的性質(zhì)得，等量代換即可求證；本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：，理由如下：∵，∴，在和中，，∴；（2）解：∵，，∴，∵，∴；（3）證明：∵是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．17．(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)或，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)，較難的是題（3），正確分三種情況討論是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，，由此即可得證；（2）過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，先證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)勾股定理可得，由此即可得證；（3）分三種情況：①當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，先證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)勾股定理可得，由此即可得；②當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，先證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，則可得，再根據(jù)勾股定理可得，由此即可得；③當(dāng)時(shí)，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再求出，則可得點(diǎn)重合，這與過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)相矛盾，由此即可得．【詳解】（1）證明：，，∴，，∴．（2）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∵，∴．（3）解：或，理由如下：①如圖，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，，∴，∵，∴，∴，又，，∴，由對(duì)頂角相等得：，∴，在和中，，∴，∴，，∴，又∵，∴．②如圖，當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，又∵，∴．③當(dāng)時(shí)，∵在中，，，∴，，又∵，∴，∴，∴，∵，∴點(diǎn)重合，這與過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)相矛盾，舍去，綜上，或．18．(1)(2)1(3)5【分析】（1）利用證明，結(jié)合全等三角形的性質(zhì)可得，即可；（2）取中點(diǎn)，連接，結(jié)合全等三角形的性質(zhì)易得，由“垂線段最短”的性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，最短，即此時(shí)最短，證明為等腰直角三角形，在中，設(shè)，利用勾股定理列方程并解得的值，即可獲得答案；（3）過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，證明，由全等三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而證明為等腰直角三角形，在中，設(shè)，利用勾股定理列方程并解得的值，易得，然后利用勾股定理求解即