34/34專題01直線方程和圓的方程（期末復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律1：直線的傾斜角與斜率記準(zhǔn)范圍與公式，明確特殊情況；能互求傾斜角與斜率，判斷斜率正負(fù).題型：選擇/填空難度：基礎(chǔ)題；特點(diǎn)：結(jié)合直線方程考查，多為基礎(chǔ)鋪墊.2：直線方程（五種形式）掌握適用條件，熟練互化與求解；避免忽略特殊情況（如截距式不過原點(diǎn)）.題型：選擇/填空或解答題第一問；難度：基礎(chǔ)為主（80%），含參數(shù)中檔（20%）；特點(diǎn)：高頻，多結(jié)合位置關(guān)系、距離命題.3：兩直線的位置關(guān)系；距離公式牢記判定條件與公式；能判定位置、求交點(diǎn)、算距離.題型：選擇/填空或輔助考查；難度：基礎(chǔ)（60%）、含參數(shù)中檔（40%）；特點(diǎn)：必考，距離公式應(yīng)用極廣.4：對(duì)稱問題掌握核心性質(zhì)（中點(diǎn)、垂直）；熟練求解對(duì)稱點(diǎn)與對(duì)稱直線.題型：選擇/填空或解答題小問；難度：中檔題；特點(diǎn)：高頻，結(jié)合切線、軌跡考查.5：圓的方程掌握兩種形式與互化；能根據(jù)條件靈活求圓方程.題型：選擇/填空或解答題第一問；難度：基礎(chǔ)（70%）、含參數(shù)中檔（30%）；特點(diǎn)：必考基礎(chǔ)，為綜合題鋪墊.6：直線與圓的位置關(guān)系熟練判定方法與核心公式；能求切線、算弦長(zhǎng)，處理含參數(shù)問題.題型：選擇/填空或解答題；難度：基礎(chǔ)（30%）、中檔（50%）、難題（20%）；特點(diǎn)：必考重點(diǎn)，解答題高頻命題點(diǎn).7：圓與圓的位置關(guān)系記準(zhǔn)判定條件；能判定位置、求公共弦方程與弦長(zhǎng).題型：選擇/填空）或解答題小問；難度：基礎(chǔ)（40%）、中檔（60%）；特點(diǎn)：高頻，側(cè)重判定與公共弦計(jì)算.8：綜合應(yīng)用（最值、軌跡、跨模塊）掌握最值轉(zhuǎn)化方法與軌跡推導(dǎo)邏輯；應(yīng)對(duì)跨模塊綜合題.題型：解答題或選擇壓軸；難度：中檔（60%）、難題（40%）；特點(diǎn)：重點(diǎn)難點(diǎn)，區(qū)分度強(qiáng)，側(cè)重?cái)?shù)形結(jié)合.知識(shí)點(diǎn)01直線模塊（概念+公式+法則+示例+易錯(cuò)點(diǎn)）1.核心概念傾斜角：直線與x軸正方向重合時(shí)為，向上旋轉(zhuǎn)的最小正角，范圍.斜率：（）；時(shí)斜率不存在（直線垂直x軸）.截距：橫截距（令）、縱截距（令），可正、負(fù)、零.對(duì)稱關(guān)系：點(diǎn)關(guān)于直線、直線關(guān)于直線、直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，核心是“中點(diǎn)在對(duì)稱軸上”“連線垂直對(duì)稱軸”（點(diǎn)對(duì)稱）或“對(duì)應(yīng)點(diǎn)代入原方程”（直線對(duì)稱）.2.核心公式與法則（1）斜率公式表達(dá)式：過、（），.示例：過和的斜率；過和的直線斜率不存在.易錯(cuò)點(diǎn)：忽略時(shí)斜率不存在，直接代入公式.（2）直線的五種方程方程形式表達(dá)式適用條件點(diǎn)斜式斜率存在（不垂直x軸）斜截式斜率存在（為縱截距）兩點(diǎn)式且（不垂直坐標(biāo)軸）截距式且（不過原點(diǎn)、不垂直坐標(biāo)軸）一般式（）所有直線通用示例：過且斜率為的直線，點(diǎn)斜式，整理為一般式.易錯(cuò)點(diǎn)：用截距式表示過原點(diǎn)的直線，或用點(diǎn)斜式表示垂直x軸的直線.（3）兩直線位置關(guān)系（設(shè)，）平行：且（排除重合）.垂直：（通用，無需考慮斜率）.示例：與，因且，故重合而非平行.易錯(cuò)點(diǎn)：僅用判定平行，未排除重合.（4）距離公式點(diǎn)到直線：點(diǎn)到的距離.平行直線間：與的距離（系數(shù)需一致）.示例：點(diǎn)到的距離；與的距離.易錯(cuò)點(diǎn)：計(jì)算平行直線距離時(shí)未統(tǒng)一x、y系數(shù).（5）對(duì)稱問題（期末高頻）①點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱（設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)）步驟：中點(diǎn)在上+直線.特殊情況：為時(shí)，，；為時(shí)，，.示例：關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，聯(lián)立與，解得.易錯(cuò)點(diǎn)：忘記中點(diǎn)在對(duì)稱軸上，僅考慮垂直關(guān)系.②直線關(guān)于直線對(duì)稱平行情況：取上一點(diǎn)，求其關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，用點(diǎn)斜式求.相交情況：求與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，取上另一點(diǎn)，求的對(duì)稱點(diǎn)，由、得.示例：關(guān)于的對(duì)稱直線，交點(diǎn)，的對(duì)稱點(diǎn)，得.易錯(cuò)點(diǎn)：平行時(shí)未驗(yàn)證距離，相交時(shí)遺漏交點(diǎn).③直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱步驟：對(duì)上任意點(diǎn)，其對(duì)稱點(diǎn)在原直線上，代入得方程.示例：關(guān)于的對(duì)稱直線，代入得.易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)誤寫為.知識(shí)點(diǎn)02圓模塊（概念+公式+法則+示例+易錯(cuò)點(diǎn)）1.核心概念定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)（圓心）距離為定長(zhǎng)（半徑）的點(diǎn)的軌跡.方程特征：標(biāo)準(zhǔn)式；一般式（需）.切線與切點(diǎn)：切線垂直過切點(diǎn)的半徑；過圓外一點(diǎn)有兩條切線，圓上一點(diǎn)有一條，圓內(nèi)無切線.弦與弦心距：弦心距垂直且平分弦（推論：直徑垂直弦必平分弦，平分弦（非直徑）的直徑必垂直弦）.對(duì)稱性質(zhì)：中心對(duì)稱（對(duì)稱中心為圓心）、軸對(duì)稱（過圓心的直線）；對(duì)稱時(shí)半徑不變，僅圓心變換.2.核心公式與法則（1）圓的方程標(biāo)準(zhǔn)式：圓心，半徑，.一般式：圓心，半徑.直徑式：端點(diǎn)、，方程，圓心，半徑.示例：直徑端點(diǎn)和的圓，方程，整理為.易錯(cuò)點(diǎn)：直徑式方程展開符號(hào)錯(cuò)誤，圓心坐標(biāo)記錯(cuò).（2）切線方程（期末高頻）①過圓上一點(diǎn)的切線標(biāo)準(zhǔn)圓：過點(diǎn)的切線方程.原點(diǎn)圓：切線方程.示例：過上點(diǎn)的切線，方程（驗(yàn)證：圓心到直線距離）.易錯(cuò)點(diǎn)：忽略切線與半徑垂直的條件，未驗(yàn)證距離.②過圓外一點(diǎn)的切線步驟：設(shè)切線方程（斜率不存在單獨(dú)討論），用圓心到直線距離等于半徑列方程求.示例：過與相切的直線，解得，切線方程.易錯(cuò)點(diǎn)：遺漏斜率不存在的情況.（3）弦長(zhǎng)公式（期末必考）表達(dá)式：弦長(zhǎng)（為半徑，為圓心到弦的距離）.示例：中，直線的弦長(zhǎng)，圓心到直線距離，弦長(zhǎng).易錯(cuò)點(diǎn)：忘記乘系數(shù)“2”，直接用作為弦長(zhǎng).（4）圓與圓的位置關(guān)系（設(shè)兩圓，，圓心距）位置關(guān)系數(shù)量關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含公共弦方程：兩圓方程相減，得（僅相交時(shí)有效）.示例：兩圓與的公共弦方程，弦長(zhǎng).易錯(cuò)點(diǎn)：兩圓不相交時(shí)仍求公共弦方程.（5）圓的對(duì)稱問題關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱：圓心對(duì)稱，半徑不變；對(duì)稱圓心.關(guān)于直線對(duì)稱：圓心對(duì)稱，半徑不變；用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的方法求新圓心.示例：關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱圓，原圓心，對(duì)稱圓心，對(duì)稱圓方程；關(guān)于直線的對(duì)稱圓，原圓心的對(duì)稱點(diǎn)，聯(lián)立中點(diǎn)在直線上和垂直關(guān)系，解得，對(duì)稱圓方程.易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)稱時(shí)錯(cuò)誤改變半徑，或圓心對(duì)稱點(diǎn)計(jì)算失誤.（6）圓的綜合題型（期末高頻）①最值問題圓上點(diǎn)到直線的最值：圓心到直線距離，最大值，最小值.圓上點(diǎn)到定點(diǎn)的最值：定點(diǎn)到圓心距離，最大值，最小值.過圓外一點(diǎn)的切線長(zhǎng)最值：切線長(zhǎng)（為定點(diǎn)到圓心距離），最小時(shí)最小.示例：圓上點(diǎn)到直線的最值，圓心到直線距離，最大值，最小值.易錯(cuò)點(diǎn)：混淆“圓心到直線距離”與“定點(diǎn)到圓心距離”，導(dǎo)致最值計(jì)算錯(cuò)誤.②軌跡問題解題思路：利用圓的定義（到定點(diǎn)距離為定長(zhǎng)）或切線性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式推導(dǎo)軌跡方程.示例：點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程，設(shè)，則，代入圓方程得，整理為（軌跡為圓）.易錯(cuò)點(diǎn)：未將動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為已知點(diǎn)坐標(biāo)，直接列方程導(dǎo)致邏輯混亂.題型一直線傾斜角和斜率的關(guān)系答｜題｜模｜板1.明確已知條件：是“給傾斜角求斜率”還是“給斜率求傾斜角”；2.判定斜率是否存在：若，斜率不存在；若，用計(jì)算或反向求解；3.結(jié)合范圍判斷：→（增大，增大）；→（增大，增大）；4.總結(jié)結(jié)論（如斜率范圍、傾斜角大?。?易錯(cuò)提醒忽略時(shí)斜率不存在的情況；【典例1】（25-26高二上·河北·期中）設(shè)直線的方程為，則直線的傾斜角的范圍是（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·期末）已知點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)P作直線l，若直線l與連接，兩點(diǎn)的線段（含端點(diǎn)）總有公共點(diǎn)，則直線l的斜率k的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式1】（24-25高二上·貴州黔西·期末）已知直線l經(jīng)過，兩點(diǎn)，則直線l的傾斜角為．【變式2】（24-25高二上·黑龍江·期末）設(shè)直線的方程為，則直線的傾斜角的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式3】（23-24高二上·廣東廣州·期中）已知點(diǎn)，若直線與線段（含端點(diǎn)）有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．題型二直線方程的五種形式答｜題｜模｜板1.分析已知條件：已知“點(diǎn)+斜率”→點(diǎn)斜式（，存在）；已知“斜率+縱截距”→斜截式（，存在）；已知“兩點(diǎn)”→兩點(diǎn)式（，且）；已知“橫截距+縱截距”→截距式（，且）；統(tǒng)一結(jié)果→一般式（，不同時(shí)為0）；2.代入已知條件求解參數(shù)（如等）；3.驗(yàn)證適用條件：排除特殊情況（如截距式不能表示過原點(diǎn)的直線）.易錯(cuò)提醒忽略斜率不存在的情況（需單獨(dú)討論，方程為）；截距式中誤將“截距”當(dāng)作“距離”（截距可正可負(fù)）.【典例1】【多選題】（23-24高二上·廣西南寧·期末）下列說法錯(cuò)誤的有（

）A．若，則直線l：的斜率大于0B．過點(diǎn)且斜率為的直線的點(diǎn)斜式方程為C．斜率為，在y軸上的截距為3的直線方程為D．經(jīng)過點(diǎn)且在x軸和y軸上截距（截距均不為0）相等的直線方程為【典例2】【多選題】（22-23高二上·浙江杭州·期中）在下列直線方程中，表示經(jīng)過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線有（

）A． B． C． D．【變式1】【多選題】（22-23高二上·吉林長(zhǎng)春·期中）下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．直線必過定點(diǎn)B．過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線l的方程為C．經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為的直線方程為D．已知直線和以，為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為【變式2】（23-24高二上·湖北武漢·期中）已知的三個(gè)頂點(diǎn)是，，，求下列直線的方程（用一般式表示）.(1)邊上的中線所在直線的方程；(2)邊上的高所在直線的方程；(3)邊上的垂直平分線所在直線的方程.【變式3】（23-24高二上·山東德州·月考）已知的頂點(diǎn)，邊上的高所在的直線方程為．(1)求直線的方程；(2)若邊上的中線所在的直線方程為，求直線的方程．題型三兩直線的位置關(guān)系，三個(gè)距離公式答｜題｜模｜板（1）兩直線位置關(guān)系判定1.化兩直線為一般式：，；2.判定斜率是否存在：平行：且（避免重合）；垂直：（無需討論斜率）；3.求交點(diǎn)：聯(lián)立方程，解方程組.（2）三個(gè)距離公式應(yīng)用1.點(diǎn)到直線：步驟：確認(rèn)直線方程為一般式→代入公式→計(jì)算結(jié)果；2.兩平行線與：步驟：統(tǒng)一系數(shù)→代入公式→計(jì)算；3.兩點(diǎn)與：公式：→直接代入計(jì)算.易錯(cuò)提醒計(jì)算平行線距離時(shí)未統(tǒng)一系數(shù)；判定垂直時(shí)僅用，忽略斜率不存在的情況.【典例1】【多選題】（24-25高二上·重慶·月考）已知直線，直線，則下列說法正確的為（

）A．若，則B．若兩條平行直線與間的距離為，則C．直線過定點(diǎn)D．點(diǎn)到直線距離的最大值為【典例2】（24-25高二上·陜西寶雞·期末）已知直線.(1)若直線過點(diǎn)，且，求直線的方程；(2)若直線，且直線與直線之間的距離為，求直線的方程.【變式1】【多選題】（24-25高二上·福建漳州·期末）已知直線：與：，則（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，與重合C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，與間的距離為【變式2】（24-25高二上·江蘇南通·期末）已知點(diǎn)直線(1)若l與線段有交點(diǎn)，直接寫出m的取值范圍；(2)若設(shè)l與直線及x軸分別交于兩點(diǎn)，求面積的最小值.【變式3】【多選題】（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知直線，下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，則或C．原點(diǎn)到直線的最大距離為 D．若的傾斜角分別為，且，則題型四直線方程的對(duì)稱問題答｜題｜模｜板（1）點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)1.列方程組：中點(diǎn)在上：；連線：（斜率乘積=-1的一般式）；2.解方程組得.（2）直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線1.取上兩個(gè)特殊點(diǎn)（如與坐標(biāo)軸交點(diǎn)）；2.分別求關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)；3.聯(lián)立坐標(biāo)，用兩點(diǎn)式寫出的方程.易錯(cuò)提醒求解對(duì)稱點(diǎn)時(shí)漏列一個(gè)方程；直線對(duì)稱時(shí)未取特殊點(diǎn)，導(dǎo)致計(jì)算復(fù)雜.【典例1】（2020高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知直線，點(diǎn).求:(1)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo);(2)直線關(guān)于直線l的對(duì)稱直線m'的方程;(3)直線l關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線l'的方程.【典例2】（21-22高二上·遼寧大連·月考）在中，已知點(diǎn)，的內(nèi)角平分線BD所在的直線方程是，邊上的中線所在的直線方程是，求：(1)點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)邊所在直線的方程．【變式1】（24-25高二上·上?！て谀┰诘妊苯侵校?，點(diǎn)是邊上異于端點(diǎn)的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)出發(fā)經(jīng)，邊反射后又回到點(diǎn)，若光線經(jīng)過的重心，則的周長(zhǎng)等于（

）A． B． C． D．【變式2】（24-25高二上·河南·月考）已知，，點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【變式3】（24-25高一下·浙江寧波·期末）已知直線：.(1)若直線垂直于直線：，求的值；(2)求證：直線經(jīng)過定點(diǎn)；(3)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).題型五求圓的方程答｜題｜模｜板1.選擇方程形式：已知“圓心+半徑”→標(biāo)準(zhǔn)式；已知“三點(diǎn)坐標(biāo)”或“一般條件”→一般式（）；2.設(shè)參數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)式設(shè)，一般式設(shè)；3.代入已知條件：標(biāo)準(zhǔn)式：代入圓心坐標(biāo)和半徑關(guān)系（如點(diǎn)在圓上則代入滿足方程）；一般式：代入三點(diǎn)坐標(biāo)，列三元一次方程組；4.解參數(shù)，驗(yàn)證半徑（一般式需滿足）；5.寫出最終方程.易錯(cuò)提醒一般式中遺漏的驗(yàn)證；已知圓心在某直線上時(shí)，未利用該條件減少參數(shù).【典例1】（22-23高二上·江蘇鹽城·期末）已知圓的圓心在軸上，并且過，兩點(diǎn)．(1)求圓的方程；(2)若為圓上任意一點(diǎn)，定點(diǎn)，點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的軌跡．【典例2】（24-25高二上·山東青島·期末）在下列所給的三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并完成解答．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．已知直線l過點(diǎn)，且__________．①與直線平行；②與直線垂直；③直線l的方向向量為．(1)求直線l的一般式方程；(2)已知圓心為C的圓經(jīng)過兩點(diǎn)，且圓心C在直線l上，求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【變式1】（23-24高二上·河南南陽·期末）已知圓的圓心為直線與直線的交點(diǎn)，且圓的半徑為.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若為圓上任意一點(diǎn)，，點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的軌跡方程.【變式2】（23-24高二上·河南周口·期末）的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)是；(1)的外接圓方程；(2)若線段MN的端點(diǎn)N的坐標(biāo)為，端點(diǎn)M在△ABC的外接圓的圓上運(yùn)動(dòng)，求線段MN的中點(diǎn)P的軌跡方程．【變式3】（24-25高二上·廣東廣州·期末）已知圓經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)，并且圓心在直線上，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．題型六圓的方程中的最值問題答｜題｜模｜板（1）距離型最值（圓上點(diǎn)到直線/定點(diǎn)的距離）1.求圓心到直線（或定點(diǎn)）的距離；2.最值公式：最大值：；最小值：；（2）斜率型最值（如）3.列不等式→平方整理得關(guān)于的一元二次不等式；4.解不等式得的取值范圍，邊界值即為最值.（3）截距型最值（如）1.轉(zhuǎn)化為直線方程：；2.直線與圓有交點(diǎn)→圓心到直線距離；3.列不等式→解關(guān)于的不等式；4.得到的最值（邊界值）.【典例1】【多選題】（24-25高二上·安徽黃山·期末）已知實(shí)數(shù)滿足圓的方程，則（

）A．圓心，半徑為 B．的最大值為C．的最大值為 D．的最大值為【典例2】【多選題】（23-24高二上·貴州·月考）已知是圓上一點(diǎn)，是直線上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A．直線不經(jīng)過第二象限的充要條件是B．線段的中點(diǎn)的軌跡方程為C．當(dāng)時(shí)，的最小值為D．當(dāng)時(shí)，的最小值為【變式1】【多選題】（22-23高二上·福建寧德·期中）已知點(diǎn)是圓：上的動(dòng)點(diǎn)，則下面說法正確的是（

）A．圓的半徑為2 B．的最大值為C．的最小值為 D．的最大值為6【變式2】（24-25高三上·重慶·期末）已知點(diǎn)，點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，且.記線段中點(diǎn)為，則的最大值為.【變式3】（24-25高二上·重慶長(zhǎng)壽·期末）已知點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，則的最大值為（

）A．5 B．6 C．25 D．36題型七直線和圓相交的弦長(zhǎng)以及弦長(zhǎng)的最值答｜題｜模｜板（1）求弦長(zhǎng)1.確定圓的圓心和半徑；2.求圓心到直線的距離（直線為）；3.驗(yàn)證相交條件：（若則無弦長(zhǎng)）；4.代入弦長(zhǎng)公式：→計(jì)算結(jié)果.（2）弦長(zhǎng)的最值1.分析的取值范圍：固定圓與動(dòng)直線：的最值由直線位置決定（如過定點(diǎn)的直線，為圓心到定點(diǎn)距離，）；固定直線與動(dòng)圓：為定值，變化時(shí)弦長(zhǎng)隨變化；2.弦長(zhǎng)與成反比：最大值：時(shí)，（直徑）；最小值：時(shí)，.【典例1】（2025·天津·高考真題），與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，與交于C、D兩點(diǎn)，，則．【典例2】【多選題】（24-25高二下·河南周口·期末）已知圓，直線，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，被圓截得的弦長(zhǎng)為B．恒過點(diǎn)C．當(dāng)被圓截得的弦長(zhǎng)最大時(shí)，的斜率為D．被圓截得的弦長(zhǎng)的最小值為【變式1】【多選題】（22-23高二上·江蘇連云港·期末）若一個(gè)圓的圓心在直線上，此圓與軸相切，且被直線截得的弦長(zhǎng)為，則此圓的方程是（

）A． B．C． D．【變式2】（24-25高三上·天津·期末）已知，直線恒過定點(diǎn)，圓的圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，則圓的半徑為．【變式3】（24-25高二上·江蘇宿遷·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，存在四點(diǎn)．(1)求過三點(diǎn)的圓的方程，并判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；(2)若過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為8，求直線的方程．題型八求圓的切線方程以及切點(diǎn)弦方程答｜題｜模｜板（1）求圓的切線方程①過圓上一點(diǎn)圓標(biāo)準(zhǔn)式：切線方程；圓一般式：切線方程；直接代入點(diǎn)坐標(biāo)，化簡(jiǎn)得方程.②過圓外一點(diǎn)1.設(shè)切線斜率為，方程為（斜截式）；2.圓心到直線距離→列方程；3.解（可能有兩解、一解）；4.補(bǔ)充斜率不存在的情況：若直線與圓相切，需納入結(jié)果.（2）求切點(diǎn)弦方程（過圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)連線方程）1.設(shè)圓方程為；2.切點(diǎn)弦方程：（與圓上一點(diǎn)切線方程形式相同）；3.化簡(jiǎn)即可（本質(zhì)是兩圓：原圓與以為直徑的圓的公共弦方程）.【典例1】（23-24高二上·遼寧撫順·期末）已知圓經(jīng)過三點(diǎn).(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與直線垂直，且與圓相切，求在軸上的截距.【典例2】【多選題】（23-24高二上·山東青島·期末）已知點(diǎn)為圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則下列說法正確的是（

）A．圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為B．切線C．直線的方程為D．【變式1】（24-25高二上·廣東深圳·期末）已知圓的圓心在直線上，且經(jīng)過點(diǎn)，.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求過原點(diǎn)且與圓相切的直線方程.【變式2】（24-25高三上·河北滄州·月考）已知點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，的最大值為，最小值為，則（

）A． B． C． D．【變式3】已知點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為、，則直線恒過定點(diǎn)，四邊形面積的最小值.題型九圓上的點(diǎn)到某直線距離為定值的點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題答｜題｜模｜板1.提取核心參數(shù)圓：確定圓心、半徑（題目中為未知量）；直線：將直線方程化為一般式.2.計(jì)算圓心到原直線的距離用點(diǎn)到直線距離公式：3.構(gòu)造平行直線并計(jì)算其到圓心的距離設(shè)圓上點(diǎn)到直線的定值距離為，作與原直線平行且距離為的兩條直線，這兩條直線到圓心的距離分別為：4.根據(jù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定半徑范圍圓上到原直線距離為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，等于兩條平行直線與圓的交點(diǎn)總數(shù)，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系（相交→2個(gè)點(diǎn)；相切→1個(gè)點(diǎn)；相離→0個(gè)點(diǎn)），對(duì)應(yīng)不同情況：若點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2：需一條平行線與圓相交、另一條相離，即；若點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1：需一條平行線與圓相切、另一條相離，即或；若點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4：需兩條平行線均與圓相交，即；若點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0：需兩條平行線均與圓相離，即.【典例1】（24-25高二上·江蘇宿遷·期末）圓上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高二上·河南三門峽·期末）若圓上存在到直線的距離等于1的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式1】（24-25高二上·北京平谷·期末）已知圓，直線，若圓上至少有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2，則可以是（

）A．3 B． C．2 D．【變式2】（24-25高二下·上海楊浦·期末）若圓上到直線的距離為1的點(diǎn)有且僅有2個(gè)，則的取值范圍是．【變式3】（24-25高二上·江蘇南京·期末）若上恰有個(gè)點(diǎn)到直線的距離為．則實(shí)數(shù)的取值范圍為．題型十直線和圓相交的最值問題答｜題｜模｜板1.設(shè)含參數(shù)的直線方程（如，為參數(shù)或?yàn)閰?shù)）；2.求圓心到直線的距離；3.由相交條件→列關(guān)于參數(shù)的不等式；4.解不等式得參數(shù)范圍，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)（如截距、斜率）求最值；5.驗(yàn)證最值對(duì)應(yīng)的直線是否與圓相交（邊界值需滿足）.【典例1】【多選題】（25-26高二上·福建福州·期中）設(shè)動(dòng)直線交圓于，兩點(diǎn)（點(diǎn)為圓心），則下列說法正確的有（

）A．直線過定點(diǎn) B．當(dāng)取得最小值時(shí)，C．當(dāng)最小時(shí)，其余弦值為 D．的最大值為24【典例2】【多選題】（24-25高二上·安徽·期末）已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程，則下列說法正確的是（）A．的最大值為 B．的最小值為0C．的最大值為 D．的最大值為【變式1】（22-23高一上·陜西延安·期末）已知點(diǎn)在圓.（1）求的最大值和最小值；（2）求的最大值與最小值；【變式2】（23-24高二上·浙江·期末）已知實(shí)數(shù)滿足：，則的最大值是．【變式3】（23-24高二上·陜西咸陽·月考）已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是．題型十一直線和圓的實(shí)際問題答｜題｜模｜板1.建模：確定原點(diǎn)、坐標(biāo)軸，將實(shí)際中的定點(diǎn)（如車站、障礙物中心）轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)；將實(shí)際條件（如“距離不超過”“最短路徑”）轉(zhuǎn)化為圓的方程（定點(diǎn)+半徑）、直線方程（路徑）；2.求解：利用前面的模板（如距離最值、位置關(guān)系判定）計(jì)算幾何量；3.還原：將幾何結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的答案（如長(zhǎng)度、位置、方案）.【典例1】（22-23高二上·四川綿陽·期中）如圖，某海面上有O、A、B三個(gè)小島（面積大小忽略不計(jì)），A島在O島的北偏東方向距O島千米處，B島在O島的正東方向距O島20千米處以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，O的正東方向?yàn)閤軸的正方向，1千米為單位長(zhǎng)度，建立平面直角坐標(biāo)系圓C經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)．(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若圓C區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一船D在O島的南偏西方向距O島40千米處，正沿著北偏東行駛，若不改變方向，試問該船有沒有觸礁的危險(xiǎn)？【典例2】（21-22高二上·湖北武漢·期末）為了保證我國(guó)東海油氣田海域海上平臺(tái)的生產(chǎn)安全，海事部門在某平臺(tái)O的北偏西45°方向km處設(shè)立觀測(cè)點(diǎn)A，在平臺(tái)O的正東方向12km處設(shè)立觀測(cè)點(diǎn)B，規(guī)定經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)的圓以及其內(nèi)部區(qū)域?yàn)榘踩A(yù)警區(qū)．如圖所示：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，O的正東方向?yàn)閤軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系．(1)試寫出A，B的坐標(biāo)，并求兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)A，B之間的距離；(2)某日經(jīng)觀測(cè)發(fā)現(xiàn)，在該平臺(tái)O正南10kmC處，有一艘輪船正以每小時(shí)km的速度沿北偏東45°方向行駛，如果航向不變，該輪船是否會(huì)進(jìn)入安全預(yù)警區(qū)？如果不進(jìn)入，請(qǐng)說明理由；如果進(jìn)入，則它在安全警示區(qū)內(nèi)會(huì)行駛多長(zhǎng)時(shí)間？【變式1】（21-22高二上·福建泉州·期末）某公園有一形狀可抽象為圓柱的標(biāo)志性景觀建筑物，該建筑物底面直徑為8米，在其南面有一條東西走向的觀景直道，建筑物的東西兩側(cè)有與觀景直道平行的兩段輔道，觀景直道與輔道距離10米．在建筑物底面中心O的東北方向米的點(diǎn)A處，有一全景攝像頭，其安裝高度低于建筑物的高度．(1)在西輔道上距離建筑物1米處的游客，是否在該攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)？(2)求觀景直道不在該攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)的長(zhǎng)度．【變式2】（21-22高一下·遼寧錦州·期末）已知在某濱海城市A附近的海面出現(xiàn)臺(tái)風(fēng)活動(dòng)，據(jù)監(jiān)測(cè)，目前臺(tái)風(fēng)中心位于城市A的東偏南60°方向，距城市A300km的海面點(diǎn)P處，并以20km/h的速度向西偏北30°方向移動(dòng)．已知該臺(tái)風(fēng)影響的范圍是以臺(tái)風(fēng)中心為圓心的圓形區(qū)域，半徑為km．則城市A受臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間為（

）A．5h B．h C．h D．4h【變式3】（23-24高二上·吉林長(zhǎng)春·期末）某市為了改善城市中心環(huán)境,計(jì)劃將市區(qū)某工廠向城市外圍遷移,需要拆除工廠內(nèi)一個(gè)高塔,施工單位在某平臺(tái)O的北偏東方向處設(shè)立觀測(cè)點(diǎn)A,在平臺(tái)O的正西方向240m處設(shè)立觀測(cè)點(diǎn)B,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),O的正東方向?yàn)閤軸正方向,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.已知經(jīng)過O,A,B三點(diǎn)的圓為圓C.(1)求圓C的方程.(2)規(guī)定圓C及其內(nèi)部區(qū)域?yàn)榘踩A(yù)警區(qū),經(jīng)觀測(cè)發(fā)現(xiàn),在平臺(tái)O的正南方向200m的P處,有一輛小汽車沿北偏西方向行駛,小汽車會(huì)不會(huì)進(jìn)入安全預(yù)警區(qū)?說明理由.題型十二直線和圓相交的定點(diǎn)定值問題答｜題｜模｜板（1）定點(diǎn)問題（直線過定點(diǎn)，與參數(shù)無關(guān)）1.設(shè)含參數(shù)的直線方程（如）；2.整理為“參數(shù)×（系數(shù)）+不含參數(shù)項(xiàng)=0”的形式：；3.令參數(shù)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)均為0：；4.解得定點(diǎn)坐標(biāo)（與無關(guān)），驗(yàn)證該點(diǎn)是否在圓內(nèi)（保證相交）.（2）定值問題（如斜率之積、距離之和為定值）1.設(shè)直線與圓的交點(diǎn)為、，聯(lián)立直線與圓的方程；2.消去（或）得關(guān)于（或）的一元二次方程，寫出韋達(dá)定理、；3.化簡(jiǎn)目標(biāo)表達(dá)式（如），代入韋達(dá)定理；4.消去參數(shù)，證明結(jié)果為常數(shù).【典例1】（25-26高二上·江蘇無錫·期中）已知圓，直線：.(1)求證：直線與圓O有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；(2)記直線與圓交于兩點(diǎn)，①當(dāng)時(shí)，求直線的方程；②記圓與軸的正半軸交點(diǎn)為，直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值.【典例2】（24-25高二上·貴州六盤水·期中）若圓與圓相交于P，Q兩點(diǎn)，，且為線段PQ的中點(diǎn)，則稱是的m等距共軛圓.已知點(diǎn)，均在圓上，圓心在直線上.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若圓是圓的8等距共軛圓，設(shè)圓心的軌跡為.（i）求的方程.（ii）已知點(diǎn)，直線l與曲線交于異于點(diǎn)H的E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若直線HE與HF的斜率之積為3，試問直線l是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.【變式1】（24-25高二上·江蘇南京·月考）已知圓分別與、軸正半軸交于、兩點(diǎn)，為圓上的動(dòng)點(diǎn)．(1)若線段上有一點(diǎn)，滿足，求點(diǎn)的軌跡方程；(2)過點(diǎn)的直線截圓所得弦長(zhǎng)為，求直線的方程；(3)若為圓上異于的動(dòng)點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，求證：為定值．【變式2】（23-24高一下·浙江寧波·期末）已知圓的圓心在軸上，且過．(1)求圓的方程；(2)過點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)（點(diǎn)位于軸上方），在軸上是否存在點(diǎn)，使得當(dāng)直線變化時(shí)，均有？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式3】（22-23高二上·四川內(nèi)江·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓心在軸上的圓經(jīng)過點(diǎn)，且被軸截得的弦長(zhǎng)為．經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)．(1)求圓的方程；(2)求當(dāng)滿足時(shí)對(duì)應(yīng)的直線的方程；(3)若點(diǎn)，直線與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，直線與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，分別記直線、直線的斜率為，，求證：為定值．題型十三圓和圓的位置關(guān)系共切線問題答｜題｜模｜板（1）判定圓與圓的位置關(guān)系1.提取兩圓核心參數(shù)：圓：圓心，半徑；圓：圓心，半徑；2.計(jì)算圓心距：；3.判定位置關(guān)系（對(duì)應(yīng)共切線條數(shù)）：外離（）：4條共切線（2外+2內(nèi)）；外切（）：3條共切線（2外+1內(nèi)）；相交（）：2條共切線（僅外切）；內(nèi)切（）：1條共切線（僅外切）；內(nèi)含（）：0條共切線.（2）求共切線方程①外公切線方程（兩圓同側(cè)，切線到兩圓心距離分別等于對(duì)應(yīng)半徑）1.設(shè)外公切線斜率為，方程為（一般式：）；2.列距離方程（圓心到切線距離=半徑）：；3.消去，得、；4.解方程組求和（可能有兩解，對(duì)應(yīng)兩條外公切線）；5.補(bǔ)充斜率不存在的情況：若直線滿足到兩圓心距離等于半徑，納入外公切線.②內(nèi)公切線方程（兩圓異側(cè)，切線到兩圓心距離分別等于對(duì)應(yīng)半徑）1.設(shè)內(nèi)公切線斜率為，方程為；2.列距離方程（與外公切線形式相同，但符號(hào)相反，因內(nèi)公切線在兩圓之間）：（解方程時(shí)注意絕對(duì)值內(nèi)符號(hào)相反）；3.解方程組求和（外離時(shí)兩解，外切時(shí)一解）；4.補(bǔ)充斜率不存在的內(nèi)公切線（若存在）.易錯(cuò)提醒混淆外公切線與內(nèi)公切線的方程求解邏輯（符號(hào)錯(cuò)誤）；遺漏斜率不存在的共切線（如兩圓圓心在同一水平線上時(shí)，可能有垂直于x軸的公切線）.【典例1】【多選題】（24-25高二上·遼寧葫蘆島·期末）已知圓與圓交于兩點(diǎn)，則（

）A．兩圓有2條公切線B．圓與圓的公共弦所在直線的方程是C．D．四邊形的面積為2【典例2】（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）已知圓與圓，則圓和圓的一條公切線的方程為.【變式1】（24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知圓心均在x軸上的兩圓外切，半徑分別為，若兩圓的一條公切線的方程為，則（

）A． B．2 C． D．3【變式2】【多選題】（24-25高二上·浙江麗水·期末）已知圓，，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，圓與圓相離B．當(dāng)時(shí)，是圓與圓的一條公切線C．當(dāng)時(shí)，圓與圓相交D．當(dāng)時(shí)，圓與圓的公共弦所在直線方程是【變式3】【多選題】（23-24高二上·四川雅安·月考）圓與圓的公切線的方程可能為（

）A． B．C． D．題型十四由圓和圓的位置關(guān)系求參數(shù)答｜題｜模｜板1.提取兩圓核心參數(shù)（含參數(shù)）：圓：圓心，半徑（為待求參數(shù)）；圓：圓心，半徑（已知或含參數(shù)）；2.計(jì)算圓心距公式：；3.明確位置關(guān)系對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系（設(shè)）：外離：；外切：；相交：；內(nèi)切：（）；內(nèi)含：（）；4.代入?yún)?shù)表達(dá)式，列方程或不等式：若為“相切”（外切/內(nèi)切），列等式求解參數(shù)（可能有兩解）；若為“相交/外離/內(nèi)含”，列不等式求解參數(shù)范圍；5.驗(yàn)證參數(shù)合理性：半徑需滿足、；相交時(shí)需保證（恒成立，無需額外驗(yàn)證）；6.整理參數(shù)結(jié)果（方程解或不等式范圍）.【典例1】（24-25高二上·河南·期末）若圓與圓恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則的值為．【典例2】（24-25高二上·北京·期末）已知圓和圓相交于A，B兩點(diǎn)，則半徑r可以是．（寫出一個(gè)符合題目要求的取值即可）【變式1】（24-25高二上·天津·期末）已知圓：與圓：外切，此時(shí)直線：被圓所截的弦長(zhǎng)為.【變式2】（24-25高二下·云南曲靖·期末）若圓與圓有且僅有2條公切線，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式3】（24-25高一下·重慶·期末）已知，若兩圓和恰有一條公切線，則的最大值為（

）．A． B． C．2 D．題型十五隱圓問題答｜題｜模｜板1.識(shí)別隱圓類型（常見類型及轉(zhuǎn)化方法）：類型1：定點(diǎn)定長(zhǎng)（動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離為定值）→圓：；類型2：圓周角為直角（，A、B為定點(diǎn)）→圓：以為直徑，圓心為中點(diǎn)，半徑；類型3：距離比為定值（，，A、B為定點(diǎn)）→圓（阿波羅尼斯圓）：設(shè)坐標(biāo)列方程化簡(jiǎn)得標(biāo)準(zhǔn)式；類型4：向量條件（如）→直角圓周角圓；（常數(shù)）→平方化簡(jiǎn)得圓；2.求隱圓的圓心和半徑：直接轉(zhuǎn)化型（類型1、2）：直接寫出圓心和半徑；化簡(jiǎn)型（類型3、4）：設(shè)動(dòng)點(diǎn)，代入條件列方程，整理為標(biāo)準(zhǔn)圓方程；3.明確問題目標(biāo)（結(jié)合隱圓求解）：最值問題（如最值、斜率/截距最值）：套用“圓的最值模板”（）；交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題（如直線與隱圓交點(diǎn)個(gè)數(shù)）：計(jì)算圓心到直線距離與的關(guān)系；參數(shù)范圍問題（如動(dòng)點(diǎn)滿足某條件，求參數(shù)范圍）：轉(zhuǎn)化為直線與隱圓有交點(diǎn)（）.【典例1】（24-25高一下·重慶·期末）已知點(diǎn)，，若圓上存在點(diǎn)滿足，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．【典例2】（25-26高二上·江蘇泰州·期中）已知點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)，使得，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【變式1】（24-25高二上·江蘇蘇州·期末）若圓上總存在兩個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)的距離為3，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式2】（24-25高二上·安徽·期末）已知點(diǎn)，，點(diǎn)滿足，同時(shí)滿足，則點(diǎn)到軸的距離為（

）A． B． C．1 D．【變式3】（24-25高三上·河南漯河·期末）已知，若圓上存在點(diǎn)滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．期末基礎(chǔ)通關(guān)練（測(cè)試時(shí)間：30分鐘）一、單選題1．（24-25高一下·重慶·期末）若方程表示圓，且圓心位于第四象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（24-25高二下·四川瀘州·期末）已知直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則的面積為（

）A． B．5 C．4 D．2二、多選題3．（24-25高一下·重慶·期末）已知直線，則下列說法正確的是（

）A．直線恒過定點(diǎn)B．若直線在軸上的截距為，則C．若直線與直線垂直，則D．若，則直線的傾斜角的取值范圍為4．（24-25高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知兩條直線，的方程分別為與，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則兩條平行直線之間的距離為C．若，則 D．若，則直線，一定相交5．（25-26高二上·甘肅慶陽·期中）已知圓：和圓：，則下列說法正確的是（

）A．若，則圓和圓相離B．若，則圓和圓的公共弦所在直線的方程是C．若圓和圓外切，則或D．若圓和圓內(nèi)切，則三、填空題6．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知圓的圓心在直線上，且圓經(jīng)過點(diǎn)，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.7．（24-25高三上·山東棗莊·期末）設(shè)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作圓的切線，則切線長(zhǎng)的最小值為.8．（24-25高二上·甘肅酒泉·期末）圓與圓相交于A、B兩點(diǎn)，則兩圓公共弦AB所在直線的方程為.四、解答題9．（23-24高二上·貴州·期中）已知直線l經(jīng)過點(diǎn)，且與直線平行．(1)求直線l的方程；(2)已知圓C與y軸相切，直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為，圓心在直線上，求圓C的方程．10．（24-25高二上·四川涼山·期末）平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)與的距離之比為．(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)斜率為1的直線與曲線交于、兩點(diǎn)，且，求直線的方程．期末重難突破練（測(cè)試時(shí)間：45分鐘）一、單選題1．唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短?在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在位置為，若將軍從點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為.則“將軍飲馬“的最短總路程為（

）A． B． C． D．2．（24-25高二下·上海寶山·期末）已知直線和曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是A． B． C． D．4．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）過點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A．1 B． C． D．5．（2023·全國(guó)乙卷·高考真題）已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是（

）A． B．4 C． D．76．（2025·全國(guó)一卷·高考真題）已知圓上到直線的距離為1的點(diǎn)有且僅有2個(gè)，則r的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題7．已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)、，則（

）A．點(diǎn)到直線的距離小于B．點(diǎn)到直線的距離大于C．當(dāng)最小時(shí)，D．當(dāng)最大時(shí)，8．（24-25高二上·陜西渭南·期末）下列說法正確的是（

）A．若直線的一個(gè)方向向量為，則該直線的斜率為B．“”是“直線與直線互相垂直”的充分不必要條件C．不經(jīng)過原點(diǎn)的直線都可以用方程表示D．已知直線過定點(diǎn)且與以，為端點(diǎn)的線段有交點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是三、填空題9．如圖，在等腰直角△ABC中，，點(diǎn)P是邊AB上異于A?B的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC?CA反射后又回到原點(diǎn)P.若光線QR經(jīng)過△ABC的內(nèi)心，則.10．（24-25高一下·浙江寧波·期末）已知圓，一條過點(diǎn)的直線將圓分成面積相等的兩部分，且該直線在碰到直線后反射，射出的直線恰好和圓相切，則的值為．四、解答題11．（23-24高二下·上?！て谥校?shù)學(xué)家歐拉1765年在其所著的《三角形幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心?垂心?重心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.已知的頂點(diǎn)，若其歐拉線的方程為，(1)求三角形外心的坐標(biāo)；(2)求頂點(diǎn)的坐標(biāo).12．（24-25高二上·江蘇揚(yáng)州·期末）已知圓心在直線上的圓經(jīng)過點(diǎn)，且與直線相切．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)為直線上的點(diǎn)，滿足：過點(diǎn)引圓的切線，切點(diǎn)分別為和，，試求所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．期末綜合拓展練（測(cè)試時(shí)間：60分鐘）一、單選題1．（22-23高一下·天津·期末）已知向量滿足，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·四川成都·期中）已知，直線，直線，若為的交點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．3．（2025·上海金山·二模）已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓上，且為坐標(biāo)原點(diǎn).對(duì)于以下兩個(gè)命題，判斷正確的是（

）①在坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)，使得恒成立；②三角形面積的最小值為.A．①是真命題，②是真命題 B．①是假命題，②是真命題C．①是真命題，②是假命題 D．①是假命題，②是假命題4．（24-25高二上·廣西·月考）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比為定值的點(diǎn)所形成的圖形是圓.后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，，.點(diǎn)P滿足，設(shè)點(diǎn)P所構(gòu)成的曲線為C，下列結(jié)論不正確的是（

）A．C的方程為B．在C上存在點(diǎn)D，使得D到點(diǎn)的距離為3C．在C上不存在點(diǎn)M，使得D．C上的點(diǎn)到直線的最小距離為15．（23-24高三上·遼寧大連·期中）已知圓：和直線：，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，當(dāng)最小時(shí)，直線的方程為（

）A． B．C． D．二、多選題6．（24-25高二上·浙江紹興·期末）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美的曲線，曲線就是其中之一，其形狀酷似數(shù)學(xué)符號(hào)“”（如圖），對(duì)于此曲線，下列說法正確的是（）A．曲線與直線有3個(gè)公共點(diǎn)；B．的最大值為4C．曲線所圍成的圖形的面積為D．的最大值為三、填空題7．（23-24高二上·北京海淀·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，定義為點(diǎn)到點(diǎn)的“折線距離”．點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在直線上．在這個(gè)定義下，給出下列結(jié)論：①若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則；②的最大值是；③的最小值是2；④的最小值是．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是．8．（23-24高二上·湖北·期末）已知直線與直線相交于點(diǎn)，其軌跡記為曲線，曲線的方程為，點(diǎn)，分別在曲線，上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在直線上，若直線經(jīng)過點(diǎn)，且與兩曲線，的公共弦所在的直線垂直，則的最小值為.四、解答題9．（24-25高二上·河南周口·月考）如圖，將一塊三角形的玉石置于平面直角坐標(biāo)系中，已知，，點(diǎn)，圖中陰影三角形部分為玉石上的瑕疵，為了將這塊玉石雕刻成工藝品，要先將瑕疵部分切割掉，可沿經(jīng)過點(diǎn)的直線進(jìn)行切割．

(1)求直線的傾斜角的取值范圍．(2)是否存在直線，使得點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在線段上？(3)設(shè)玉石經(jīng)切割后剩余部分的面積為，求的取值范圍．10．（23-24高二上·湖南·月考）如圖，已知圓，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，.

(1)證明直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求線段中點(diǎn)的軌跡方程；(3)若兩條切線，與軸分別交于點(diǎn)，，求的最小值.

專題01直線方程和圓的方程（期末復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律1：直線的傾斜角與斜率記準(zhǔn)范圍與公式，明確特殊情況；能互求傾斜角與斜率，判斷斜率正負(fù).題型：選擇/填空難度：基礎(chǔ)題；特點(diǎn)：結(jié)合直線方程考查，多為基礎(chǔ)鋪墊.2：直線方程（五種形式）掌握適用條件，熟練互化與求解；避免忽略特殊情況（如截距式不過原點(diǎn)）.題型：選擇/填空或解答題第一問；難度：基礎(chǔ)為主（80%），含參數(shù)中檔（20%）；特點(diǎn)：高頻，多結(jié)合位置關(guān)系、距離命題.3：兩直線的位置關(guān)系；距離公式牢記判定條件與公式；能判定位置、求交點(diǎn)、算距離.題型：選擇/填空或輔助考查；難度：基礎(chǔ)（60%）、含參數(shù)中檔（40%）；特點(diǎn)：必考，距離公式應(yīng)用極廣.4：對(duì)稱問題掌握核心性質(zhì)（中點(diǎn)、垂直）；熟練求解對(duì)稱點(diǎn)與對(duì)稱直線.題型：選擇/填空或解答題小問；難度：中檔題；特點(diǎn)：高頻，結(jié)合切線、軌跡考查.5：圓的方程掌握兩種形式與互化；能根據(jù)條件靈活求圓方程.題型：選擇/填空或解答題第一問；難度：基礎(chǔ)（70%）、含參數(shù)中檔（30%）；特點(diǎn)：必考基礎(chǔ)，為綜合題鋪墊.6：直線與圓的位置關(guān)系熟練判定方法與核心公式；能求切線、算弦長(zhǎng)，處理含參數(shù)問題.題型：選擇/填空或解答題；難度：基礎(chǔ)（30%）、中檔（50%）、難題（20%）；特點(diǎn)：必考重點(diǎn)，解答題高頻命題點(diǎn).7：圓與圓的位置關(guān)系記準(zhǔn)判定條件；能判定位置、求公共弦方程與弦長(zhǎng).題型：選擇/填空）或解答題小問；難度：基礎(chǔ)（40%）、中檔（60%）；特點(diǎn)：高頻，側(cè)重判定與公共弦計(jì)算.8：綜合應(yīng)用（最值、軌跡、跨模塊）掌握最值轉(zhuǎn)化方法與軌跡推導(dǎo)邏輯；應(yīng)對(duì)跨模塊綜合題.題型：解答題或選擇壓軸；難度：中檔（60%）、難題（40%）；特點(diǎn)：重點(diǎn)難點(diǎn)，區(qū)分度強(qiáng)，側(cè)重?cái)?shù)形結(jié)合.知識(shí)點(diǎn)01直線模塊（概念+公式+法則+示例+易錯(cuò)點(diǎn)）1.核心概念傾斜角：直線與x軸正方向重合時(shí)為，向上旋轉(zhuǎn)的最小正角，范圍.斜率：（）；時(shí)斜率不存在（直線垂直x軸）.截距：橫截距（令）、縱截距（令），可正、負(fù)、零.對(duì)稱關(guān)系：點(diǎn)關(guān)于直線、直線關(guān)于直線、直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，核心是“中點(diǎn)在對(duì)稱軸上”“連線垂直對(duì)稱軸”（點(diǎn)對(duì)稱）或“對(duì)應(yīng)點(diǎn)代入原方程”（直線對(duì)稱）.2.核心公式與法則（1）斜率公式表達(dá)式：過、（），.示例：過和的斜率；過和的直線斜率不存在.易錯(cuò)點(diǎn)：忽略時(shí)斜率不存在，直接代入公式.（2）直線的五種方程方程形式表達(dá)式適用條件點(diǎn)斜式斜率存在（不垂直x軸）斜截式斜率存在（為縱截距）兩點(diǎn)式且（不垂直坐標(biāo)軸）截距式且（不過原點(diǎn)、不垂直坐標(biāo)軸）一般式（）所有直線通用示例：過且斜率為的直線，點(diǎn)斜式，整理為一般式.易錯(cuò)點(diǎn)：用截距式表示過原點(diǎn)的直線，或用點(diǎn)斜式表示垂直x軸的直線.（3）兩直線位置關(guān)系（設(shè)，）平行：且（排除重合）.垂直：（通用，無需考慮斜率）.示例：與，因且，故重合而非平行.易錯(cuò)點(diǎn)：僅用判定平行，未排除重合.（4）距離公式點(diǎn)到直線：點(diǎn)到的距離.平行直線間：與的距離（系數(shù)需一致）.示例：點(diǎn)到的距離；與的距離.易錯(cuò)點(diǎn)：計(jì)算平行直線距離時(shí)未統(tǒng)一x、y系數(shù).（5）對(duì)稱問題（期末高頻）①點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱（設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)）步驟：中點(diǎn)在上+直線.特殊情況：為時(shí)，，；為時(shí)，，.示例：關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，聯(lián)立與，解得.易錯(cuò)點(diǎn)：忘記中點(diǎn)在對(duì)稱軸上，僅考慮垂直關(guān)系.②直線關(guān)于直線對(duì)稱平行情況：取上一點(diǎn)，求其關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，用點(diǎn)斜式求.相交情況：求與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，取上另一點(diǎn)，求的對(duì)稱點(diǎn)，由、得.示例：關(guān)于的對(duì)稱直線，交點(diǎn)，的對(duì)稱點(diǎn)，得.易錯(cuò)點(diǎn)：平行時(shí)未驗(yàn)證距離，相交時(shí)遺漏交點(diǎn).③直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱步驟：對(duì)上任意點(diǎn)，其對(duì)稱點(diǎn)在原直線上，代入得方程.示例：關(guān)于的對(duì)稱直線，代入得.易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)誤寫為.知識(shí)點(diǎn)02圓模塊（概念+公式+法則+示例+易錯(cuò)點(diǎn)）1.核心概念定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)（圓心）距離為定長(zhǎng)（半徑）的點(diǎn)的軌跡.方程特征：標(biāo)準(zhǔn)式；一般式（需）.切線與切點(diǎn)：切線垂直過切點(diǎn)的半徑；過圓外一點(diǎn)有兩條切線，圓上一點(diǎn)有一條，圓內(nèi)無切線.弦與弦心距：弦心距垂直且平分弦（推論：直徑垂直弦必平分弦，平分弦（非直徑）的直徑必垂直弦）.對(duì)稱性質(zhì)：中心對(duì)稱（對(duì)稱中心為圓心）、軸對(duì)稱（過圓心的直線）；對(duì)稱時(shí)半徑不變，僅圓心變換.2.核心公式與法則（1）圓的方程標(biāo)準(zhǔn)式：圓心，半徑，.一般式：圓心，半徑.直徑式：端點(diǎn)、，方程，圓心，半徑.示例：直徑端點(diǎn)和的圓，方程，整理為.易錯(cuò)點(diǎn)：直徑式方程展開符號(hào)錯(cuò)誤，圓心坐標(biāo)記錯(cuò).（2）切線方程（期末高頻）①過圓上一點(diǎn)的切線標(biāo)準(zhǔn)圓：過點(diǎn)的切線方程.原點(diǎn)圓：切線方程.示例：過上點(diǎn)的切線，方程（驗(yàn)證：圓心到直線距離）.易錯(cuò)點(diǎn)：忽略切線與半徑垂直的條件，未驗(yàn)證距離.②過圓外一點(diǎn)的切線步驟：設(shè)切線方程（斜率不存在單獨(dú)討論），用圓心到直線距離等于半徑列方程求.示例：過與相切的直線，解得，切線方程.易錯(cuò)點(diǎn)：遺漏斜率不存在的情況.（3）弦長(zhǎng)公式（期末必考）表達(dá)式：弦長(zhǎng)（為半徑，為圓心到弦的距離）.示例：中，直線的弦長(zhǎng)，圓心到直線距離，弦長(zhǎng).易錯(cuò)點(diǎn)：忘記乘系數(shù)“2”，直接用作為弦長(zhǎng).（4）圓與圓的位置關(guān)系（設(shè)兩圓，，圓心距）位置關(guān)系數(shù)量關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含公共弦方程：兩圓方程相減，得（僅相交時(shí)有效）.示例：兩圓與的公共弦方程，弦長(zhǎng).易錯(cuò)點(diǎn)：兩圓不相交時(shí)仍求公共弦方程.（5）圓的對(duì)稱問題關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱：圓心對(duì)稱，半徑不變；對(duì)稱圓心.關(guān)于直線對(duì)稱：圓心對(duì)稱，半徑不變；用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的方法求新圓心.示例：關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱圓，原圓心，對(duì)稱圓心，對(duì)稱圓方程；關(guān)于直線的對(duì)稱圓，原圓心的對(duì)稱點(diǎn)，聯(lián)立中點(diǎn)在直線上和垂直關(guān)系，解得，對(duì)稱圓方程.易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)稱時(shí)錯(cuò)誤改變半徑，或圓心對(duì)稱點(diǎn)計(jì)算失誤.（6）圓的綜合題型（期末高頻）①最值問題圓上點(diǎn)到直線的最值：圓心到直線距離，最大值，最小值.圓上點(diǎn)到定點(diǎn)的最值：定點(diǎn)到圓心距離，最大值，最小值.過圓外一點(diǎn)的切線長(zhǎng)最值：切線長(zhǎng)（為定點(diǎn)到圓心距離），最小時(shí)最小.示例：圓上點(diǎn)到直線的最值，圓心到直線距離，最大值，最小值.易錯(cuò)點(diǎn)：混淆“圓心到直線距離”與“定點(diǎn)到圓心距離”，導(dǎo)致最值計(jì)算錯(cuò)誤.②軌跡問題解題思路：利用圓的定義（到定點(diǎn)距離為定長(zhǎng)）或切線性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式推導(dǎo)軌跡方程.示例：點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程，設(shè)，則，代入圓方程得，整理為（軌跡為圓）.易錯(cuò)點(diǎn)：未將動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為已知點(diǎn)坐標(biāo)，直接列方程導(dǎo)致邏輯混亂.題型一直線傾斜角和斜率的關(guān)系答｜題｜模｜板1.明確已知條件：是“給傾斜角求斜率”還是“給斜率求傾斜角”；2.判定斜率是否存在：若，斜率不存在；若，用計(jì)算或反向求解；3.結(jié)合范圍判斷：→（增大，增大）；→（增大，增大）；4.總結(jié)結(jié)論（如斜率范圍、傾斜角大?。?易錯(cuò)提醒忽略時(shí)斜率不存在的情況；【典例1】（25-26高二上·河北·期中）設(shè)直線的方程為，則直線的傾斜角的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直線傾斜角與斜率的關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】①當(dāng)時(shí)，此時(shí)，傾斜角為，②當(dāng)時(shí)，則，而，所以，則，綜上所述，傾斜角的范圍是.故選：C【典例2】（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·期末）已知點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)P作直線l，若直線l與連接，兩點(diǎn)的線段（含端點(diǎn)）總有公共點(diǎn)，則直線l的斜率k的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意作圖，利用斜率的計(jì)算公式，可得答案.【詳解】由題意作圖如下：設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，直線的斜率為，由圖可知，由，，，則，，所以.故選：B.【變式1】（24-25高二上·貴州黔西·期末）已知直線l經(jīng)過，兩點(diǎn)，則直線l的傾斜角為．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用斜率坐標(biāo)公式求出斜率，進(jìn)而求出傾斜角.【詳解】依題意，直線的斜率，所以直線l的傾斜角為.故答案為：【變式2】（24-25高二上·黑龍江·期末）設(shè)直線的方程為，則直線的傾斜角的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出直線的斜率范圍，從而得到，得到答案.【詳解】直線的斜率為，故，又，故.故選：D【變式3】（23-24高二上·廣東廣州·期中）已知點(diǎn)，若直線與線段（含端點(diǎn)）有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件及直線的點(diǎn)斜式方程求出定點(diǎn)，直線與線段有交點(diǎn)，結(jié)合圖形可得直線斜率的范圍，利用直線的斜率公式即可求解.【詳解】由，得，所以直線的方程恒過定點(diǎn)，斜率為．因?yàn)?，所以．由題意可知，作出圖形如圖所示，

由圖象可知，或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：B．題型二直線方程的五種形式答｜題｜模｜板1.分析已知條件：已知“點(diǎn)+斜率”→點(diǎn)斜式（，存在）；已知“斜率+縱截距”→斜截式（，存在）；已知“兩點(diǎn)”→兩點(diǎn)式（，且）；已知“橫截距+縱截距”→截距式（，且）；統(tǒng)一結(jié)果→一般式（，不同時(shí)為0）；2.代入已知條件求解參數(shù)（如等）；3.驗(yàn)證適用條件：排除特殊情況（如截距式不能表示過原點(diǎn)的直線）.易錯(cuò)提醒忽略斜率不存在的情況（需單獨(dú)討論，方程為）；截距式中誤將“截距”當(dāng)作“距離”（截距可正可負(fù)）.【典例1】【多選題】（23-24高二上·廣西南寧·期末）下列說法錯(cuò)誤的有（

）A．若，則直線l：的斜率大于0B．過點(diǎn)且斜率為的直線的點(diǎn)斜式方程為C．斜率為，在y軸上的截距為3的直線方程為D．經(jīng)過點(diǎn)且在x軸和y軸上截距（截距均不為0）相等的直線方程為【答案】ACD【分析】由直線的點(diǎn)斜式方程，截距式方程，斜截式方程判斷選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A，，則直線l：的斜率為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，過點(diǎn)且斜率為的直線的點(diǎn)斜式方程為，B正確；對(duì)于C，斜率為，在y軸上的截距為3的直線方程為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，截距不為0時(shí)，設(shè)在x軸和y軸上截距相等的直線方程為，將代入，即，，即得，所以經(jīng)過點(diǎn)且在x軸和y軸上截距相等的直線方程為，D錯(cuò)誤.故選：ACD.【典例2】【多選題】（22-23高二上·浙江杭州·期中）在下列直線方程中，表示經(jīng)過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線有（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】根據(jù)題意利用直線的截距式方程運(yùn)算求解，注意討論截距是否為0.【詳解】設(shè)直線在x，y軸上截距分別為，則，當(dāng)時(shí)，則直線過原點(diǎn)，設(shè)直線方程為，由題意可得：，即，故直線方程為；當(dāng)時(shí)，則設(shè)直線方程為，由題意可得：，則，故直線方程為，即；綜上所述：直線方程為或.故選：CD.【變式1】【多選題】（22-23高二上·吉林長(zhǎng)春·期中）下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．直線必過定點(diǎn)B．過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線l的方程為C．經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為的直線方程為D．已知直線和以，為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為【答案】BCD【分析】A選項(xiàng)由含參直線方程過定點(diǎn)的求法計(jì)算即可；B選項(xiàng)沒有考慮直線過原點(diǎn)的情況，故錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由傾斜角與斜率的關(guān)系即可判斷；D選項(xiàng)計(jì)算出端點(diǎn)值后，由線段MN與y軸相交判斷斜率的范圍應(yīng)取端點(diǎn)值兩側(cè)，故錯(cuò)誤.【詳解】A選項(xiàng)，直線方程變形為，令，解得，即原直線必過定點(diǎn)，A正確；B選項(xiàng)，當(dāng)直線l過原點(diǎn)時(shí)，也滿足在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，此時(shí)直線l的方程為，B不正確；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，無意義，故C不正確；D選項(xiàng)，直線經(jīng)過定點(diǎn)，當(dāng)直線經(jīng)過M時(shí)，斜率為，當(dāng)直線經(jīng)過N點(diǎn)時(shí)，斜率為，由于線段MN與y軸相交，故實(shí)數(shù)k的取值范圍為或，D不正確.故選：BCD.【變式2】（23-24高二上·湖北武漢·期中）已知的三個(gè)頂點(diǎn)是，，，求下列直線的方程（用一般式表示）.(1)邊上的中線所在直線的方程；(2)邊上的高所在直線的方程；(3)邊上的垂直平分線所在直線的方程.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先求出AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合直線的兩點(diǎn)式方程，即可求解.（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合直線垂直的性質(zhì)，以及直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解.（3）根據(jù)已知條件，結(jié)合垂直的性質(zhì)，先求出垂直平分線的斜率，結(jié)合AC的中點(diǎn)，列點(diǎn)斜式方程，即可求解.【詳解】（1）由已知，得的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，又因?yàn)锳B上的中線過，所以直線的方程為，即.（2）邊所在直線的斜率，因?yàn)檫吷系母吲c垂直，所以邊上的高所在直線的斜率為，又邊上的高經(jīng)過點(diǎn)，所以邊上的高所在的直線方程為，即.（3）由已知，得直線AC的斜率為，的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以邊AC上的垂直平分線所在直線斜率為，所以邊AC上的垂直平分線所在直線方程為，即.【變式3】（23-24高二上·山東德州·月考）已知的頂點(diǎn)，邊上的高所在的直線方程為．(1)求直線的方程；(2)若邊上的中線所在的直線方程為，求直線的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，得到直線的斜率，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解；（2）根據(jù)題意，求得，設(shè)點(diǎn)，求得，再求得點(diǎn)，進(jìn)而求得的斜率，進(jìn)而求得直線的方程．【詳解】（1）解：因?yàn)檫吷系母咚诘闹本€方程為，可得斜率為，可得直線的斜率，又因?yàn)榈捻旤c(diǎn)，所以直線的方程為，即；所以直線的方程為.（2）解：直線邊上的中線所在的直線方程為，由方程組，解得，所以點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則的中點(diǎn)在直線上，所以，即，又點(diǎn)在直線上，，解得，所以，所以的斜率，所以直線的方程為，即直線的方程為．題型三兩直線的位置關(guān)系，三個(gè)距離公式答｜題｜模｜板（1）兩直線位置關(guān)系判定1.化兩直線為一般式：，；2.判定斜率是否存在：平行：且（避免重合）；垂直：（無需討論斜率）；3.求交點(diǎn)：聯(lián)立方程，解方程組.（2）三個(gè)距離公式應(yīng)用1.點(diǎn)到直線：步驟：確認(rèn)直線方程為一般式→代入公式→計(jì)算結(jié)果；2.兩平行線與：步驟：統(tǒng)一系數(shù)→代入公式→計(jì)算；3.兩點(diǎn)與：公式：→直接代入計(jì)算.易錯(cuò)提醒計(jì)算平行線距離時(shí)未統(tǒng)一系數(shù)；判定垂直時(shí)僅用，忽略斜率不存在的情況.【典例1】【多選題】（24-25高二上·重慶·月考）已知直線，直線，則下列說法正確的為（

）A．若，則B．若兩條平行直線與間的距離為，則C．直線過定點(diǎn)D．點(diǎn)到直線距離的最大值為【答案】AC【分析】結(jié)合題設(shè)直線方程得兩直線斜率為，，對(duì)于A，由直線垂直的關(guān)系列式即可求出m；對(duì)于B，根據(jù)直線平行和斜率的關(guān)系求出m，再結(jié)合直線平行間的距離公式即可求解；對(duì)于C，根據(jù)直線過定點(diǎn)問題的方法直接計(jì)算即可得解；對(duì)于D，由題設(shè)得點(diǎn)到直線距離的最大時(shí)，再結(jié)合兩點(diǎn)間距離即可求解.【詳解】由題，斜率為，，斜率為，對(duì)于A，若，則，即，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，即，且即，又兩條平行直線與間的距離為，所以或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，對(duì)，令，所以直線過定點(diǎn)，故C正確；對(duì)于D，由C可知直線過定點(diǎn)，所以要使點(diǎn)到直線距離最大，則，則點(diǎn)到直線距離的最大值為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.【典例2】（24-25高二上·陜西寶雞·期末）已知直線.(1)若直線過點(diǎn)，且，求直線的方程；(2)若直線，且直線與直線之間的距離為，求直線的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)兩直線垂直求出直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式可得出直線的方程；（2）直線的方程為，利用平行線間的距離公式可得出關(guān)于的等式，解出的值，即可得出直線的方程.【詳解】（1）易知直線的斜率為，因?yàn)?，所以直線的斜率為，又因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，直線的方程為，即.（2）直線，設(shè)直線的方程為，因?yàn)橹本€與直線之間的距離為，由平行線間的距離公式可得，解得或，因此直線的方程為或.【變式1】【多選題】（24-25高二上·福建漳州·期末）已知直線：與：，則（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，與重合C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，與間的距離為【答案】BC【分析】根據(jù)直線的一般式方程和的相關(guān)性質(zhì).若兩直線平行，則且；若兩直線垂直，則；若兩直線重合，則且.對(duì)于兩平行直線間的距離公式為.我們將根據(jù)這些概念來逐一判斷選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，對(duì)于直線即，直線即.根據(jù)兩直線平行的判定條件，，所以與不平行，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，直線，直線.因?yàn)榍?，所以與重合，B選項(xiàng)正確.對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，直線，直線.根據(jù)兩直線垂直的判定條件，成立，所以與垂直，C選項(xiàng)正確.對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，由，對(duì)于直線和，有，即，解得.當(dāng)時(shí)兩直線重合，當(dāng)時(shí)，即，.根據(jù)兩平行直線間的距離公式，則，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.【變式2】（24-25高二上·江蘇南通·期末）已知點(diǎn)直線(1)若l與線段有交點(diǎn)，直接寫出m的取值范圍；(2)若設(shè)l與直線及x軸分別交于兩點(diǎn)，求面積的最小值.【答案】(1)或(2)4【分析】（1）首先通過聯(lián)立直線方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)交點(diǎn)在線段上這一條件得到關(guān)于的不等式，通過對(duì)不等式進(jìn)行變形求解得出的取值范圍.（2）通過聯(lián)立直線方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而確定三角形相關(guān)頂點(diǎn)坐標(biāo)，得出三角形面積表達(dá)式.再通過換元法將面積表達(dá)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于新變量的式子，利用二次函數(shù)性質(zhì)求最值【詳解】（1）因?yàn)橹本€聯(lián)立所以交點(diǎn)因?yàn)镃在線段AB上，所以即解得所以或（2）因?yàn)橹本€聯(lián)立所以交點(diǎn)令中則所以因?yàn)樗訡在第一象限且在右側(cè)，D在左側(cè)，所以的面積為設(shè)所以所以當(dāng)即時(shí)，S的最小值為4.【變式3】【多選題】（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知直線，下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，則或C．原點(diǎn)到直線的最大距離為 D．若的傾斜角分別為，且，則【答案】AC【分析】根據(jù)直線垂直和平行得到關(guān)于的方程，解出即可判斷AB，求出所過定點(diǎn)即可求出最大值，從而判斷C；首先排除斜率不存在的情況，再利用二倍角的正切公式得到關(guān)于的方程，解出即可.【詳解】對(duì)A，若，則，解得，故A正確；對(duì)B，若，則且，解得，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，因?yàn)?，則過定點(diǎn)，所以原點(diǎn)到直線的距離，所以的最大值為，故C正確；對(duì)D，的傾斜角為，若時(shí)，與軸垂直，所以，而，所以，此時(shí)直線的斜率為，所以，所以，與假設(shè)矛盾，所以，所以直線的斜率存在，即，由得，所以，得到，解得，當(dāng)，直線斜率均為負(fù)數(shù)，傾斜角都為鈍角，不滿足，故D錯(cuò)誤.故選：AC.題型四直線方程的對(duì)稱問題答｜題｜模｜板（1）點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)1.列方程組：中點(diǎn)在上：；連線：（斜率乘積=-1的一般式）；2.解方程組得.（2）直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線1.取上兩個(gè)特殊點(diǎn)（如與坐標(biāo)軸交點(diǎn)）；2.分別求關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)；3.聯(lián)立坐標(biāo)，用兩點(diǎn)式寫出的方程.易錯(cuò)提醒求解對(duì)稱點(diǎn)時(shí)漏列一個(gè)方程；直線對(duì)稱時(shí)未取特殊點(diǎn)，導(dǎo)致計(jì)算復(fù)雜.【典例1】（2020高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知直線，點(diǎn).求:(1)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo);(2)直線關(guān)于直線l的對(duì)稱直線m'的方程;(3)直線l關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線l'的方程.【答案】(1).(2).(3)【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)和斜率列方程組來求得對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).（2）在直線上取一點(diǎn)，并求其關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，然后結(jié)合直線與直線的交點(diǎn)來求得對(duì)稱直線的方程.（3）利用相關(guān)點(diǎn)代入法來求得對(duì)稱直線的方程.【詳解】（1）設(shè)，由已知條件得，解得所以.（2）在直線m上取一點(diǎn)，則關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)M'必在直線m'上.設(shè)對(duì)稱點(diǎn)，則解得故.設(shè)直線m與直線l的交點(diǎn)為N，則由解得即.又因?yàn)閙'經(jīng)過點(diǎn)，所以由兩點(diǎn)式得直線m'的方程為.（3）設(shè)為上任意一點(diǎn)，則關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，因?yàn)樵谥本€上，所以，即.【典例2】（21-22高二上·遼寧大連·月考）在中，已知點(diǎn)，的內(nèi)角平分線BD所在的直線方程是，邊上的中線所在的直線方程是，求：(1)點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)邊所在直線的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)，根據(jù)題意點(diǎn)在直線方程上，且線段的中點(diǎn)在中線所在的直線方程上，列出方程組求解即可；（2）先求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則點(diǎn)在直線上，從而求出邊所在直線的方程.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，依題意可知：點(diǎn)在直線方程上，且線段的中點(diǎn)在中線所在的直線方程上，又點(diǎn)，則有：，解得：，所點(diǎn)的坐標(biāo)為：.（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，于是，解得：，則，由（1）知，所以，所以邊所在直線的方程為：，即.【變式1】（24-25高二上·上海·期末）在等腰直角中，，點(diǎn)是邊上異于端點(diǎn)的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)出發(fā)經(jīng)，邊反射后又回到點(diǎn)，若光線經(jīng)過的重心，則的周長(zhǎng)等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，得，設(shè)，求出關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，由反射性質(zhì)得四點(diǎn)共線，求得直線方程，由在直線上可求得，然后計(jì)算即可．【詳解】建立如圖所求的直角坐標(biāo)系，得，，則直線方程為，且的重心為，即，設(shè)，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，則，易知關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，根據(jù)光線反射原理知四點(diǎn)共線，且，，所以直線的方程為，即，又直線過，所以，解得或（舍去），所以，，,所以，所以的周長(zhǎng)為.故選：A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是利用對(duì)稱性，把的三邊轉(zhuǎn)化到同一條直線上，利用直線方程求得點(diǎn)的坐標(biāo).【變式2】（24-25高二上·河南·月考）已知，，點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則為直線與直線的交點(diǎn)時(shí)，滿足條件，進(jìn)而可求得答案.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則中點(diǎn)在直線上，即①，直線與直線垂直，即②，解得，即點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，又，所以，所以直線的方程為，即，由，解得，，所以當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．故選：B．【變式3】（24-25高一下·浙江寧波·期末）已知直線：.(1)若直線垂直于直線：，求的值；(2)求證：直線經(jīng)過定點(diǎn)；(3)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)1(2)證明見解析(3)【分析】(1)根據(jù)兩直線垂直的條件即可得解；(2)轉(zhuǎn)換為恒等式成立問題，由恒等式成立的條件解方程組即可得解.(3)設(shè)對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出的中點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)兩直線垂直的性質(zhì)以及的中點(diǎn)在直線上，列出方程組，解方程組即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，解得，故的值為；?）因?yàn)椋?，所以，解得，所以直線恒過定點(diǎn)；（3）因?yàn)?，所以直線，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，解得，所以點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.題型五求圓的方程答｜題｜模｜板1.選擇方程形式：已知“圓心+半徑”→標(biāo)準(zhǔn)式；已知“三點(diǎn)坐標(biāo)”或“一般條件”→一般式（）；2.設(shè)參數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)式設(shè)，一般式設(shè)；3.代入已知條件：標(biāo)準(zhǔn)式：代入圓心坐標(biāo)和半徑關(guān)系（如點(diǎn)在圓上則代入滿足方程）；一般式：代入三點(diǎn)坐標(biāo)，列三元一次方程組；4.解參數(shù)，驗(yàn)證半徑（一般式需滿足）；5.寫出最終方程.易錯(cuò)提醒一般式中遺漏的驗(yàn)證；已知圓心在某直線上時(shí)，未利用該條件減少參數(shù).【典例1】（22-23高二上·江蘇鹽城·期末）已知圓的圓心在軸上，并且過，兩點(diǎn)．(1)求圓的方程；(2)若為圓上任意一點(diǎn)，定點(diǎn)，點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的軌跡．【答案】(1)(2)以為圓心，為半徑的圓【分析】（1）從A，兩點(diǎn)坐標(biāo)可看出線段平行于軸，則它的垂直平分線垂直于軸，所以線段的垂直平分線與軸的交點(diǎn)為圓心,圓心到點(diǎn)的距離為半徑，從而得到求圓C的方程．（2）設(shè),,將向量式進(jìn)行坐標(biāo)表示，得到與，與的關(guān)系，因?yàn)辄c(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，所以利用圓的方程(即與關(guān)系)，進(jìn)而得到與的關(guān)系(即點(diǎn)Q的軌跡方程)，從而得到點(diǎn)Q的軌跡.【詳解】（1）因?yàn)閳A過A,B兩點(diǎn),所以圓心C在線段的垂直平分線上.因?yàn)?所以線段的中點(diǎn)為,直線AB的斜率，所以線段的垂直平分線斜率不存在,方程為:.因?yàn)閳AC的圓心在軸上,所以線段的垂直平分線與軸的交點(diǎn)為圓心,所以圓心為.又半徑，所以圓的方程為:．（2）設(shè)，．由，得,所以即因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，所以，化簡(jiǎn)整理得的軌跡方程為:，所以點(diǎn)的軌跡是:以為圓心，為半徑的圓．【典例2】（24-25高二上·山東青島·期末）在下列所給的三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并完成解答．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．已知直線l過點(diǎn)，且__________．①與直線平行；②與直線垂直；③直線l的方向向量為．(1)求直線l的一般式方程；(2)已知圓心為C的圓經(jīng)過兩點(diǎn)，且圓心C在直線l上，求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）三種選擇均可確定直線斜率，然后由點(diǎn)斜式可得直線方程.（2）設(shè)圓心C的坐標(biāo)為，由（1）可得，然后由可得圓心坐標(biāo)，進(jìn)而可得半徑，即可得答案.【詳解】（1）若選①與直線平行，則直線l的斜率又其過點(diǎn)，故直線l的方程為，整理得若選②與直線垂直，則直線l的斜率k滿足，解得又其過點(diǎn)，故直線l的方程為，整理得若選③直線l的方向向量為，則直線l的斜率又其過點(diǎn)，故直線l的方程為，整理得綜上，直線方程為：（2）設(shè)圓心C的坐標(biāo)為，因?yàn)镃在上，所以①因?yàn)锳，B是圓上兩點(diǎn)，所以有即②.由①②得所以圓心C坐標(biāo)為，圓的半徑綜上，所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是【變式1】（23-24高二上·河南南陽·期末）已知圓的圓心為直線與直線的交點(diǎn)，且圓的半徑為.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若為圓上任意一點(diǎn)，，點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的軌跡方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）先求得兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，也即求得圓心，從而求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）根據(jù)向量共線列方程，然后利用代入法求得點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】（1）由解得，則圓心為，半徑為，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，.由，可得，則，又點(diǎn)在圓上，所以，即，化簡(jiǎn)得，∴點(diǎn)的軌跡方程為.【變式2】（23-24高二上·河南周口·期末）的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)是；(1)的外接圓方程；(2)若線段MN的端點(diǎn)N的坐標(biāo)為，端點(diǎn)M在△ABC的外接圓的圓上運(yùn)動(dòng)，求線段MN的中點(diǎn)P的軌跡方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）用待定系數(shù)法可求圓的方程；（2）定義代入法求線段MN的中點(diǎn)P的軌跡方程．【詳解】（1）設(shè)△ABC的外接圓方程為.把A（0，1），B（2，1），C（3，4）代入圓的方程得:解此方程組，得.∴△ABC的外接圓方程是（2）設(shè)點(diǎn)，，∵點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)，∴.∵點(diǎn)M在上運(yùn)動(dòng)，∴.即，整理得：.所以，點(diǎn)P的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓.【變式3】（24-25高二上·廣東廣州·期末）已知圓經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)，并且圓心在直線上，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【分析】根據(jù)題意結(jié)合圓的性質(zhì)求得圓心為，即可得半徑和圓的方程.【詳解】圓經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)，可知圓心在線段的中垂線上，因?yàn)閳A心在直線，聯(lián)立方程，解得，即，可得半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.題型六圓的方程中的最值問題答｜題｜模｜板（1）距離型最值（圓上點(diǎn)到直線/定點(diǎn)的距離）1.求圓心到直線（或定點(diǎn)）的距離；2.最值公式：最大值：；最小值：；（2）斜率型最值（如）3.列不等式→平方整理得關(guān)于的一元二次不等式；4.解不等式得的取值范圍，邊界值即為最值.（3）截距型最值（如）1.轉(zhuǎn)化為直線方程：；2.直線與圓有交點(diǎn)→圓心到直線距離；3.列不等式→解關(guān)于的不等式；4.得到的最值（邊界值）.【典例1】【多選題】（24-25高二上·安徽黃山·期末）已知實(shí)數(shù)滿足圓的方程，則（

）A．圓心，半徑為 B．的最大值為