PAGE知識點一：一次方程（組）與不等式例1：為了防控甲型H1N1流感，某校積極進行校園環(huán)境消毒，購買了甲、乙兩種消毒液共100瓶，其中甲種6元/瓶，乙種9元/瓶．（1）如果購買這兩種消毒液共用780元，求甲、乙兩種消毒液各購買多少瓶？（2）該校準備再次購買這兩種消毒液（不包括已購買的100瓶），使乙種瓶數(shù)是甲種瓶數(shù)的2倍，且所需費用不多于1200元（不包括780元），求甲種消毒液最多能再購買多少瓶？【解析】(1)解法一：設甲種消毒液購買瓶，則乙種消毒液購買瓶，根據(jù)條件購買這兩種消毒液共用780元，列一元一次方程求解；解法二：設甲種消毒液購買瓶，乙種消毒液購買瓶，根據(jù)條件：購買了甲、乙兩種消毒液共100瓶和購買這兩種消毒液共用780元，列方程組求解；(2)設再次購買甲種消毒液瓶，剛購買乙種消毒液瓶，根據(jù)條件所需費用不多于1200元每列不等式求解。【答案】（1）解法一：設甲種消毒液購買瓶，則乙種消毒液購買瓶．依題意，得．解得：．（瓶）．答：甲種消毒液購買40瓶，乙種消毒液購買60瓶．解法二：設甲種消毒液購買瓶，乙種消毒液購買瓶．依題意，得解得，答：甲種消毒液購買40瓶，乙種消毒液購買60瓶．（2）設再次購買甲種消毒液瓶，則購買乙種消毒液瓶．依題意，得．解得：．答：甲種消毒液最多再購買50瓶．同步測試：1．自2008年爆發(fā)全球金融危機以來，部分企業(yè)受到了不同程度的影響，為落實“促民生、促經(jīng)濟”政策，濟南市某玻璃制品銷售公司今年1月份調整了職工的月工資分配方案，調整后月工資由基本保障工資和計件獎勵工資兩部分組成（計件獎勵工資=銷售每件的獎勵金額×銷售的件數(shù)）．下表是甲、乙兩位職工今年五月份的工資情況信息：職工甲乙月銷售件數(shù)（件）200180月工資（元）18001700（1）試求工資分配方案調整后職工的月基本保障工資和銷售每件產(chǎn)品的獎勵金額各多少元？（2）若職工丙今年六月份的工資不低于2000元，那么丙該月至少應銷售多少件產(chǎn)品？【答案】（1）設職工的月基本保障工資為元，銷售每件產(chǎn)品的獎勵金額為元，由題意得，解這個方程組得，答：職工月基本保障工資為800元，銷售每件產(chǎn)品的獎勵金額5元.（2）設該公司職工丙六月份生產(chǎn)件產(chǎn)品，由題意得，解這個不等式得答：該公司職工丙六月至少生產(chǎn)240件產(chǎn)品．例2：星期天，小明和七名同學共8人去郊游，途中，他用20元錢去買飲料，商店只有可樂和奶茶，已知可樂2元一杯，奶茶3元一杯，如果20元錢剛好用完．（1）有幾種購買方式？每種方式可樂和奶茶各多少杯？（2）每人至少一杯飲料且奶茶至少二杯時，有幾種購買方式？【關鍵詞】二元一次方程的應用【解析】（1）設買可樂、奶茶分別為x、y杯，根據(jù)可樂和奶茶共花20元，列出二元不定方程，然后根據(jù)實際意義，x、y都是正整數(shù)，得出幾組方案；(2)從(1)得出的方案中找出符合條件的特殊解．【答案】解：（1）設買可樂、奶茶分別為x、y杯，根據(jù)題意，得2x＋3y＝20（且x、y均為自然數(shù)）∴x＝≥0，解得y≤．∴y＝0，1，2，3，4，5，6．代入2x＋3y＝20．并檢驗得所以有四種購買方式，每種方式可樂和奶茶的杯數(shù)分別為10，0；7，2；4，4；1，6．（2）根據(jù)題意：每人至少一杯飲料且奶茶至少二杯時，即y≥2且x＋y≥8，由（1）可知，有二種購買方式．同步測試：2．星期天，小明和七名同學共8人去郊游，途中，他用20元錢去買飲料，商店只有可樂和奶茶，已知可樂2元一杯，奶茶3元一杯，如果20元錢剛好用完．（1）有幾種購買方式？每種方式可樂和奶茶各多少杯？（2）每人至少一杯飲料且奶茶至少二杯時，有幾種購買方式？解：（1）設買可樂、奶茶分別為x、y杯，根據(jù)題意得2x＋3y＝20（且x、y均為自然數(shù)）∴x＝≥0解得y≤∴y＝0，1，2，3，4，5，6．代入2x＋3y＝20并檢驗得所以有四種購買方式，每種方式可樂和奶茶的杯數(shù)分別為：（亦可直接列舉法求得）10，0；7，2；4，4；1，6．（2）根據(jù)題意：每人至少一杯飲料且奶茶至少二杯時，即y≥2且x＋y≥8由（1）可知，有二種購買方式．3．開學初，小芳和小亮去學校商店購買學習用品，小芳用18元錢買了1支鋼筆和3本筆記本；小亮用31元買了同樣的鋼筆2支和筆記本5本.(1)求每支鋼筆和每本筆記本的價格；(2)校運會后，班主任拿出200元學校獎勵基金交給班長，購買上述價格的鋼筆和筆記本共48件作為獎品，獎給校運會中表現(xiàn)突出的同學，要求筆記本數(shù)不少于鋼筆數(shù)，共有多少種購買方案？請你一一寫出.【答案】解：(1)設每支鋼筆x元，每本筆記本y元依題意得：解得：答：每支鋼筆3元，每本筆記本5元(2)設買a支鋼筆，則買筆記本(48－a)本依題意得：解得：所以，一共有５種方案．即購買鋼筆、筆記本的數(shù)量分別為：20，28；21，27；22，26；23，25；24，24．例3在“五一”期間，小明、小亮等同學隨家長一同到某公園游玩，下面是購買門票時，小明與他爸爸的對話（如圖），試根據(jù)圖中的信息，解答下列問題：小明他們一共去了幾個成人，幾個學生？請你幫助小明算一算，用哪種方式購票更省錢？說明理由。【解析】(1)根據(jù)圖表信息，得出成人票款加上兒童票款共350元，設成人人數(shù)為x人，則學生人數(shù)為(12－x)人.就可以列出方程求解；(2)計算買團體票的錢數(shù)，與單獨買的錢數(shù)相比較．【答案】（1）設成人人數(shù)為x人，則學生人數(shù)為(12－x)人.則35x+（12–x）=350解得：x=8故：學生人數(shù)為12–8=4人,成人人數(shù)為8人.（2）如果買團體票，按16人計算，共需費用：35×0.6×16=336元336﹤350所以，購團體票更省錢。答：有成人8人，學生4人；購團體票更省錢．同步測試：4．為了整治環(huán)境衛(wèi)生，某地區(qū)需要一種消毒藥水3250瓶，藥業(yè)公司接到通知后馬上采購兩種專用包裝箱，將藥水包裝后送往該地區(qū)。已知一個大包裝箱價格為5元，可裝藥水10瓶；一個小包裝箱價格為3元，可以裝藥水5瓶。該公司采購的大小包裝箱共用了1700元，剛好能裝完所需藥水.（1）求該藥業(yè)公司采購的大小包裝箱各是多少個？（2）藥業(yè)公司準備派A、B兩種型號的車共10輛運送該批藥水，已知A型車每輛最多可同時裝運30大箱和10小箱藥水；B型車每輛最多可同時裝運20大箱和40小箱消毒藥水，要求每輛車都必須同時裝運大小包裝箱的藥水，求出一次性運完這批藥水的所有車型安排方案.（3）如果A型車比B型車省油，采用哪個方案最好？【答案】（1）設公司采購了x個大包裝箱，y個小包裝箱.根據(jù)題意得：解之得：答：公司采購了250個大包裝箱，150個小包裝箱.（2）設公司派A種型號的車z輛，則B種型號的車為（10－z）輛.根據(jù)題意得：解之得：∵z為正整數(shù)，∴z取5、6、7、8?！喾桨敢唬汗九葾種型號的車5輛，B種型號的車5輛。方案二：公司派A種型號的車6輛，B種型號的車4輛．方案三：公司派A種型號的車7輛，B種型號的車3輛．方案四：公司派A種型號的車8輛，B種型號的車2輛．（3）∵A種車省油，∴應多用A型車，因此最好安排A種車8輛，B種車2輛，即方案四．知識點二：分式方程與不等式例4供電局的電力維修工甲、乙兩人要到45千米遠的A地進行電力搶修.甲騎摩托車先行，t(t≥0)小時后，乙開搶修車載著所需材料出發(fā).若t=（小時），搶修車的速度是摩托車速度的1.5倍，且甲、乙兩人同時到達，求摩托車的速度；若摩托車的速度是45千米/時，搶修車的速度是60千米/時，且乙不能比甲晚到，則t的最大值是多少？【答案】（1）解：設摩托車的速度是x千米/時，則搶修車的速度是1.5x千米/時.由題意得Aeq\f(45,xE)A－Aeq\f(45,1.5xE)A＝Aeq\f(3,8E)A，解得x＝40.經(jīng)檢驗，x＝40千米/時是原方程的解且符合題意.答：摩托車的速度為40千米/時.（2）解：法1：由題意得t＋Aeq\f(45,60E)A≤Aeq\f(45,45E)A，解得t≤Aeq\f(1,4E)A.∴0≤t≤Aeq\f(1,4E)A.法2：當甲、乙兩人同時到達時，由題意得t＋Aeq\f(45,60E)A＝Aeq\f(45,45E)A，解得t＝Aeq\f(1,4E)A.∵乙不能比甲晚到，∴t≤Aeq\f(1,4E)A.∴t最大值是Aeq\f(1,4E)A(時)；答：乙最多只能比甲遲Aeq\f(1,4E)A(時)出發(fā).同步測試：5．某校原有600張舊課桌急需維修，經(jīng)過A、B、C三個工程隊的競標得知，A、B的工作效率相同，且都為C隊的2倍，若由一個工程隊單獨完成，C隊比A隊要多用10天．學校決定由三個工程隊一齊施工，要求至多6天完成維修任務．三個工程隊都按原來的工作效率施工2天時，學校又清理出需要維修的課桌360張，為了不超過6天時限，工程隊決定從第3天開始，各自都提高工作效率，A、B隊提高的工作效率仍然都是C隊提高的2倍．這樣他們至少還需要3天才能成整個維修任務．⑴求工程隊A原來平均每天維修課桌的張數(shù)；⑵求工程隊A提高工作效率后平均每天多維修課桌張數(shù)的取值范圍．【答案】解：⑴設C隊原來平均每天維修課桌x張，根據(jù)題意得：解這個方程得：x=30經(jīng)檢驗x=30是原方程的根且符合題意，2x=60答：A隊原來平均每天維修課桌60張．⑵設C隊提高工效后平均每天多維修課桌x張，施工2天時，已維修（60+60+30）×2=300（張），從第3天起還需維修的張數(shù)應為（300+360）=600（張）根據(jù)題意得：3(2x+2x+x+150)≤660≤4(2x+2x+x+150)解這個不等式組得:：3≤x≤14∴6≤2x≤28答：A隊提高工效后平均每天多維修的課桌張數(shù)的取值范圍是：6≤2x≤28例5北京奧運會開幕前，某體育用品商場預測某品牌運動服能夠暢銷，就用32000元購進了一批這種運動服，上市后很快脫銷，商場又用68000元購進第二批這種運動服，所購數(shù)量是第一批購進數(shù)量的2倍，但每套進價多了10元．（1）該商場兩次共購進這種運動服多少套？（2）如果這兩批運動服每套的售價相同，且全部售完后總利潤率不低于20%，那么每套售價至少是多少元？（利潤率）【解析】（1）根據(jù)進價第二批運動服，比第一批每套進價多了10元，可得方程；（2）利用利潤率與售價之間的關系找到不等關系，列出式子，得出結論.【答案】解：（1）設商場第一次購進套運動服，由題意得：，、解這個方程，得．經(jīng)檢驗，是所列方程的根．．所以商場兩次共購進這種運動服600套．、（2）設每套運動服的售價為元，由題意得：，解這個不等式，得，所以每套運動服的售價至少是200元．同步測試：6．躍壯五金商店準備從寧云機械廠購進甲、乙兩種零件進行銷售．若每個甲種零件的進價比每個乙種零件的進價少2元，且用80元購進甲種零件的數(shù)量與用100元購進乙種零件的數(shù)量相同．（1）求每個甲種零件、每個乙種零件的進價分別為多少元？（2）若該五金商店本次購進甲種零件的數(shù)量比購進乙種零件的數(shù)量的3倍還少5個，購進兩種零件的總數(shù)量不超過95個，該五金商店每個甲種零件的銷售價格為12元，每個乙種零件的銷售價格為15元，則將本次購進的甲、乙兩種零件全部售出后，可使銷售兩種零件的總利潤（利潤＝售價－進價）超過371元，通過計算求出躍壯五金商店本次從寧云機械廠購進甲、乙兩種零件有幾種方案？請你設計出來．【答案】（1）可列分式方程求解，但要注意檢驗，否則扣分；（2）依據(jù)題意列出不等式組，注意不等號中是否有等于，根據(jù)未知數(shù)都為整數(shù)，再結合不等式組的解集，確定未知數(shù)的具體數(shù)值，有幾個值，即有幾種方案.解：（1）設每個乙種零件進價為元，則每個甲種零件進價為元．由題意得，解得．檢驗：當時，，是原分式方程的解．（元）答：每個甲種零件的進價為8元，每個乙種零件的進價為10元．（2）設購進乙種零件個，則購進甲種零件個由題意得解得．為整數(shù)，或．共有2種方案．分別是：方案一：購進甲種零件67個，乙種零件24個；方案二：購進甲種零件70個，乙種零件25個．知識點三：二次方程與不等式例6隨著人民生活水平的不斷提高，我市家庭轎車的擁有量逐年增加.據(jù)統(tǒng)計，某小區(qū)2006年底擁有家庭轎車64輛，2008年底家庭轎車的擁有量達到100輛.若該小區(qū)2006年底到2009年底家庭轎車擁有量的年平均增長率都相同，求該小區(qū)到2009年底家庭轎車將達到多少輛？為了緩解停車矛盾，該小區(qū)決定投資15萬元再建造若干個停車位.據(jù)測算，建造費用分別為室內車位5000元/個，露天車位1000元/個，考慮到實際因素，計劃露天車位的數(shù)量不少于室內車位的2倍，但不超過室內車位的2.5倍，求該小區(qū)最多可建兩種車位各多少個？試寫出所有可能的方案.【解析】(1)設家庭轎車擁有量的年平均增長率為，則：，解得：%，（不合題意，舍去），.答：該小區(qū)到2009年底家庭轎車將達到125輛．(2)設該小區(qū)可建室內車位個，露天車位個，則：由①得：=150－5代入②得：，是正整數(shù)，=20或21，當時，當時.方案一：建室內車位20個，露天車位50個；方案二：室內車位21個，露天車位45個.隨堂檢測；1.為實現(xiàn)區(qū)域教育均衡發(fā)展，我市計劃對某縣、兩類薄弱學校全部進行改造．根據(jù)預算，共需資金1575萬元．改造一所類學校和兩所類學校共需資金230萬元；改造兩所類學校和一所類學校共需資金205萬元．（1）改造一所類學校和一所類學校所需的資金分別是多少萬元？（2）若該縣的類學校不超過5所，則類學校至少有多少所？（3）我市計劃今年對該縣、兩類學校共6所進行改造，改造資金由國家財政和地方財政共同承擔．若今年國家財政撥付的改造資金不超過400萬元；地方財政投入的改造資金不少于70萬元，其中地方財政投入到、兩類學校的改造資金分別為每所10萬元和15萬元．請你通過計算求出有幾種改造方案？2.李大爺一年前買入了相同數(shù)量的A、B兩種種兔，目前，他所養(yǎng)的這兩種種兔數(shù)量仍然相同，且A種種兔