2021年宜昌市高三年級二月聯(lián)考數(shù)學試卷本試卷共4頁，22題．全卷滿分150分．考試用時120分鐘．★?？荚図樌镒⒁馐马棧?．答題前，先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合要求．1.設(shè)全集，集合，集合，則（）A. B. C. D.2.某校一次高三年級數(shù)學檢測，經(jīng)抽樣分析，成績占近似服從正態(tài)分布，且．若該校有700人參加此次檢測，估計該校此次檢測數(shù)學成績不低于99分的人數(shù)為（）A.100 B.125 C.150 D.3.已知雙曲線的一條漸近線過點，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.4.若兩個非零向量、滿足，則與夾角為（）A. B. C. D.5.已知，，，則（）A. B. C. D.6.攢尖是古代中國建筑中屋頂一種結(jié)構(gòu)形式．宋代稱為撮尖，清代稱攢尖通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖．也有單檐和重檐之分．多見于亭閣式建筑，園林建筑以四角攢尖為例，它的主要部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐．若此正四棱錐的側(cè)面等腰三角形的底角為，則側(cè)棱長與底面外接圓的半徑的比為（）A. B. C. D.7.已知，，直線，，且，則的最小值為（）A.1 B.2 C. D.8.正多面體各個面都是全等的正多邊形，其中，面數(shù)最少的是正四面體，面數(shù)最多的是正二十面體，它們被稱為柏拉圖多面體（Platonicsolids）．某些病毒，如皰疹病毒就擁有正二十面體的外殼．正二十面體是由20個等邊三角形所組成的正多面體．已知多面體滿足：頂點數(shù)棱數(shù)+面數(shù)=2，則正二十面體的頂點的個數(shù)為（）A.30 B.20 C.12 D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得5分，部分選對得2分，選錯或不選得0分．9.下列命題中，正確的命題有（）A.函數(shù)與是同一個函數(shù)B.命題“，”的否定為“，”C.已知，則“”是“”的充分不必要條件D.若函數(shù)，則10.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期是B.的圖像可由函數(shù)的圖像向左平移個單位而得到C.是的一條對稱軸D.的一個對稱中心是11.已知，則下列結(jié)論正確的有（）A. B.C. D.12.如圖，在邊長為2正方形ABCD中，點E、F分別在邊AB、BC上（不含端點），且．將、分別沿DE．DF折起，使A、C兩點重合于點，則下列結(jié)論正確的有（）A.B.當時，三棱錐外接球的表面積為C.當時，三棱錐的體積為D.當時，點到平面DEF的距離為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知是虛數(shù)單位，則__________．14.若函數(shù)的圖像過定點P，且點P在冪函數(shù)的圖像上，則__________．15.若一個圓的圓心是拋物線的焦點，且該圓與直線相切，則該圓的標準方程為__________．過點作該圓的兩條切線，切點分別為，則直線的方程為__________．16.某同學向王老師請教一題：若不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍．王老師告訴該同學：“恒成立，當且僅當時取等號，且在有零點”．根據(jù)王老師的提示，可求得該問題中的取值范圍是__________．四、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.設(shè)數(shù)列的前n項和為，且，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和．18.在中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且，．（1）求；（2）如圖，M為邊AC上一點，且，，求的面積．19.在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中，，，E為BC的中點，設(shè)Q為PC上一點．（1）求證：；（2）若直線EQ與平面PAC所成的角的正切值為，求二面角的余弦值．20.某校高一年級組織“知識競答”活動．每位參賽者第一關(guān)需回答三個問題，第一個問題回答正確得10分，回答錯誤得0分；第二個問題回答正確得20分，回答錯誤得分；第三個問題回答正確得30分，回答錯誤得分．規(guī)定，每位參賽者回答這三個問題的總得分不低于30分就算闖關(guān)成功．若某位參賽者回答前兩個問題正確的概率都是，回答第三個問題正確的概率是，且各題回答正確與否相互之間沒有影響．（1）求這位參賽者僅回答正確兩個問題概率；（2）求這位參賽者回答這三個問題的總得分的分布列和期望；（3）求這位參賽者闖關(guān)成功的概率．21.已知點A、B坐標分別是，，直線AP、BP相交于點P，且它們斜率之積是．（1）試求點P的軌跡的方程；（2）已知直線，過點的直線（不與x軸重合）與軌跡相交于M．N兩點，過點M作于點D．求證：直線ND過定點，并求出定點的坐標．22.已知函數(shù)．（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，且，求證：．2021年宜昌市高三年級二月聯(lián)考數(shù)學試卷（答案版）本試卷共4頁，22題．全卷滿分150分．考試用時120分鐘．★祝考試順利★注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合要求．1.設(shè)全集，集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】C2.某校一次高三年級數(shù)學檢測，經(jīng)抽樣分析，成績占近似服從正態(tài)分布，且．若該校有700人參加此次檢測，估計該校此次檢測數(shù)學成績不低于99分的人數(shù)為（）A.100 B.125 C.150 D.【答案】D3.已知雙曲線的一條漸近線過點，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B4.若兩個非零向量、滿足，則與夾角為（）A. B. C. D.【答案】D5.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】A6.攢尖是古代中國建筑中屋頂一種結(jié)構(gòu)形式．宋代稱為撮尖，清代稱攢尖通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖．也有單檐和重檐之分．多見于亭閣式建筑，園林建筑以四角攢尖為例，它的主要部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐．若此正四棱錐的側(cè)面等腰三角形的底角為，則側(cè)棱長與底面外接圓的半徑的比為（）A. B. C. D.【答案】D7.已知，，直線，，且，則的最小值為（）A.1 B.2 C. D.【答案】A8.正多面體各個面都是全等的正多邊形，其中，面數(shù)最少的是正四面體，面數(shù)最多的是正二十面體，它們被稱為柏拉圖多面體（Platonicsolids）．某些病毒，如皰疹病毒就擁有正二十面體的外殼．正二十面體是由20個等邊三角形所組成的正多面體．已知多面體滿足：頂點數(shù)棱數(shù)+面數(shù)=2，則正二十面體的頂點的個數(shù)為（）A.30 B.20 C.12 D.【答案】C二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得5分，部分選對得2分，選錯或不選得0分．9.下列命題中，正確的命題有（）A.函數(shù)與是同一個函數(shù)B.命題“，”的否定為“，”C.已知，則“”是“”的充分不必要條件D.若函數(shù)，則【答案】BD10.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期是B.的圖像可由函數(shù)的圖像向左平移個單位而得到C.是的一條對稱軸D.的一個對稱中心是【答案】AB11.已知，則下列結(jié)論正確的有（）A. B.C. D.【答案】ACD12.如圖，在邊長為2正方形ABCD中，點E、F分別在邊AB、BC上（不含端點），且．將、分別沿DE．DF折起，使A、C兩點重合于點，則下列結(jié)論正確的有（）A.B.當時，三棱錐外接球的表面積為C.當時，三棱錐的體積為D.當時，點到平面DEF的距離為【答案】ABC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知是虛數(shù)單位，則__________．【答案】14.若函數(shù)的圖像過定點P，且點P在冪函數(shù)的圖像上，則__________．【答案】15.若一個圓的圓心是拋物線的焦點，且該圓與直線相切，則該圓的標準方程為__________．過點作該圓的兩條切線，切點分別為，則直線的方程為__________．【答案】(1).(2).16.某同學向王老師請教一題：若不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍．王老師告訴該同學：“恒成立，當且僅當時取等號，且在有零點”．根據(jù)王老師的提示，可求得該問題中的取值范圍是__________．【答案】四、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.設(shè)數(shù)列的前n項和為，且，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和．【答案】（1）；（2）.18.在中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且，．（1）求；（2）如圖，M為邊AC上一點，且，，求的面積．【答案】（1）；（2）.19.在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中，，，E為BC的中點，設(shè)Q為PC上一點．（1）求證：；（2）若直線EQ與平面PAC所成的角的正切值為，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.20.某校高一年級組織“知識競答”活動．每位參賽者第一關(guān)需回答三個問題，第一個問題回答正確得10分，回答錯誤得0分；第二個問題回答正確得20分，回答錯誤得分；第三個問題回答正確得30分，回答錯誤得分．規(guī)定，每位參賽者回答這三個問題的總得分不低于30分就算闖關(guān)成功．若某位參賽者回答前兩個問題正確的概率都是，回答第三個問題正確的概率是，且各題回答正確與否相互之間沒有影響．（1）求這位參賽者僅回答正確兩個問題概率；（2）求這位參賽者回答這三個問題的總得分的分布列和期望；（3）