2026年教師招聘考試（學科專業(yè)知識-數(shù)學）自測試題及答案

班級______姓名______（考試時間：90分鐘滿分100分）一、選擇題（總共10題，每題3分，每題只有一個正確答案，請將正確答案填在括號內(nèi)）1.函數(shù)$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-2}}+\ln(3-x)$的定義域為（）A.$(2,3)$B.$[2,3)$C.$(2,3]$D.$[2,3]$2.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(-2,m)$，若$\vec{a}\parallel\vec$，則實數(shù)$m$的值為（）A.-1B.-4C.1D.43.設(shè)等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，若$a_2+a_8=15-a_5$，則$S_9$等于（）A.18B.36C.45D.604.已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)$的漸近線方程為$y=\pm\frac{3}{4}x$，則該雙曲線的離心率為（）A.$\frac{5}{4}$B.$\frac{5}{3}$C.$\frac{\sqrt{7}}{4}$D.$\frac{\sqrt{7}}{3}$5.若函數(shù)$y=\sin(\omegax+\varphi)(\omega\gt0)$的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為$\frac{\pi}{2}$，且該圖象關(guān)于點$(-\frac{7\pi}{12},0)$對稱，則$\varphi$的最小正值為（）A.$\frac{\pi}{6}$B.$\frac{\pi}{3}$C.$\frac{2\pi}{3}$D.$\frac{5\pi}{6}$6.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2$，$x\in[-1,3]$，則函數(shù)$f(x)$的最小值為（）A.-2B.0C.2D.47.設(shè)$f(x)$是定義在$R$上的奇函數(shù)，當$x\geq0$時，$f(x)=2^x+2x+b$（$b$為常數(shù)），則$f(-1)$等于（）A.3B.1C.-1D.-38.已知直線$l$過點$P(1,2)$，且在$x$軸和$y$軸上的截距相等，則直線$l$的方程為（）A.$x-y+1=0$B.$x+y-3=0$或$2x-y=0$C.$x+y-3=0$D.$x-y+1=0$或$2x-y=0$9.已知橢圓$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{4}=1$的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則實數(shù)$m$的值為（）A.2B.8C.2或8D.4或810.已知函數(shù)$f(x)=\begin{cases}x^2+1,x\leq1\\\log_2x,x\gt1\end{cases}$，則$f(f(2))$的值為（）A.1B.2C.3D.4二、填空題（總共5題，每題4分，請將答案填在橫線上）11.已知集合$A=\{x|x^2-3x-4\lt0\}$，$B=\{x|x\gt0\}$，則$A\capB=$______。12.曲線$y=x^3-2x+1$在點$(1,0)$處的切線方程為______。13.已知$\tan\alpha=2$，則$\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=$______。14.已知等比數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，若$S_3=7$，$S_6=63$，則公比$q=$______。15.已知函數(shù)$f(x)$滿足$f(x+1)=f(x-1)$，且當$x\in[-1,1]$時，$f(x)=x^2$，則$f(7)$的值為______。三、解答題（總共4題，每題10分）16.已知函數(shù)$f(x)=\sin^2x+\sqrt{3}\sinx\cosx$。（1）求函數(shù)$f(x)$的最小正周期；（2）求函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[0,\frac{\pi}{2}]$上的最大值和最小值。17.已知數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，且$S_n=2n^2+n$，$n\inN^$。（1）求數(shù)列$\{a_n\}$的通項公式；（2）若$b_n=\frac{1}{a_na_{n+1}}$，求數(shù)列$\{b_n\}$的前$n$項和$T_n$。18.已知直線$l$：$y=kx+1$與拋物線$y^2=4x$交于$A$，$B$兩點，$O$為坐標原點。（1）若直線$OA$，$OB$的斜率之和為$2$，求實數(shù)$k$的值；（2）求$\triangleAOB$面積的最小值。19.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3ax^2+2bx$在點$x=1$處有極小值$-1$。（1）求函數(shù)$f(x)$的表達式；（2）求函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[-2,2]$上的最大值和最小值。四、材料分析題（共1題，15分）閱讀以下材料：已知函數(shù)$f(x)$是定義在$R$上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為$f^\prime(x)$。若存在實數(shù)$x_0$，使得$f(x_0)=f^\prime(x_0)$，則稱$x_0$為函數(shù)$f(x)$的“駐點”。材料問題：已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2x+1$，（1）求函數(shù)$f(x)$的駐點；（2）若函數(shù)$g(x)=f(x)-ax$在區(qū)間$[1,2]$上有且僅有一個零點，求實數(shù)$a$的取值范圍。五、綜合應(yīng)用題（共1題，15分）某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為$20000$元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加$100$元。已知總收益$R$與年產(chǎn)量$x$的關(guān)系是$R=\begin{cases}400x-\frac{1}{2}x^2,0\leqx\leq400\\80000,x\gt400\end{cases}$。綜合應(yīng)用問題：（1）將利潤$P$表示為年產(chǎn)量$x$的函數(shù)；（2）當年產(chǎn)量為多少時，公司所獲利潤最大？最大利潤是多少？答案1.A2.B3.C4.A5.D6.A7.D8.B9.C10.B11.$(0,4)$12.$x-y-1=0$13.314.215.116.（1）$f(x)=\frac{1-\cos2x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x=\sin(2x-\frac{\pi}{6})+\frac{1}{2}$，最小正周期$T=\pi$；（2）當$x\in[0,\frac{\pi}{2}]$時，$2x-\frac{\pi}{6}\in[-\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}]$，$f(x)_{max}=\frac{3}{2}$，$f(x)_{min}=0$。17.（1）$a_n=4n-1$；（2）$b_n=\frac{1}{(4n-1)(4n+3)}=\frac{1}{4}(\frac{1}{4n-1}-\frac{1}{4n+3})$，$T_n=\frac{n}{3(4n+3)}$。18.（1）設(shè)$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，聯(lián)立方程得$k^2x^2+(2k-4)x+1=0$，$x_1+x_2=\frac{4-2k}{k^2}$，$x_1x_2=\frac{1}{k^2}$，$k_{OA}+k_{OB}=\frac{y_1}{x_1}+\frac{y_2}{x_2}=2$解得$k=1$；（2）$|AB|=\sqrt{1+k^2}\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\frac{4\sqrt{1+k^2}\sqrt{1-k}}{k^2}$，點$O$到直線$l$的距離$d=\frac{1}{\sqrt{1+k^2}}$，$S_{\triangleAOB}=\frac{2\sqrt{1-k}}{|k|}$，當$k=0$時，$S_{\triangleAOB}$最小為$0$（舍去），當$k\neq0$時，$S_{\triangleAOB}=2\sqrt{\frac{1}{k^2}-\frac{1}{k}}=2\sqrt{(\frac{1}{k}-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}}$，當$\frac{1}{k}=\frac{1}{2}$即$k=2$時，$S_{\triangleAOB}$最小為$\sqrt{2}$。19.（1）$f^\prime(x)=3x^2-6ax+2b$，由已知得$\begin{cases}f(1)=-1\\f^\prime(1)=0\end{cases}$，即$\begin{cases}1-3a+2b=-1\\3-6a+2b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=\frac{1}{3}\\b=-\frac{1}{2}\end{cases}$，所以$f(x)=x^3-x^2-x$；（2）$f^\prime(x)=3x^2-2x-1=(3x+1)(x-1)$，令$f^\prime(x)=0$得$x=1$或$x=-\frac{1}{3}$，$f(-2)=-10$，$f(-\frac{1}{3})=\frac{5}{27}$，$f(1)=-1$，$f(2)=2$，所以$f(x)_{max}=2$，$f(x)_{min}=-10$。20.（1）$f^\prime(x)=3x^2-6x+2$，令$f(x)=f^\prime(x)$，即$x^3-3x^2+2x+1=3x^2-6x+2$，整理得$x^3-6x^2+8x-1=0$，設(shè)$h(x)=x^3-6x^2+8x-1$，$h^\prime(x)=3x^2-12x+8$，由求根公式可得駐點；（2）$g(x)=x^3-3x^2+2x+1-ax$，$g^\prime(x)=3x^2-6x+2-a$，因為$g(x)$在區(qū)間$[1,2]$上有且僅有一個零點，所以$\begin{cases}g(1)\leq0\\g(2)\geq0\end{cases}$或$\begin{cases}g(1)\geq0\\g(2)\leq0\end{cases}$，即$\begin{cases}1-3+2+1-a\leq0\\8-12+4+1-2a\geq0\end{cases}$或$\begin{cases}1-3+2+1-a\geq0\\8-12+4+1-2a\leq0\end{cases}$，解得$2\leqa\leq\frac{11}{2}$。21.（1）當$0\leqx\leq400$時，$P=R-(20000+100x)=400x-\frac{1}{2}x^2-(20000+100x)=-\frac{1}{2}x^2+300x-20000$；當$x\gt400$時，$P=R-(20000+100x)=80000-(20000+100x)=60000-100x$，所以$P=\