河南省登封市外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)2026屆數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知向量，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．2．不等式的一個(gè)必要不充分條件是（）A. B.C. D.3．下列雙曲線中，漸近線方程為的是A. B.C. D.4．若公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是，，且，，為等比數(shù)列，則使成立的最大n是（）A.6 B.10C.11 D.125．設(shè)等差數(shù)列前項(xiàng)和為，若是方程的兩根，則（）A.32 B.30C.28 D.266．在平面內(nèi)，A，B是兩個(gè)定點(diǎn)，C是動(dòng)點(diǎn)，若，則點(diǎn)C的軌跡為（）A.圓 B.橢圓C.拋物線 D.直線7．雙曲線的左焦點(diǎn)到其漸近線的距離是（）A. B.C. D.8．某學(xué)生2021年共參加10次數(shù)學(xué)競(jìng)賽模擬考試，成績(jī)分別記為，，，…，，為研究該生成績(jī)的起伏變化程度，選用一下哪個(gè)數(shù)字特征最為合適（）A.，，，…，的平均值； B.，，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差；C.，，，…，的中位數(shù)； D.，，，…，的眾數(shù)；9．已知數(shù)列是公差為等差數(shù)列，，則（）A.1 B.3C.6 D.910．甲、乙兩名同學(xué)8次考試的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如圖所示，記甲、乙兩人成績(jī)的平均數(shù)分別為，，標(biāo)準(zhǔn)差分別為，，則（）A.＞，＜ B.＞，＞C.＜，＜ D.＜，＞11．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足為純虛數(shù)，則的虛部為（）A. B.C. D.12．命題“若，則”的逆否命題是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列滿足，則其通項(xiàng)公式________14．千年一遇對(duì)稱日，萬(wàn)事圓滿在今朝，年月日又是一個(gè)難得的“世界完全對(duì)稱日”（公歷紀(jì)年日期中數(shù)字左右完全對(duì)稱的日期）.數(shù)學(xué)上把這樣的對(duì)稱自然數(shù)叫回文數(shù)，兩位數(shù)的回文數(shù)共有個(gè)（），其中末位是奇數(shù)的又叫做回文奇數(shù)，則在內(nèi)的回文奇數(shù)的個(gè)數(shù)為___15．拋物線的聚焦特點(diǎn)：從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光經(jīng)過拋物線反射后，光線都平行于拋物線的對(duì)稱軸.另一方面，根據(jù)光路的可逆性，平行于拋物線對(duì)稱軸的光線射向拋物線后的反射光線都會(huì)匯聚到拋物線的焦點(diǎn)處.已知拋物線，一條平行于拋物線對(duì)稱軸的光線從點(diǎn)向左發(fā)出，先經(jīng)拋物線反射，再經(jīng)直線反射后，恰好經(jīng)過點(diǎn)，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為___________.16．已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)恰好在以為焦點(diǎn)的雙曲線上，則該雙曲線的離心率為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）寫出曲線C的極坐標(biāo)方程；（2）已知直線與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求.18．（12分）已知圓O：與圓C：（1）在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，填在下面的橫線上，并解答若______，判斷這兩個(gè)圓位置關(guān)系；（2）若，求直線被圓C截得的弦長(zhǎng)注：若第（1）問選擇兩個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)作答計(jì)分19．（12分）已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知，A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)A作斜率為的直線交橢圓于另一點(diǎn)E，連接EP并延長(zhǎng)交橢圓于另一點(diǎn)F，記直線BF的斜率為．若，求直線EF的方程20．（12分）已知二次曲線的方程：（1）分別求出方程表示橢圓和雙曲線的條件；（2）若雙曲線與直線有公共點(diǎn)且實(shí)軸最長(zhǎng)，求雙曲線方程；（3）為正整數(shù)，且，是否存在兩條曲線，其交點(diǎn)P與點(diǎn)滿足，若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由21．（12分）在直三棱柱中，、、、分別為中點(diǎn)，.（1）求證：平面（2）求二面角的余弦值22．（10分）計(jì)算：（1）求函數(shù)（a，b為正常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)（2）已知點(diǎn)P在曲線上，為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由題可知：，，，故選；D2、B【解析】解不等式，由此判斷必要不充分條件.【詳解】，解得，所以不等式的一個(gè)必要不充分條件是.故選：B3、A【解析】由雙曲線的漸進(jìn)線的公式可行選項(xiàng)A的漸進(jìn)線方程為，故選A.考點(diǎn)：本題主要考查雙曲線的漸近線公式.4、C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，根據(jù)，且，，為等比數(shù)列，求得首項(xiàng)和公差，再利用前n項(xiàng)和公式求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，且，，為等比?shù)列，所以，解得或（舍去），則，所以，解得，所以使成立的最大n是11，故選：C5、A【解析】根據(jù)給定條件利用韋達(dá)定理結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)計(jì)算作答.【詳解】因是方程的兩根，則又是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，于是得，所以.故選：A6、A【解析】首先建立平面直角坐標(biāo)系，然后結(jié)合數(shù)量積定義求解其軌跡方程即可.【詳解】設(shè)，以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則：，設(shè)，可得：，從而：，結(jié)合題意可得：，整理可得：，即點(diǎn)C的軌跡是以AB中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量及其數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，軌跡方程的求解等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.7、A【解析】求出雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)與漸近線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得結(jié)果.【詳解】在雙曲線中，，，，所以，該雙曲線的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線方程為，即，因，該雙曲線的左焦點(diǎn)到漸近線的距離為.故選：A8、B【解析】根據(jù)平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、中位數(shù)及眾數(shù)的概念即得.【詳解】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的概念可知，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，標(biāo)準(zhǔn)差描述數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小估計(jì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度.故選：B.9、D【解析】結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得.【詳解】設(shè)公差，.故選：D10、A【解析】根據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖，結(jié)合均值、方差的實(shí)際含義判斷、及、的大小.【詳解】由統(tǒng)計(jì)圖知：甲總成績(jī)比乙總成績(jī)要高，則＞，又甲成績(jī)的分布比乙均勻，故＜.故選：A.11、D【解析】先設(shè)，代入化簡(jiǎn)，由純虛數(shù)定義求出，即可求解.【詳解】設(shè)，所以，因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，解得，所以的虛部為：.故選：D.12、C【解析】根據(jù)逆否命題的定義寫出逆否命題即得【詳解】解：以否定的結(jié)論作條件、否定的條件作結(jié)論得出的命題為原命題的逆否命題，即“若，則”的逆否命題是“若，則”故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用累加法即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，，，…，，把以上個(gè)式子相加，得，即，所以.故答案為：.14、【解析】根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，結(jié)合題中定義、組合的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】?jī)晌粩?shù)的回文奇數(shù)有，共個(gè)，三位數(shù)的回文奇數(shù)有，四位數(shù)的回文奇數(shù)有，所以在內(nèi)的回文奇數(shù)的個(gè)數(shù)為，故答案為：15、【解析】根據(jù)拋物線的聚焦特點(diǎn)，經(jīng)過拋物線后經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)，再經(jīng)直線反射后經(jīng)過點(diǎn)，則根據(jù)反射特點(diǎn)，列出相關(guān)方程，解出方程即可.【詳解】設(shè)光線與拋物線的交點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)為，則可得：拋物線的焦點(diǎn)為：則直線的方程為：設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，則有：解得：則過點(diǎn)且垂直于的直線的方程為：根據(jù)題意可知：點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在直線上設(shè)點(diǎn)，的中點(diǎn)為，則有：直線垂直于，則有：點(diǎn)在直線上，則有：點(diǎn)在直線上，則有：化簡(jiǎn)得：又故故答案為：【點(diǎn)睛】直線關(guān)于直線對(duì)稱對(duì)稱，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和直線與直線垂直的特點(diǎn)建立方程，根據(jù)題意列出隱含的方程是關(guān)鍵16、【解析】設(shè)點(diǎn)，根據(jù)拋物線的定義表示出，將用表示，并逐步轉(zhuǎn)化為一個(gè)基本不等式形式，從而求出取最小值時(shí)的點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)雙曲線的定義及離心率的公式求值.【詳解】由題意可得，，，拋物線的準(zhǔn)線為，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)，由拋物線的定義可知，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，設(shè)以為焦點(diǎn)的雙曲線方程為，則，即，又，，所以離心率.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是將的坐標(biāo)表達(dá)式逐漸轉(zhuǎn)化為一個(gè)可以用基本不等式求最值的式子，從而找出取最小值時(shí)的點(diǎn)的坐標(biāo).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）首先將圓的參數(shù)方程華為普通方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程即可.（2）首先聯(lián)立得到，再求的長(zhǎng)度即可.【詳解】（1）將曲線C的參數(shù)方程，（為參數(shù)）化為普通方程，得，極坐標(biāo)方程為.（2）聯(lián)立方程組，消去得，設(shè)點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的極徑分別為，，則，，所以.18、（1）選①:外離；選②：相切;（2）【解析】(1)不論選①還是選②，都要首先算出兩圓的圓心距，然后和兩圓的半徑之和或差進(jìn)行比較即可；(2)根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，先計(jì)算圓心到直線的距離，然后利用圓心距、半徑、弦長(zhǎng)的一半之間的關(guān)系求解.【小問1詳解】選①圓O的圓心為，半徑為l；圓C圓心為，半徑為因?yàn)閮蓤A的圓心距為，且兩圓的半徑之和為，所以兩圓外離選②圓O的圓心為，半徑為1．圓C的圓心為，半徑為2因?yàn)閮蓤A的圓心距為．且兩圓的半徑之和為，所以兩圓外切【小問2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)C到直線的距離，所以直線被圓C截得的弦長(zhǎng)為19、（1）（2）【解析】（1）由離心率得關(guān)系，短軸求出，結(jié)合關(guān)系式解出，可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，，過EF的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程得韋達(dá)定理，結(jié)合斜率定義和化簡(jiǎn)得，由在橢圓上代換得，聯(lián)立韋達(dá)定理可求，進(jìn)而得解；【小問1詳解】由題意可得，，，又，解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】由（1）得，，顯然直線EF的斜率存在且不為0，設(shè)，，則，都不為和0設(shè)直線EF的方程為，由消去y得，顯然，則，因?yàn)?，所以，等式兩邊平方得①又因?yàn)?，在橢圓上，所以，②將②代入①可得，即，所以，即，解得或（舍去，此時(shí)）所以直線EF的方程為20、（1）時(shí)，方程表示橢圓，時(shí)，方程表示雙曲線；（2）；（3）存在，且或或.【解析】（1）當(dāng)且僅當(dāng)分母都為正，且不相等時(shí)，方程表示橢圓；當(dāng)且僅當(dāng)分母異號(hào)時(shí)，方程表示雙曲線（2）將直線與曲線聯(lián)立化簡(jiǎn)得：，利用雙曲線與直線有公共點(diǎn)，可確定的范圍，從而可求雙曲線的實(shí)軸，進(jìn)而可得雙曲線方程；（3）由（1）知，，是橢圓，，，，是雙曲線，結(jié)合圖象的幾何性質(zhì)，任意兩橢圓之間無(wú)公共點(diǎn)，任意兩雙曲線之間無(wú)公共點(diǎn)，從而可求【詳解】（1）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，方程表示橢圓；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，方程表示雙曲線（2）化簡(jiǎn)得：△或所以雙曲線的實(shí)軸為，當(dāng)時(shí)，雙曲線實(shí)軸最長(zhǎng)為此時(shí)雙曲線方程為（3）由（1）知，，是橢圓，，，，是雙曲線，結(jié)合圖象的幾何性質(zhì)任意兩橢圓之間無(wú)公共點(diǎn)，任意兩雙曲線之間無(wú)公共點(diǎn)設(shè)，，，2，，，6，7，由橢圓與雙曲線定義及；所以所以這樣的，存在，且或或【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：曲線方程的確定可分為兩類：若已知曲線類型，則采用待定系數(shù)法；若曲線類型未知時(shí)，則可利用直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法等求解或者利用分類討論思想求解.21、（1）見解析；（2）【解析】（1）取中點(diǎn)，連接，根據(jù)直棱柱的特征，易知，再由、分別為的中點(diǎn)，根據(jù)中位線定理，可得，得到四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定定理證明.（2）取的中點(diǎn)，連接，以為原點(diǎn)，、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則．，再分別求得平面和平面的一個(gè)法向量，利用面面角的向量公式求解.【詳解】（1）證明：如圖所示：取中點(diǎn)，連接，易知，、分別為的中點(diǎn)，∴，∴故四邊形為平行四邊形，∴，∵平面，平面，平面（2）取的中點(diǎn)，連接，以為原點(diǎn)，、、分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則∴，設(shè)平面的法向量為，則，即，取