山東省膠州市第一中學(xué)2026屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（）A.60 B.80C.90 D.1002．如圖，在三棱柱中，平面，，，分別是，中點(diǎn)，在線(xiàn)段上，則與平面的位置關(guān)系是（）A.垂直 B.平行C.相交但不垂直 D.要依點(diǎn)的位置而定3．用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，從“k到”左邊需增乘的代數(shù)式是（）A. B.C. D.4．展開(kāi)式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為（）A.6 B.C.24 D.5．《張邱建算經(jīng)》記載：今有女子不善織布，逐日織布同數(shù)遞減，初日織五尺，末一日織一尺，計(jì)織三十日，問(wèn)第11日到第20日這10日共織布（）A.30尺 B.40尺C.6尺 D.60尺6．已知全集，集合，，則（）A. B.C. D.7．在等比數(shù)列中，若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則的值是（）A. B.C. D.8．如圖是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的圖象，則下面判斷正確的是（）A.在內(nèi)是增函數(shù)B.在內(nèi)是增函數(shù)C.在時(shí)取得極大值D.在時(shí)取得極小值9．甲、乙兩組數(shù)的數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，則甲、乙的平均數(shù)、方差、極差及中位數(shù)相同的是（）A.極差 B.方差C.平均數(shù) D.中位數(shù)10．已知數(shù)列滿(mǎn)足，在任意相鄰兩項(xiàng)與(k＝1，2，…)之間插入個(gè)2，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列．記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則的值為（）A.162 B.163C.164 D.16511．一動(dòng)圓與圓外切，而與圓內(nèi)切，那么動(dòng)圓的圓心的軌跡是（）A.橢圓 B.雙曲線(xiàn)C.拋物線(xiàn) D.雙曲線(xiàn)的一支12．在等差數(shù)列{an}中，a1=1，，則a7=（）A.13 B.14C.15 D.16二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．空間四邊形中，，，，，，，則與所成角的余弦值等于___________14．已知函數(shù)集合，若A中有且僅有4個(gè)元素，則滿(mǎn)足條件的整數(shù)a的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____15．已知數(shù)列滿(mǎn)足，則其通項(xiàng)公式_______16．已知曲線(xiàn)的焦距是10，曲線(xiàn)上的點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離是2，則點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為_(kāi)_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)之比為2,、分別為其左、右焦點(diǎn)．請(qǐng)從下列兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件,完成下面的問(wèn)題:①過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線(xiàn)與橢圓E相切;②過(guò)且垂直于x軸的直線(xiàn)與橢圓在第一象限交于點(diǎn)P,且的面積為．(只能從①②中選擇一個(gè)作為已知)（1）求橢圓E的方程;（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與橢圓E交于A,B兩點(diǎn),與直線(xiàn)交于H點(diǎn),若,．證明:為定值18．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和分別是，滿(mǎn)足，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列對(duì)任意都有恒成立，求.19．（12分）已知p：方程所表示的曲線(xiàn)為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；q：當(dāng)時(shí)，函數(shù)恒成立.（1）若p為真，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；（2）若為假命題，且為真命題，求實(shí)數(shù)t的取值范圍20．（12分）某快遞公司近60天每天攬件數(shù)量的頻率分布直方圖如下圖所示（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.（1）求這60天每天包裹數(shù)量的平均值和中位數(shù)；（2）在這60天中包裹件數(shù)在和的兩組中，用分層抽樣的方法抽取30件，求在這兩組中應(yīng)分別抽取多少件？21．（12分）如圖在直三棱柱中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，是中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)，是與的交點(diǎn).（1）求證：；（2）求證：平面；（3）求直線(xiàn)與平面的距離.22．（10分）已知圓C：，直線(xiàn)l：.（1）當(dāng)a為何值時(shí)，直線(xiàn)l與圓C相切；（2）當(dāng)直線(xiàn)l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=時(shí)，求直線(xiàn)l的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由題設(shè)條件求出，從而可求.【詳解】設(shè)公差為，因?yàn)?，，故，解得，故，故選：D.2、B【解析】構(gòu)造三角形,先證∥平面,同理得∥平面,再證平面∥平面即可.【詳解】連接，，.因?yàn)樵谥比庵校琈，N分別是，AB的中點(diǎn)，所以∥.因?yàn)槠矫鎯?nèi)，平面，所以∥平面.同理可得AM∥平面.又因?yàn)椋矫?，平面，所以平面∥平?又因?yàn)镻點(diǎn)在線(xiàn)段上，所以∥平面.故選：B.3、C【解析】分別求出n＝k時(shí)左端的表達(dá)式，和n＝k+1時(shí)左端的表達(dá)式，比較可得“n從k到k+1”左端需增乘的代數(shù)式【詳解】當(dāng)n＝k時(shí)，左端＝（k+1）（k+2）（k+3）…（2k），當(dāng)n＝k+1時(shí)，左端＝（k+2）（k+3）…（2k）（2k+1）（2k+2），∴左邊需增乘的代數(shù)式是故選：C【點(diǎn)睛】本題考查用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，分別求出n＝k時(shí)左端的表達(dá)式和n＝k+1時(shí)左端的表達(dá)式，是解題的關(guān)鍵4、A【解析】根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，即可求解.【詳解】由題意，二項(xiàng)式展開(kāi)式中第3項(xiàng)，所以展開(kāi)式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為.故選：A.5、A【解析】由題意可知，每日的織布數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，由等差數(shù)列的求和公式得解.【詳解】由題女子織布數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)第日織布為，有，所以，故選:A.6、A【解析】先求，然后求.【詳解】，，.故選：A7、B【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的極值點(diǎn)，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極值點(diǎn)，因?yàn)?，且所以，故選：B8、B【解析】根據(jù)圖象判斷的單調(diào)性，由此求得的極值點(diǎn)，進(jìn)而確定正確選項(xiàng).【詳解】由圖可知，在區(qū)間上,單調(diào)遞減；在區(qū)間上,單調(diào)遞增.所以不是的極值點(diǎn)，是的極大值點(diǎn).所以ACD選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確.故選：B9、C【解析】根據(jù)莖葉圖依次計(jì)算甲和乙的平均數(shù)、方差、中位數(shù)和極差即可得到結(jié)果.【詳解】甲的平均數(shù)為：；乙的平均數(shù)為：；甲和乙的平均數(shù)相同；甲的方差為：；乙的方差為：；甲和乙的方差不相同；甲的極差為：；乙的極差為：；甲和乙的極差不相同；甲的中位數(shù)為：；乙的中位數(shù)為：；甲和乙的中位數(shù)不相同.故選：C.10、C【解析】確定數(shù)列的前70項(xiàng)含有的前6項(xiàng)和64個(gè)2，從而求出前70項(xiàng)和.【詳解】，其中之間插入2個(gè)2，之間插入4個(gè)2，之間插入8個(gè)2，之間插入16個(gè)2，之間插入32個(gè)2，之間插入64個(gè)2，由于，，故數(shù)列的前70項(xiàng)含有的前6項(xiàng)和64個(gè)2，故故選：C11、A【解析】依據(jù)定義法去求動(dòng)圓的圓心的軌跡即可解決.【詳解】設(shè)動(dòng)圓的半徑為r,又圓半徑為1，圓半徑為8，則，，可得，又則動(dòng)圓的圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為9的橢圓.故選：A12、A【解析】利用等差數(shù)列的基本量，即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，解得：，則.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】計(jì)算出的值，利用空間向量的數(shù)量積可得出的值，即可得解.【詳解】，，所以，，所以，.所以，與所成角的余弦值為.故答案為：.14、32【解析】作出的圖像，由時(shí)，不等式成立，所以，判斷出符合條件的非零整數(shù)根只有三個(gè)，即等價(jià)于時(shí)，；時(shí)，；利用數(shù)形結(jié)合，進(jìn)行求解.【詳解】作出的圖像如圖所示：因?yàn)闀r(shí)，不等式成立，所以，符合條件的非零整數(shù)根只有三個(gè).由可得：時(shí)，；時(shí)，；所以在y軸左側(cè)，的圖像都在的下方；在y軸右側(cè)，的圖像都在的上方；而，，，，.平移直線(xiàn)，由圖像可知：當(dāng)時(shí)，集合A中除了0只含有1，2，3，符合題意，此時(shí)整數(shù)a可以?。?23，-22，-21……-9.一共15個(gè)；當(dāng)時(shí)，集合A中除了0含有1，-1，-2，符合題意.當(dāng)時(shí)，集合A中除了0只含有-1，-2，-3，符合題意，此時(shí)整數(shù)a可以?。?，6，7……20一共16個(gè).所以整數(shù)a的值一共有15+1+16=32（個(gè)）.故答案為：32【點(diǎn)睛】分離參數(shù)法求零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題是轉(zhuǎn)化為，分別做出和的圖像，觀察交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．用數(shù)形結(jié)合法解決零點(diǎn)問(wèn)題常有以下幾種類(lèi)型：(1)零點(diǎn)個(gè)數(shù)：幾個(gè)零點(diǎn)；(2)幾個(gè)零點(diǎn)的和；(3)幾個(gè)零點(diǎn)的積.15、【解析】構(gòu)造法可得，由等比數(shù)列的定義寫(xiě)出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得.【詳解】令，則，又，∴，故，而，∴是公比為，首項(xiàng)為，則，∴.故答案為：.16、或10.【解析】對(duì)參數(shù)a進(jìn)行討論，考慮曲線(xiàn)是橢圓和雙曲線(xiàn)的情況，進(jìn)而結(jié)合橢圓與雙曲線(xiàn)的定義和性質(zhì)求得答案.【詳解】由題意，曲線(xiàn)的半焦距為5，若曲線(xiàn)是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則a>16，所以，而橢圓上的點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)距離是2，則點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為；若曲線(xiàn)是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則0<a<16，所以，舍去；若曲線(xiàn)是雙曲線(xiàn)，則a<0，容易判斷雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在y軸，所以，不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)的上半支，上下焦點(diǎn)分別為，因?yàn)閷?shí)半軸長(zhǎng)為4，容易判斷點(diǎn)P到下焦點(diǎn)的距離的最小值為4+5=9>2，不合題意，所以點(diǎn)P到上焦點(diǎn)的距離為2，則它到下焦點(diǎn)的距離.故答案為：或10.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】(1)選①:直線(xiàn)與橢圓聯(lián)立,利用判別式為0求解;選②:利用通徑公式即可(2)用直線(xiàn)參數(shù)方程的幾何意義求解【小問(wèn)1詳解】選①:由題知,過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線(xiàn)方程為聯(lián)立,得由,得所以橢圓的方程為選②:由題知,所以由,得所以橢圓的方程為【小問(wèn)2詳解】證明:設(shè)直線(xiàn)的參數(shù)方程為(為參數(shù))設(shè)A,B,H對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為,顯然將代入橢圓,得即.所以將代入直線(xiàn),得由,得,所以由,得,所以所以所以為定值【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：直線(xiàn)的參數(shù)方程作為一種工具，要充分發(fā)揮它的作用，參數(shù)的幾何意義并不局限于加絕對(duì)值表示距離，還要注意方向性.請(qǐng)考生在22、23題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分18、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)已知遞推關(guān)系式再寫(xiě)一式，然后兩式相減，由等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義即可求解；（2）根據(jù)已知遞推關(guān)系式再寫(xiě)一式，然后兩式相減，求出，最后利用錯(cuò)位相減法即可得答案.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，，所以，，得，所以是?為首項(xiàng)2為公差的等差數(shù)列，是以1為首項(xiàng)2為公差的等差數(shù)列，所以，，所以；因?yàn)?，所以，又由得，所以是?為首項(xiàng)2為公比的等比數(shù)列，所以.【小問(wèn)2詳解】解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，得，即，記，則,,則.19、（1）（2）【解析】(1)由給定條件結(jié)合橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特征列不等式求解作答.(2)求命題q真時(shí)的t值范圍，再借助“或”聯(lián)結(jié)的命題為真命題求解作答.【小問(wèn)1詳解】因方程所表示的曲線(xiàn)為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則有，解得，所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是.【小問(wèn)2詳解】，則有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，即，因當(dāng)時(shí)，函數(shù)恒成立，則，解得，命題q為真命題有，因?yàn)榧倜}，且為真命題，則與一真一假，當(dāng)p真q假時(shí)，，當(dāng)p假q真時(shí)，，所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是.20、（1）平均數(shù)和中位數(shù)都為260件；（2）在的件數(shù)為，在的件數(shù)為.【解析】（1）由每組頻率乘以組中值相加即可得平均數(shù)，設(shè)中位數(shù)為，由落在區(qū)間內(nèi)的頻率為0.5可得結(jié)果；（2）先得頻率分別為0.1，0.5，由分層抽樣的概念即可得結(jié)果.【詳解】（1）每天包裹數(shù)量的平均數(shù)為；設(shè)中位數(shù)為，易知，則，解得.所以公司每天包裹的平均數(shù)和中位數(shù)都為260件.（2）件數(shù)在，的頻率分別為0.1，0.5頻率之比為1：5，所抽取的30件中，在的件數(shù)為，在的件數(shù)為.21、（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】（1）法一：通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量數(shù)量積證明，法二：通過(guò)線(xiàn)面垂直證明，法三:根據(jù)三垂線(xiàn)證明；（2）法一：通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量數(shù)量積證明，法二：通過(guò)面面平行證明線(xiàn)面平行；（3）法一：通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量方法求解，法二：運(yùn)用等體積法求解.【小問(wèn)1詳解】證明：法一：在直三棱柱中，因?yàn)?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向分別為軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，所以，所以所以，所?法二：連接，在直三棱柱中，有面，面，所以，又，則，因?yàn)?，所以面因?yàn)槊妫砸驗(yàn)?，所以四邊形為正方形，所以因?yàn)?，所以面因?yàn)槊?，所?法三：用三垂線(xiàn)定理證明：連接，在直三棱柱中，有面因?yàn)槊妫?，又，則，因?yàn)?，所以面所以在平面?nèi)的射影為，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，因此根?jù)三垂線(xiàn)定理可知【小問(wèn)2詳解】證明：法一：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)，所以、，依題意可知為重心，則，可得所以，，設(shè)為平面的法向量，則即取得則平面的一個(gè)法向量為.所以，則，因?yàn)槠矫?，所以平?法二：連接.在正方形中，為的中點(diǎn)，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以又為中點(diǎn)，所以四邊形是矩形，所以且因?yàn)榍?，所以，所以四邊形為平行四邊形，所?因?yàn)?，平面平面平面平面，所以平面平面，平面，所以平面【小?wèn)3詳解】法一：由（2）知平面的一個(gè)法向量，且平面，所以到平面的距離與到平面的距離相等，，所以，所以點(diǎn)到平面的距離所以到平面的距離為法二：因?yàn)榉謩e為和中點(diǎn)，所以為的重心，所以，所以到平面