情境引入1.會(huì)用平行線的性質(zhì)與平角的定義證明三角形內(nèi)角和等于180°.（重點(diǎn)）2.會(huì)運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算.（難點(diǎn)）內(nèi)角三兄弟之爭

在一個(gè)直角三角形里住著三個(gè)內(nèi)角，平時(shí)，它們?nèi)值芊浅F(tuán)結(jié)?？墒怯幸惶?，老二突然不高興，發(fā)起脾氣來，它指著老大說：“你憑什么度數(shù)最大，我也要和你一樣大！”“不行?。　崩洗笳f：“這是不可能的，否則，我們這個(gè)家就再也圍不起來了……”“為什么？”老二很納悶。

同學(xué)們，你們知道其中的道理嗎？三角形的三個(gè)內(nèi)角和是

.180°動(dòng)手操作

撕一撕，拼一拼，觀察結(jié)論判斷正（

）誤（

）①鈍角三角形的內(nèi)角和大于銳角三角形的內(nèi)角和.（

）②在直角三角形中，兩個(gè)銳角的和等于90o（

）×√跟蹤練習(xí)√×在紙上任意畫一個(gè)三角形，將它的內(nèi)角剪下拼合在一起.還有其他的拼接方法嗎？觀測的結(jié)果不一定可靠，還需要通過數(shù)學(xué)知識來說明.從上面的操作過程，你能發(fā)現(xiàn)證明的思路嗎？求證：∠A+∠B+∠C=180°.已知：△ABC.證法1：過點(diǎn)A作直線l∥BC，∴∠B=∠1，(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)∠C=∠2.(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)∵∠2+∠1+∠BAC=180°，∴∠B+∠C+∠BAC=180°.12證法2：延長BC到D，過點(diǎn)C作CE∥BA，∴∠A=∠1，(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)∠B=∠2.(兩直線平行，同位角相等)又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°.CBAD12求證：∠A+∠B+∠C=180°.已知：△ABC.求證：∠A+∠B+∠C=180°.已知：△ABC.CBAEDF證法3：過BC上一點(diǎn)D作DE∥AC,作DF∥AB.∴∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.(兩直線平行，同位角相等)∠A+∠AED=180°,∠AED+∠EDF=180°，(兩直線平行，同旁內(nèi)角相補(bǔ))∴∠A=∠EDF.∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，∴∠A+∠B+∠C=180°.在這里，為了證明的需要，在原來的圖形上添畫的線叫做輔助線.在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線.思路總結(jié)為了證明三個(gè)角的和為180°,轉(zhuǎn)化為一個(gè)平角或同旁內(nèi)角互補(bǔ)等，這種轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中的常用方法.作輔助線探究新知

思考

多種方法證明三角形內(nèi)角和等于180°的核心是什么？借助平行線的“移角”的功能，將三個(gè)角轉(zhuǎn)化成一個(gè)平角.CAB12345lACB12345lP6mABCDE探究新知

C24AB3EQDFPGH1BGC24A3EDFH1試一試同學(xué)們按照上圖中的輔助線，給出證明步驟？探究新知思路總結(jié)

為了證明三個(gè)角的和為180°,轉(zhuǎn)化為一個(gè)平角或同旁內(nèi)角互補(bǔ)等，這種轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中的常用方法.典例解析例1.如圖：在△ABC中,∠BAC=40°,∠B=75°，AD是△ABC的角平分線，求∠ADB的度數(shù).ADCB解：∵∠BAC=40°,

AD是△ABC的角平分線得：∴∠BAD=∴∠ADB=180°-∠B-∠BAD

=180°-75°-20°

=85°典例解析例2.如圖，A,B,C三島的平面圖，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向.從B島看A,C兩島的視角∠ABC是多少度？從C島看A,B兩島的視角∠ACB呢？∵AD//BE∴∠DAB+∠ABE=180°∴∠ABE=180°-∠DAB=180°-80°=100°∴∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°∵∠BAC=∠DAB-∠DAC=80°-50°=30°∴∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=180°-30°-60°=90°北AD北CB東E解：隨堂練習(xí)例2如圖，△ABC中，D在BC的延長線上，過D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.又∵∠CFD＝∠AFE，∴∠CFD＝60°.∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.典例剖析基本圖形由三角形的內(nèi)角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D.由三角形的內(nèi)角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.4總結(jié)歸納例3在△ABC

中，∠A

的度數(shù)是∠B

的度數(shù)的3倍，∠C

比∠B

大15°，求∠A，∠B，∠C的度數(shù).解:設(shè)∠B為x°，則∠A為(3x)°，∠C為(x＋

15)°，從而有3x＋

x＋(x＋

15)＝

180.解得x＝

33.所以3x＝

99

，x＋

15

＝

48.答：∠A，∠B，∠C的度數(shù)分別為99°，

33°，48°.幾何問題借助方程來解.這是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想.典例剖析【變式題】在△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的平分線，求∠DCE的度數(shù)．解析：根據(jù)已知條件用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角形的內(nèi)角和求出∠A，再求出∠ACB，∠ACD，最后根據(jù)角平分線的定義求出∠ACE即可求得∠DCE的度數(shù)．比例關(guān)系可考慮用方程思想求角度.解：∵∠A＝∠B＝∠ACB，設(shè)∠A＝x，∴∠B＝2x，∠ACB＝3x.∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，∴x＋2x＋3x＝180°，得x＝30°，∴∠A＝30°，∠ACB＝90°.∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝180°－90°－30°＝60°.∵CE是∠ACB的平分線，∴∠ACE＝×90°＝45°，∴∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝60°－45°＝15°.1.[串題進(jìn)階]在△

ABC

中，(1)已知∠

A

＝87°，∠

B

＝25°，則∠

C

的度數(shù)為

.70°(2)∠

C

＝30°，∠

A

與∠

B

的度數(shù)比是1∶2，則∠

A

的度數(shù)是

；50°(3)已知∠A－∠B＝20°，∠C＝2∠B，求∠A，∠B，∠C

的度數(shù)；解：(3)∵∠A－∠B＝20°，∠C＝2∠B，∴∠A＝∠B＋20°.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠B＋20°＋∠B＋2∠B＝180°.∴∠B＝40°.∴∠A＝60°，∠C＝80°.(4)[補(bǔ)圖作答]若

AD

是△ABC的角平分線，已知∠BAC＝68°，∠B＝36°，求∠ADB

的度數(shù).(4)∵AD

是△ABC

的角平分線，

∵∠B＝36°，∴∠ADB＝180°－34°－36°＝110°.2.小明想探究三角形內(nèi)角和的度數(shù)，下面是他的探究過程，請你幫他把探究過程補(bǔ)充完整.在△ABC

邊

BC

上任取一點(diǎn)

E，作

DE∥AC

交

AB于點(diǎn)D，作EF∥AB

交

AC

于點(diǎn)

F.∵DE∥AC，AB∥EF，∴∠1＝

，∠3＝

.∵AB∥EF，∴∠4＝

().∠C∠B∠A兩直線平行，同位角相等∵DE∥AC