蘭州市師大附中八年級上冊壓軸題數(shù)學模擬試卷含詳細答案一、壓軸題1．對定義一種新運算，規(guī)定：（其中均為非零常數(shù)）．例如：．（1）已知．①求的值；②若關于的不等式組恰好有3個整數(shù)解，求的取值范圍；（2）當時，對任意有理數(shù)都成立，請直接寫出滿足的關系式．學習參考：①，即單項式乘以多項式就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的結(jié)果相加；②，即多項式乘以多項式就是用一個多項式的每一項去乘另一個多項式的每一項，再把所得的結(jié)果相加．解析：（1）①；②42≤a＜54；（2）m=2n【解析】【分析】（1）①構(gòu)建方程組即可解決問題；②根據(jù)不等式即可解決問題；（2）利用恒等式的性質(zhì)，根據(jù)關系式即可解決問題．【詳解】解：（1）①由題意得，解得，②由題意得，解不等式①得p＞-1．解不等式②得p≤，∴-1＜p≤，∵恰好有3個整數(shù)解，∴2≤＜3．∴42≤a＜54；（2）由題意：（mx+ny）（x+2y）=（my+nx）（y+2x），∴mx2+（2m+n）xy+2ny2=2nx2+（2m+n）xy+my2，∵對任意有理數(shù)x，y都成立，∴m=2n．【點睛】本題考查一元一次不等式、二元一次方程組、恒等式等知識，解題的關鍵是學會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．2．如圖，以直角三角形AOC的直角頂點O為原點，以OC，OA所在直線為軸和軸建立平面直角坐標系，點A（0，a），C（b，0）滿足．（1）a=；b=；直角三角形AOC的面積為．（2）已知坐標軸上有兩動點P，Q同時出發(fā)，P點從C點出發(fā)以每秒2個單位長度的速度向點O勻速移動，Q點從O點出發(fā)以每秒1個單位長度的速度向點A勻速移動，點P到達O點整個運動隨之結(jié)束．AC的中點D的坐標是（4，3），設運動時間為t秒．問：是否存在這樣的t，使得△ODP與△ODQ的面積相等？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．（3）在（2）的條件下，若∠DOC=∠DCO，點G是第二象限中一點，并且y軸平分∠GOD．點E是線段OA上一動點，連接接CE交OD于點H，當點E在線段OA上運動的過程中，探究∠GOD，∠OHC，∠ACE之間的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論(三角形的內(nèi)角和為180)．解析：（1）6；8；24；（2）存在時，使得△ODP與△ODQ的面積相等；（3）∠GOD+∠ACE=∠OHC，見解析【解析】【分析】（1）利用非負性即可求出a，b即可得出結(jié)論,即可求出△ABC的面積；（2）先表示出OQ，OP，利用那個面積相等，建立方程求解即可得出結(jié)論；（3）先判斷出∠OAC=∠AOD，進而判斷出OG∥AC，即可判斷出∠FHC=∠ACE，同理∠FHO=∠GOD，即可得出結(jié)論．【詳解】解：(1)解：（1）∵，∴a-6=0，b-8=0，∴a=6，b=8，∴A（0，6），C（8，0）；∴S△ABC=6×8÷2=24,故答案為（0，6），（8，0）；6；8；24(2)∵由時,∴存在時,使得△ODP與△ODQ的面積相等(3)）∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC，理由如下：∵x軸⊥y軸，∴∠AOC=∠DOC+∠AOD=90°∴∠OAC+∠ACO=90°又∵∠DOC=∠DCO∴∠OAC=∠AOD∵y軸平分∠GOD∴∠GOA=∠AOD∴∠GOA=∠OAC∴OG∥AC，如圖，過點H作HF∥OG交x軸于F，∴HF∥AC∴∠FHC=∠ACE同理∠FHO=∠GOD，∵OG∥FH，∴∠GOD=∠FHO，∴∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC即∠GOD+∠ACE=∠OHC，∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC．∴∠GOD+∠ACE=∠OHC．【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了非負性的性質(zhì)，三角形的面積公式，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解本題的關鍵．3．如圖1，直角三角形DEF與直角三角形ABC的斜邊在同一直線上，∠EDF＝30°，∠ABC＝40°，CD平分∠ACB，將△DEF繞點D按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，記∠ADF為α（0°＜α＜180°），在旋轉(zhuǎn)過程中；（1）如圖2，當∠α＝時，，當∠α＝時，DE⊥BC；（2）如圖3，當頂點C在△DEF內(nèi)部時，邊DF、DE分別交BC、AC的延長線于點M、N，①此時∠α的度數(shù)范圍是；②∠1與∠2度數(shù)的和是否變化？若不變求出∠1與∠2度數(shù)和；若變化，請說明理由；③若使得∠2≥2∠1，求∠α的度數(shù)范圍．解析：（1）10°，100°；（2）①55°＜α＜85°；②∠1與∠2度數(shù)的和不變，理由見解析③55°＜α≤60°．【解析】【分析】（1）當∠EDA＝∠B＝40°時，，得出30°＋α＝40°，即可得出結(jié)果；當時，DE⊥AB，得出50°＋α＋30°＝180°，即可得出結(jié)果；（2）①由已知得出∠ACD＝45°，∠A＝50°，推出∠CDA＝85°，當點C在DE邊上時，α＋30°＝85°，解得α＝55°，當點C在DF邊上時，α＝85°，即可得出結(jié)果；②連接MN，由三角形內(nèi)角和定理得出∠CNM＋∠CMN＋∠MCN＝180°，則∠CNM＋∠CMN＝90°，由三角形內(nèi)角和定理得出∠DNM＋∠DMN＋∠MDN＝180°，即∠2＋∠CNM＋∠CMN＋∠1＋∠MDN＝180°，即可得出結(jié)論；③由，∠1＋∠2＝60°，得出∠2≥2（60°?∠2），解得∠2≥40°，由三角形內(nèi)角和定理得出∠2＋∠NDM＋α＋∠A＝180°，即∠2＋30°＋α＋50°＝180°，則∠2＝100°?α，得出100°?α≥40°，解得α≤60°，再由當頂點C在△DEF內(nèi)部時，55°＜α＜85°，即可得出結(jié)果．【詳解】解：（1）∵∠B＝40°，∴當∠EDA＝∠B＝40°時，，而∠EDF＝30°，∴，解得：α＝10°；當時，DE⊥AB，此時∠A+∠EDA＝180°，，∴，解得：α＝100°；故答案為10°，100°；（2）①∵∠ABC＝40°，CD平分∠ACB，∴∠ACD＝45°，∠A＝50°，∴∠CDA＝85°，當點C在DE邊上時，，解得：，當點C在DF邊上時，，∴當頂點C在△DEF內(nèi)部時，；故答案為：；②∠1與∠2度數(shù)的和不變；理由如下：連接MN，如圖所示：在△CMN中，∵∠CNM+∠CMN+∠MCN＝180°，∴∠CNM+∠CMN＝90°，在△MND中，∵∠DNM+∠DMN+∠MDN＝180°，即∠2+∠CNM+∠CMN+∠1+∠MDN＝180°，∴；③∵∠2≥2∠1，∠1+∠2＝60°，∴，∴∠2≥40°，∵，即，∴，∴，解得：α≤60°，∵當頂點C在△DEF內(nèi)部時，，∴∠α的度數(shù)范圍為．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、不等式等知識，合理選擇三角形后利用三角形內(nèi)角和定理列等量關系是解決問題的關鍵．4．如圖，在中，為的中點，，．動點從點出發(fā)，沿方向以的速度向點運動；同時動點從點出發(fā)，沿方向以的速度向點運動，運動時間是．（1）在運動過程中，當點位于線段的垂直平分線上時，求出的值；（2）在運動過程中，當時，求出的值；（3）是否存在某一時刻，使？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．解析：（1）時，點位于線段的垂直平分線上；（2）；（3）不存在，理由見解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出BP，CQ，結(jié)合圖形用含t的代數(shù)式表示CP的長度，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到CP＝CQ，列式計算即可；（2）根據(jù)全等三角形的對應邊相等列式計算；（3）根據(jù)全等三角形的對應邊相等列式計算，判斷即可．【詳解】解：（1）由題意得，則，當點位于線段的垂直平分線上時，，∴，解得，，則當時，點位于線段的垂直平分線上；（2）∵為的中點，，∴，∵，∴，∴，解得，，則當時，；（3）不存在，∵，∴，則解得，，，∴不存在某一時刻，使．【點睛】本題考查的是幾何動點運動問題、全等三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對應邊相等是解題的關鍵．5．小敏與同桌小穎在課下學習中遇到這樣一道數(shù)學題：“如圖（1），在等邊三角形中，點在上，點在的延長線上，且，試確定線段與的大小關系，并說明理由”．小敏與小穎討論后，進行了如下解答：（1）取特殊情況，探索討論：當點為的中點時，如圖（2），確定線段與的大小關系，請你寫出結(jié)論：_____（填“”，“”或“”），并說明理由．（2）特例啟發(fā)，解答題目：解：題目中，與的大小關系是：_____（填“”，“”或“”）．理由如下：如圖（3），過點作EF∥BC，交于點．（請你將剩余的解答過程完成）（3）拓展結(jié)論，設計新題：在等邊三角形中，點在直線上，點在直線上，且，若△的邊長為，，求的長（請你畫出圖形，并直接寫出結(jié)果）．解析：（1），理由詳見解析；（2），理由詳見解析；（3）3或1【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、三線合一的性質(zhì)證明即可；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，證明△≌△即可；（3）注意區(qū)分當點在的延長線上時和當點在的延長線上時兩種情況，不要遺漏．【詳解】解：（1），理由如下：，∵△是等邊三角形，，點為的中點，，，，，，；故答案為：；（2），理由如下：如圖3：∵△為等邊三角形，且EF∥BC，，，；；，，，在△與△中，，∴△≌△（AAS），，∴△為等邊三角形，，．（3）①如圖4，當點在的延長線上時，過點作EF∥BC，交的延長線于點：則，；，；∵△為等邊三角形，，，，；而，，；在△和△中，，∴△≌△（AAS），；∵△為等邊三角形，，，；②如圖5，當點在的延長線上時，過點作EF∥BC，交的延長線于點：類似上述解法，同理可證：，，．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，構(gòu)造合適的全等三角形是解題的關鍵．6．如圖，在中，，，點為內(nèi)一點，且．（1）求證：；（2）若，為延長線上的一點，且．①求的度數(shù)．②若點在上，且，請判斷、的數(shù)量關系，并說明理由．③若點為直線上一點，且為等腰，直接寫出的度數(shù)．解析：（1）證明見解析；（2）①；②，理由見解析；③7.5°或15°或82.5°或150°【解析】【分析】（1）利用線段的垂直平分線的性質(zhì)即可證明；（2）①利用SSS證得△ADC≌△BDC，可求得∠ACD=∠BCD=45°，∠CAD=∠CBD=15°，即可解題；②連接MC，易證△MCD為等邊三角形，即可證明△BDC≌△EMC即可解題；③分EN=EC、EN=CN、CE=CN三種情形討論，畫出圖形，利用等腰三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）∵CB=CA，DB=DA，∴CD垂直平分線段AB，∴CD⊥AB；（2）①在△ADC和△BDC中，，∴△ADC≌△BDC（SSS），∴∠ACD=∠BCD=∠BCA=45°，∠CAD=∠CBD=15°，∴∠BDC=180-45°-15°=120°；②結(jié)論：ME=BD，理由：連接MC，∵，，∴∠CAB=∠CBA=45°，∵∠CAD=∠CBD=15°，∴∠DBA=∠DAB=30°，∴∠BDE=30°+30°=60°，由①得∠BDC=120°，∴∠CDE=60°，∵DC=DM，∠CDE=60°，∴△MCD為等邊三角形，∴CM=CD，∵EC=CA=CB，∠DMC=60°，∴∠E=∠CAD=∠CBD=15°，∠EMC=120°，在△BDC和△EMC中，，∴△BDC≌△EMC（AAS），∴ME=BD；③當EN=EC時，∠=7.5°或∠==82.5°；當EN=CN時，∠==150°；當CE=CN時，點N與點A重合，∠CNE=15°，所以∠CNE的度數(shù)為7.5°或15°或82.5°或150°．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考壓軸題．7．已知，如圖1，直線l2⊥l1，垂足為A，點B在A點下方，點C在射線AM上，點B、C不與點A重合，點D在直線11上，點A的右側(cè)，過D作l3⊥l1，點E在直線l3上，點D的下方．（1）l2與l3的位置關系是；（2）如圖1，若CE平分∠BCD，且∠BCD＝70°，則∠CED＝°，∠ADC＝°；（3）如圖2，若CD⊥BD于D，作∠BCD的角平分線，交BD于F，交AD于G．試說明：∠DGF＝∠DFG；（4）如圖3，若∠DBE＝∠DEB，點C在射線AM上運動，∠BDC的角平分線交EB的延長線于點N，在點C的運動過程中，探索∠N:∠BCD的值是否變化，若變化，請說明理由；若不變化，請直接寫出比值．解析：（1）互相平行；（2）35，20；（3）見解析；（4）不變，【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（4）根據(jù)角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）直線l2⊥l1，l3⊥l1，∴l(xiāng)2∥l3，即l2與l3的位置關系是互相平行，故答案為：互相平行；（2）∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE＝BCD，∵∠BCD＝70°，∴∠DCE＝35°，∵l2∥l3，∴∠CED＝∠DCE＝35°，∵l2⊥l1，∴∠CAD＝90°，∴∠ADC＝90°﹣70°＝20°；故答案為：35，20；（3）∵CF平分∠BCD，∴∠BCF＝∠DCF，∵l2⊥l1，∴∠CAD＝90°，∴∠BCF+∠AGC＝90°，∵CD⊥BD，∴∠DCF+∠CFD＝90°，∴∠AGC＝∠CFD，∵∠AGC＝∠DGF，∴∠DGF＝∠DFG；（4）∠N:∠BCD的值不會變化，等于；理由如下：∵l2∥l3，∴∠BED＝∠EBH，∵∠DBE＝∠DEB，∴∠DBE＝∠EBH，∴∠DBH＝2∠DBE，∵∠BCD+∠BDC＝∠DBH，∴∠BCD+∠BDC＝2∠DBE，∵∠N+∠BDN＝∠DBE，∴∠BCD+∠BDC＝2∠N+2∠BDN，∵DN平分∠BDC，∴∠BDC＝2∠BDN，∴∠BCD＝2∠N，∴∠N:∠BCD＝．【點睛】本題考查了三角形的綜合題，三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，正確的識別圖形進行推理是解題的關鍵．8．已知：如圖1，直線，EF分別交AB，CD于E，F(xiàn)兩點，，的平分線相交于點K．（1）求的度數(shù)；（2）如圖2，，的平分線相交于點，問與的度數(shù)是否存在某種特定的等量關系？寫出結(jié)論并證明；（3）在圖2中作，的平分線相交于點，作，的平分線相交于點，依此類推，作，的平分線相交于點，請用含的n式子表示的度數(shù)．（直接寫出答案，不必寫解答過程）解析：（1）；（2），證明見解析；（3）【解析】【分析】（1）過作KG∥AB，交于，證出∥KG，得到，，根據(jù)角平分線的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)得到，即可得到答案；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，，根據(jù)求出，根據(jù)求出答案；（3）根據(jù)（2）得到規(guī)律解答即可.【詳解】（1）過作KG∥AB，交于，∵，∴∥KG，，，，分別為與的平分線，，，∵，，，，則；（2），理由為：，的平分線相交于點，，，，即，，，，；（3）由（2）知；同理可得=，∴.【點睛】此題考查平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；平行公理的推論：平行于同一直線的兩直線平行；角平分線的性質(zhì)；(3)是難點，注意總結(jié)前兩問的做題思路得到規(guī)律進行解答.9．如圖1．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，直線DE經(jīng)過點C，過點A，B分別作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足分別為點D和E，AD=8，BE=6．（1）①求證：△ADC≌△CEB；②求DE的長；（2）如圖2，點M以3個單位長度/秒的速度從點C出發(fā)沿著邊CA運動，到終點A，點N以8個單位長度/秒的速度從點B出發(fā)沿著線BC—CA運動，到終點A．M，N兩點同時出發(fā)，運動時間為t秒(t＞0)，當點N到達終點時，兩點同時停止運動，過點M作PM⊥DE于點P，過點N作QN⊥DE于點Q；①當點N在線段CA上時，用含有t的代數(shù)式表示線段CN的長度；②當t為何值時，點M與點N重合；③當△PCM與△QCN全等時，則t=．解析：（1）①證明見解析；②DE=14；（2）①8t－10；②t=2；③t=【解析】【分析】（1）①先證明∠DAC＝∠ECB，由AAS即可得出△ADC≌△CEB；②由全等三角形的性質(zhì)得出AD＝CE＝8，CD＝BE＝6，即可得出DE＝CD＋CE＝14；（2）①當點N在線段CA上時，根據(jù)CN＝CN?BC即可得出答案；②點M與點N重合時，CM＝CN，即3t＝8t?10，解得t＝2即可；③分兩種情況：當點N在線段BC上時，△PCM≌△QNC，則CM＝CN，得3t＝10?8t，解得t＝1011；當點N在線段CA上時，△PCM≌△QCN，則3t＝8t?10，解得t＝2；即可得出答案．【詳解】（1）①證明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠DAC＋∠DCA＝∠DCA＋∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）；②由①得：△ADC≌△CEB，∴AD＝CE＝8，CD＝BE＝6，∴DE＝CD＋CE＝6＋8＝14；（2）解：①當點N在線段CA上時，如圖3所示：CN＝CN?BC＝8t?10；②點M與點N重合時，CM＝CN，即3t＝8t?10，解得：t＝2，∴當t為2秒時，點M與點N重合；③分兩種情況：當點N在線段BC上時，△PCM≌△QNC，∴CM＝CN，∴3t＝10?8t，解得：t＝；當點N在線段CA上時，△PCM≌△QCN，點M與N重合，CM＝CN，則3t＝8t?10，解得：t＝2；綜上所述，當△PCM與△QCN全等時，則t等于s或2s，故答案為：s或2s．【點睛】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、分類討論等知識；本題綜合性強，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．10．（概念認識）如圖①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，則BD，BE叫做∠ABC的“三分線”．其中，BD是“鄰AB三分線”，BE是“鄰BC三分線”．（問題解決）（1）如圖②，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝45°，若∠B的三分線BD交AC于點D，則∠BDC＝°；（2）如圖③，在△ABC中，BP、CP分別是∠ABC鄰AB三分線和∠ACB鄰AC三分線，且BP⊥CP，求∠A的度數(shù)；（延伸推廣）（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分線所在的直線與∠ACD的三分線所在的直線交于點P．若∠A＝m°，∠B＝n°，直接寫出∠BPC的度數(shù)．（用含m、n的代數(shù)式表示）解析：（1）85或100；（2）45°；（3）m或m或m＋n或m－n或n－m【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得的三分線有兩種情況，畫圖根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得的度數(shù)；（2）根據(jù)、分別是鄰三分線和鄰三分線，且可得，進而可求的度數(shù)；（3）根據(jù)的三分線所在的直線與的三分線所在的直線交于點．分四種情況畫圖：情況一：如圖①，當和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時；情況二：如圖②，當和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時；情況三：如圖③，當和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時；情況四：如圖④，當和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時，再根據(jù)，，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：（1）如圖，當是“鄰三分線”時，；當是“鄰三分線”時，；故答案為：85或100；（2），，，又、分別是鄰三分線和鄰三分線，，，，，在中，．（3）分4種情況進行畫圖計算：情況一：如圖①，當和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時，；情況二：如圖②，當和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時，；情況三：如圖③，當和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時，；情況四：如圖④，當和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時，①當時，；②當時，．【點睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，解決本題的關鍵是掌握三角形的外角性質(zhì)．注意要分情況討論．11．在中，若存在一個內(nèi)角角度，是另外一個內(nèi)角角度的倍（為大于1的正整數(shù)），則稱為倍角三角形．例如，在中，，，，可知，所以為3倍角三角形．（1）在中，，，則為________倍角三角形；（2）若是3倍角三角形，且其中一個內(nèi)角的度數(shù)是另外一個內(nèi)角的余角的度數(shù)的，求的最小內(nèi)角．（3）若是2倍角三角形，且，請直接寫出的最小內(nèi)角的取值范圍．解析：（1）4；（2）的最小內(nèi)角為15°或9°或；（3）30°＜x＜45°．【解析】【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠C的度數(shù)，再根據(jù)倍角三角形的定義判斷即可得到答案；(2)根據(jù)△DEF是3倍角三角形，必定有一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角的3倍，然后根據(jù)這兩個角之間的關系，分情況進行解答即可得到答案；(3)可設未知數(shù)表示2倍角三角形的各個內(nèi)角，然后列不等式組確定最小內(nèi)角的取值范圍．【詳解】解：(1)∵在中，，，∴∠C=180°-55°-25°=100°，∴∠C=4∠B，故為4倍角三角形；(2)設其中一個內(nèi)角為x°，3倍角為3x°，則另外一個內(nèi)角為：①當小的內(nèi)角的度數(shù)是3倍內(nèi)角的余角的度數(shù)的時，即：x=（90°-3x），解得：x=15°，②3倍內(nèi)角的度數(shù)是小內(nèi)角的余角的度數(shù)的時，即：3x=（90°-x），解得：x=9°，③當時，解得：，此時：=，因此為最小內(nèi)角，因此，△DEF的最小內(nèi)角是9°或15°或．(3)設最小內(nèi)角為x，則2倍內(nèi)角為2x，第三個內(nèi)角為（180°-3x），由題意得：2x＜90°且180°-3x＜90°，∴30°＜x＜45°，答：△MNP的最小內(nèi)角的取值范圍是30°＜x＜45°．12．（1）問題發(fā)現(xiàn)．如圖1，和均為等邊三角形，點、、均在同一直線上，連接．①求證：．②求的度數(shù)．③線段、之間的數(shù)量關系為__________．（2）拓展探究．如圖2，和均為等腰直角三角形，，點、、在同一直線上，為中邊上的高，連接．①請判斷的度數(shù)為____________．②線段、、之間的數(shù)量關系為________．（直接寫出結(jié)論，不需證明）解析：（1）①詳見解析；②60°；③；（2）①90°；②【解析】【分析】（1）易證∠ACD＝∠BCE，即可求證△ACD≌△BCE，根據(jù)全等三角形對應邊相等可求得AD＝BE，根據(jù)全等三角形對應角相等即可求得∠AEB的大?。唬?）易證△ACD≌△BCE，可得∠ADC＝∠BEC，進而可以求得∠AEB＝90°，即可求得DM＝ME＝CM，即可解題．【詳解】解：（1）①證明：∵和均為等邊三角形，∴，，又∵，∴，∴．②∵為等邊三角形，∴．∵點、、在同一直線上，∴，又∵，∴，∴．③，∴．故填：；（2）①∵和均為等腰直角三角形，∴，，又∵，∴，∴，在和中，，∴，∴．∵點、、在同一直線上，∴，∴．②∵，∴．∵，，∴．又∵，∴，∴．故填：①90°；②．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等、對應角相等的性質(zhì)，本題中求證△ACD≌△BCE是解題的關鍵．13．閱讀并填空：如圖，是等腰三角形，，是邊延長線上的一點，在邊上且聯(lián)接交于，如果，那么，為什么？解：過點作交于所以（兩直線平行，同位角相等）（________）在與中所以，（________）所以（________）因為（已知）所以（________）所以（等量代換）所以（________）所以解析：見解析【解析】【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到角的關系，然后證明，寫出證明過程和依據(jù)即可．【詳解】解：過點作交于，∴（兩直線平行，同位角相等），∴（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），在與中，∴，（）∴（全等三角形對應邊相等）∵（已知）∴（等邊對等角）∴（等量代換）∴（等角對等邊）∴；【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關鍵是由平行線的性質(zhì)正確找到證明三角形全等的條件，從而進行證明.14．如圖所示，在平面直角坐標系中，已知點的坐標，過點作軸，垂足為點，過點作直線軸，點從點出發(fā)在軸上沿著軸的正方向運動．（1）當點運動到點處，過點作的垂線交直線于點，證明，并求此時點的坐標；（2）點是直線上的動點，問是否存在點，使得以為頂點的三角形和全等，若存在求點的坐標以及此時對應的點的坐標，若不存在，請說明理由．解析：（1）證明見解析；；（2）存在，，或，或，或，或，或，．【解析】【分析】（1）通過全等三角形的判定定理ASA證得△ABP≌△PCD，由全等三角形的對應邊相等證得AP＝DP，DC＝PB＝3，易得點D的坐標；（2）設P（a，0），Q（2，b）．需要分類討論：①AB＝PC，BP＝CQ；②AB＝CQ，BP＝PC．結(jié)合兩點間的距離公式列出方程組，通過解方程組求得a、b的值，得解．【詳解】（1）軸在和中，（2）設，①，，解得或，或，或，或，②，，，解得，或，綜上：，或，或，或，或，或，【點睛】考查了三角形綜合題．涉及到了全等三角形的判定與性質(zhì)，兩點間的距離公式，一元一次絕對值方程組的解法等知識點．解答（2）題時，由于沒有指明全等三角形的對應邊（角），所以需要分類討論，以防漏解．15．學習了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我們繼續(xù)對“兩個三角形滿足兩邊的其中一邊的對角對應相等”的情形進行研究．（初步思考）我們不妨將問題用符號語言表示為：在△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，然后，對∠B進行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進行探究．（深入探究）第一種情況：當∠B是直角時，△ABC≌△DEF．（1）如圖①，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，根據(jù)______，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二種情況：當∠B是鈍角時，△ABC≌△DEF．（2）如圖②，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是鈍角．求證：△ABC≌△DEF．第三種情況：當∠B是銳角時，△ABC和△DEF不一定全等．（3）在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是銳角．請你用直尺在圖③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等，并作簡要說明．解析：（1）HL；（2）見解析；（3）如圖②，見解析；△DEF就是所求作的三角形，△DEF和△ABC不全等．【解析】【分析】（1）根據(jù)直角三角形全等的方法“HL”證明；（2）過點C作CG⊥AB交AB的延長線于G，過點F作FH⊥DE交DE的延長線于H，根據(jù)等角的補角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角邊”證明△CBG和△FEH全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得CG=FH，再利用“HL”證明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角邊”證明△ABC和△DEF全等；（3）以點C為圓心，以AC長為半徑畫弧，與AB相交于點D，E與B重合，F(xiàn)與C重合，得到△DEF與△ABC不全等；（4）根據(jù)三種情況結(jié)論，∠B不小于∠A即可．【詳解】（1）在直角三角形中一條斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等運用的是HL．（2）證明：如圖①，分別過點C、F作對邊AB、DE上的高CG、FH，其中G、H為垂足．∵∠ABC、∠DEF都是鈍角∴G、H分別在AB、DE的延長線上．∵CG⊥AG，F(xiàn)H⊥DH，∴∠CGA＝∠FHD＝90°．∵∠CBG＝180°－∠ABC，∠FEH＝∠180°－∠DEF，∠ABC＝∠DEF，∴∠CBG＝∠FEH．在△BCG和△EFH中，∵∠CGB＝∠FHE，∠CBG＝∠FEH，BC＝EF，∴△BCG≌△EFH．∴CG＝FH．又∵AC＝DF．∴Rt△ACG≌△DFH．∴∠A＝∠D．在△ABC和△DEF中，∵∠ABC＝∠DEF，∠A＝∠D，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF．（3）如圖②，△DEF就是所求作的三角形，△DEF和△ABC不全等．【點睛】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，應用與設計作圖，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關鍵，閱讀量較大，審題要認真仔細．二、選擇題16．在數(shù)3，﹣3，，中，最小的數(shù)為（）A．﹣3 B． C． D．3解析：A【解析】【分析】有理數(shù)大小比較的法則：①正數(shù)都大于0；②負數(shù)都小于0；③正數(shù)大于一切負數(shù)；④兩個負數(shù)，絕對值大的其值反而小，據(jù)此判斷即可．【詳解】解：∵3＞＞＞﹣3，∴在數(shù)3，﹣3，，中，最小的數(shù)為﹣3．故選：A．【點睛】此題主要考查了有理數(shù)大小比較的方法，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①正數(shù)都大于0；②負數(shù)都小于0；③正數(shù)大于一切負數(shù)；④兩個負數(shù)，絕對值大的其值反而?。?7．如圖，實數(shù)﹣3、x、3、y在數(shù)軸上的對應點分別為M、N、P、Q，這四個數(shù)中絕對值最小的數(shù)對應的點是（）A．點M B．點N C．點P D．點Q解析：B【解析】【分析】【詳解】∵實數(shù)-3，x，3，y在數(shù)軸上的對應點分別為M、N、P、Q，∴原點在點P與N之間，∴這四個數(shù)中絕對值最小的數(shù)對應的點是點N．故選B．18．若，則（）A． B． C． D．解析：D【解析】【分析】根據(jù)選項進行一一排除即可得出正確答案.【詳解】解：A中、，可得，故A錯；B中、，可得出，故B錯；C中、，可得出，故C錯；D中、，交叉相乘得到，故D對.故答案為：D.【點睛】本題考查等式的性質(zhì)及比例的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關鍵.19．下列判斷正確的是（）A．有理數(shù)的絕對值一定是正數(shù)．B．如果兩個數(shù)的絕對值相等，那么這兩個數(shù)相等．C．如果一個數(shù)是正數(shù)，那么這個數(shù)的絕對值是它本身．D．如果一個數(shù)的絕對值是它本身，那么這個數(shù)是正數(shù)．解析：C【解析】試題解析：A∵0的絕對值是0，故本選項錯誤．B∵互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等，故本選項正確．C如果一個數(shù)是正數(shù)，那么這個數(shù)的絕對值是它本身．D∵0的絕對值是0，故本選項錯誤．故選C．20．下列每對數(shù)中，相等的一對是（）A．（﹣1）3和﹣13 B．﹣（﹣1）2和12 C．（﹣1）4和﹣14 D．﹣|﹣13|和﹣（﹣1）3解析：A【解析】【分析】根據(jù)乘方和絕對值的性質(zhì)對各個選項進行判斷即可.【詳解】A.(﹣1)3＝﹣1=﹣13，相等；B.﹣(﹣1)2＝﹣1≠12＝1，不相等；C.(﹣1)4＝1≠﹣14＝﹣1，不相等；D.﹣|﹣13|＝﹣1≠﹣(﹣1)3＝1，不相等.故選A.21．-2的倒數(shù)是（）A．-2 B． C． D．2解析：B【解析】【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義求解.【詳解】-2的倒數(shù)是-故選B【點睛】本題難度較低，主要考查學生對倒數(shù)相反數(shù)等知識點的掌握22．底面半徑為,高為的圓柱的體積為,單項式的系數(shù)和次數(shù)分別是（）A．， B．， C．， D．，解析：A【解析】【分析】由題意根據(jù)單項式系數(shù)和次數(shù)的確定方法即可求出答案得到選項．【詳解】解：單項式的系數(shù)和次數(shù)分別是，；故選：A．【點睛】本題考查單項式定義，解題的關鍵是理解單項式系數(shù)和次數(shù)的確定方法，本題屬于基礎題型．23．計算的結(jié)果是（）A．-8 B．8 C．2 D．-2解析：C【解析】【分析】根據(jù)有理數(shù)加法法則計算即可得答案.【詳解】=-=2故選：C.【點睛】本題考查有理數(shù)加法，同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0；一個數(shù)與0相加，仍得這個數(shù)；熟練掌握有理數(shù)加法法則是解題關鍵.24．如圖，數(shù)軸的單位長度為1，點A、B表示的數(shù)互為相反數(shù)，若數(shù)軸上有一點C到點B的距離為2個單位，則點C表示的數(shù)是（）A．-1或2 B．-1或5 C．1或2 D．1或5解析：D【解析】【分析】如圖，根據(jù)點A、B表示的數(shù)互為相反數(shù)可確定原點，即可得出點B表示的數(shù)，根據(jù)兩點間的距離公式即可得答案.【詳解】如圖，設點C表示的數(shù)為m，∵點A、B表示的數(shù)互為相反數(shù)，∴AB的中點O為原點，∴點B表示的數(shù)為3，∵點C到點B的距離為2個單位，∴=2，∴3-m=±2，解得：m=1或m=5，∴m的值為1或5，故選：D.【點睛】本題考查了數(shù)軸，熟練掌握數(shù)軸上兩點間的距離公式是解題關鍵.25．一張普