福建省龍巖二中2026屆高二上數(shù)學期末達標檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知橢圓的離心率為.雙曲線的漸近線與橢圓有四個交點，以這四個焦點為頂點的四邊形的面積為16，則橢圓的方程為A. B.C. D.2．定義運算：．已知，都是銳角，且，，則（）A. B.C. D.3．已知五個數(shù)據3，4，x，6，7的平均數(shù)是x，則該樣本標準差為（）A.1 B.C. D.24．已知是邊長為6的等邊所在平面外一點，，當三棱錐的體積最大時，三棱錐外接球的表面積為（）A. B.C. D.5．在各項均為正數(shù)等比數(shù)列中，若成等差數(shù)列，則=（）A. B.C. D.6．閱讀如圖所示程序框圖，運行相應的程序，輸出的S的值等于（）A.2 B.6C.14 D.307．已知空間向量，，若，則實數(shù)的值是（）A. B.0C.1 D.28．不等式的解集是（）A. B.C.或 D.或9．已知橢圓的左、右焦點分別為，點是橢圓上的一點，點是線段的中點，為坐標原點，若，則（）A.3 B.4C.6 D.1110．橢圓的左右兩焦點分別為，，過垂直于x軸的直線交C于A，B兩點，，則橢圓C的離心率是（）A. B.C. D.11．若，則下列正確的是（）A. B.C. D.12．已知{}為等比數(shù)列.，則＝（）A.—4 B.4C.—4或4 D.16二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．牛頓迭代法又稱牛頓－拉夫遜方法，它是牛頓在17世紀提出的一種在實數(shù)集上近似求解方程根的一種方法．具體步驟如下：設r是函數(shù)y＝f(x)的一個零點，任意選取x0作為r的初始近似值，作曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線l1，設l1與x軸交點的橫坐標為x1，并稱x1為r的1次近似值；作曲線y＝f(x)在點(x1，f(x1))處的切線l2，設l2與x軸交點的橫坐標為x2，并稱x2為r的2次近似值．一般的，作曲線y＝f(x)在點(xn，f(xn))(n∈N)處的切線ln＋1，記ln＋1與x軸交點的橫坐標為xn＋1，并稱xn＋1為r的n＋1次近似值．設f(x)＝x3＋x－1的零點為r，取x0＝0，則r的2次近似值為________14．函數(shù)在上的最大值為______________15．有一組數(shù)據，其平均數(shù)為3，方差為2，則新的數(shù)據的方差為________.16．已知點，圓：.若過點的圓的切線只有一條，求這條切線方程____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值；（2）是否存在實數(shù)，，，對任意的正數(shù)，都有成立？若存在，求出，，的所有值；若不存在，請說明理由.18．（12分）在下列所給的三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并加以解答①過（－1，2）；②與直線平行；③與直線垂直問題：已知直線過點M（3，5），且______（1）求的方程；（2）若與圓相交于點A、B，求弦AB的長19．（12分）已知某學校的初中、高中年級的在校學生人數(shù)之比為9：11，該校為了解學生的課下做作業(yè)時間，用分層抽樣的方法在初中、高中年級的在校學生中共抽取了100名學生，調查了他們課下做作業(yè)的時間，并根據調查結果繪制了如下頻率分布直方圖：（1）在抽取的100名學生中，初中、高中年級各抽取的人數(shù)是多少？（2）根據頻率分布直方圖，估計學生做作業(yè)時間的中位數(shù)和平均時長（同一組中的數(shù)據用該組區(qū)間的中點值作代表）；（3）另據調查，這100人中做作業(yè)時間超過4小時的人中2人來自初中年級，3人來自高中年級，從中任選2人，恰好1人來自初中年級，1人來自高中年級的概率是多少20．（12分）已知橢圓的離心率為，橢圓過點.（1）求橢圓C的方程；（2）過點的直線交橢圓于M、N兩點，已知直線MA，NA分別交直線于點P，Q，求的值.21．（12分）在△ABC中，(1)求B的大??；(2)求cosA＋cosC的最大值22．（10分）某工廠為了對新研發(fā)的一種產品進行合理定價，將該產品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數(shù)據：單價x（元）88.28.48.68.89銷量y（件）908483807568（1）求回歸直線方程中的實數(shù)；（2）根據回歸方程預測當單價為10元時的銷量.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由題意，雙曲線的漸近線方程為，∵以這四個交點為頂點的四邊形為正方形，其面積為16，故邊長為4，∴（2，2）在橢圓C：上，∴，∵，∴，∴，∴∴橢圓方程為：.故選D.考點：橢圓的標準方程及幾何性質；雙曲線的幾何性質.2、B【解析】，只需求出與的正、余弦值即可，用平方關系時注意角的范圍.【詳解】解：因為，都是銳角，所以，，因為，所以，即，，所以，，因為，所有，故選：B.【點睛】信息給予題，已知三角函數(shù)值求三角函數(shù)值，考查根據三角函數(shù)的恒等變換求值，基礎題.3、B【解析】先求出的值，然后利用標準差公式求解即可【詳解】解：因為五個數(shù)據3，4，x，6，7的平均數(shù)是x，所以，解得，所以標準差，故選：B4、C【解析】由題意分析可得，當時三棱錐的體積最大，然后作圖，將三棱錐還原成正三棱柱，按照正三棱柱外接球半徑的計算方法來計算，即可計算出球半徑，從而完成求解.【詳解】由題意可知，當三棱錐的體積最大時是時，為正三角形，如圖所示，將三棱錐補成正三棱柱，該正三棱柱的外接球就是三棱錐的外接球，而正三棱柱的外接球球心落在上下底面外接圓圓心連線的中點上，設外接圓半徑為，三棱錐外接球半徑為，由正弦定理可得：，所以，，所以三棱錐外接球的表面積為.故選：C.5、A【解析】利用等差中項的定義以及等比數(shù)列的通項公式即可求解.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，∵成等差數(shù)列，∴，即，解得或（舍去），∴，故選：.6、C【解析】模擬運行程序，直到得出輸出的S的值.【詳解】運行程序框圖，，，；，，；，，；，輸出.故選：C7、C【解析】根據空間向量垂直的性質進行求解即可.【詳解】因為，所以，因此有.故選：C8、A【解析】確定對應二次方程的解，根據三個二次的關系寫出不等式的解集【詳解】，即為，故選：A9、A【解析】利用橢圓的定義可得，再結合條件即求.【詳解】由橢圓的定義可知，因為，所以，因為點分別是線段，的中點，所以是的中位線，所以.故選：A.10、C【解析】由題可得為等邊三角形，可得，即得.【詳解】∵過垂直于x軸的直線交橢圓C于A，B兩點，，∴為等邊三角形，由代入，可得，∴，所以，即，又，解得.故選：C.11、D【解析】根據不等式性質并結合反例，即可判斷命題真假.【詳解】對于選項A：若，則，由題意，，不妨令，，則此時，這與結論矛盾，故A錯誤；對于選項B：當時，若，則，故B錯誤；對于選項C：由，不妨令，，則此時，故C錯誤；對于選項D：由不等式性質，可知D正確.故選：D.12、B【解析】根據題意先求出公比，進而用等比數(shù)列通項公式求得答案.【詳解】由題意，設公比為q，則，則.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】利用導數(shù)的幾何意義根據r的2次近似值的定義求解即可【詳解】由，得，取，，所以過點作曲線的切線的斜率為1，所以直線的方程為，其與軸交點的橫坐標為1，即，因為，所以過點作曲線的切線的斜率為4，所以直線的方程為，其與軸交點的橫坐標為，即，故答案為：14、【解析】對原函數(shù)求導得，令，解得或，且所以原函數(shù)在上的最大值為考點：1．函數(shù)求導；2．利用導函數(shù)求最值15、2【解析】由已知得，，然后計算的平均數(shù)和方差可得答案.【詳解】由已知得，，所以，.故答案為：2.16、或【解析】由題設知A在圓上，代入圓的方程求出參數(shù)a，結合切線的性質及點斜式求切線方程.【詳解】因為過的圓的切線只有一條，則在圓上，所以，則，且切線斜率，即，所以切線方程或，整理得或.故答案為：或.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）極小值為：，無極大值（2），，【解析】（1）先求導求單調性，再判斷極值點求極值即可；（2）易知，只需要為函數(shù)和的公切線即可，求出公切線，代入后分別證明和成立即可.【小問1詳解】由題意知：，令，解得，令，解得，所以函數(shù)在單調遞增，在單調遞減，所以為函數(shù)的極小值點，即極小值為：，無極大值.【小問2詳解】設，易知，所以點是和的公共點，要使成立，只需要為函數(shù)和的公切線即可，由（1）知，，所以在點處的切線為：，同理可得在點處的切線為：，由題意知為同一條直線，所以解得，即等價于；下面證明這個式子成立：首先證明等價于，設，所以，恒成立，所以單調遞增，易知，所以當時，，當時，，所以在單調遞減，在單調遞增，所以，故不等式成立，即成立；再證明：等價于，設，所以，所以當時，，當時，，所以在單調遞增，在單調遞減，所以，故不等式成立，即成立；綜上所述，存在，，使得成立.故：，，.【點睛】函數(shù)的單調性是函數(shù)的重要性質之一，它的應用貫穿于整個高中數(shù)學的教學之中.某些數(shù)學問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調性無關，但如果我們能挖掘其內在聯(lián)系，抓住其本質，那么運用函數(shù)的單調性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數(shù)的單調性進行全面、準確的認識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據題目的特點，構造一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.18、（1）（2）【解析】(1)可依次根據直線方程的點斜式、“兩直線平行，斜率相等”、“兩直線垂直，斜率相乘為－1”求直線l的方程；(2)利用垂徑定理即可求圓的弦長.【小問1詳解】選條件①：∵直線過點(3，5)及(－1，2)，∴直線的斜率為，依題意，直線的方程為，即；選條件②：∵直線的斜率為，直線與直線平行，∴直線的斜率為，依題意，直線的方程為；即；選條件③：∵直線的斜率為，直線與直線垂直，∴直線的斜率為，依題意，直線的方程為，即；【小問2詳解】圓心為(2，3)，半徑為2，圓心到直線的距離為∴19、（1）初中、高中年級所抽取人數(shù)分別為45、55（2）2.375小時，2.4小時（3）【解析】（1）依據分層抽樣的原則列方程即可解決；（2）依據頻率分布直方圖計算學生做作業(yè)時間的中位數(shù)和平均時長即可；（3）依據古典概型即可求得恰好1人來自初中年級，1人來自高中年級的概率.【小問1詳解】設初中、高中年級所抽取人數(shù)分別為x、y，由已知可得，解得；【小問2詳解】的頻率為，的頻率為，的頻率為因為，，所以中位數(shù)在區(qū)間上，設為x，則，解得，所以學生做作業(yè)時間的中位數(shù)為2.375小時；平均時長為小時.故估計學生做作業(yè)時間的中位數(shù)為2.375小時，平均時長為2.4小時【小問3詳解】2人來自初中年級，記為，，3人來自高中年級，記為，，，則從中任選2人，所有可能結果有：，，，，，，，，，共10種，其中恰好1人來自初中年級，1人來自高中年級有6種可能，所以恰好1人來自初中年級，1人來自高中年級的概率為20、（1）（2）1【解析】（1）由題意得到關于a，b的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程；（2）首先聯(lián)立直線與橢圓的方程，然后由直線MA，NA的方程確定點P，Q的縱坐標，將線段長度的比值轉化為縱坐標比值的問題，進一步結合韋達定理可證得，從而可得兩線段長度的比值.【小問1詳解】由題意，點橢圓上，有，解得故橢圓C的方程為.【小問2詳解】當直線l的斜率不存在時，顯然不符；當直線l的斜率存在時，設直線l為：聯(lián)立方程得：由，設，有又由直線AM：，令x=-4得，將代入得：，同理得：.很明顯，且，注意到，，而，故所以.【點睛】本題考查求橢圓的方程，解題關鍵是利用離心率與橢圓上的點，找到關于a，b，c的等量關系求解a與b．本題中直線方程代入橢圓方程整理后應用韋達定理求出，．表示出