高中廣州市天河外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2025學(xué)年第一學(xué)期期中考試高一年級(jí)數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分鐘；命題人：高一備課組注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回.第I卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1已知集合，則（）A. B. C. D.2.設(shè)，則“”是“”的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3.計(jì)算（）A. B. C. D.4.設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=，則當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=A. B.C. D.5.關(guān)于x的不等式的解集為，且：，則a=（）A. B. C. D.6.已知不等式對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為（）A.2 B.4 C.6 D.87.已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，若實(shí)數(shù)a滿足，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)，，若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，與至少有一個(gè)為正數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.下列命題為真命題的是（）A. B.是必要不充分條件C.集合與集合表示同一集合 D.設(shè)全集為R，若，則10.若實(shí)數(shù)，，滿足，以下選項(xiàng)中正確有（）A.的最小值為B.的最小值為C.的最小值為D.的最小值為11.定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則有()A.奇函數(shù) B.存在非零實(shí)數(shù)a，b，使得C.為增函數(shù) D.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)是偶函數(shù)，則______.13.已知函數(shù)，則不等式的解集為______.14.設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的，存使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_________；若對(duì)任意的，存在使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_________．四、解答題：本題共5小題，共7分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知集合，或．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．16.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，-6），方程的解集是.（1）求的解析式；（2）若，求在上的最值.17.設(shè)．（1）若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）在（1）的條件下，求的最小值；（3）解關(guān)于不等式．18.如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，直線將分成兩部分，記左側(cè)部分的多邊形為.設(shè)各邊長(zhǎng)的平方和為，各邊長(zhǎng)的倒數(shù)和為.（Ⅰ）分別求函數(shù)和的解析式；（Ⅱ）是否存在區(qū)間，使得函數(shù)和在該區(qū)間上均單調(diào)遞減？若存在，求的最大值；若不存在，說(shuō)明理由.19.已知函數(shù)，其中，是非空數(shù)集且.設(shè)，.（1）若，，求；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得，且？若存在，求出所有滿足條件的；若不存在，說(shuō)明理由；（3）若且，，單調(diào)遞增，求集合，.

廣州市天河外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2025學(xué)年第一學(xué)期期中考試高一年級(jí)數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分鐘；命題人：高一備課組注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回.第I卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由集合的定義求出，結(jié)合交集與補(bǔ)集運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，則，故選：D2.設(shè)，則“”是“”的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】分別求出兩不等式的解集，根據(jù)兩解集的包含關(guān)系確定.【詳解】化簡(jiǎn)不等式，可知推不出；由能推出，故“”是“”的必要不充分條件，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件，解題關(guān)鍵是化簡(jiǎn)不等式，由集合的關(guān)系來(lái)判斷條件．3.計(jì)算（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】根據(jù)指數(shù)冪運(yùn)算法則直接求解即可.【詳解】.故選：D.4.設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=，則當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先把x<0，轉(zhuǎn)化為-x>0,代入可得，結(jié)合奇偶性可得.【詳解】是奇函數(shù)，時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，，得．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的奇偶性和解析式，滲透了數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取代換法，利用轉(zhuǎn)化與化歸的思想解題．5.關(guān)于x的不等式的解集為，且：，則a=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】因?yàn)殛P(guān)于x的不等式的解集為，所以，又，所以，解得，因?yàn)?，所?

故選：A.6.已知不等式對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】由，然后利用基本不等式求最小值，利用最小值大于等于9，建立不等式，解之即可.【詳解】由已知可得若題中不等式恒成立，則只要的最小值大于等于9即可，，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，，或舍去，即所以正實(shí)數(shù)a的最小值為4.故選：B.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方，這時(shí)改用勾型函數(shù)的單調(diào)性求最值.7.已知f（x）是定義在R上偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，若實(shí)數(shù)a滿足，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，得到f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，然后根據(jù)，得到求解.【詳解】因?yàn)閒（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，所以，解得，所以a的取值范圍是，故選：C8.已知函數(shù)，，若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，與至少有一個(gè)為正數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】當(dāng)時(shí)，若x接近時(shí)，函數(shù)與均為負(fù)值，顯然不成立，當(dāng)時(shí)，因當(dāng)時(shí)，若即時(shí)，結(jié)論顯然成立．若時(shí)只要即，綜上所述，故選：B考點(diǎn)：1、一元二次不等式的應(yīng)用；2二次函數(shù)圖像．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查的是二次函數(shù)與一元二次不等式的應(yīng)用，屬于難題題，當(dāng)時(shí)，顯然不成立；當(dāng)時(shí)，因?yàn)樗詢H對(duì)對(duì)稱軸進(jìn)行分類討論即可．二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.下列命題為真命題的是（）A. B.是的必要不充分條件C.集合與集合表示同一集合 D.設(shè)全集為R，若，則【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)四個(gè)選項(xiàng)依次分析判斷其真?zhèn)?【詳解】A項(xiàng)是特稱命題，是真命題，故正確；B項(xiàng)中推不出，反之若可以得到，是必要不充分條件，故正確；C項(xiàng)中第一個(gè)集合是點(diǎn)集，第二個(gè)集合是數(shù)集，這兩個(gè)集合不可能是同一個(gè)集合，故不正確；D項(xiàng)中若A是B的子集，由韋恩圖可知B的補(bǔ)集是A的補(bǔ)集的子集，故正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】本題考查了特稱命題、充分條件和必要條件、集合的類型、集合的運(yùn)算及集合間的關(guān)系，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，屬于新高考多選題型，解題時(shí)需要逐一判斷，要對(duì)每個(gè)選項(xiàng)準(zhǔn)確判斷，具有一定的難度.10.若實(shí)數(shù)，，滿足，以下選項(xiàng)中正確的有（）A.的最小值為B.的最小值為C.的最小值為D.的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】直接利用均值不等式判斷A；根據(jù)“1”的代換的方法判斷B；整理為，利用“1”的代換的方法判斷C；對(duì)作平方處理，結(jié)合均值不等式判斷D.【詳解】實(shí)數(shù)，，，整理得，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)即m=2?2，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選項(xiàng)C正確；，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選項(xiàng)D正確，故選：BCD11.定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則有()A.為奇函數(shù) B.存在非零實(shí)數(shù)a，b，使得C.為增函數(shù) D.【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)于A，對(duì)適當(dāng)賦值即可判斷；對(duì)于B，利用奇偶性和單調(diào)性轉(zhuǎn)化為方程有解的問(wèn)題進(jìn)行判斷；對(duì)于C，利用定義法進(jìn)行判斷；對(duì)于D，利用賦值法和單調(diào)性判斷.【詳解】令，得，所以；令，得，故，為奇函數(shù)，故A正確;任取，則，因?yàn)?，故，，，故為增函?shù)，所以C正確；，所以D錯(cuò)誤；，所以，則，，當(dāng)，，所以存在，使得，所以B正確.故選：ABC.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)是偶函數(shù)，則______.【答案】1【解析】【分析】利用偶函數(shù)的定義可求參數(shù)的值.【詳解】因?yàn)?，故，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，故，時(shí)，整理得到，故，故答案為：113.已知函數(shù)，則不等式的解集為______.【答案】【解析】【分析】確定給定函數(shù)的單調(diào)性，再借助單調(diào)性脫去法則，進(jìn)而求解不等式得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，因此函數(shù)在R上是增函數(shù)，不等式，即，解得，所以原不等式的解集為.故答案：14.設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的，存使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_________；若對(duì)任意的，存在使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_________．【答案】①.；②.【解析】【分析】空1：分析得知要使得對(duì)任意的，存在使得，則，結(jié)合單調(diào)性分析求解a的取值范圍；空2：要使得對(duì)任意的，存在使得，得到在上值域是在上值域的子集，利用單調(diào)性與集合的包含關(guān)系可求出a的取值范圍．【詳解】空1：因?yàn)槔煤瘮?shù)圖像性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增于是在處取得最小值，即因?yàn)?，注意到，則在上單調(diào)遞增于是在處取得最小值，即由題意可得：，即得空2：由上述分析可知：在處取得最大值，即于是當(dāng)時(shí)，的值域在處取得最大值，即于是當(dāng)時(shí)，的值域要使得對(duì)任意的，存在使得根據(jù)與的連續(xù)性可知成立則，解得故答案為：；．四、解答題：本題共5小題，共7分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知集合，或．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）先求出集合，再求；（2）先求出，用集合法分類討論，列不等式，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，.因?yàn)榛?，所以或；?）因或，所以.因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件，所以A.當(dāng)時(shí)，符合題意，此時(shí)有，解得：a<0.當(dāng)時(shí)，要使A，只需，解得：綜上：a<1.即實(shí)數(shù)的取值范圍.16.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，-6），方程的解集是.（1）求的解析式；（2）若，求在上的最值.【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)出二次函數(shù)兩根式，將點(diǎn)代入，由此求得解析式.（2）首先求得解析式，求得的對(duì)稱軸，根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論，由此求得在區(qū)間上的最值.【詳解】（1）因?yàn)槭嵌魏瘮?shù)，且方程的解集是，所以可設(shè).因?yàn)榈膱D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，即.故.（2）因?yàn)椋?，則的圖象的對(duì)稱軸為.根據(jù)二次函數(shù)圖像與性質(zhì)可知：當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，.【點(diǎn)睛】本小題主要考查二次函數(shù)解析式的求法，考查含有參數(shù)的二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值的求法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.17.設(shè)．（1）若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）在（1）的條件下，求的最小值；（3）解關(guān)于的不等式．【答案】（1）（2）（3）答案見解析【解析】【分析】（1）將不等式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)恒成立形式，再根據(jù)是否為零分類討論，并結(jié)合判別式即可得解．（2）對(duì)分式代數(shù)式變形，利用基本不等式求最小值即可．（3）將不等式因式分解后，對(duì)參數(shù)分多種情況討論，逐一求解集即可．【小問(wèn)1詳解】由已知得對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，即對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立．當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，則，解得．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．故的最小值為．【小問(wèn)3詳解】由已知，當(dāng)時(shí)，，解集為；當(dāng)時(shí)，方程的兩個(gè)根為，解集為；當(dāng)時(shí)，對(duì)方程，①當(dāng)，即時(shí)，解集為，②當(dāng)，方程兩個(gè)根，即時(shí)，解集為，③當(dāng)，方程的兩個(gè)根，即時(shí)，解集為．綜上所述，時(shí)，解集為；時(shí)，解集為；時(shí)，解集為；時(shí)，解集為；時(shí)，解集為．18.如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，直線將分成兩部分，記左側(cè)部分的多邊形為.設(shè)各邊長(zhǎng)的平方和為，各邊長(zhǎng)的倒數(shù)和為.（Ⅰ）分別求函數(shù)和的解析式；（Ⅱ）是否存在區(qū)間，使得函數(shù)和在該區(qū)間上均單調(diào)遞減？若存在，求的最大值；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（Ⅰ），，（Ⅱ）存在，的最大值為.【解析】【分析】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，多邊形是三角形，三邊長(zhǎng)分別為，，，當(dāng)時(shí)，多邊形是四邊形，各邊長(zhǎng)為，，，，由此分別求出和的解析式即可.（Ⅱ）由的解析式可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，再通過(guò)定義法說(shuō)明在區(qū)間上單調(diào)遞減，故存在，由此可求的最大值.【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，多邊形是三角形（如圖①），三邊長(zhǎng)分別為，，，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，多邊形是四邊形（如圖②），各邊長(zhǎng)為，，，，此時(shí)，，