一、課程引入：從分?jǐn)?shù)到分式的自然延伸演講人CONTENTS課程引入：從分?jǐn)?shù)到分式的自然延伸分式乘法的算理推導(dǎo)：從特殊到一般的歸納分式除法的算理推導(dǎo)：逆運算與倒數(shù)的關(guān)聯(lián)算理應(yīng)用：典型例題與思維提升總結(jié)與升華：分式乘除的算理本質(zhì)與學(xué)習(xí)價值目錄2025八年級數(shù)學(xué)下冊分式的乘除運算的算理推導(dǎo)課件01課程引入：從分?jǐn)?shù)到分式的自然延伸課程引入：從分?jǐn)?shù)到分式的自然延伸作為一線數(shù)學(xué)教師，我常思考：如何讓學(xué)生在分式運算中“知其然更知其所以然”？八年級學(xué)生已熟練掌握分?jǐn)?shù)的乘除運算，而分式是分?jǐn)?shù)的代數(shù)化延伸，二者算理本質(zhì)相通。今天，我們將沿著“分?jǐn)?shù)經(jīng)驗—分式猜想—符號驗證—法則形成”的路徑，揭開分式乘除運算的底層邏輯。1知識回顧：分?jǐn)?shù)乘除的運算經(jīng)驗先請同學(xué)們快速計算兩組分?jǐn)?shù)題：（1）$\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}=?$；（2）$\frac{6}{7}\div\frac{3}{4}=?$大家的答案一致：（1）$\frac{8}{15}$；（2）$\frac{24}{21}=\frac{8}{7}$。追問：你們依據(jù)什么法則計算？學(xué)生總結(jié)：分?jǐn)?shù)相乘，分子乘分子，分母乘分母；分?jǐn)?shù)相除，等于乘除數(shù)的倒數(shù)。再問：為什么可以這樣算？以第一題為例，$\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}$表示“2/3的4/5是多少”，用面積模型理解：將單位1平均分成3×5=15份，取2×4=8份，結(jié)果自然是$\frac{8}{15}$。這說明分?jǐn)?shù)乘除的算理，本質(zhì)是“部分與整體的數(shù)量關(guān)系”在運算中的具體化。2問題驅(qū)動：分式乘除的現(xiàn)實需求生活中，我們會遇到更復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系。例如：①一輛汽車行駛$a$千米消耗$b$升汽油，那么行駛$c$千米消耗多少升汽油？②某工程隊$m$天完成$n$米管道鋪設(shè)，照此效率，完成$p$米需要多少天？這些問題的解決需要分式的乘除運算（①的答案是$\frac{ac}$升，②的答案是$\frac{pm}{n}$天）?？梢?，分式乘除是解決實際問題的工具，而其運算規(guī)則必須與分?jǐn)?shù)乘除的邏輯一致——這正是我們今天要推導(dǎo)的核心。02分式乘法的算理推導(dǎo)：從特殊到一般的歸納分式乘法的算理推導(dǎo)：從特殊到一般的歸納分式乘法的法則看似簡單（分子乘分子，分母乘分母），但要讓學(xué)生真正理解，必須經(jīng)歷“具體實例觀察—符號語言抽象—邏輯驗證”的完整過程。1具體實例的觀察與猜想先看三組分式乘法的“數(shù)值型”例子（分母均不為0）：例1：$\frac{2}{x}\times\frac{3}{y}=?$（$x,y\neq0$）例2：$\frac{a}{4}\times\frac{5}=?$（$a,b\neq0$）例3：$\frac{m+n}{2}\times\frac{3}{m-n}=?$（$m\neqn$）請同學(xué)們嘗試計算，并類比分?jǐn)?shù)乘法寫出結(jié)果：例1結(jié)果為$\frac{6}{xy}$，例2為$\frac{5a}{4b}$，例3為$\frac{3(m+n)}{2(m-n)}$。1具體實例的觀察與猜想引導(dǎo)觀察：分子部分是原分子的乘積（2×3=6，a×5=5a，(m+n)×3=3(m+n)），分母部分是原分母的乘積（x×y=xy，4×b=4b，2×(m-n)=2(m-n)）。提出猜想：分式相乘時，分子的乘積作為新分子，分母的乘積作為新分母，即$\frac{A}{B}\times\frac{C}{D}=\frac{AC}{BD}$（$B,D\neq0$）。2符號語言的抽象與驗證猜想是否正確？需用代數(shù)方法驗證。設(shè)分式$\frac{A}{B}$（$B\neq0$）表示$A\divB$，$\frac{C}{D}$（$D\neq0$）表示$C\divD$。根據(jù)乘法定義，$\frac{A}{B}\times\frac{C}{D}$等價于$(A\divB)\times(C\divD)$。根據(jù)乘除運算的交換律和結(jié)合律，$(A\timesC)\div(B\timesD)$，即$\frac{AC}{BD}$（$B,D\neq0$）。這說明，分式乘法的本質(zhì)是“分子整體與分母整體的乘除運算重組”，與分?jǐn)?shù)乘法的底層邏輯完全一致——都是將“部分量的倍數(shù)關(guān)系”轉(zhuǎn)化為“整體量的乘積關(guān)系”。3法則表述與注意事項通過上述推導(dǎo)，我們可以正式總結(jié)分式乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母，即$\frac{A}{B}\times\frac{C}{D}=\frac{AC}{BD}$（其中$B,D\neq0$，且最終結(jié)果需化為最簡分式）。教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生易忽略兩點：①分母不能為0的隱含條件（如例3中$m\neqn$）；②運算前先約分可簡化計算（如$\frac{4}{x}\times\frac{x}{8}=\frac{4x}{8x}=\frac{1}{2}$，可先約去$x$和公因數(shù)4）。03分式除法的算理推導(dǎo)：逆運算與倒數(shù)的關(guān)聯(lián)分式除法的算理推導(dǎo)：逆運算與倒數(shù)的關(guān)聯(lián)分式除法是乘法的逆運算，其算理可通過“除法的意義”和“倒數(shù)的轉(zhuǎn)化”雙重路徑推導(dǎo)。1從除法的意義理解分式除法回憶分?jǐn)?shù)除法的意義：$\frac{a}\div\frac{c}wjraenl$表示“已知兩個因數(shù)的積是$\frac{a}$，其中一個因數(shù)是$\frac{c}qpsqfsq$，求另一個因數(shù)”。設(shè)所求因數(shù)為$x$，則$\frac{c}tuueurw\timesx=\frac{a}$。根據(jù)分式乘法法則，$\frac{cx}mhzkiff=\frac{a}$，解得$x=\frac{a}\times\fracrtoccgx{c}=\frac{ad}{bc}$。這說明，分式除法的結(jié)果等于被除數(shù)乘除數(shù)的倒數(shù)，即$\frac{A}{B}\div\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\times\frac{D}{C}=\frac{AD}{BC}$（$B,C,D\neq0$）。2從倒數(shù)的轉(zhuǎn)化驗證算理另一種思路：分式$\frac{C}{D}$的倒數(shù)是$\frac{D}{C}$（因為$\frac{C}{D}\times\frac{D}{C}=1$）。根據(jù)“除以一個數(shù)等于乘它的倒數(shù)”的基本運算規(guī)則（這一規(guī)則在有理數(shù)運算中已驗證），分式除法自然可以轉(zhuǎn)化為乘法。例如：$\frac{2}{x}\div\frac{3}{y}=\frac{2}{x}\times\frac{y}{3}=\frac{2y}{3x}$（$x,y\neq0$），與直接計算“$(\frac{2}{x})\div(\frac{3}{y})=(2\divx)\div(3\divy)=2\divx\timesy\div3=\frac{2y}{3x}$”結(jié)果一致。3法則表述與易錯點提醒分式除法法則可總結(jié)為：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘，即$\frac{A}{B}\div\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\times\frac{D}{C}=\frac{AD}{BC}$（其中$B,C,D\neq0$，結(jié)果需化簡）。學(xué)生常見錯誤：①忘記顛倒除式的分子分母（如將$\frac{a}\div\frac{c}vcnpzhc$錯誤算成$\frac{a}\times\frac{c}qwotnti$）；②忽略除式分母為0的條件（如$\frac{1}{x}\div\frac{x}{2}$中$x\neq0$）；③未約分直接計算（如$\frac{6}{x^2}\div\frac{3}{x}=\frac{6}{x^2}\times\frac{x}{3}=\frac{6x}{3x^2}=\frac{2}{x}$，可先約去6和3、$x^2$和$x$）。04算理應(yīng)用：典型例題與思維提升算理應(yīng)用：典型例題與思維提升為鞏固算理，我們通過例題強化“先理解規(guī)則，再應(yīng)用規(guī)則”的思維習(xí)慣。1單項式分式的乘除例1：計算（1）$\frac{3x}{4y}\times\frac{8y^2}{9x^2}$；（2）$\frac{15a^2b}{7c}\div\frac{5ab}{14c^2}$。分析（1）：分子相乘$3x\times8y^2=24xy^2$，分母相乘$4y\times9x^2=36x^2y$，結(jié)果為$\frac{24xy^2}{36x^2y}=\frac{2y}{3x}$（約去公因數(shù)12和公因式$xy$）。分析（2）：轉(zhuǎn)化為乘法$\frac{15a^2b}{7c}\times\frac{14c^2}{5ab}=\frac{15a^2b\times14c^2}{7c\times5ab}=\frac{210a^2bc^2}{35abc}=6ac$（約去15和5、14和7、$a^2$和$a$、$b$和$b$、$c^2$和$c$）。1單項式分式的乘除關(guān)鍵思維：先觀察分子分母的公因式，運算前約分可簡化計算。2多項式分式的乘除（需因式分解）例2：計算（1）$\frac{x^2-4}{x+3}\times\frac{x+3}{x-2}$；（2）$\frac{a^2-2a+1}{a^2-1}\div\frac{a-1}{a+1}$。分析（1）：分子$x^2-4$因式分解為$(x-2)(x+2)$，原式變?yōu)?\frac{(x-2)(x+2)}{x+3}\times\frac{x+3}{x-2}$，約去$(x-2)$和$(x+3)$，結(jié)果為$x+2$（注意$x\neq2,-3$）。分析（2）：先因式分解，$a^2-2a+1=(a-1)^2$，$a^2-1=(a-1)(a+1)$，2多項式分式的乘除（需因式分解）轉(zhuǎn)化為乘法后：$\frac{(a-1)^2}{(a-1)(a+1)}\times\frac{a+1}{a-1}=\frac{(a-1)^2(a+1)}{(a-1)(a+1)(a-1)}=1$（注意$a\neq1,-1$）。關(guān)鍵思維：多項式分式需先因式分解，再尋找公因式約分，本質(zhì)是將“復(fù)雜分式”轉(zhuǎn)化為“最簡形式”，體現(xiàn)了“化歸思想”。3實際問題中的分式乘除例3：某機器人每小時能分揀$m$個包裹，改進(jìn)后效率提升$\frac{n}{100}$（即提升$n%$），則改進(jìn)后分揀$p$個包裹需要多長時間？分析：原效率為$m$個/小時，改進(jìn)后效率為$m\times(1+\frac{n}{100})=\frac{m(100+n)}{100}$個/小時。時間=總量÷效率，即$p\div\frac{m(100+n)}{100}=p\times\frac{100}{m(100+n)}=\frac{100p}{m(100+n)}$小時。關(guān)鍵思維：將實際問題轉(zhuǎn)化為分式運算，需明確各量的數(shù)學(xué)關(guān)系（如效率、總量、時間的關(guān)系），再應(yīng)用分式乘除法則求解。05總結(jié)與升華：分式乘除的算理本質(zhì)與學(xué)習(xí)價值1算理本質(zhì)的回顧通過今天的推導(dǎo)，我們明確了分式乘除的算理：分式乘法是分?jǐn)?shù)乘法的代數(shù)推廣，本質(zhì)是“分子整體相乘、分母整體相乘”，其邏輯源于乘除運算的結(jié)合律（$(A\divB)\times(C\divD)=(A\timesC)\div(B\timesD)$）。分式除法是乘法的逆運算，通過“除以一個分式等于乘它的倒數(shù)”轉(zhuǎn)化為乘法，其依據(jù)是除法的意義（已知積和一個因數(shù)求另一個因數(shù)）和倒數(shù)的定義（兩數(shù)相乘為1則互為倒數(shù)）。2學(xué)習(xí)價值的深化分式乘除不僅是代數(shù)運算的基礎(chǔ)，更蘊含重要的數(shù)學(xué)思想：01類比思想：從分?jǐn)?shù)到分式的遷移，體現(xiàn)了“特殊到一般”的歸納思維；02符號意識：用字母表示數(shù)后，運算規(guī)則的一致性展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔美和普適性；03應(yīng)用意識：通過實際問題的解決，體會分式運算在刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系中的工具價值。043課