一、教學(xué)背景分析：為何聚焦矩形折疊的重疊面積？演講人CONTENTS教學(xué)背景分析：為何聚焦矩形折疊的重疊面積？教學(xué)目標(biāo)與重難點(diǎn)：明確方向，有的放矢教學(xué)過程設(shè)計(jì)：從現(xiàn)象到本質(zhì)，層層遞進(jìn)課堂鞏固與反饋：分層練習(xí)，強(qiáng)化應(yīng)用總結(jié)與升華：從“解題”到“思維”的跨越課后作業(yè)（分層布置）目錄2025八年級數(shù)學(xué)下冊矩形折疊后重疊部分面積計(jì)算課件作為一名深耕初中數(shù)學(xué)教學(xué)十余年的一線教師，我始終認(rèn)為，幾何問題的核心在于“以形馭數(shù)，以數(shù)解形”。矩形折疊問題作為八年級下冊“矩形與軸對稱”章節(jié)的典型綜合題型，既是對矩形性質(zhì)的深化應(yīng)用，也是對軸對稱變換本質(zhì)的直觀詮釋。今天，我將以“矩形折疊后重疊部分面積計(jì)算”為主題，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐中的典型案例，帶領(lǐng)同學(xué)們從觀察現(xiàn)象到揭示本質(zhì)，從基礎(chǔ)模型到綜合應(yīng)用，逐步構(gòu)建解決此類問題的思維框架。01教學(xué)背景分析：為何聚焦矩形折疊的重疊面積？1教材地位與作用矩形是繼平行四邊形后學(xué)習(xí)的特殊平行四邊形，其“四個角為直角”“對角線相等”的特性使其成為幾何變換的理想載體。折疊問題本質(zhì)是軸對稱變換，而重疊部分面積的計(jì)算需要綜合運(yùn)用矩形性質(zhì)、全等三角形、勾股定理、相似三角形甚至方程思想。這一內(nèi)容既是對“圖形的軸對稱”（八年級上冊）的延伸，也是后續(xù)學(xué)習(xí)“圖形的旋轉(zhuǎn)”“二次函數(shù)與幾何綜合”的重要鋪墊，在初中幾何知識體系中起到“承上啟下”的關(guān)鍵作用。2學(xué)情分析與教學(xué)定位八年級學(xué)生已掌握矩形的基本性質(zhì)（對邊相等、四個角為直角、對角線相等且平分）、軸對稱的基本概念（對應(yīng)點(diǎn)連線被對稱軸垂直平分），以及勾股定理的應(yīng)用。但面對動態(tài)折疊問題時，常存在三大困難：難以將“折疊操作”轉(zhuǎn)化為“靜態(tài)圖形中的等量關(guān)系”（如對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等）；對重疊部分的形狀（三角形、四邊形或其他多邊形）缺乏直觀判斷；不會通過“設(shè)元列方程”將幾何問題代數(shù)化。因此，本節(jié)課的教學(xué)需以“操作-觀察-猜想-驗(yàn)證”為主線，通過具體案例幫助學(xué)生建立“折疊→軸對稱→找對應(yīng)→列方程”的思維路徑。02教學(xué)目標(biāo)與重難點(diǎn)：明確方向，有的放矢1三維教學(xué)目標(biāo)010203知識與技能：掌握矩形折疊后重疊部分面積的計(jì)算方法，能準(zhǔn)確識別折疊前后的對應(yīng)邊、對應(yīng)角，會利用勾股定理、全等三角形或相似三角形建立方程求解。過程與方法：通過動手折疊、畫圖分析、小組討論，經(jīng)歷“動態(tài)操作→靜態(tài)建?！鷶?shù)求解”的全過程，培養(yǎng)空間想象能力和轉(zhuǎn)化思想。情感態(tài)度與價值觀：在解決實(shí)際問題的過程中感受幾何的對稱美，體會數(shù)學(xué)“以簡馭繁”的魅力，增強(qiáng)探索復(fù)雜問題的信心。2教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：利用折疊的軸對稱性質(zhì)，找到重疊部分的關(guān)鍵邊、角關(guān)系，建立面積計(jì)算的數(shù)學(xué)模型。難點(diǎn)：動態(tài)折疊過程中隱含的等量關(guān)系（如折痕的垂直平分線性質(zhì)、重疊部分與原圖形的位置關(guān)系）的挖掘，以及多變量問題中方程的合理構(gòu)建。03教學(xué)過程設(shè)計(jì)：從現(xiàn)象到本質(zhì)，層層遞進(jìn)1情境引入：從生活折疊到數(shù)學(xué)問題（展示實(shí)物：一張A4紙、一本筆記本）同學(xué)們，當(dāng)我們將矩形紙張沿某條直線折疊時，總會出現(xiàn)兩個部分重疊的區(qū)域。比如，將筆記本封面向內(nèi)折疊，重疊部分可能是一個矩形；將A4紙斜著折疊，重疊部分可能是一個三角形。今天，我們的任務(wù)就是：給定一個矩形的長和寬，以及折疊的方式（如沿對角線折疊、沿某邊中點(diǎn)折疊等），計(jì)算重疊部分的面積。（學(xué)生活動：每人發(fā)一張矩形紙片，標(biāo)上長a=8cm，寬b=6cm，嘗試不同折疊方式，觀察重疊部分形狀并描述其特征。）設(shè)計(jì)意圖：通過動手操作建立直觀感知，激發(fā)探究興趣，同時為后續(xù)抽象建模積累經(jīng)驗(yàn)。1情境引入：從生活折疊到數(shù)學(xué)問題3.2知識回顧：折疊的本質(zhì)是軸對稱CDFEAB對應(yīng)邊相等（如折疊后點(diǎn)A落在A'，則折痕是AA'的垂直平分線，OA=OA'，∠AOP=∠A'OP）；重疊部分是兩個全等圖形的交集，其形狀由折疊方式?jīng)Q定。關(guān)鍵提醒：折疊問題中，“折痕”是對稱軸，“對應(yīng)點(diǎn)連線”與折痕垂直且被折痕平分，這是解題的“突破口”。要解決折疊問題，首先需明確折疊的數(shù)學(xué)本質(zhì)——軸對稱變換。折疊前后的圖形關(guān)于折痕所在直線對稱，因此：對應(yīng)角相等（如∠ABC=∠A'BC）；（板書：折疊→軸對稱→對應(yīng)邊等、對應(yīng)角等→重疊部分為對稱圖形的交集）ABCDEF3探究建模：從基礎(chǔ)到綜合的三類典型模型3.1模型一：沿矩形對角線折疊（基礎(chǔ)型）例1：如圖1，矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，沿對角線BD折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，求重疊部分△BED的面積。（教師分步引導(dǎo)）畫圖分析：畫出折疊后的圖形，標(biāo)注已知邊AB=6，AD=8，BD=√(62+82)=10cm（勾股定理）。找對應(yīng)關(guān)系：折疊后，△ABD≌△A'BD，故∠ABD=∠A'BD，A'D=AD=8cm，A'B=AB=6cm。確定重疊部分形狀：重疊部分為△BED，其中E是A'D與BC的交點(diǎn)（折疊后A'落在矩形外，A'D與BC相交于E）。3探究建模：從基礎(chǔ)到綜合的三類典型模型3.1模型一：沿矩形對角線折疊（基礎(chǔ)型）列方程求解：設(shè)DE=x，則A'E=A'D-DE=8-x。由折疊對稱性知∠EDB=∠ADB（對應(yīng)角相等），而AD∥BC（矩形對邊平行），故∠ADB=∠EBD（內(nèi)錯角相等），因此∠EDB=∠EBD→△EBD為等腰三角形→EB=ED=x。在Rt△ABE中，AB=6，BE=x，AE=BC-EC=8-EC？不，應(yīng)在Rt△BCE中分析：BC=AD=8，EC=BC-BE=8-x？不對，BC是長邊，BE是從B到E的線段，E在BC上嗎？不，A'D與BC相交于E，因此E在BC上嗎？需重新標(biāo)注坐標(biāo)：設(shè)D為原點(diǎn)(0,0)，C(6,0)，B(6,8)，A(0,8)。對角線BD的方程為y=(8/6)x=(4/3)x。折疊后A(0,8)關(guān)于BD的對稱點(diǎn)A'，可通過對稱點(diǎn)公式計(jì)算：設(shè)A'(m,n)，則BD的中垂線過AA'中點(diǎn)(m/2,(n+8)/2)，且斜率為-3/4（BD斜率為4/3，中垂線斜率為負(fù)倒數(shù)）。3探究建模：從基礎(chǔ)到綜合的三類典型模型3.1模型一：沿矩形對角線折疊（基礎(chǔ)型）故有：(n-8)/m=-3/4（AA'與BD垂直），且(n+8)/2=(4/3)(m/2)（中點(diǎn)在BD上）。解得m=(48/25)×2=96/25？可能更簡單的方法是利用全等：△BED中，EB=ED=x（等腰），在△ABE中，AB=6，AE=AD-DE=8-x？不，AD是豎直邊8cm，A'D=AD=8cm，A'在BD的另一側(cè)，所以A'D與BC的交點(diǎn)E滿足BE=DE=x，在Rt△ABE中，AB=6，BE=x，AE=√(x2-62)？不對，應(yīng)考慮坐標(biāo)法：設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為(x,8)（在BC上，BC從B(6,8)到C(6,0)？不，原矩形ABCD，AB=6（水平邊），AD=8（豎直邊），故坐標(biāo)應(yīng)為A(0,8),B(6,8),C(6,0),D(0,0)。BD是從B(6,8)到D(0,0)，方程y=(4/3)x。折疊后A(0,8)關(guān)于BD的對稱點(diǎn)A'坐標(biāo)可通過公式計(jì)算：對稱點(diǎn)坐標(biāo)公式為：對于直線ax+by+c=0，點(diǎn)(x0,y0)的對稱點(diǎn)(x',y')滿足：3探究建模：從基礎(chǔ)到綜合的三類典型模型3.1模型一：沿矩形對角線折疊（基礎(chǔ)型）ax0+by0+c=4×0+(-3)×8+0=-244x'=0-2×4×(-24)/(42+(-3)2)=0+192/25=192/255x'=x0-2a(ax0+by0+c)/(a2+b2)1y'=y0-2b(ax0+by0+c)/(a2+b2)2BD的方程為4x-3y=0（由y=(4/3)x變形），故a=4,b=-3,c=0。代入A(0,8)：3y'=8-2×(-3)×(-24)/25=8-144/25=200/25-144/25=56/2563探究建模：從基礎(chǔ)到綜合的三類典型模型3.1模型一：沿矩形對角線折疊（基礎(chǔ)型）故A'(192/25,56/25)。A'D的直線方程：從D(0,0)到A'(192/25,56/25)，斜率為(56/25)/(192/25)=56/192=7/24，方程為y=(7/24)x。BC的直線方程是x=6（因?yàn)锽(6,8),C(6,0)）。求E點(diǎn)坐標(biāo)：x=6代入y=(7/24)x，得y=7/24×6=7/4=1.75，故E(6,7/4)。重疊部分△BED的三個頂點(diǎn)：B(6,8),E(6,7/4),D(0,0)。面積可通過底乘高計(jì)算：以BD為底，長度10cm，高為E到BD的距離。但更簡單的是用坐標(biāo)法：面積=1/2|(6×(7/4-0)+6×(0-8)+0×(8-7/4))|=1/2|6×7/4+6×(-8)+0|=1/2|42/4-48|=1/2|10.5-48|=1/2×37.5=18.75cm2。3探究建模：從基礎(chǔ)到綜合的三類典型模型3.1模型一：沿矩形對角線折疊（基礎(chǔ)型）但學(xué)生可能更易接受的方法是利用全等和勾股定理：由折疊知∠ADB=∠EDB，AD∥BC→∠ADB=∠EBD→∠EDB=∠EBD→EB=ED=x。在Rt△CDE中（D(0,0),C(6,0),E(6,y)），DE=√(62+y2)=x（因?yàn)镋(6,y)到D(0,0)的距離），而EB=8-y（B(6,8)到E(6,y)的距離為8-y），故x=8-y→y=8-x。代入DE=√(62+y2)=x，得x2=36+(8-x)2→x2=36+64-16x+x2→0=100-16x→x=100/16=25/4=6.25cm。重疊部分面積=1/2×EB×AB？不，△BED的面積=1/2×BD×高，或用底EB=25/4，高為AB=6？不，正確的面積計(jì)算應(yīng)為1/2×DE×AB（以DE為底，AB為高？不對，需明確△BED的底和高。3探究建模：從基礎(chǔ)到綜合的三類典型模型3.1模型一：沿矩形對角線折疊（基礎(chǔ)型）實(shí)際上，EB=ED=25/4cm，BD=10cm，由余弦定理可得cos∠EBD=(EB2+BD2-ED2)/(2×EB×BD)=((25/4)2+102-(25/4)2)/(2×25/4×10)=(100)/(125)=4/5，故sin∠EBD=3/5，面積=1/2×EB×BD×sin∠EBD=1/2×25/4×10×3/5=(25×10×3)/(2×4×5)=(750)/(40)=18.75cm2，與坐標(biāo)法一致?？偨Y(jié)：沿對角線折疊時，重疊部分為等腰三角形，可通過“等角對等邊”找到等腰關(guān)系，結(jié)合勾股定理列方程求解。3探究建模：從基礎(chǔ)到綜合的三類典型模型3.2模型二：沿矩形一邊中點(diǎn)折疊（進(jìn)階型）例2：如圖2，矩形ABCD中，AB=10cm，AD=6cm，E為AD中點(diǎn)（AE=ED=3cm），沿BE折疊使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，求重疊部分△BEF的面積（F為A'B與CD的交點(diǎn)）。（學(xué)生分組討論，教師巡視指導(dǎo)）畫圖標(biāo)注：畫出矩形ABCD，A(0,6),B(10,6),C(10,0),D(0,0)，E(0,3)（AD中點(diǎn)）。BE的方程為從B(10,6)到E(0,3)，斜率為(3-6)/(0-10)=3/10，方程y=(3/10)x+3。找對稱點(diǎn)A'：A(0,6)關(guān)于BE的對稱點(diǎn)A'。設(shè)A'(m,n)，則AA'中點(diǎn)((m/2),(n+6)/2)在BE上→(n+6)/2=(3/10)(m/2)+3→n+6=(3/10)m+6→n=(3/10)m。3探究建模：從基礎(chǔ)到綜合的三類典型模型3.2模型二：沿矩形一邊中點(diǎn)折疊（進(jìn)階型）AA'與BE垂直，斜率為-10/3（BE斜率為3/10），故(n-6)/m=-10/3→n=-10/3m+6。聯(lián)立n=(3/10)m和n=-10/3m+6：(3/10)m=-10/3m+6→兩邊乘30得9m=-100m+180→109m=180→m=180/109≈1.65cm，n=3/10×180/109=54/109≈0.495cm。求F點(diǎn)坐標(biāo)：A'B的直線方程：A'(180/109,54/109)到B(10,6)，斜率為(6-54/109)/(10-180/109)=(654/109-54/109)/(1090/109-180/109)=(600/109)/(910/109)=600/910=60/91，方程為y-6=(60/91)(x-10)。3探究建模：從基礎(chǔ)到綜合的三類典型模型3.2模型二：沿矩形一邊中點(diǎn)折疊（進(jìn)階型）CD的直線方程是y=0（D(0,0),C(10,0)），求F點(diǎn)：令y=0，解得0-6=(60/91)(x-10)→-6×91/60=x-10→-91/10=x-10→x=10-91/10=9/10=0.9cm，故F(9/10,0)。計(jì)算重疊部分面積：重疊部分△BEF的三個頂點(diǎn)B(10,6),E(0,3),F(9/10,0)。用坐標(biāo)法面積公式：面積=1/2|10×(3-0)+0×(0-6)+9/10×(6-3)|=1/2|30+0+27/10|=1/2×(327/10)=327/20=16.35cm2。3探究建模：從基礎(chǔ)到綜合的三類典型模型3.2模型二：沿矩形一邊中點(diǎn)折疊（進(jìn)階型）另一種思路：利用折疊性質(zhì)，A'E=AE=3cm，∠A'BE=∠ABE。設(shè)∠ABE=θ，則tanθ=AE/AB=3/10，故sinθ=3/√(102+32)=3/√109，cosθ=10/√109。在△A'BF中，A'B=AB=10cm（折疊后A'B=AB），BF=√(BC2+CF2)=√(62+(10-x)2)（設(shè)CF=x，F(xiàn)在CD上，坐標(biāo)(x,0)），但可能更簡單的是用相似三角形：由A'E∥BF（？不一定），或利用勾股定理在△A'EF中：A'E=3，EF=ED+DF=3+DF（D(0,0),F(x,0),DF=x），A'F=AF（折疊后AF=A'F？不，A是沿BE折疊到A'，故AF≠A'F，而是A'E=AE=3，BA'=BA=10。關(guān)鍵突破：折疊問題中，“對應(yīng)點(diǎn)到折痕的距離相等”“折痕是對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線”是不變的規(guī)律，通過坐標(biāo)法或設(shè)元列方程可將幾何問題代數(shù)化，避免復(fù)雜的角度推導(dǎo)。3探究建模：從基礎(chǔ)到綜合的三類典型模型3.3模型三：沿任意直線折疊（拓展型）例3：如圖3，矩形ABCD中，AB=5cm，AD=3cm，沿直線MN折疊（M在AB上，N在CD上），使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)B'處（AB'=1cm），求重疊部分△BMN的面積。（教師引導(dǎo)學(xué)生自主分析）設(shè)元表示：設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為(a,3)（AB邊從A(0,3)到B(5,3)），N點(diǎn)坐標(biāo)為(b,0)（CD邊從C(5,0)到D(0,0)），折痕MN的方程為y=kx+c。折疊性質(zhì)應(yīng)用：B(5,3)與B'(1,3)（AD邊坐標(biāo)為x=0到x=5，y=3？不，AD是豎直邊，A(0,3),D(0,0)，故AD邊為x=0，y從0到3，所以B'在AD上，坐標(biāo)應(yīng)為(0,t)，AB'=1cm，故A(0,3)到B'(0,3-1)=(0,2)（因?yàn)锳D長度為3cm，向下1cm）。3探究建模：從基礎(chǔ)到綜合的三類典型模型3.3模型三：沿任意直線折疊（拓展型）正確坐標(biāo)：A(0,3),B(5,3),C(5,0),D(0,0)，B'在AD上，AD為x=0，y∈[0,3]，AB'=1cm，故B'(0,3-1)=(0,2)（AB'是線段長度，從A(0,3)到B'(0,2)，長度1cm）。01折痕MN是BB'的垂直平分線：BB'的中點(diǎn)為(5/2,5/2)，BB'的斜率為(2-3)/(0-5)=(-1)/(-5)=1/5，故折痕MN的斜率為-5（垂直），方程為y-5/2=-5(x-5/2)→y=-5x+25/2+5/2=-5x+15。02確定M、N坐標(biāo)：M在AB上（y=3），代入MN方程：3=-5x+15→x=12/5=2.4，故M(12/5,3)。N在CD上（y=0），代入得0=-5x+15→x=3，故N(3,0)。033探究建模：從基礎(chǔ)到綜合的三類典型模型3.3模型三：沿任意直線折疊（拓展型）計(jì)算重疊部分面積：△BMN的頂點(diǎn)B(5,3),M(12/5,3),N(3,0)。底BM=5-12/5=13/5cm，高為N到AB的距離=3cm（AB在y=3，N在y=0，垂直距離3cm），但實(shí)際面積需用坐標(biāo)法：面積=1/2|5×(3-0)+12/5×(0-3)+3×(3-3)|=1/2|15-36/5+0|=1/2×(75/5-36/5)=1/2×39/5=39/10=3.9cm2?？偨Y(jié)：任意直線折疊時，折痕是對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線，利用中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率關(guān)系可確定折痕方程，進(jìn)而求出重疊部分的頂點(diǎn)坐標(biāo)，最終計(jì)算面積。4方法提煉：解決折疊重疊面積問題的“四步走”通過以上案例，我們可總結(jié)出通用解題步驟：畫草圖：根據(jù)題意畫出折疊前后的圖形，標(biāo)注已知邊、角及對應(yīng)點(diǎn)（如A→A'）。標(biāo)等量：利用折疊的軸對稱性，標(biāo)注對應(yīng)邊相等（如AB=A'B）、對應(yīng)角相等（如∠ABC=∠A'BC）、折痕是對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線（如AA'⊥MN，且中點(diǎn)在MN上）。定形狀：觀察重疊部分的形狀（三角形、四邊形等），判斷其是否為特殊圖形（等腰三角形、平行四邊形等）。列方程：選擇合適的變量（如設(shè)某邊為x），利用勾股定理、全等/相似三角形性質(zhì)或坐標(biāo)法建立方程，求解關(guān)鍵邊長后計(jì)算面積。04課堂鞏固與反饋：分層練習(xí)，強(qiáng)化應(yīng)用1基礎(chǔ)題（面向全體）矩形ABCD中，AB=4cm，AD=3cm，沿對角線AC折疊，求重疊部分面積。（答案：24/5=4.8cm2）2提升題（面向中等生）矩形ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，E為BC中點(diǎn)，沿A