初中2025學年第一學期廣州市南武教育集團聯(lián)合練習題九年級數(shù)學一、單選題（每小題3分，共30分）1.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.2.拋物線頂點坐標是（）A. B. C. D.3.下列關(guān)于x方程一定有實數(shù)解的是（）A. B.C. D.4.用公式法解一元二次方程時，首先要確定a，b，c值，下列選項正確的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，5.已知一元二次方程，配方后可化為（）A. B.C. D.6.二次函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)值時，x的取值范圍是（）A. B. C. D.或7.如圖所示的是一個中心對稱圖形，為對稱中心，若，，，則長為（）A. B. C. D.8.已知a、c互為相反數(shù)，則關(guān)于x的方程根的情況（）A.有兩個不相等的實數(shù)根 B.有兩個相等的實數(shù)根C.無實數(shù)根 D.有一根為59.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，給出以下結(jié)論：①；②；③；④，其中所有正確結(jié)論的序號是（）A.③④ B.②③ C.①④ D.①②③10.如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（，0），點C的坐標為（0，6），將矩形OABC繞O按順時針方向旋轉(zhuǎn)α度得到OA′B′C′，此時直線、直線分別與直線相交于點P、Q．當，且時，線段的長是（）A. B. C. D.二、填空題（每小題3分，共18分）11.在平面直角坐標內(nèi)，點，與點關(guān)于原點對稱，那么___________．12.已知一元二次方程的兩個實數(shù)根為m，n，則______．13.如圖，以40的速度將小球沿與地面成角的方向擊出時，小球的飛行路線將是一條拋物線．如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間具有函數(shù)關(guān)系．小球飛行過程中能達到的最大高度為________m．14.若，是方程的兩個實數(shù)根，則________．15.二次函數(shù)的圖象過點，，，，其中m，n為常數(shù)，則的值為______．16.如圖，拋物線與軸交于，兩點，頂點為，點為拋物線上，且位于軸下方，直線，與軸分別交于，兩點，當點運動時，_________．三、解答題（9小題，共72分）17.解下列方程：（1）；（2）．18.已知關(guān)于x的方程．求證：不論取何實數(shù)，此方程都有兩個不相等的實數(shù)根．19.如圖，在平面直角坐標系中，的三個頂點都在格點（小正方形的頂點）上，每個小正方形的邊長均為1個單位長度．（1）將澆點O逆時針旋轉(zhuǎn)、畫出旋轉(zhuǎn)后得到的；（2）畫出、使與關(guān)于y軸對稱；（3）與是否成中心對稱？（答出“是”或“否”即可）20.某村2020年的人均收入為20000元，2022年的人均收入為24200元，求2020年到2022年該村人均收入的年平均增長率．21.已知拋物線，與x軸的交點A，B（點A在點B的左側(cè)）．（1）若時，求點A，B坐標．（2）若，求m的值及拋物線的對稱軸．22.2022年，在全球疫情蔓延的情況下，北京成功舉辦冬奧會，為世界人民交上了一份滿意的答卷．其中，滑雪運動備受人們青睞．下面是某滑雪訓練場滑雪運動中的一張截圖，某滑雪人員在空中留下了一道完美的曲線，經(jīng)研究該曲線呈拋物線形狀．某數(shù)學興趣小組對此做出了如下研究：滑雪人員在距滑雪臺（與水平地面平行）高的P處騰空滑出，在距P點水平距離為的地方到達最高處，此時距滑雪臺的高度為．以滑雪臺所在直線為x軸，過點P作x軸的垂線為y軸建立平面直角坐標系．完成以下問題：（1）求該拋物線的解析式．（2）當滑雪人員距滑雪臺高度為，則他繼續(xù)滑行的水平距離為多少米時，可以使他距滑雪臺的高度為．23.解決下列問題：（1）已知滿足，，求的值．（2）結(jié)合方程組的相關(guān)知識，解決問題：已知和是關(guān)于的方程組的兩個不相等的實數(shù)解．問：是否存在實數(shù)，使得？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．24.如圖，中，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，點落在線段上，連接．（1）求證：平分；（2）試判斷線段與線段的位置關(guān)系，并說明理由；（3）若，請你求出的度數(shù)．25.如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點．（1）求拋物線解析式；（2）如圖2，連接，直線上方的拋物線上是否存在點，使，若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．（3）如圖3，連接，將繞著點順時針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)過程中的為，點的對應點為點，點的對應點為點．當點剛好落在線段上時，將沿著直線平移，在平移過程中，直線與拋物線對稱軸交于點，與軸交于點，設點是平面內(nèi)任意一點，是否存在點，使得以為頂點的四邊形是菱形?若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

2025學年第一學期廣州市南武教育集團聯(lián)合練習題九年級數(shù)學一、單選題（每小題3分，共30分）1.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形的識別．根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念，對各選項分析判斷即可得解，把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；B、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；D、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項符合題意，故選：D．2.拋物線的頂點坐標是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】解：二次函數(shù)的圖象的頂點坐標為．故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握利用頂點式解析式寫出頂點坐標的方法是解題的關(guān)鍵．3.下列關(guān)于x的方程一定有實數(shù)解的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程，若，則方程有兩個不相等的實數(shù)根，若，則方程有兩個相等的實數(shù)根，若，則方程沒有實數(shù)根，據(jù)此求解即可．【詳解】解：A、，故原方程無實數(shù)解，不符合題意；B、，故原方程無實數(shù)解，不符合題意；C、，故原方程無實數(shù)解，不符合題意；D、，故原方程有兩個不相等的實數(shù)解，符合題意；故選：D．4.用公式法解一元二次方程時，首先要確定a，b，c的值，下列選項正確的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了一元二次方程的一般式，將原方程化為的形式即可得到答案．【詳解】解：原方程化為一般式為，∴，，．故選D．5.已知一元二次方程，配方后可化為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了配方法解一元二次方程，掌握完全平方公式和配方法的步驟并正確配方是關(guān)鍵．根據(jù)配方法的步驟進行即可．詳解】解：，∴，∴，∴故選：

B．6.二次函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)值時，x的取值范圍是（）A. B. C. D.或【答案】A【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)與x軸的交點，利用交點求不等式的解集．先觀察圖象確定拋物線的圖象與x軸的交點，然后根據(jù)時，所對應的自變量x的變化范圍．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象如圖所示．∴圖象與x軸交在，，∴當時，即圖象在x軸下方的部分，此時x的取值范圍是：．故選：A．7.如圖所示的是一個中心對稱圖形，為對稱中心，若，，，則長為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查中心對稱圖形的性質(zhì)以及勾股定理，根據(jù)中心對稱圖形的性質(zhì)可得，根據(jù)勾股定理可得的長，進而得到的長．解題的關(guān)鍵是掌握中心對稱圖形的性質(zhì)：①成中心對稱的兩個圖形全等；②成中心對稱的兩個圖形，其對稱點所連線段都經(jīng)過對稱中心且被對稱中心平分；③成中心對稱的兩個圖形，其對應線段平行（或在同一條直線上）且相等．【詳解】解：∵，，，∴，∵如圖是一個中心對稱圖形，為對稱中心，∴與關(guān)于點對稱，∴，∴，即長為．故選：D．8.已知a、c互為相反數(shù)，則關(guān)于x的方程根的情況（）A.有兩個不相等的實數(shù)根 B.有兩個相等的實數(shù)根C.無實數(shù)根 D.有一根為5【答案】A【解析】【分析】由一元二次方程根判別式即可得到答案．【詳解】解：關(guān)于的方程根的判別式為，∵、互為相反數(shù)∴∴．故選：A．【點睛】本題考查從根的判別式判斷方程根的情況，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．9.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，給出以下結(jié)論：①；②；③；④，其中所有正確結(jié)論的序號是（）A.③④ B.②③ C.①④ D.①②③【答案】B【解析】【分析】根據(jù)當時，，當時，，即可判定①②；由拋物線的開口方向判斷的符號，由拋物線與軸的交點判斷的符號，然后根據(jù)對稱軸的位置判斷b的符號即可判斷③④．【詳解】解：由圖象可知，當時，，∴，故①錯誤；當時，則，∴，故②正確；∵拋物線開口向下，于y軸交于正半軸，∴，∵拋物線對稱軸在直線和直線之間，∴，∴，∴，，故③正確，④錯誤；∴正確結(jié)論的序號為②③．故選：B．【點睛】此題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．10.如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（，0），點C的坐標為（0，6），將矩形OABC繞O按順時針方向旋轉(zhuǎn)α度得到OA′B′C′，此時直線、直線分別與直線相交于點P、Q．當，且時，線段的長是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】過點作于，連接，構(gòu)造直角三角形，運用勾股定理求得的長，進一步求得線段的長度．【詳解】解：∵，∴點P在點B的右側(cè)．如圖，過點作于，連接，則．∵，，∴．設，∵，∴．則，．在中，根據(jù)勾股定理知，，即，解得．∴．故選：B．【點睛】此題考查了坐標與圖形的變化---旋轉(zhuǎn)，特別注意在旋轉(zhuǎn)的過程中的對應線段相等，能夠用一個未知數(shù)表示同一個直角三角形的未知邊，根據(jù)勾股定理列方程求解．二、填空題（每小題3分，共18分）11.平面直角坐標內(nèi)，點，與點關(guān)于原點對稱，那么___________．【答案】【解析】【分析】兩點關(guān)于原點對稱，則橫坐標數(shù)值互為相反數(shù)，縱坐標數(shù)值互為相反數(shù)，代入計算即可．【詳解】解：由題意得故答案為：【點睛】本題考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標，利用兩點關(guān)于原點對稱，則兩點的橫、縱坐標都是互為相反數(shù)是解題關(guān)鍵．12.已知一元二次方程的兩個實數(shù)根為m，n，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，即可求解．本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．【詳解】解：∵一元二次方程的兩個實數(shù)根為m，n，∴，故答案為：．13.如圖，以40的速度將小球沿與地面成角的方向擊出時，小球的飛行路線將是一條拋物線．如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間具有函數(shù)關(guān)系．小球飛行過程中能達到的最大高度為________m．【答案】12【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的應用．把函數(shù)解析式化為頂點式，由函數(shù)性質(zhì)求最值．【詳解】解：，∵，∴當時，h有最大值，最大值為12，∴小球飛行的最大高度是．故答案為：12．14.若，是方程的兩個實數(shù)根，則________．【答案】7【解析】【分析】本題主要考查了一元二次方程的解的定義，根與系數(shù)的關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到，并由方程根的定義得到，代入化簡求值即可．【詳解】解：，是方程的兩個實數(shù)根，∴，，∴，∴，故答案為：7．15.二次函數(shù)的圖象過點，，，，其中m，n為常數(shù)，則的值為______．【答案】##【解析】【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，把A、B、D的坐標代入，求出a、b、c，然后把C的坐標代入可得出m、n的關(guān)系，即可求解．【詳解】解：把，，代入，得，解得，∴，把代入，得，∴，∴，故答案為：．16.如圖，拋物線與軸交于，兩點，頂點為，點為拋物線上，且位于軸下方，直線，與軸分別交于，兩點，當點運動時，_________．【答案】【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與x軸交點，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象與坐標軸的交點，求出E、F點坐標是解題關(guān)鍵．設，依題意得，可設，，用待定系數(shù)法求得，，從而求得，，則，把代入，得，再代入計算即可求解．【詳解】解：設，依題意得，可設，，設直線的解析式為，把，代入，得，解得：，，當時，∵點E在y軸負半軸上，，設直線的解析式為，把，代入，得，解得：∴，當時，∵點F在y軸負半軸上，∴，，把代入，得，，，，．故答案為：2．三、解答題（9小題，共72分）17.解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1），（2），【解析】【分析】本題主要考查了解一元二次方程：（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【小問1詳解】解：∵，∴，∴或，解得，；【小問2詳解】解：∵，∴，∴，∴或，解得，．18.已知關(guān)于x的方程．求證：不論取何實數(shù)，此方程都有兩個不相等的實數(shù)根．【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)根的判別式即可求出答案．【詳解】證明：，∵，∴，即，∴不論取何值，方程必有兩個不相等的實數(shù)根．【點睛】本題考查根的判別式，解題的關(guān)鍵是熟練運用根的判別式．19.如圖，在平面直角坐標系中，的三個頂點都在格點（小正方形的頂點）上，每個小正方形的邊長均為1個單位長度．（1）將澆點O逆時針旋轉(zhuǎn)、畫出旋轉(zhuǎn)后得到的；（2）畫出、使與關(guān)于y軸對稱；（3）與是否成中心對稱？（答出“是”或“否”即可）【答案】（1）見詳解（2）見詳解（3）否【解析】【分析】本題考查網(wǎng)格作圖?中心對稱和旋轉(zhuǎn)變換、軸對稱，熟練掌握中心對稱、軸對稱的定義和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）利用網(wǎng)格的特點和旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)畫出點A、B、C的對稱點，依次連接即可；（2）利用網(wǎng)格的特點和軸對稱的性質(zhì)畫出點A、B、C的對稱點，依次連接即可；（3）依次連接交于一點，可得，即可解答．小問1詳解】解：如圖，即為所求；【小問2詳解】解：如圖，即為所求；【小問3詳解】解：如圖，依次連接，可得，故與不成中心對稱．20.某村2020年的人均收入為20000元，2022年的人均收入為24200元，求2020年到2022年該村人均收入的年平均增長率．【答案】2020年到2022年該村人均收入的年均增長率為10%【解析】【分析】設2020年到2022年該村人均收入的年平均惜長率為x，根據(jù)2020年到2022年的人均收入，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可．【詳解】解：設2020年到2022年該村人均收入的年平均惜長率為x，根據(jù)題意，得解得（不合題意，舍去）答：2020年到2022年該村人均收入的年均增長率為10%．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．21.已知拋物線，與x軸的交點A，B（點A在點B的左側(cè)）．（1）若時，求點A，B的坐標．（2）若，求m的值及拋物線的對稱軸．【答案】（1）（2），直線【解析】【分析】本題主要考查了求二次函數(shù)與x軸的交點坐標，求二次函數(shù)的對稱軸，熟知二次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．（1）求出函數(shù)值為0時x的值即可得到答案；（2）令函數(shù)值為0得到，則，，根據(jù)得到，則可得方程，解方程求出m的值，進而求出對稱軸即可．【小問1詳解】解：當時，拋物線解析式為，在中，當時，，解得或，∴；【小問2詳解】解：在中，當時，，∴，∵，∴，∵，∴，解得或（舍去），∴拋物線的對稱軸為直線．22.2022年，在全球疫情蔓延的情況下，北京成功舉辦冬奧會，為世界人民交上了一份滿意的答卷．其中，滑雪運動備受人們青睞．下面是某滑雪訓練場滑雪運動中的一張截圖，某滑雪人員在空中留下了一道完美的曲線，經(jīng)研究該曲線呈拋物線形狀．某數(shù)學興趣小組對此做出了如下研究：滑雪人員在距滑雪臺（與水平地面平行）高的P處騰空滑出，在距P點水平距離為的地方到達最高處，此時距滑雪臺的高度為．以滑雪臺所在直線為x軸，過點P作x軸的垂線為y軸建立平面直角坐標系．完成以下問題：（1）求該拋物線的解析式．（2）當滑雪人員距滑雪臺高度為，則他繼續(xù)滑行的水平距離為多少米時，可以使他距滑雪臺的高度為．【答案】（1）拋物線的解析式為（2）他繼續(xù)滑行的水平距離為時，可以使他距滑雪臺的高度為【解析】【分析】（1）設出拋物線解析式的頂點式，再把的坐標代入解析式求出即可；（2）分別把和代入（1）解析式求出對應的，再作差即可．【小問1詳解】解：拋物線的解析式為，把代入解析式得：，解得，拋物線的解析式為；【小問2詳解】解：由（1）知，拋物線的對稱軸為直線，當時，；令，則，解得或（舍去），，他繼續(xù)滑行的水平距離為時，可以使他距滑雪臺的高度為．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應用，關(guān)鍵是用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．23.解決下列問題：（1）已知滿足，，求的值．（2）結(jié)合方程組相關(guān)知識，解決問題：已知和是關(guān)于的方程組的兩個不相等的實數(shù)解．問：是否存在實數(shù)，使得？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】本題考查一元二次方程綜合問題，涉及一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、一元二次方程解法等知識，熟記一元二次方程相關(guān)知識點并靈活運用是解決問題的關(guān)鍵．（1）由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系得到，再將代數(shù)式恒等變形為，代值求解即可得到答案；（2）根據(jù)題意，先將，再由消去得，，利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系得到，，代入得，解一元二次方程，驗證即可得到答案．【小問1詳解】解：滿足，，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則，；【小問2詳解】解：存在，理由如下，∵和是關(guān)于的方程組的兩個不相等的實數(shù)解，、，∴，，，由消去得，，則是一元二次方程的兩個實數(shù)根，，，，，即，則，或，解得或，當時，一元二次方程為，則，無實數(shù)解，舍去；當時，一元二次方程為，則，有兩個不相等的實數(shù)解，符合題意；綜上所述，．24.如圖，中，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，點落在線段上，連接．（1）求證：平分；（2）試判斷線段與線段的位置關(guān)系，并說明理由；（3）若，請你求出的度數(shù)．【答案】（1）證明見解析；（2），理由見解析；（3）．【解析】【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，因此得到，即可證明平分；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，，進而得出，根據(jù)，得出即；（3）設，得出，，進而列出，可得出答案．【小問1詳解】繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，，，得，平分；【小問2詳解】，理由如下：繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，，，中：，即；【小問3詳解】設（由（1）、（2）得），，（由（2）得），，，解得：25.如圖1，在平面直