2/24專題04-3數(shù)列遞推與構(gòu)造求通項(xiàng)題型1歸納與猜想題型9型同構(gòu)題型2換元型累加（重點(diǎn)）題型10型同構(gòu)（重點(diǎn)）題型3累積型題型11分式型：取倒數(shù)法題型4周期型題型12分式型：型同構(gòu)題型5消Sn求an型（?？键c(diǎn)）題型13分段型（難點(diǎn)）題型6消an求Sn型題型14三階構(gòu)造型題型7隱形和換元型題型15和定型題型8型同構(gòu)（重點(diǎn)）2/24題型一、歸納與猜想（共3小題）1．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）將個(gè)連續(xù)自然數(shù)按規(guī)律排成下表：根據(jù)規(guī)律，從2008到2010的箭頭方向依次為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圖像找規(guī)律即可.【詳解】觀察數(shù)表可知，位序相同的數(shù)字都是以4為公差的等差數(shù)列，故從2008至2010，其位序應(yīng)與相同，故選：A．2．（25-26高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，下列各圖形中第一個(gè)最小的等腰直角三角形的面積都是1，后一個(gè)等腰直角三角形的斜邊恰好是前一個(gè)等腰直角三角形的直角邊的2倍，則第10個(gè)圖形的面積為（

）

A．1023 B．1024 C．2047 D．2048【答案】C【分析】根據(jù)題意，得圖形1的面積，圖形2的面積，圖形3的面積，以此類推，進(jìn)而得圖形的面積，即可求出第10個(gè)圖形的面積.【詳解】根據(jù)題意，記圖形1的面積為，后續(xù)圖形的面積依次為，則圖形1的面積，圖形2的面積，圖形3的面積，圖形4的面積，以此類推，則圖形的面積則第10個(gè)圖形的面積為．故選：C.3．（2025高三下·全國(guó)·專題練習(xí)）數(shù)列，…中，根據(jù)規(guī)律，有序?qū)崝?shù)對(duì)可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)列的項(xiàng)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，利用解方程組即可確定.【詳解】由數(shù)列中的項(xiàng)可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：，即得，解得．故選：D.題型二、換元型累加（共3小題）4．（22-23高二上·重慶九龍坡·期末）數(shù)列滿足，且，則等于（

）A．19 B．20 C．21 D．22【答案】B【分析】遞推公式兩側(cè)同時(shí)乘以，化簡(jiǎn)遞推公式，得，運(yùn)用累加法及裂項(xiàng)相消法求和，化簡(jiǎn)整理，即可得到所求通項(xiàng)，代入數(shù)值即可得解.【詳解】因?yàn)?，，，所以有，，，?累加得，又，所以，即.當(dāng)時(shí)，符合上式，所以.則.故選：B.5．（2024·廣東茂名·一模）數(shù)列滿足，（），，若數(shù)列是遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將取倒數(shù)結(jié)合累加法求得，再利用數(shù)列單調(diào)遞減列不等式并分離參數(shù)，求出新數(shù)列的最大值即可求得答案【詳解】由題意，，兩邊取倒數(shù)可化為，所以，，，由累加法可得，，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)閿?shù)列是遞減數(shù)列，故，即，整理可得，，因?yàn)?，，所以，?故選:D.6．（2023·上海虹口·一模）已知函數(shù)，數(shù)列滿足，且（為正整數(shù)）．則（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】將進(jìn)行整理，可以求出其通項(xiàng)公式，再代入可得答案.【詳解】由，，故選：C題型三、累積型（共3小題）7．（24-25高二下·廣東·月考）記為首項(xiàng)為1的數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)與的關(guān)系可得，利用累乘法計(jì)算得出即可求解.【詳解】易得，故，化簡(jiǎn)得，即，由知，故，累乘可得，即，故，當(dāng)時(shí)，也符合上式，故，故.故選：C.8．（24-25高二下·重慶·月考）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知等式變形為，利用累乘法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得出的值.【詳解】因?yàn)檎?xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，可得，則，所以，，，，，，上述等式相乘得，則，故當(dāng)且時(shí)，，且滿足，對(duì)任意的，，故.故選：A.9．（24-25高三上·廣東深圳·開學(xué)考試）數(shù)列中，，，記，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，即可累加求解由即可累乘求解，即可判定AB,利用可得，即可求解CD.【詳解】由可得，由于，所以，故，故，又可得，因此，故，故AB錯(cuò)誤，又，又因?yàn)?，則等號(hào)無法取到，故，由于故，因此，故C正確，D錯(cuò)誤，故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將變形為和，即可累加以及累乘求解.題型四、周期型（共3小題）10．（25-26高二上·重慶·期中）已知數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】根據(jù)題目條件可得數(shù)列是周期為3的周期數(shù)列，.【詳解】由數(shù)列滿足，，可得：，，，，故數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，.故選：A11．（25-26高二上·江蘇蘇州·期中）在數(shù)列中，，，，若的前項(xiàng)和為，則（

）A．4052 B．4053 C．4054 D．4055【答案】A【分析】根據(jù)題意分析可知，數(shù)列的一個(gè)周期為3，結(jié)合周期性運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，，，令，則，即，且，可得，可知數(shù)列的一個(gè)周期為3，所以.故選：A.12．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）數(shù)列的前項(xiàng)和與前項(xiàng)積分別為，已知，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先得到，且，又，則，結(jié)合，求出和均是以4為周期的周期數(shù)列，根據(jù)，解得，求出，所以.【詳解】因?yàn)?，若，則，，不合題意，若，則，故，，即，不合要求，所以，且，又，則，所以，又，則，，可得數(shù)列是以4為周期的周期數(shù)列，則，，所以數(shù)列是以4為周期的周期數(shù)列，則，解得，則，則，所以.故選：D.題型五、消Sn求an型（共3小題）13．（25-26高二上·甘肅蘭州·期中）已知數(shù)列滿足，設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和.若對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用前項(xiàng)和與第項(xiàng)的關(guān)系求出，進(jìn)而求出，再由裂項(xiàng)相消法求出即可求出最小值.【詳解】數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，則，而不滿足此式，因此，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足上式；因此，由對(duì)任意恒成立，得，所以的最小值為．故選：B14．（25-26高三上·湖南長(zhǎng)沙·月考）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，則（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)列前項(xiàng)和與數(shù)列通項(xiàng)之間的關(guān)系，求出數(shù)列遞推公式，進(jìn)而求出數(shù)列前6項(xiàng)，求出結(jié)果.【詳解】由可得，即，得，由可得，，，故是周期為3的周期數(shù)列，且，故.故選：A.15．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則（

）A． B．3 C．4 D．【答案】C【分析】根據(jù)與的關(guān)系，先得到數(shù)列的遞推關(guān)系式，再根據(jù)累加法求的值.【詳解】由，得，所以，所以，，…，，各式兩端相加得，故．故選：C.題型六、消an求Sn型（（共3小題））16．（2024·安徽合肥·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)，且滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】借助與的關(guān)系并化簡(jiǎn)可得，結(jié)合，逐項(xiàng)代入計(jì)算即可得解.【詳解】由可得，所以可得，.故選：D17．（23-24高二下·廣東·期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且（且），若，則（

）A．49 B．50 C．51 D．52【答案】A【分析】根據(jù)給定的遞推關(guān)系，結(jié)合變形，再構(gòu)造常數(shù)列求出，然后代入計(jì)算即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，于是，即有，因此數(shù)列是常數(shù)列，，即，由，得，而，所以.故選：A18．（23-24高二上·四川成都·期末）若數(shù)列滿足，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由與的關(guān)系求得，從而為常數(shù)列，得到，即可求的值.【詳解】由及得，即，即，所以，即為常數(shù)列，又，所以，即，所以，所以.故選：B題型七、隱形和換元型（共3小題）19．（24-25高二上·浙江衢州·期末）已知正項(xiàng)數(shù)列，滿足，，則（

）A．2 B． C．2024 D．【答案】D【分析】用相減法求得的關(guān)系，用連乘法求得結(jié)論．【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，兩式相減，得，所以，所以，所以，所以，因?yàn)閿?shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，所以，所以，所以，所以，又，所以，所以故選：D．20．（2024·江蘇·一模）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，若，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【分析】由已知和式求出通項(xiàng)的通項(xiàng)，從而得出，再由已知條件，從而求出，類似的往前推，求出即可.【詳解】時(shí)，時(shí)，，故選：D.21．（22-23高二下·湖北·月考）已知數(shù)列滿足，設(shè)，則數(shù)列的前2023項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意先求出，即可求出則可寫出的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消即可求出答案.【詳解】因?yàn)棰?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，②，①-②化簡(jiǎn)得，當(dāng)時(shí)：，也滿足，所以，，所以的前2023項(xiàng)和.故選：B.題型八、型同構(gòu)（共3小題）22．（20-21高二上·甘肅蘭州·期中）已知數(shù)列滿足：，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】取特殊值即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，顯然AC不正確，當(dāng)時(shí)，，顯然B不符合，D符合故選：D23．（20-21高三上·甘肅平?jīng)觥ぴ驴迹┮阎獢?shù)列中，，（且），則數(shù)列通項(xiàng)公式為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知得，進(jìn)而確定數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求.【詳解】由，知：且()，而，，∴是首項(xiàng)、公比都為3的等比數(shù)列，即，故選：C【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：1、構(gòu)造輔助數(shù)列：且，可得的通項(xiàng)公式；2、求通項(xiàng)公式：由輔助數(shù)列通項(xiàng)公式直接寫出.24．（18-19高一下·吉林·期末）數(shù)列中，若，，則A．29 B．2563 C．2569 D．2557【答案】D【分析】利用遞推關(guān)系，構(gòu)造等比數(shù)列，進(jìn)而求得的表達(dá)式，即可求出，也就可以得到的值．【詳解】數(shù)列中，若，，可得，所以是等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)為5，所以，．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法——構(gòu)造法．利用遞推關(guān)系，選擇合適的求解方法是解決問題的關(guān)鍵，常見的數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法有：公式法，累加法，累乘法，構(gòu)造法，取倒數(shù)法等．題型九、型同構(gòu)（共3小題）25．（19-20高三上·黑龍江哈爾濱·期中）數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，（），若，則實(shí)數(shù)m的最小值為（

）A． B． C． D．4【答案】B【分析】直接利用遞推關(guān)系式的應(yīng)用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步解不等式求出結(jié)果．【詳解】由題意知，（），可變形為，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以，整理得，當(dāng)時(shí)，，由于，所以，整理得，由于，所以，當(dāng)時(shí)，，解得，故m的最小值為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，主要考查的式學(xué)生對(duì)關(guān)系式的應(yīng)用和計(jì)算能力，屬于中檔題．26．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若數(shù)列{an}滿足a1＝3，an＝3an﹣1+3n（n≥2），則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝（

）A．2×3n B． C．n3n D．【答案】C【分析】由遞推關(guān)系求得，結(jié)合選項(xiàng)一一代入檢驗(yàn)排除即可得結(jié)果．【詳解】由an＝3an﹣1+3n（n≥2），當(dāng)時(shí)，對(duì)于A，，故A錯(cuò)；對(duì)于B，，，故B錯(cuò)；對(duì)于C，，，對(duì)于D，，故D錯(cuò)，故選：C27．（23-24高二上·廣東·期末）在數(shù)列中，，記，若數(shù)列為遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由遞推關(guān)系可得，求得，不等式恒成立等價(jià)于恒成立，討論的奇偶即可求出.【詳解】由，得，即，而，則，即，，由數(shù)列為遞增數(shù)列，得任意的恒成立，則，即恒成立，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，恒成立，數(shù)列單調(diào)遞增，的最小值為1，則，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，恒成立，數(shù)列單調(diào)遞減，的最大值為，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及數(shù)列不等式恒成立問題，可以變形不等式，分離參數(shù)，借助函數(shù)思想求解即可.題型十、型同構(gòu)（共3小題）28．（23-24高二下·廣東湛江·期中）在數(shù)列中，已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】對(duì)于這種類型的遞推公式，一般構(gòu)造成等比數(shù)列，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以．故選：D．29．（2023·四川成都·一模）若數(shù)列滿足，則（

）A．6 B．14 C．22 D．37【答案】D【分析】根據(jù)條件求出，即可得出結(jié)果.【詳解】∵，∴，，，∴.故選：D.30．（23-24高二下·廣東佛山·月考）已知數(shù)列滿足，且，若，則（

）A．253 B．506 C．1012 D．2024【答案】B【分析】將式子變形為,可得為常數(shù)列，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，故為常?shù)列，所以.由，解得.故選：B題型十一、分式型：取倒數(shù)法（共3小題）31．（21-22高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知數(shù)列滿足，則=.【答案】【分析】由題可得，然后利用累加法及等差數(shù)列求和公式即得.【詳解】對(duì)遞推關(guān)系取倒數(shù)，得.即，分別用替換，有，，，…，以上個(gè)式子相加，得，所以，，n=1成立∴.故答案為：..32．（21-22高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．【答案】【分析】對(duì)遞推數(shù)列兩邊同時(shí)去倒數(shù)，可得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】因?yàn)?，，所以，即，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以．故答案為：.33．（17-18高一下·上海浦東新·期末）已知數(shù)列{}滿足，且，則＝．【答案】【分析】由題意可證明數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，即可求出數(shù)列{}的通項(xiàng)公式.【詳解】對(duì)兩邊同時(shí)取倒數(shù)，所以，則，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，所以，所以.故答案為：.題型十二、分式型：型同構(gòu)（（共3小題））34．（24-25高二下·安徽阜陽(yáng)·開學(xué)考試）已知數(shù)列|中，，，則滿足的n的最小值為.【答案】13【分析】先構(gòu)造數(shù)列得出等比數(shù)列計(jì)算得出，再計(jì)算不等關(guān)系結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算求解即可求參【詳解】由，得，則．因?yàn)?，所以，所以是首?xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以.由，可得，所以，即，又，，故滿足的n的最小值為13.故答案為：13.35．（20-21高二上·河南鶴壁·期末）已知數(shù)列滿足，若，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【答案】【分析】變形為，再利用等比數(shù)列的定義可得答案.【詳解】因?yàn)?，，所以，，所以，而，且，所以?shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，.故答案為：.36．（23-24高二下·廣東深圳·月考）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且，則；滿足的最大整數(shù)的值為.【答案】2023【分析】由，化簡(jiǎn)得到，求得，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，求得，根據(jù)，即可求解.【詳解】由題意，數(shù)列滿足，可得，可得，又由，所以，所以，所以數(shù)列表示首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.可得，所以設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，若，即，因?yàn)楹瘮?shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以滿足的最大整數(shù)的值為2023.故答案為：；題型十三、分段型（共3小題）37．（2024·北京懷柔·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)首項(xiàng)是1的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則；若，則正整數(shù)的最大值是．【答案】811【分析】由遞推公式依次計(jì)算可求出；分為偶數(shù)與奇數(shù)，利用遞推公式及構(gòu)造法推導(dǎo)出通項(xiàng)公式，進(jìn)而利用分組求和法及等比數(shù)列求和公式求得為偶數(shù)、奇數(shù)時(shí)的前項(xiàng)和，再結(jié)合單調(diào)性確定的值即可．【詳解】由，得，，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，則，又，因此，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，則，又，因此，，數(shù)列各項(xiàng)均為正，則數(shù)列單調(diào)遞增，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，又，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以正整數(shù)的最大值是11.故答案為：8，11【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：按奇偶分析求出通項(xiàng)，再按奇偶求出前項(xiàng)和是求解問題的關(guān)鍵.38．（24-25高二上·天津南開·期末）已知數(shù)列滿足，是，的等比中項(xiàng)，則數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】【分析】由已知求得，然后由等比中項(xiàng)定義求出，再分為奇函數(shù)，偶數(shù)分別求出通項(xiàng)公式.【詳解】因?yàn)?，所以，，又是的比例中?xiàng)，所以，即，顯然且，故解得；當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，，，所以，而，所以數(shù)列是等比數(shù)列，則，即；當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，則；綜上可得.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是首先推導(dǎo)出的值，另外就是當(dāng)是奇數(shù)時(shí)求出通項(xiàng)公式.39．（24-25高三上·河南南陽(yáng)·月考）數(shù)列滿足，，若數(shù)列的前項(xiàng)的和為，則的的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】根據(jù)已知條件得，令，通過裂項(xiàng)相消求得，然后代入即可求解.【詳解】數(shù)列滿足①，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，②，

由②①得，數(shù)列的所有奇數(shù)項(xiàng)，，數(shù)列的所有偶數(shù)項(xiàng)，，綜上，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.記，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為：，由得，即，因?yàn)椋S著的增大而增大，故當(dāng)時(shí)，剛好滿足，所以，的最小值為.

故選：C.題型十四、三階構(gòu)造型（（共3小題））40．（24-25高二上·湖北·期末）已知數(shù)列滿足：，，則所有可能的取值的集