2/41專題05概率、隨機變量及其分布與統(tǒng)計（期末復(fù)習(xí)講義）核心考點復(fù)習(xí)目標考情規(guī)律1.條件概率與事件的獨立性1.知識目標：掌握條件概率與獨立事件的定義、公式，理清二者區(qū)別與聯(lián)系.2.能力目標：能識別情境，計算條件概率，判斷獨立性并求解復(fù)雜事件概率.3.素養(yǎng)目標：提升邏輯推理與數(shù)學(xué)建模能力.1.題型：選擇、填空為主，偶為解答題鋪墊.2.重點：條件概率計算、獨立性判斷與概率計算.3.易錯點：混淆條件概率與積事件概率、誤判獨立性；趨勢：貼合實際，側(cè)重概念與公式應(yīng)用.2.隨機變量及其與事件的聯(lián)系1.知識目標：理解隨機變量本質(zhì)，掌握分類與事件的對應(yīng)關(guān)系.2.能力目標：能定義變量、寫出取值與對應(yīng)事件，為分布列鋪墊.3.素養(yǎng)目標：培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象與邏輯轉(zhuǎn)化能力.1.題型：選擇、填空小題，或解答題鋪墊.2.重點：變量定義、取值確定、與事件的對應(yīng)關(guān)系.3.易錯點：取值遺漏、事件與變量轉(zhuǎn)化不準確；趨勢：結(jié)合實際，側(cè)重本質(zhì)理解.3.離散型隨機變量的分布列1.知識目標：掌握分布列定義、性質(zhì)與求解步驟.2.能力目標：能獨立求解分布列，驗證性質(zhì)并計算事件概率.3.素養(yǎng)目標：培養(yǎng)邏輯推理、運算求解與數(shù)據(jù)分析能力1.題型：解答題為主，偶考選擇（求參數(shù)）.2.重點：分布列求解、性質(zhì)應(yīng)用、事件概率計算.3.易錯點：取值遺漏、概率計算錯誤、忽略性質(zhì)驗證；趨勢：結(jié)合實際，強調(diào)步驟規(guī)范4.二項分布與超幾何分布1.知識目標：掌握兩種分布的定義、公式與適用場景，明確核心差異.2.能力目標：能判斷模型，計算概率、寫分布列，解決實際問題.3.素養(yǎng)目標：培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模與邏輯辨析能力.1.題型：解答題為主，常與期望、方差結(jié)合；偶考選擇（模型判斷）.2.重點：模型判斷、概率計算、分布列求解、分布區(qū)分.3.易錯點：混淆適用場景、參數(shù)判斷失誤、組合數(shù)計算錯誤；趨勢：結(jié)合實際，強調(diào)模型識別.5.隨機變量的數(shù)字特征1.知識目標：理解期望、方差含義，掌握公式、性質(zhì)與常見分布特征.2.能力目標：能計算期望、方差，運用性質(zhì)簡化計算，結(jié)合實際決策.3.素養(yǎng)目標：提升數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)應(yīng)用能力1.題型：選擇、填空、解答題均有，常與分布列結(jié)合.2.重點：期望、方差計算與性質(zhì)應(yīng)用、決策分析.3.易錯點：公式記憶錯誤、忽略性質(zhì)條件；趨勢：結(jié)合實際，側(cè)重分析與決策.6.正態(tài)分布1.知識目標：理解正態(tài)分布定義與參數(shù)意義，掌握曲線性質(zhì)、3σ原則與計算思路.2.能力目標：能分析曲線特征，用對稱性與3σ原則計算概率、判斷異常值.3.素養(yǎng)目標：培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理能力.4.知識目標：理解正態(tài)分布定義與參數(shù)意義，掌握曲線性質(zhì)、3σ原則與計算思路.5.能力目標：能分析曲線特征，用對稱性與3σ原則計算概率、判斷異常值.6.素養(yǎng)目標：培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理能力1.題型：選擇、填空為主，偶為解答題小題.2.重點：正態(tài)曲線性質(zhì)、3σ原則應(yīng)用、概率計算（對稱性）.3.易錯點：混淆與的意義、3σ原則概率記憶錯誤；趨勢：結(jié)合實際數(shù)據(jù)，側(cè)重性質(zhì)與原則應(yīng)用.7.一元線性回歸模型1.知識目標：掌握一元線性回歸模型的定義、核心性質(zhì)與系數(shù)計算公式.2.能力目標：能計算回歸系數(shù)與截距，寫出回歸方程，利用方程進行合理預(yù)測.3.素養(yǎng)目標：培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)建模能力，體會樣本估計總體思想.1.題型：解答題為主，常結(jié)合散點圖、數(shù)據(jù)表格考查；偶考選擇（性質(zhì)判斷）.2.重點：回歸系數(shù)計算、回歸方程求解、預(yù)測應(yīng)用.3.易錯點：系數(shù)計算公式記憶/計算錯誤、忽略樣本中心點性質(zhì)；趨勢：結(jié)合實際數(shù)據(jù)（如經(jīng)濟、環(huán)境、教育數(shù)據(jù)），側(cè)重模型構(gòu)建與預(yù)測應(yīng)用.8.獨立性檢驗1.知識目標：掌握2×2列聯(lián)表結(jié)構(gòu)、卡方統(tǒng)計量公式與獨立性判斷標準.2.能力目標：能解讀列聯(lián)表，計算卡方值，完成獨立性檢驗并得出結(jié)論.3.素養(yǎng)目標：培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析與邏輯推理能力，體會統(tǒng)計推斷思想.1.題型：選擇、填空或解答題小題為主，偶爾單獨成解答題.2.重點：列聯(lián)表解讀、卡方值計算、獨立性判斷結(jié)論表述.3.易錯點：卡方公式記憶錯誤、數(shù)據(jù)代入失誤、臨界值對應(yīng)概率混淆；趨勢：結(jié)合實際調(diào)查情境（如飲食與健康、學(xué)習(xí)方法與成績等），側(cè)重檢驗流程與結(jié)論應(yīng)用.考點一：條件概率與事件的獨立性1.核心概念條件概率：事件B發(fā)生的前提下，事件A發(fā)生的概率，刻畫兩事件的關(guān)聯(lián)程度.相互獨立事件：一個事件的發(fā)生與否不影響另一個事件發(fā)生的概率，是兩事件無關(guān)聯(lián)的量化描述.2.核心公式條件概率：（）獨立事件判定：獨立事件“至少一個發(fā)生”：（A、B獨立）3.易錯點①誤將等同于，忽略“B發(fā)生”的前提條件；②把互斥事件當作獨立事件判斷，互斥是，獨立是概率滿足乘法關(guān)系，二者無必然聯(lián)系；③多事件獨立判斷時，遺漏“任意一個子集都滿足獨立關(guān)系”的條件.4.?？冀Y(jié)論①若A、B獨立，則與B、A與、與均獨立；②若，則“A、B獨立”等價于；③放回抽樣中，各次抽取事件相互獨立，不放回抽樣中，除特殊總體外，一般不獨立.考點二：隨機變量及其與事件的聯(lián)系1.核心概念隨機變量：將隨機試驗的每一個可能結(jié)果對應(yīng)到一個實數(shù)的變量，用于量化隨機現(xiàn)象.離散型隨機變量：取值可以一一列舉的隨機變量（如“摸球的個數(shù)”“命中的環(huán)數(shù)”）.2.核心關(guān)聯(lián)隨機變量與事件的轉(zhuǎn)化：若X為隨機變量，“”“”等均對應(yīng)具體隨機事件，如X表示“射擊命中環(huán)數(shù)”，則“”對應(yīng)事件“命中9環(huán)或10環(huán)”.3.易錯點①定義隨機變量時遺漏部分試驗結(jié)果，導(dǎo)致取值不完整；②無法準確將文字描述的事件轉(zhuǎn)化為隨機變量的取值表達式（如混淆“至少2個”與“大于2個”對應(yīng)的取值范圍）.4.?？冀Y(jié)論①隨機變量的取值必須覆蓋隨機試驗的所有可能結(jié)果；②同一隨機試驗可定義多個隨機變量，需根據(jù)問題需求合理選擇.考點三：離散型隨機變量的分布列1.核心概念離散型隨機變量的分布列：列出離散型隨機變量的所有可能取值及對應(yīng)概率的表格，完整刻畫隨機變量的取值規(guī)律.2.核心公式與性質(zhì)分布列性質(zhì)：①（所有概率非負）；②（所有概率和為1）指定事件概率：（x取a到b之間的所有可能值）3.易錯點①求解分布列時遺漏隨機變量的部分取值；②計算概率后未驗證概率和是否為1，導(dǎo)致結(jié)果錯誤；③直接用古典概型計數(shù)時，忽略“等可能”前提條件.4.常考結(jié)論①利用分布列性質(zhì)可快速求解未知參數(shù)（如已知部分概率，求剩余概率）；②分布列中所有概率之和必為1，可作為結(jié)果驗證的核心依據(jù)；③若X為離散型隨機變量，則.考點四：二項分布1.核心概念二項分布：n次獨立重復(fù)試驗中，事件A發(fā)生的次數(shù)X服從的分布，記為，其中n為試驗次數(shù)，p為每次試驗中事件A發(fā)生的概率（）.核心特征：①每次試驗只有兩種對立結(jié)果（A發(fā)生或不發(fā)生）；②每次試驗中事件A發(fā)生的概率p恒定；③各次試驗相互獨立；④試驗?zāi)康氖墙y(tǒng)計n次試驗中A發(fā)生的次數(shù).2.核心公式概率公式：（），其中為從n個元素中取k個的組合數(shù)，.數(shù)字特征公式：期望；方差；標準差.3.易錯點①誤將非獨立重復(fù)試驗判定為二項分布（如不放回抽樣且總體有限時，不滿足獨立性，不可用二項分布）；②混淆參數(shù)n和p的含義（將“發(fā)生次數(shù)”當作n，或“概率”當作p的補集）；③組合數(shù)計算錯誤（如遺漏，或誤將寫成）；④忽略k的取值范圍（k需從0到n的整數(shù)，不可取小數(shù)或超出范圍的整數(shù)）.4.?？冀Y(jié)論①若，則，且，；②當n很大、p很小時（通常，），二項分布可近似為泊松分布；③多個相互獨立的二項分布變量之和仍為二項分布（若，，且獨立，則）.考點五：超幾何分布1.核心概念超幾何分布：從含有M個特殊元素（記為“成功”元素）的N個總體元素中，無放回地抽取n個元素，抽到的特殊元素個數(shù)X服從的分布，記為，其中N為總體容量，M為總體中特殊元素個數(shù)，n為抽取樣本量.核心特征：①抽樣方式為無放回；②總體容量N有限；③各次抽樣不獨立（前次抽樣結(jié)果影響后次概率）；④試驗?zāi)康氖墙y(tǒng)計樣本中特殊元素的個數(shù).2.核心公式概率公式：（），其中為從M個特殊元素中取k個的組合數(shù)，為從個非特殊元素中取個的組合數(shù)，為從N個總體元素中取n個的組合數(shù).數(shù)字特征公式：期望；方差.3.易錯點①混淆超幾何分布與二項分布的適用場景（將無放回抽樣誤判為二項分布，僅當（通常）時，可近似為二項分布）；②參數(shù)N、M、n取值錯誤（如將樣本量當作N，或特殊元素個數(shù)當作n）；③忽略k的取值上限（k最大為，不可超過M或n）；④組合數(shù)分子分母混淆（誤將寫在分子，或遺漏）.4.常考結(jié)論①超幾何分布的期望與二項分布期望形式一致（），當時，，超幾何分布的方差趨近于二項分布的方差；②當時，超幾何分布可近似為二項分布，簡化概率計算；③若，則先隨k增大而增大，達到最大值后隨k增大而減小.考點六：隨機變量的數(shù)字特征（期望、方差、標準差）1.核心概念期望（均值）：隨機變量X取值的平均水平，反映X取值的中心位置，記為或.方差：隨機變量X取值偏離其期望的程度，衡量取值的離散性，記為或；方差越小，取值越穩(wěn)定.標準差：方差的算術(shù)平方根，記為或，其單位與隨機變量X的單位一致，更直觀反映離散程度.2.核心公式離散型隨機變量通用公式：①期望（為X的可能取值，為對應(yīng)概率，）；②方差，也可簡化為（其中）.性質(zhì)公式：①期望性質(zhì)：（c為常數(shù)）；（a、b為常數(shù)）；（無論X、Y是否獨立）；若X、Y獨立，則；②方差性質(zhì)：（c為常數(shù)）；（a、b為常數(shù)）；若X、Y獨立，則；，當且僅當X為常數(shù)時.常見分布數(shù)字特征：①二項分布：，；②超幾何分布：，.3.易錯點①方差公式記憶錯誤（誤寫成，遺漏平方項）；②誤用方差性質(zhì)（將算成，忽略常數(shù)項方差為0且系數(shù)需平方）；③混淆期望與方差的意義（用期望判斷穩(wěn)定性，用方差判斷平均水平）；④計算時誤寫成，導(dǎo)致方差計算錯誤；⑤忽略“X、Y獨立”前提，直接使用或.4.?？冀Y(jié)論①若兩個隨機變量期望相同，方差越小，取值越穩(wěn)定，實際決策中更優(yōu)；②常數(shù)的期望等于其本身，方差為0；③若，則當時，方差最大，最大值為；④對于任意隨機變量X，恒成立，可簡化方差計算.考點七：正態(tài)分布1.核心概念正態(tài)分布：連續(xù)型隨機變量的常見分布，記為，其中為均值（期望），決定正態(tài)曲線的對稱軸；為標準差（），決定曲線“胖瘦”（越小，曲線越瘦高，取值越集中；越大，曲線越矮胖，取值越分散）.正態(tài)曲線：刻畫正態(tài)分布的光滑曲線，滿足“中間高、兩邊低、關(guān)于對稱”的特征，曲線與x軸圍成的面積為1（對應(yīng)概率和為1）.2.核心公式與性質(zhì)對稱性性質(zhì)：①；②（）；③.3σ原則：①；②；③.標準化變換：若，則令，可轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布（均值為0，方差為1）.3.易錯點①混淆與的意義（誤將當作對稱軸，或當作離散程度參數(shù)）；②3σ原則概率值記憶錯誤（如將記為0.6827）；③誤將連續(xù)型隨機變量單點概率當作非零值（連續(xù)型隨機變量單點概率為0，僅需計算區(qū)間概率）；④未利用對稱性簡化計算，導(dǎo)致區(qū)間概率求解復(fù)雜.4.?？冀Y(jié)論①非標準正態(tài)分布需先標準化為再計算概率；②落在外的事件為小概率事件（概率約0.0027），可視為異常值；③若、且獨立，則（線性組合仍為正態(tài)分布）；④正態(tài)曲線在處取得最大值.考點八：一元線性回歸模型1.核心概念一元線性回歸模型：描述自變量x與因變量y線性相關(guān)關(guān)系的統(tǒng)計模型，表達式為，其中為y的預(yù)測值，為回歸系數(shù)（斜率），表示x每變化1個單位時y的平均變化量；為截距，表示x=0時y的預(yù)測值.樣本中心點：，其中、，回歸直線必過樣本中心點（核心性質(zhì)）.線性相關(guān)方向：為正相關(guān)（x增大，y平均增大）；為負相關(guān)（x增大，y平均減?。?2.核心公式回歸系數(shù)與截距：①；②（利用樣本中心點性質(zhì)）.預(yù)測公式：已知時，y的預(yù)測值.3.易錯點①回歸系數(shù)公式記憶錯誤（混淆分子分母，或遺漏n）；②計算、出錯，導(dǎo)致、偏差；③誤將回歸關(guān)系當作因果關(guān)系（僅為統(tǒng)計相關(guān)，非因果）；④顛倒x與y的位置，導(dǎo)致回歸系數(shù)意義錯誤；⑤用回歸方程外推超出樣本x取值范圍的預(yù)測值（可靠性低）.4.?？冀Y(jié)論①回歸直線必過樣本中心點，可用于驗證回歸方程正確性；②的符號反映相關(guān)方向，絕對值越大（相同單位下）線性相關(guān)程度越強；③所有樣本點都在回歸直線上時，為完全線性相關(guān)，預(yù)測值與實際值相等；④回歸方程僅適用于樣本x的取值范圍，外推需謹慎.考點九：獨立性檢驗1.核心概念獨立性檢驗：判斷兩個分類變量（如“性別”與“是否喜歡運動”）之間是否存在關(guān)聯(lián)的統(tǒng)計方法，核心是通過卡方統(tǒng)計量衡量觀測值與期望值的差異程度.2×2列聯(lián)表：整理兩個分類變量數(shù)據(jù)的表格（a、b、c、d為觀測頻數(shù)）：列聯(lián)表：整理兩個分類變量數(shù)據(jù)的表格（、、、為觀測頻數(shù)）： ，其中n為總樣本量.卡方統(tǒng)計量（）：值越大，兩個變量存在關(guān)聯(lián)的可能性越大.2.核心公式卡方統(tǒng)計量：（n為總樣本量，a、b、c、d為列聯(lián)表觀測頻數(shù)）.判斷標準：①：有95%把握認為兩變量有關(guān)聯(lián)（犯錯誤概率≤0.05）；②：有99%把握認為兩變量有關(guān)聯(lián)（犯錯誤概率≤0.01）；③：無足夠把握認為兩變量有關(guān)聯(lián).3.易錯點①卡方公式記憶錯誤（漏乘n，或誤將寫成ad-bc）；②混淆列聯(lián)表中a、b、c、d、、、的位置；③誤將“關(guān)聯(lián)”當作“因果關(guān)系”；④臨界值對應(yīng)概率記憶錯誤（如將對應(yīng)0.05）；⑤樣本量過?。z驗可靠性低）.4.常考結(jié)論①值越大，兩變量關(guān)聯(lián)可能性越大；②檢驗前提是樣本具有隨機性和代表性；③變量獨立時，值趨近于0；④列聯(lián)表期望值，本質(zhì)是.題型一條件概率與事件的獨立性解｜題｜技｜巧1.選擇題（?？迹簵l件概率計算、獨立事件概率判斷）答題模板：步驟1：明確題型考點（判斷是條件概率還是獨立事件相關(guān)問題）；步驟2：回憶對應(yīng)公式（條件概率：（）；獨立事件判定：，“至少一個發(fā)生”概率：）；步驟3：提取題干中已知概率數(shù)據(jù)（如、、等）；步驟4：代入公式計算，結(jié)合選項得出答案.2.填空題（?？迹邯毩⑹录爸辽僖粋€發(fā)生”概率計算）答題模板：步驟1：判斷事件獨立性（題干明確“獨立”或“相互獨立”）；步驟2：確定對立事件（“至少一個發(fā)生”的對立事件是“全部不發(fā)生”）；步驟3：計算單個事件不發(fā)生的概率（，）；步驟4：利用獨立事件概率性質(zhì)計算對立事件概率，再用對立事件概率得出結(jié)果.3.解答題（常考：全概率公式、貝葉斯公式應(yīng)用）答題模板：步驟1：明確題型考點（判斷是全概率公式應(yīng)用還是貝葉斯公式應(yīng)用，全概率公式用于求復(fù)雜事件的概率，貝葉斯公式用于求后驗概率）；步驟2：梳理已知條件，確定樣本空間的劃分（設(shè)是樣本空間的一個劃分，滿足（），，且）；步驟3：代入對應(yīng)公式計算：（1）全概率公式：，依次代入和的值，計算求和結(jié)果；（2）貝葉斯公式：，先通過全概率公式求出，再代入和的值計算；【典例1】【多選題】（25-26高二上·黑龍江哈爾濱·期中）甲、乙兩個口袋各裝有1個紅球和2個白球，這些球除顏色外完全相同，把從甲、乙兩個口袋中各任取一個球放入對方口袋中稱為一次操作，重復(fù)n次操作后，甲口袋中恰有0個紅球，1個紅球，2個紅球分別記為事件，，，則（

）A． B．C． D．【典例2】（25-26高三上·四川瀘州·開學(xué)考試）有兩枚硬幣A，B．假設(shè)拋硬幣時所得的結(jié)果只能為正面向上的一種，拋硬幣A正面向上的概率為，拋硬幣B正面向上的概率為p.現(xiàn)在先從兩枚硬幣中隨機選中一枚，然后拋擲若干次.(1)若，求拋一次硬幣，正面向上的概率.(2)若，在已知拋了一次硬幣，正面向上的條件下，求再拋一次硬幣得正面向上的概率.(3)如果當連續(xù)拋硬幣k次（，）全為正面向上的前提下，可以做出論斷“選中的是B硬幣”，犯錯誤的概率不超過，則k的最小值為多少？[提示：用表示不小于x的最小整數(shù).）【變式1】【多選題】（2025高三上·江蘇南通·專題練習(xí)）隨機事件A，B滿足其中和分別指事件A和B的概率，則下列說法中正確的是（

）A． B．C．事件A與B不獨立 D．【變式2】【多選題】（24-25高二下·湖北黃岡·月考）甲、乙兩個口袋各裝有1個紅球和2個白球，這些球除顏色外完全相同，把從甲、乙兩個口袋中各任取一個球放入對方口袋中稱為一次操作，重復(fù)次操作后，甲口袋中恰有0個紅球，1個紅球，2個紅球分別記為事件，，，則（

）A． B．C． D．【變式3】（24-25高二下·湖北省直轄縣級單位·期末）已知一批產(chǎn)品是由甲、乙、丙三名工人生產(chǎn)的，三人生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占總產(chǎn)量的，.已知三人生產(chǎn)產(chǎn)品的次品率分別為.(1)現(xiàn)從這批產(chǎn)品中按等比例分層抽樣抽出10件產(chǎn)品，再從這10件產(chǎn)品中不放回地任取兩件進行檢測，記事件“第一次取出的產(chǎn)品是乙生產(chǎn)的”，“第二次抽出的產(chǎn)品是甲生產(chǎn)的產(chǎn)品”，分別求；(2)現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取一件產(chǎn)品，已知它是次品，求這件產(chǎn)品是由丙生產(chǎn)的概率.題型二隨機變量及其與事件的聯(lián)系答｜題｜模｜板1.填空題（?？迹弘S機變量與事件的轉(zhuǎn)化、對立事件概率關(guān)系）答題模板：步驟1：明確隨機變量的定義（厘清隨機變量所表示的實際意義，如“紅球個數(shù)”“次品個數(shù)”）；步驟2：實現(xiàn)隨機變量與事件的轉(zhuǎn)化（將“”“”“”等轉(zhuǎn)化為具體文字描述的事件，如“”對應(yīng)“至少1個紅球”）；步驟3：判斷概率關(guān)系（利用對立事件性質(zhì)：，）；步驟3：判斷概率關(guān)系（利用對立事件性質(zhì)：，）；步驟4：規(guī)范書寫轉(zhuǎn)化后的事件及概率關(guān)系.【典例1】（24-25高二下·河北邢臺·月考）下列是離散型隨機變量的是（

）A．種子含水量的測量誤差B．某品牌電視機的使用壽命C．某網(wǎng)頁在24小時內(nèi)被瀏覽的次數(shù)D．測量某一零件的長度產(chǎn)生的測量誤差【典例2】（24-25高二下·河南鄭州·期末）某人進行投籃訓(xùn)練，最多投籃4次，命中一次就停止投籃，記投籃次數(shù)為，則表示的試驗結(jié)果是（

）A．第2次投籃命中 B．第3次投籃未命中C．前3次投籃均未命中 D．前2次投籃均未命中，第3次投籃命中【變式1】【多選題】（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）（多選）下列敘述中，是離散型隨機變量的是（

）A．某座大橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)B．某無線電尋呼臺一天內(nèi)收到的尋呼次數(shù)C．一天之內(nèi)的溫度D．一位射擊手對目標進行射擊，擊中目標得1分，未擊中目標得0分，用表示該射擊手在一次射擊中的得分【變式2】【多選題】（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）將一個骰子擲兩次，能作為隨機變量的是（

）A．兩次擲出的點數(shù)之和 B．兩次擲出的最大點數(shù)C．第一次與第二次擲出的點數(shù)之差 D．兩次擲出的點數(shù)【變式3】（24-25高二·全國·課堂例題）下面給出三個隨機變量：①某地110報警臺1分鐘內(nèi)接到的求救電話的次數(shù)；②某森林樹木的高度在（單位：）這一范圍內(nèi)變化，測得某一樹木的高度；③某人射擊2次，擊中目標的環(huán)數(shù)之和．其中離散型隨機變量有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個題型三離散型隨機變量的分布列答｜題｜模｜板1.解答題（?？迹悍植剂行再|(zhì)應(yīng)用、指定事件概率計算）答題模板：步驟1：利用分布列性質(zhì)求未知參數(shù)（若分布列含未知量，根據(jù)“所有概率和為1”列方程求解，注意驗證概率非負）；步驟2：計算指定區(qū)間的概率（若求，累加對應(yīng)的概率；若求或，優(yōu)先用對立事件或計算，簡化運算）；步驟2：計算指定區(qū)間的概率（若求，累加對應(yīng)的概率；若求或，優(yōu)先用對立事件或計算，簡化運算）；步驟3：規(guī)范書寫解題過程，明確各步驟依據(jù)（如“由分布列性質(zhì)可知”“根據(jù)對立事件概率公式”）.【典例1】（25-26高三上·山西大同·月考）已知隨機變量，均服從兩點分布，且，，若，則（

）A． B． C． D．【典例2】（25-26高二上·廣東佛山·月考）甲、乙是兩名射擊運動員，根據(jù)歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)，甲一次射擊命中10、9、8環(huán)的概率分別為、、，乙一次射擊命中10、9環(huán)的概率分別為、．一輪射擊中，甲、乙各射擊一次．甲、乙射擊相互獨立，每次射擊也互不影響．(1)在一輪射擊中，求甲命中的環(huán)數(shù)不高于乙命中的環(huán)數(shù)的概率；(2)記一輪射擊中，甲、乙命中的環(huán)數(shù)之和為，求的值，和X對應(yīng)的概率；【變式1】（25-26高二上·黑龍江哈爾濱·月考）人工智能（ArtificialIntelligence），英文縮寫為AI，是新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革的重要驅(qū)動力量，是研究?開發(fā)用于模擬?延伸和擴展人的智能的理論?方法?技術(shù)及應(yīng)用系統(tǒng)的一門新的技術(shù)科學(xué).如今利用“人工智能”的場景屢見不鮮，從幫助記憶單詞?解答難題?到人機比賽，它的身影無處不在.小明和智能機器人進行一場“網(wǎng)球”比賽，規(guī)則為：比賽采用三局兩勝制（率先獲得兩局比賽勝利者獲得最終的勝利，且比賽結(jié)束），已知小明第一局獲勝的概率為.從第二局開始，如果上一局獲勝，則本局獲勝的概率為；如果上一局失敗，則本局獲勝的概率為，每局比賽均沒有平局.(1)求小明以獲得比賽勝利的概率；(2)在小明以獲得比賽勝利的條件下，求在第二局比賽中小明獲勝的概率；(3)記整場比賽小明的獲勝局數(shù)為，求的分布列.【變式2】（25-26高二上·黑龍江哈爾濱·月考）一個不透明的口袋中裝有3個紅球?3個黃球和2個白球，這些球除顏色外其他完全相同，現(xiàn)從這個口袋中一次性地摸出3個球.(1)求摸出的白球個數(shù)比黃球個數(shù)多的概率；(2)記摸出的球的顏色種類為，求的分布列.【變式3】（25-26高三上·廣東深圳·開學(xué)考試）已知隨機變量均服從兩點分布，且，若，則（

）A． B． C． D．題型四二項分布答｜題｜模｜板1.解答題（?？迹憾椃植挤植剂星蠼?、指定事件概率計算、期望與方差計算）答題模板：步驟1：判斷分布類型（明確試驗滿足“n次獨立重復(fù)、每次兩結(jié)果、概率恒定”，確定，標注n、p的值）；步驟2：求分布列（根據(jù)二項分布概率公式（），依次計算k取不同值時的概率，整理成表格形式）；步驟2：求分布列（根據(jù)二項分布概率公式（），依次計算k取不同值時的概率，整理成表格形式）；步驟3：計算指定事件概率（如“不少于k次”即累加到的概率，可結(jié)合對立事件簡化計算）；步驟4：求期望與方差（直接代入二項分布專用公式：，，，無需重復(fù)推導(dǎo)）；步驟5：規(guī)范書寫，標注分布類型、公式依據(jù)及計算過程.【典例1】（25-26高二上·遼寧·期末）某企業(yè)對生產(chǎn)設(shè)備進行優(yōu)化升級，升級后的設(shè)備控制系統(tǒng)由個相同的元件組成，每個元件正常工作的概率均為，各元件之間相互獨立.當控制系統(tǒng)有不少于個元件正常工作時，設(shè)備正常運行，否則設(shè)備停止運行，記設(shè)備正常運行的概率為（例如：表示控制系統(tǒng)由3個元件組成時設(shè)備正常運行的概率，表示控制系統(tǒng)由5個元件組成時設(shè)備正常運行的概率）.(1)若，當時，求控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望，并求；(2)已知設(shè)備升級前，單位時間的產(chǎn)量為件，每件產(chǎn)品的利潤為元，設(shè)備升級后，在正常運行狀態(tài)下，單位時間的產(chǎn)量是原來的4倍，且出現(xiàn)了高端產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成為高端產(chǎn)品的概率為，每件高端產(chǎn)品的利潤是2元.記設(shè)備升級后單位時間內(nèi)的利潤為（單位：元）.（i）請用表示；（ii）設(shè)備升級后，已知該企業(yè)現(xiàn)有控制系統(tǒng)中有5個元件，若增加2個元件，則單位時間內(nèi)的利潤是否提高.【典例2】（25-26高三上·貴州貴陽·期中）2025年9月，全國“城超”足球比賽在貴陽舉辦，比賽期間還開展文旅會客廳、特色市集等活動.其旨為響應(yīng)國家全民健身戰(zhàn)略，契合城市發(fā)展，展現(xiàn)貴陽魅力，實現(xiàn)“體育+文旅”多元共贏.為了增進省外觀眾對貴州文化的了解，從參加配套文旅活動的省外觀眾中，隨機抽取150人，開展貴州文旅知識問答活動，該活動共有，，三道試題，全部答完后，至少答對2道試題，則可獲得獎勵總決賽門票一張.假設(shè)每人答對這3道試題的概率分別為，，，且每人答對各道試題與否互不影響.(1)求觀眾甲通過文旅知識問答活動獲得總決賽門票的概率；(2)設(shè)通過文旅知識問答活動獲得總決賽門票有個人的概率為，求取得最大值時的值.【變式1】（25-26高三上·寧夏固原·開學(xué)考試）甲、乙兩名同學(xué)進行定點投籃訓(xùn)練，據(jù)以往的訓(xùn)練數(shù)據(jù)可知，甲每次投籃命中的概率為，乙每次投籃命中的概率為，各次投籃互不影響．現(xiàn)甲、乙兩人開展多輪次的定點投籃活動，每輪次各投2個球，每投進一個球記1分，不投進記分．(1)求甲在一個輪次投籃結(jié)束后的得分不大于0的概率；(2)記甲、乙每輪次投籃得分之和為X．①求；②若，則稱該輪次為一個“成功輪次”．在連續(xù)輪次的投籃活動中，記“成功輪次”的數(shù)量為Y，當n為何值時，的值最大？【變式2】（25-26高三上·云南·期中）有一個翻牌游戲，規(guī)則如下：每一輪翻牌兩次，每次翻出花色牌的概率為，且每次翻牌相互獨立.若參與者在一輪翻牌游戲中，翻出的花色牌數(shù)不少于1，則獲得一份精美禮品（多次參與可獲得多份精美禮品）.(1)若甲參與一輪翻牌游戲，求甲獲得一份精美禮品的概率；(2)若乙參與三輪翻牌游戲，設(shè)乙獲得的精美禮品數(shù)量為，求的分布列與期望.【變式3】（24-25高二下·福建泉州·期末）如圖所示，已知一質(zhì)點在外力的作用下，從原點出發(fā)，每次向左移動的概率為，向右移動的概率為．若該質(zhì)點每次移動一個單位長度，設(shè)經(jīng)過5次移動后，該質(zhì)點位于的位置，則．

題型五超幾何分布答｜題｜模｜板1.填空題（常考：超幾何分布判斷、指定概率計算）答題模板：步驟1：判斷分布類型（明確試驗為“無放回抽樣、總體有限”，確定，標注N（總體容量）、M（特殊元素個數(shù)）、n（抽樣個數(shù)））；步驟2：計算指定概率（代入超幾何分布概率公式，注意k的取值范圍為）；步驟2：計算指定概率（代入超幾何分布概率公式，注意k的取值范圍為）；步驟3：規(guī)范書寫分布類型（含參數(shù)）及概率結(jié)果.2.解答題（?？迹撼瑤缀畏植既≈捣秶?、概率計算、期望求解）答題模板：步驟1：確定隨機變量取值（根據(jù)和，列出X的所有可能取值）；步驟1：確定隨機變量取值（根據(jù)和，列出X的所有可能取值）；步驟2：計算指定概率（代入超幾何概率公式，準確計算組合數(shù)，可簡化分式后再運算）；步驟3：求期望（代入超幾何分布期望公式，直接計算，無需重復(fù)推導(dǎo)）；步驟4：規(guī)范書寫解題過程，明確分布判斷依據(jù)和公式應(yīng)用.【典例1】（25-26高三上·山東濰坊·月考）某地區(qū)從高一年級的物理測試中隨機抽取了100名學(xué)生的物理成績，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)估計該地區(qū)本次物理測試的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）；(2)該地區(qū)某學(xué)校建議此次物理測試成績在本地區(qū)前60%的學(xué)生選科報物理方向，試估計報物理方向的學(xué)生本次成績不低于多少分？（結(jié)果保留整數(shù)）(3)從成績位于區(qū)間和的答卷中，采用分層抽樣隨機抽取7份，再從這7份中隨機抽取3份，設(shè)成績在的答卷份數(shù)為隨機變量X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．【典例2】（24-25高二下·福建福州·期末）“英才計劃”最早開始于2013年，由中國科協(xié)、教育部共同組織實施，到2023年已經(jīng)培養(yǎng)了6000多名具有創(chuàng)新潛質(zhì)的優(yōu)秀中學(xué)生，為選拔培養(yǎng)對象，某高校在暑假期間從中學(xué)里挑選優(yōu)秀學(xué)生參加數(shù)學(xué)和物理學(xué)科夏令營活動．(1)若參加數(shù)學(xué)學(xué)科夏令營的7名中學(xué)生中恰有3人來自中學(xué)，從這7名中學(xué)生中選取3名中學(xué)生，求選取的中學(xué)生中來自中學(xué)的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)在夏令營活動中，物理學(xué)科舉行了一次學(xué)科知識競答活動，規(guī)則如下：兩人一組，每一輪競答中，每人分別答兩題，若小組答對題數(shù)不小于3，則取得本輪勝利．已知甲乙兩位同學(xué)組成一組，甲、乙答對每道題的概率分別為，．假設(shè)甲、乙兩人每次答題相互獨立，且互不影響．（i）求甲、乙兩位同學(xué)所在組每輪答題中取勝的概率；（ii）當時，求的最大值．【變式1】（22-23高三上·海南·月考）全國中學(xué)生生物學(xué)競賽隆重舉行．為做好考試的評價工作，將本次成績轉(zhuǎn)化為百分制，現(xiàn)從中隨機抽取了50名學(xué)生的成績，經(jīng)統(tǒng)計，這批學(xué)生的成績?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中的值，并估計這50名學(xué)生成績的中位數(shù)；(2)在這50名學(xué)生中用分層抽樣的方法從成績在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三組中抽取了11人，再從這11人中隨機抽取3人，記為3人中成績在[80，90)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；【變式2】（24-25高一下·上?！て谀﹫D為某平臺向100名觀眾征集某電影的評分結(jié)果的頻率分布直方圖．(1)求的值；(2)估計這100名觀眾評分的平均數(shù)；(3)從評分在和的觀眾中按照分層抽樣的方法隨機抽取7人進行問卷調(diào)查，再從這7人中隨機抽取3人進行訪談，求被抽到的3人中評分在的人數(shù)的分布、期望和方差．【變式3】【多選題】（24-25高二下·河南商丘·月考）袋中有8個大小相同的球，其中3個黑球、5個白球.現(xiàn)從中任取4個球，記這4個球中黑球的個數(shù)為，則（

）A．隨機變量服從超幾何分布B．C．D．記這4個球中白球的個數(shù)為，則題型六隨機變量的數(shù)字特征（期望、方差、標準差）答｜題｜模｜板1.選擇題（?？迹弘x散型隨機變量期望、方差計算）答題模板：步驟1：提取分布列數(shù)據(jù)（明確隨機變量的所有可能取值及對應(yīng)概率）；步驟1：提取分布列數(shù)據(jù)（明確隨機變量的所有可能取值及對應(yīng)概率）；步驟2：計算期望（代入通用公式，依次計算并求和）；步驟2：計算期望（代入通用公式，依次計算并求和）；步驟3：計算方差（代入通用公式，或簡化公式，優(yōu)先選簡化公式減少運算量）；步驟3：計算方差（代入通用公式，或簡化公式，優(yōu)先選簡化公式減少運算量）；步驟4：對比選項，得出答案.2.解答題（常考：利用期望、方差性質(zhì)計算）答題模板：步驟1：明確已知分布類型（如二項分布），求原隨機變量的期望和方差和方差（直接用對應(yīng)分布的專用公式）；步驟2：回憶期望、方差性質(zhì)（，，常數(shù)的期望為自身、方差為0）；步驟2：回憶期望、方差性質(zhì)（，，常數(shù)的期望為自身、方差為0）；步驟3：代入性質(zhì)公式計算目標隨機變量（如）的和；步驟3：代入性質(zhì)公式計算目標隨機變量（如）的和；步驟4：規(guī)范書寫，標注公式依據(jù)（如“由期望性質(zhì)可知”“由二項分布期望公式可得”）.【典例1】（2026高三·全國·專題練習(xí)）某學(xué)校擬建立一座教學(xué)樓，采取競標的方式從多家建筑公司選取一家建筑公司，經(jīng)過層層篩選，甲、乙兩家建筑公司進入最后的招標．現(xiàn)從建筑設(shè)計院聘請專家設(shè)計了一個招標方案：兩家公司從6個招標問題中隨機抽取3個問題，已知這6個招標問題中，甲公司能正確回答其中4道題目，而乙公司能正確回答每道題目的概率均為，甲、乙兩家公司對每題的回答都是相互獨立，互不影響的．分別求甲、乙兩家公司答對題數(shù)的分布列，請從期望和方差的角度分析，甲、乙兩家哪家公司競標成功的可能性更大？【典例2】【多選題】（25-26高二上·全國·課后作業(yè)）若隨機變量服從兩點分布，其中，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【變式1】（23-24高三上·北京海淀·期末）甲、乙、丙三人進行投籃比賽，共比賽10場，規(guī)定每場比賽分數(shù)最高者獲勝，三人得分（單位：分）情況統(tǒng)計如下：場次12345678910甲8101071288101013乙9138121411791210丙121191111998911(1)從上述10場比賽中隨機選擇一場，求甲獲勝的概率；(2)在上述10場比賽中，從甲得分不低于10分的場次中隨機選擇兩場，設(shè)X表示乙得分大于丙得分的場數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)假設(shè)每場比賽獲勝者唯一，且各場相互獨立，用上述10場比賽中每人獲勝的頻率估計其獲勝的概率.甲、乙、丙三人接下來將進行6場投籃比賽，設(shè)為甲獲勝的場數(shù)，為乙獲勝的場數(shù)，為丙獲勝的場數(shù)，直接寫出方差，，的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）【變式2】（2025高三·全國·專題練習(xí)）變量的分布列如下：01其中，若，則的值是．【變式3】【多選題】（2025高三·全國·專題練習(xí)）（多選）甲、乙兩人進行乒乓球比賽，現(xiàn)采用三局兩勝制度，規(guī)定每局比賽都沒有平局（必須分出勝負），且每一局甲贏的概率都是，隨機變量表示最終的比賽局數(shù)，若，則下列結(jié)論可能正確的是（

）A． B． C． D．題型七正態(tài)分布答｜題｜模｜板1.選擇題（?？迹赫龖B(tài)分布對稱性應(yīng)用、概率計算）答題模板：步驟1：明確正態(tài)分布參數(shù)（由，確定對稱軸，記住）；步驟1：明確正態(tài)分布參數(shù)（由，確定對稱軸，記住）；步驟2：利用對稱性轉(zhuǎn)化區(qū)間（如，）；步驟2：利用對稱性轉(zhuǎn)化區(qū)間（如，）；步驟3：結(jié)合已知概率計算目標概率（如）；步驟3：結(jié)合已知概率計算目標概率（如）；步驟4：對比選項，得出答案.2.解答題（常考：正態(tài)分布參數(shù)識別、3σ原則應(yīng)用、概率計算）答題模板：步驟1：識別和（由直接得出，）；步驟1：識別和（由直接得出，）；步驟2：應(yīng)用3σ原則（明確、等區(qū)間，直接套用已知概率值：，）；步驟2：應(yīng)用3σ原則（明確、等區(qū)間，直接套用已知概率值：，）；步驟3：計算特殊區(qū)間概率（如“超過”，利用對稱性和3σ原則，）；步驟3：計算特殊區(qū)間概率（如“超過”，利用對稱性和3σ原則，）；步驟4：規(guī)范書寫，標注參數(shù)含義和3σ原則依據(jù).【典例1】（2026高三·全國·專題練習(xí)）某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．越小，該物理量在一次測量中在的概率越大B．越小，該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5C．越小，該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等D．越小，該物理量在一次測量中落在與落在的概率相等【典例2】（25-26高三上·湖南·期中）已知隨機變量，設(shè)函數(shù).若，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式1】（25-26高三上·湖北黃岡·期中）已知隨機變量，，且，若，則（

）A．0.09 B．0.82 C．0.91 D．0.21【變式2】（25-26高三上·湖南長沙·月考）某高中學(xué)校計劃通過體質(zhì)測試，了解學(xué)生體質(zhì)健康水平．規(guī)定按照成績由高到低，前的學(xué)生測試成績記為“優(yōu)秀”．為了了解本次體質(zhì)測試情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績（單位：分，得分取正整數(shù)，）作為樣本進行統(tǒng)計，將成績進行整理后，分為六組（如圖）：(1)求的值并估計記為“優(yōu)秀”的最低分數(shù)；(2)如果用按比例分層抽樣的方法從樣本成績?yōu)楹偷膶W(xué)生中共抽取8人，再從8人中選4人，記4人中成績不合格（成績低于60分）的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列與期望；(3)經(jīng)統(tǒng)計，高中生體質(zhì)測試成績近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本的標準差，并已求得．體質(zhì)監(jiān)測中心計劃從全市抽取名高中生進行體質(zhì)測試，記這名高中生的體質(zhì)測試成績恰好落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：若，則．【變式3】【多選題】（2025·福建三明·模擬預(yù)測）已知某精密儀器測量金屬薄片的誤差服從正態(tài)分布，隨機抽取10個測量數(shù)據(jù)，設(shè)為這10個數(shù)據(jù)誤差在之外的個數(shù)，下列說法正確的是（已知若隨機變量，則）（

）A． B．C． D．題型八一元線性回歸模型答｜題｜模｜板1.解答題（常考：樣本中心點計算、回歸直線方程求解、預(yù)測應(yīng)用）答題模板：步驟1：計算樣本中心點（代入均值公式：，，準確計算求和結(jié)果）；步驟1：計算樣本中心點（代入均值公式：，，準確計算求和結(jié)果）；步驟2：求解回歸系數(shù)和截距（代入回歸系數(shù)公式，或簡化公式；再由計算截距）；步驟2：求解回歸系數(shù)和截距（代入回歸系數(shù)公式，或簡化公式；再由計算截距）；步驟3：寫出回歸直線方程（規(guī)范表示為）；步驟3：寫出回歸直線方程（規(guī)范表示為）；步驟4：進行預(yù)測（將目標代入回歸方程，計算，并說明預(yù)測意義）；步驟5：規(guī)范書寫，標注公式依據(jù)，保留適當計算精度.【典例1】（2026高三·全國·專題練習(xí)）我國某農(nóng)業(yè)大學(xué)植物研究所相關(guān)人員為了解仙人掌的植株高度(單位：)，與其根莖長度(單位：)之間是否存在線性相關(guān)的關(guān)系，通過采樣和數(shù)據(jù)記錄得到如下數(shù)據(jù)：樣本編號1234根莖長度10121416植株高度6286112132參考數(shù)據(jù)：，，.(1)由上表數(shù)據(jù)計算相關(guān)系數(shù)，并說明是否可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系(若，則可用線性回歸模型擬合，計算結(jié)果精確到0.001)；(2)求y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程．附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式，相關(guān)系數(shù)r的公式分別為，【典例2】【多選題】（25-26高三上·福建福州·月考）某社會機構(gòu)統(tǒng)計了某市四所大學(xué)年畢業(yè)生人數(shù)及自主創(chuàng)業(yè)人數(shù)如表：A大學(xué)B大學(xué)C大學(xué)D大學(xué)畢業(yè)生人數(shù)x（千人）345m自主創(chuàng)業(yè)人數(shù)y（千人）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)得到自主創(chuàng)業(yè)人數(shù)關(guān)于畢業(yè)生人數(shù)的經(jīng)驗回歸方程為，則（

）A．y與x正相關(guān)B．C．當時，殘差為D．樣本的相關(guān)系數(shù)r為負數(shù)【變式1】（2025·廣西來賓·模擬預(yù)測）現(xiàn)代物流成為繼勞動力、自然資源外影響企業(yè)生產(chǎn)成本及利潤的重要因素.某企業(yè)去年前八個月的物流成本（單位：萬元）和企業(yè)利潤的數(shù)據(jù)（單位：萬元）如下表所示：月份12345678物流成本8383.58086.58984.57986.5利潤114116106122132114132殘差0.20.61.8-3-1-4.6根據(jù)最小二乘法公式求得經(jīng)驗回歸方程為.(1)求的值，并利用已知的經(jīng)驗回歸方程求出8月份對應(yīng)的殘差值；(2)請先求出線性回歸模型的決定系數(shù)（精確到0.0001），若根據(jù)非線性模型求得解釋變量（物流成本）對于響應(yīng)變量（利潤）的決定系數(shù)，請說明以上兩種模型哪種模型擬合效果更好.參考公式及數(shù)據(jù)：，，.【變式2】（2025高二·全國·專題練習(xí)）有一種速度叫中國速度，有一種驕傲叫中國高鐵.高鐵可以說是中國的一張行走的名片.截至2020年，中國高鐵運營里程已經(jīng)達到3.9萬千米.2013年至2020年中國高鐵每年的運營里程統(tǒng)計如下表，它反映了中國高鐵的飛速發(fā)展.年份20132014201520162017201820192020年份代碼x12345678運營里程y/萬千米1.31.61.92.22.52.93.53.9根據(jù)以上數(shù)據(jù)，回答下面的問題.(1)甲同學(xué)用曲線來擬合，并算出相關(guān)系數(shù)；乙同學(xué)用曲線來擬合，并算出轉(zhuǎn)化為線性回歸方程所對應(yīng)的相關(guān)系數(shù).請判斷哪一個更適合作為y關(guān)于x的回歸方程類型，并說明理由.(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的回歸方程.（系數(shù)精確到0.1）(3)請你利用得到的模型，預(yù)測2030年中國高鐵的運營里程將達到多少萬千米.參考公式：用最小二乘法求線性回歸方程的系數(shù)，公式為；參考數(shù)據(jù)：，令，.【變式3】【多選題】（24-25高二下·山東棗莊·期末）某地新開了一條夜市街，每晚最多能接納10萬人.主辦公司計劃通過廣告宣傳提高客流量.通過調(diào)研，發(fā)現(xiàn)投入的廣告費x與每晚客流量y存在如下關(guān)系：x/萬元12345y/千人568.1914.5附，，，，令，，，.現(xiàn)用曲線擬合變量x與y的相關(guān)關(guān)系，并利用一元線性回歸模型求參數(shù)，的最小二乘估計，依所求回歸方程C為預(yù)測依據(jù)，則（

）A．曲線C經(jīng)過點B．C．若投入廣告費9萬元，則每晚客流量會超過夜市接納能力D．廣告費每增加1萬元，每晚客流量增加3000人題型九獨立性檢驗答｜題｜模｜板1.解答題（?？迹嚎ǚ浇y(tǒng)計量計算、獨立性判斷）答題模板：步驟1：整理2×2列聯(lián)表數(shù)據(jù)（明確a、b、c、d的取值，a為第一行第一列數(shù)據(jù)，b為第一行第二列，c為第二行第一列，d為第二行第二列，計算總樣本量n）；步驟2：計算卡方統(tǒng)計量（代入公式，分步計算分子和分母各因式，再求比值）；步驟2：計算卡方統(tǒng)計量（代入公式，分步計算分子和分母各因式，再求比值）；步驟3：進行獨立性判斷（對比計算結(jié)果與臨界值，如“若，則有95%的把握認為兩變量有關(guān)聯(lián)；否則無足夠把握”）；步驟4：規(guī)范書寫，標注列聯(lián)表數(shù)據(jù)對應(yīng)關(guān)系、公式依據(jù)，明確判斷結(jié)論.【典例1】（25-26高三上·河北·期中）某公司想了解員工對薪資的滿意度情況，對該公司的100名員工進行薪資滿意度調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如表所示：入職年限對薪資滿意度情況合計滿意不滿意入職年限不少于2年202040入職年限少于2年402060合計6040100(1)根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析該公司員工對薪資的滿意度是否與入職年限有關(guān)；(2)從樣本中對薪資滿意的員工中隨機抽取2人，求這2人的入職年限都少于2年的概率.附0.10.050.012.7063.8416.635【典例2】（25-26高三上·湖北武漢·月考）某種疾病分為甲、乙兩種類型，為研究該疾病的類型與患者性別是否有關(guān)，隨機抽取了名患者進行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：性別疾病類型合計甲型病乙型病男女合計(1)根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，得出了“所患疾病的類型與性別有關(guān)”的結(jié)論，求的最小值；(2)現(xiàn)對部分人群接種預(yù)防甲型疾病的疫苗，要求每人至多安排2個周期接種疫苗，每人每周期必須接種3次，每次接種后，產(chǎn)生抗體的概率為0.8．如果一個周期內(nèi)至少2次產(chǎn)生抗體，那么該周期結(jié)束后終止接種，否則進入第二個周期．已知每人每周期接種費用為30元，試估計1000人接種疫苗總費用的期望．附，0.010.0050.0016.6357.87910.828【變式1】（25-26高三上·河南鄭州·期中）已知某市組建了一支300人的志愿者隊伍，并由其中200人組成“志愿模范隊”．經(jīng)過一年的實踐，全隊共有200人的周平均服務(wù)時長超過2小時，其中有150人來自“志愿模范隊”，如下表所示．是“志愿模范隊”成員不是“志愿模范隊”成員總計周平均服務(wù)時長超過2小時150200周平均服務(wù)時長不超過2小時總計200300(1)請完成2×2列聯(lián)表，并根據(jù)表中數(shù)據(jù)回答：根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為“是“志愿模范隊”成員”與“周平均服務(wù)時長超過2小時”有關(guān)系？(2)由于該市志愿者工作成效優(yōu)異，現(xiàn)向全省推廣該市經(jīng)驗，在全省每個市縣都成立志愿者隊伍，請以該市志愿者隊伍的樣本頻率作為概率的值，在全省的志愿者隊伍中任選3人，記周平均服務(wù)時長超過2小時且不是“志愿模范隊”成員的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附錄：，其中．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【變式2】【多選題】（2026高三·全國·專題練習(xí)）針對時下的“抖音熱”，某校團委對“學(xué)生性別和喜歡抖音是否有關(guān)”做了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男、女生人數(shù)相同，男生喜歡抖音的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡抖音的人數(shù)占女生人數(shù)的，若有的把握認為是否喜歡抖音和性別有關(guān)，則調(diào)查人數(shù)中男生可能有（

）附表：附：A．人 B．人 C．人 D．人【變式3】（24-25高二下·上?！て谀┽槍Α爸袑W(xué)生追星問題”，某校團委對“學(xué)生性別和中學(xué)生追星是否有關(guān)”作了一次調(diào)查．在全校學(xué)生中隨機抽取（是正整數(shù)）個學(xué)生，其中女生人數(shù)是男生人數(shù)的，男生追星的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生追星的人數(shù)占女生人數(shù)的，若根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，判斷中學(xué)生追星與性別有關(guān)，則男生至少有人．參考數(shù)據(jù)及公式如下：0.0500.0100.0013.8416.63510.828參考公式：，其中．期末基礎(chǔ)通關(guān)練（測試時間：30分鐘）1．（24-25高二下·湖南衡陽·期末）一個體育隊有4名女運動員和3名男運動員，現(xiàn)從隊伍抽樣尿檢，每次從中抽選1個運動員，抽出的運動員不再檢查，則在第1次抽到女運動員的條件下，第2次抽到男運動員的概率為（

）A． B． C． D．2．（24-25高二下·四川綿陽·期末）現(xiàn)有3箱酸奶，里面都裝有水果味和原味兩種口味，第一箱內(nèi)裝有10袋，其中有2袋是水果味；第二箱內(nèi)裝有15袋，其中有3袋是水果味；第三箱內(nèi)裝有20袋，其中有5袋是水果味．現(xiàn)從三箱中任意選擇一箱，然后從該箱中隨機取1袋酸奶．取出的酸奶是水果味的概率為．3．（24-25高二下·甘肅臨夏·期末）已知事件滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若互斥，則B．若，則C．若與相互獨立，則D．若，則與相互獨立4．（22-23高二下·河南周口·期中）下面給出四個隨機變量：①一高速公路上某收費站在十分鐘內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)；②一個沿軸進行隨機運動的質(zhì)點，它在軸上的位置；③某派出所一天內(nèi)接到的報警電話次數(shù)；④某同學(xué)上學(xué)路上離開家的距離．其中是離散型隨機變量的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．45．【多選題】（24-25高二下·廣東江門·期末）已知離數(shù)型隨機變量X的分布列如下表所示：X012P下列說法正確的是（）A． B． C． D．6．（24-25高二下·廣東廣州·期末）如圖，一個質(zhì)點在隨機外力的作用下，從原點O處出發(fā)，每隔1秒等可能地向左或向右移動一個單位，共移動5次，則質(zhì)點位于的位置的概率為（

）

A． B． C． D．7．（24-25高二下·廣東肇慶·期末）某同學(xué)參加招聘考試，筆試部分有三個題目，根據(jù)經(jīng)驗他答對每一題的概率均為，至少答對兩題才能進入面試，則該同學(xué)能進入面試的概率為（

）A． B． C． D．8．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）已知離散型隨機變量X的分布列如下，若，則＝（

）X－10a2PbA． B．1 C． D．9．（24-25高二下·四川綿陽·期末）一批產(chǎn)品根據(jù)質(zhì)量指標分為正品和次品，且次品率為，隨機抽取1件，定義則隨機變量的方差（

）A． B． C． D．10．（24-25高二下·廣東江門·期末）從2016年1月1日起全國統(tǒng)一實施全面兩孩政策，為了解適齡民眾對放開生二孩政策的態(tài)度，某市選取80后作為調(diào)查對象，隨機調(diào)查了10人，其中打算生二胎的有4人，不打算生二胎的有6人.(1)從這10人中隨機抽取3人，記打算生二胎的人數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若以這10人的樣本數(shù)據(jù)估計該市的總體數(shù)據(jù)，且以頻率作為概率，從該市80后中隨機抽取3人，記打算生二胎的人數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，方差.11．【多選題】（24-25高二下·江蘇南京·期末）下列命題中，真命題有（）A．數(shù)據(jù)6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的70%分位數(shù)是8.5B．若隨機變量，則C．已知兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸直線方程為；若，則；D．若，則12．（24-25高二下·吉林·期末）某廠進行技術(shù)改造后，生產(chǎn)產(chǎn)品過程中記錄的時間x（單位：天）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（單位：噸）的幾組數(shù)據(jù)，如下表所示.若y與x線性相關(guān)，且線性回歸方程為，則下列說法不正確的是（

）時間x12345生產(chǎn)能耗y/噸54.543.52.5A．由題中數(shù)據(jù)可知，變量y與x負相關(guān) B．線性回歸方程中C．當時，殘差為- D．可以預(yù)測當時能耗約為2.2噸13．（24-25高二下·湖北孝感·期末）為研究某新藥的療效，給100名患者服用此藥，跟蹤調(diào)查后得如表所示的數(shù)據(jù):單位:名性別療效合計無效有效男性患者153550女性患者64450合計2179100α0.1000.0500.0102.7063.8416.635設(shè):服用此藥的效果與患者的性別無關(guān)，（小數(shù)點后保留3位有效數(shù)字），從而得出結(jié)論:服用此藥的效果與患者的性別有關(guān)，這種判斷出錯的概率不大于.14．（24-25高二下·江西·期末）某飲品店統(tǒng)計了一天營業(yè)時間（單位：小時）與飲品銷量（單位：杯）的數(shù)據(jù)如下表：營業(yè)時間12345飲品銷量1736567799已知與線性相關(guān)．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)求飲品銷量關(guān)于營業(yè)時間的回歸直線方程；(2)若平均一杯飲品的純利潤為5元，某日該飲品店計劃早上9點開始營業(yè)，晚上9點結(jié)束營業(yè)，中間不休息，試預(yù)測當日飲品的總利潤能否超過1000元？參考公式：回歸直線方程中，，．期末重難突破練（測試時間：100分鐘）一、單選題1．（24-25高二下·山東威?！て谀┮阎S機事件A，B滿足，，，則（

）A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.82．（24-25高二下·云南曲靖·期末）某社區(qū)開展防疫值班工作，甲乙丙三人輪流參與，規(guī)則如下：①第1天安排甲值班；②第2天從乙丙兩人中隨機選1人值班；③第天，從前一天未值班的2人中隨機選1人值班，則第天甲值班的概率為（

）A． B． C． D．3．（24-25高二下·廣東廣州·期末）已知連續(xù)型隨機變量，記函數(shù)，則的圖象（

）A．關(guān)于直線對稱 B．關(guān)于點對稱C．關(guān)于直線對稱 D．關(guān)于點對稱二、多選題4．（24-25高二下·重慶沙坪壩·期末）擲2次質(zhì)地均勻的骰子，記事件為“兩次擲出的數(shù)字相同”，事件為“兩次擲出的數(shù)字不同”，事件為“兩次擲出的數(shù)字之和為奇數(shù)”，事件為“兩次擲出的數(shù)字之和為偶數(shù)”，則下列說法正確的有（

）A．和互斥 B．和獨立 C． D．5．（24-25高二下·福建漳州·期末）甲箱中有2個白球和3個黑球，乙箱中有3個白球和2個黑球．先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱中，以，分別表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再從乙箱中隨機取出一球，以B表示從乙箱中取出的是白球，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．6．（24-25高二下·福建福州·期末）一口袋中有除顏色外完全相同的4個紅球和2個白球，從中無放回的隨機取兩次，每次取1個球，記事件：第一次取出的是紅球；事件：第一次取出的是白球；事件B：取出的兩球同色；事件C：取出的兩球中至少有一個紅球，則下列說法中正確的是（

）A．事件，為對立事件 B．C．事件B，C為獨立事件 D．7．（24-25高二下·山西·期末）如圖，一個質(zhì)點在外力的作用下，從原點0出發(fā)，每次等可能地向左或向右移動一個單位，設(shè)經(jīng)過6次移動后，該質(zhì)點位于的位置，記其概率為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題8．（24-25高二下·福建漳州·期末）一個書包中有標號為“”的張卡片．一個人每次從中拿出一張卡片，并且不放回；如果他拿出一張與已拿出的卡片中有相同標號的卡片，則他將兩張卡片都扔掉；如果他手中有3張單張卡片或者書包中卡片全部被拿走，則操作結(jié)束，記書包中卡片全部被拿走的概率為，則；．9．（24-25高一下·江西宜春·期末）某校元旦晚會設(shè)計了一個抽獎游戲，主持人從編號為四個外觀相同的空箱子中隨機選擇一個，放入獎品，再將四個箱子關(guān)閉，即主持人知道獎品在哪個箱子．當抽獎人選擇某個箱子后，在箱子打開之前，主持人會隨機打開一個沒有獎品的箱子，并問抽獎人是否愿意更改選擇以便增加中獎概率．已知甲先選擇了號箱子，則在主持人打開號箱子的情況下，獎品在號箱子的概率為.10．（24-25高三上·河北唐山·期末）某同學(xué)進行投籃訓(xùn)練，每次投籃次數(shù)為n，，，每次投籃的命中率都為p，隨機變量表示投籃命中的次數(shù)，服從二項分布，記，當時，可認為服從標準正態(tài)分布，已知該同學(xué)每次投籃的命中率均為0.5，每次投籃命中得2分，不中得0分．若，則該同學(xué)投中次數(shù)的期望為次；若保證該同學(xué)n次投籃總得分在區(qū)間的概率不低于0.8，則n的最小值為．附：，則，．11．（21-22高二下·上海黃浦·期末）針對“中學(xué)生追星問題”，某校團委對“學(xué)生性別和中學(xué)生追星是否有關(guān)“作了一次調(diào)查，其中女生人數(shù)是男生人數(shù)的，男生追星的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生追星的人數(shù)占女生人數(shù)的，若有的把握認為中學(xué)生追星與性別有關(guān)，則女生至少有人．參考數(shù)據(jù)及公式如下：0.0500.0100.0013.8416.63510.828，．四、解答題12．（23-24高三上·福建泉州·期末）一個袋子中有10個大小相同的球，其中紅球7個，黑球3個．每次從袋中隨機摸出1個球，摸出的球不再放回．(1)求第2次摸到紅球的概率；(2)設(shè)第1，2，3次都摸到紅球的概率為，第1次摸到紅球的概率為，在第1次摸到紅球的條件下，第2次摸到紅球的概率為，在第1，2次都摸到紅球的條件下，第3次摸到紅球的概率為，求，，，；(3)對于事件，試根據(jù)（2）寫出，，，的等量關(guān)系式，并加以證明．13．（24-25高二下·貴州安順·期末）甲、乙兩選手進行象棋比賽，假設(shè)各局比賽的結(jié)果相互獨立，且每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，比賽分出勝負時結(jié)束．(1)若，比賽采用三局兩勝制，求乙獲勝的概率；(2)若比賽有兩種賽制，五局三勝制和三局兩勝制，且，試分析哪種賽制下甲獲勝的概率更大，并說明理由；(3)設(shè)，已知甲、乙進行了局比賽且甲勝了8局，試給出的估計值（表示局比賽中甲勝的局數(shù)，以使得最大的的值作為的估計值）．14．（24-25高二下·江西·期末）盛夏來臨，某棋牌室舉辦為期一周的“消夏”圍棋活動，分為趣味賽和積分賽（每局比賽必須決出勝負），規(guī)則如下：前2天舉辦趣味賽，每天僅首局比賽可獲得積分，獲勝得1分，失敗得0分；積分賽在后5天進行，每天只有前兩局比賽可獲得積分，首局獲勝得2分，次局獲勝得1分，失敗得0分．小張這一周中每天至少參加兩局圍棋比賽，已知她每天第一局和第二局比賽獲勝的概率分別為，，且各局比賽相互獨立．(1)已知趣味賽兩天積分不為0的參賽選手可獲得精美禮品一份，．（i）求小張在趣味賽中獲得精美禮品的概率；（ii）在小張獲得精美禮品的條件下，求小張2天趣味賽僅積1分的概率；(2)設(shè)小張在后5天的積分賽中，恰有2天每天積分不低于1分的概率為，求的最大值．15．（24-25高二下·福建泉州·期末）隨著中美關(guān)稅戰(zhàn)的不斷升級，某企業(yè)大大加強科技研發(fā)投入的力度，為確定下一年對某產(chǎn)品進行科技升級的研發(fā)費用，需了解該產(chǎn)品年研發(fā)費用（單位：千萬元）對年銷售量（單位：千萬件）的影響.根據(jù)市場調(diào)研與模擬，對收集的數(shù)據(jù)進行初步處理，得到散點圖及一些統(tǒng)計量的值如30.5151546.5表中，.(1)根據(jù)散點圖判斷，與哪一個更適合作為年銷售量關(guān)于年研發(fā)費用的回歸方程模型（給出判斷即可，不必說明理由）；(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程，并估計年研發(fā)費用為27千萬元時年銷售量的值；(3)科技升級后，該產(chǎn)品的效率大幅提高，經(jīng)試驗統(tǒng)計得大致服從正態(tài)分布.企業(yè)對科技升級團隊的獎勵方案如下：若不超過50%，不予獎勵；若超過50%，但不超過53%，每件產(chǎn)品獎勵2元；若超過53%，每件產(chǎn)品獎勵4元.記為每件產(chǎn)品獲得的獎勵，求（精確到0.01）.附：①對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.②若隨機變量，則，.③.期末綜合拓展練（測試時間：100分鐘）一、單選題1．（24-25高二下·安徽·期末）為測試一種新藥的有效性，研究人員對某種動物種群進行試驗，從該試驗種群中隨機抽查了100只，得到如下數(shù)據(jù)（單位：只）：發(fā)病