第四章等可能條件下的概率重難點(diǎn)檢測卷注意事項(xiàng)：本試卷滿分100分，考試時(shí)間120分鐘，試題共28題。答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置選擇題（10小題，每小題2分，共20分）1．（24-25九年級(jí)上·云南曲靖·階段練習(xí)）下列事件中，發(fā)生的可能性最小的是（

）A．標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水的沸點(diǎn)是B．杭州亞運(yùn)會(huì)上射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中10環(huán)C．北京某日的最高氣溫為D．用長，，的三根木棍首尾相接做成一個(gè)三角形【答案】D【分析】本題考查了隨機(jī)事件，必然事件和不可能事件，解答本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．利用隨機(jī)事件，必然事件和不可能事件的概念逐一判斷即可解題．【詳解】解：A．標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水的沸點(diǎn)為，是必然事件；B．杭州亞運(yùn)會(huì)上射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中10環(huán)，是隨機(jī)事件；C．北京某日的最高氣溫為，是隨機(jī)事件；D．用長為，，三根木棒做成一個(gè)三角形，是不可能事件；故選D．2．（23-24九年級(jí)上·廣東清遠(yuǎn)·階段練習(xí)）擲一枚六個(gè)面編號(hào)分別為1，2，3，4，5，6的質(zhì)地均勻的正方體骰子一次，則擲出奇數(shù)向上的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了概率公式，解題時(shí)牢記公式是關(guān)鍵．在正方體骰子中，寫有奇數(shù)的有3面，一共有6面，根據(jù)概率公式：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比求解即可．【詳解】解：在正方體骰子中，朝上的數(shù)字為奇數(shù)的情況有3種，分別是：1，3，5；骰子共有6面，∴擲出奇數(shù)向上的概率為：．故選：C．3．（24-25九年級(jí)上·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖，一個(gè)小球從點(diǎn)沿制定的軌道下落，在每個(gè)交叉口都有向左或向右兩種機(jī)會(huì)均相等的結(jié)果，那么，小球最終到達(dá)點(diǎn)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了根據(jù)概率公式求概率．根據(jù)圖形得出小球能夠最終到達(dá)的點(diǎn)的所有可能情況數(shù)為4，小球最終到達(dá)H點(diǎn)的結(jié)果數(shù)為1，再根據(jù)概率公式可計(jì)算出小球最終到達(dá)H點(diǎn)的概率即可．【詳解】解：根據(jù)圖形可知：小球最終到達(dá)的點(diǎn)有E、F、G、H，即共有4種等可能的結(jié)果數(shù)，其中小球最終到達(dá)H點(diǎn)的結(jié)果數(shù)為1，∴小球最終到達(dá)H點(diǎn)的概率為．故選：B．4．（24-25九年級(jí)上·江蘇泰州·階段練習(xí)）如圖，在扇形中，，正方形的頂點(diǎn)分別在弧上，連接．在扇形內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落在陰影部分的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查正方形的性質(zhì)，幾何概率，理解是解題關(guān)鍵．根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，再根據(jù)幾何概率的概念求值即可．【詳解】如圖，連接，是正方形，，，，點(diǎn)P落在陰影部分的概率是，故選：B．5．（24-25九年級(jí)上·江蘇蘇州·期中）在一個(gè)不透明的袋子里裝有除數(shù)字外完全相同的3個(gè)小球，上面分別標(biāo)有數(shù)字2，3，4．先從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，再從袋中剩下的2個(gè)小球中隨機(jī)摸出一個(gè)小球．則摸出2個(gè)球上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查列表法求概率，列出表格，利用概率公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：由題意，列表如下：234256357467共有6種等可能的結(jié)果，其中和為偶數(shù)的結(jié)果有2種，∴；故選B．6．（2024九年級(jí)上·山東濟(jì)南·專題練習(xí)）一年一度的校園體育節(jié)來臨，學(xué)校組織活動(dòng)，體育節(jié)每個(gè)人都要從兩個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)，已知小明與小華在籃球和足球之間選擇，則他們選擇球類相同的概率估計(jì)值大約是（

）A．1 B．0.33 C．0.5 D．0.75【答案】C【分析】畫樹狀圖展示所有4種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出小聰和小明同時(shí)選考“足球”的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．本題考查了概率公式：隨機(jī)事件的概率（A）事件可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)除以所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．【詳解】解：依題意，畫樹狀圖為：共有4種等可能的結(jié)果數(shù)，其中小明與小華同時(shí)選擇球類相同的結(jié)果數(shù)為2，所以小明與小華同時(shí)選擇球類相同的概率．故選：C7．（2024·江蘇常州·二模）如圖，為的六等分點(diǎn)，甲同學(xué)從中任取三點(diǎn)畫一個(gè)三角形，乙同學(xué)用剩下的點(diǎn)畫一個(gè)三角形，則甲乙兩位同學(xué)所畫的三角形全等的概率為（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了幾何概率，由對稱性可知甲從六個(gè)點(diǎn)中選擇任意的三個(gè)點(diǎn)組成的三角形，與剩下的三個(gè)點(diǎn)組成的三角形的三條邊分別對應(yīng)相等，可得甲乙兩人所畫的三角形一定全等，據(jù)此可得答案．【詳解】解；∵為的六等分點(diǎn)，∴由對稱性可知甲從六個(gè)點(diǎn)中選擇任意的三個(gè)點(diǎn)組成的三角形，與剩下的三個(gè)點(diǎn)組成的三角形的三條邊分別對應(yīng)相等，∴甲乙兩人所畫的三角形一定全等，∴甲乙兩位同學(xué)所畫的三角形全等的概率為1，故選：B．8．（24-25九年級(jí)上·江蘇宿遷·期中）如圖，正方形是一塊綠化帶，其中陰影部分都是正方形的花圃，則自由飛翔的小鳥，隨機(jī)落在花圃上的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了幾何概率，正方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定．先證明是等腰直角三角形，得到，則，再證明是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，得到，進(jìn)而求出，由此求出陰影部分面積，再根據(jù)概率計(jì)算公式求解即可．【詳解】解：設(shè)正方形的的邊長為a，∵四邊形和四邊形都是正方形，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，同理可證是等腰直角三角形，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴．∴陰影部分的面積為．∴小鳥在花圃上的概率為．故選：C．9．（23-24八年級(jí)下·江蘇無錫·期末）事件：買體育彩票中一等獎(jiǎng)；事件：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，朝上的點(diǎn)數(shù)小于7；事件：在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，溫度低于時(shí)冰融化．3個(gè)事件的概率分別記為、、，則、、的大小關(guān)系正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題是概率類型的題目，熟悉必然事件，不可能事件，隨機(jī)事件的概率是解題的關(guān)鍵．先確定事件、事件、事件分別是隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件，接下來結(jié)合隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件的相關(guān)知識(shí)分別求出、、的取值，對其排序，即可完成解答．【詳解】解：事件：買體育彩票中一等獎(jiǎng)，是隨機(jī)事件，故；事件：拋擲一個(gè)均勻的骰子，朝上的點(diǎn)數(shù)小于7是必然事件，故；事件：在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，溫度低于時(shí)冰融化是不可能事件，．所以，．故選：B．10．（20-21九年級(jí)上·江蘇鹽城·期末）我們研究過的圖形中，圓的任何一對平行切線的距離總是相等的，所以鬧息“等寬曲線”．除了圓以外，還有一些幾何圖形也是“等寬曲線”，如勒洛三角形（如圖1)，它是分別以等邊三角形的每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間畫一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形．圖2是等寬的勒洛三角形和圓形滾木的截面圖（

）有如下四個(gè)結(jié)論：①勒洛三角形是中心對稱圖形；②使用截面是勒洛三角形的滾木來搬運(yùn)東西，不會(huì)發(fā)生上下抖動(dòng)；③圖2中，等邊三角形的邊長為，則勒洛三角形的周長為；④圖3中，在中隨機(jī)以一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自勒洛三角形部分的概率為，上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是(

)A．①② B．②④ C．②③ D．③④【答案】C【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，概率的概念分別判斷即可．【詳解】解：①勒洛三角形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故①錯(cuò)誤；②夾在平行線之間的萊洛三角形無論怎么滾動(dòng)，平行線間的距離始終不變，使用截面是勒洛三角形的滾木來搬運(yùn)東西，不會(huì)發(fā)生上下抖動(dòng)，故②正確；③設(shè)等邊三角形DEF的邊長為2，∴勒洛三角形的周長=，圓的周長=，故③正確；④設(shè)等邊三角形DEF的邊長為，∴陰影部分的面積為：；△ABC的面積為：，∴概率為：，故④錯(cuò)誤；∴正確的選項(xiàng)有②③；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的距離，等邊三角形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，概率的定義，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．二、填空題（8小題，每小題2分，共16分）11．（22-23九年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）布袋中有2個(gè)紅球和1個(gè)白球，它們除顏色外其他都一樣，如果從布袋中一次摸出兩個(gè)球，那么一次摸出的兩個(gè)球都是紅球的概率為．【答案】【分析】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法和樹狀圖法展示所有可能的結(jié)果求出，再從中選出符合事件或的結(jié)果數(shù)目，求出概率．畫樹狀圖，共有6個(gè)等可能的結(jié)果，摸到的兩個(gè)紅球的結(jié)果有2個(gè)，再由概率公式求解即可．【詳解】解：畫樹狀圖如圖：

共有6個(gè)等可能的結(jié)果，摸到的兩個(gè)紅球的有2種結(jié)果，摸到的兩個(gè)紅球的概率是：．故答案為：．12．（24-25九年級(jí)上·江蘇南京·期中）如圖，正方形內(nèi)接于，隨機(jī)向該圓形區(qū)域投擲飛鏢1次，假設(shè)飛鏢投中圓形區(qū)域中的每一點(diǎn)是等可能的（若投中邊界或沒有投中，則重投1次），則飛鏢恰好投中在正方形區(qū)域內(nèi)的概率是．【答案】【分析】本題考查了幾何概率．設(shè)正方形的邊長為a，則圓的直徑為，求出正方形的面積為，圓的面積為，然后用正方形的面積除以圓的面積即可求解．【詳解】解：設(shè)正方形的邊長為a，則圓的直徑為，∴正方形的面積為，圓的面積為，∴飛鏢恰好投中在正方形區(qū)域內(nèi)的概率是．故答案為：．13．（24-25九年級(jí)上·江蘇蘇州·期中）如圖，飛鏢游戲中每一塊小正方形除顏色外都相同．假設(shè)飛鏢擊中每一塊小正方形是等可能的（擊中小正方形的邊界線或沒有擊中游戲板，則重投次），任意投擲飛鏢次，擊中的小正方形的概率較大（填“黑色”或“白色”）．【答案】白色【分析】本題考查了幾何概率，用黑色小正方形和白色小正方形的個(gè)數(shù)分別除以正方形的總個(gè)數(shù)即可，解題的關(guān)鍵是正確理解如果一個(gè)事件有種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件出現(xiàn)種可能，那么事件的概率．【詳解】解：∵共有個(gè)小正方形，其中黑色正方形的有個(gè)，白色正方形有個(gè)，∴任意投擲飛鏢一次，剛好擊中黑色小正方形的概率是，任意投擲飛鏢一次，剛好擊中白色小正方形的概率是，∴，∴擊中白色的小正方形的概率較大，故答案為：白色．14．（24-25九年級(jí)上·天津河北·階段練習(xí)）一個(gè)不透明的口袋中裝有7個(gè)紅球，4個(gè)黃球，這些球除了顏色外無其它差別．從袋中隨機(jī)摸取一個(gè)小球，它是黃球的概率．【答案】【分析】本題考查簡單的概率計(jì)算．求出口袋中球的總數(shù)，再利用概率公式計(jì)算即可．【詳解】解：口袋中共有個(gè)球，∴從袋中隨機(jī)摸取一個(gè)小球，它是黃球的概率為．故答案為：．15．（22-23九年級(jí)上·重慶·階段練習(xí)）一個(gè)不透明的袋子中裝有個(gè)小球，它們除分別標(biāo)有的數(shù)字，，不同外，其他完全相同．任意從袋子中摸出一個(gè)球后放回并搖勻袋子中摸出一個(gè)球后放回并搖勻，再隨機(jī)摸出一個(gè)球，則兩次摸出的球所標(biāo)數(shù)字之和為負(fù)數(shù)的概率是．【答案】【分析】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．熟練畫出樹狀圖或列表是解題的關(guān)鍵．首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與兩次摸出的球所標(biāo)數(shù)字之和為負(fù)數(shù)的情況，然后利用概率公式求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意畫樹狀圖得：共有種等可能的結(jié)果，其中兩次摸出的球所標(biāo)數(shù)字之和為負(fù)數(shù)的有種，則兩次摸出的球所標(biāo)數(shù)字之和為負(fù)數(shù)的概率，故答案為：．16．（24-25九年級(jí)上·四川成都·階段練習(xí)）如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到，現(xiàn)隨機(jī)地向該圖形內(nèi)擲一枚小針，則針尖落在陰影部分概率為．【答案】【分析】本題考查幾何概率，勾股定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．證明陰影部分的面積三角形的面積，求出三角形的面積，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)．，，，，由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知，，，，，，現(xiàn)隨機(jī)地向該圖形內(nèi)擲一枚小針，則針尖落在陰影部分概率為．故答案為：．17．（24-25九年級(jí)上·四川成都·階段練習(xí)）如圖，四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間是個(gè)小正方形，這個(gè)圖形是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，現(xiàn)分別連接大、小正方形的四組頂點(diǎn)得到圖2的“風(fēng)車”圖案（陰影部分），若圖1中的四個(gè)直角三角形的較長直角邊為7，較短直角邊為4，現(xiàn)隨機(jī)向圖2大正方形內(nèi)擲一枚小針，則針尖落在陰影區(qū)域的概率為；【答案】【分析】此題主要考查了幾何概率及勾股定理，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率相應(yīng)的面積與總面積之比．根據(jù)題意易得，則圖中陰影部分是由中間的小正方形和四個(gè)全等三角形組成的，利用三角形和正方形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，由題意可知，，，∴，，則中間小正方形的面積為，小正方形的外陰影部分的，陰影部分的面積為，針尖落在陰影區(qū)域的概率為．故答案為：．18．（2022·北京東城·模擬預(yù)測）容器中有A，B，C，3種粒子，若相同種類的兩顆粒子發(fā)生碰撞，則變成一顆B粒子；不同種類的兩顆粒子發(fā)生碰撞，會(huì)變成另外一種粒子．例如，一顆A粒子和一顆B粒子發(fā)生碰撞則變成一顆C粒子．現(xiàn)有A粒子10顆，B粒子8顆，C粒子9顆，如果經(jīng)過各種兩兩碰撞后，只剩1顆粒子．給出下列結(jié)論：①最后一顆粒子可能是A粒子；

②最后一顆粒子一定是C粒子③最后一顆粒子一定不是B粒子；

④以上都不正確其中正確結(jié)論的序號(hào)是．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】①③/③①【分析】假設(shè)剩下的是A、B、C粒子，分別討論，列舉結(jié)果，進(jìn)行排除，最終得到結(jié)果．【詳解】解：（1）最后剩下的可能是A粒子．10顆A粒子兩兩碰撞，形成5顆B粒子；9顆C粒子中的8個(gè)兩兩碰撞，形成4顆B粒子；所有的17顆B粒子兩兩碰撞，剩下一顆B粒子；這個(gè)B粒子與剩下的一顆C粒子碰撞形成A粒子．（2）最后剩下的可能是C粒子．10顆A粒子中的9顆與9顆C粒子兩兩碰撞，形成9顆B粒子；所有的17顆B粒子兩兩碰撞，最后剩一顆B粒子；這個(gè)B粒子與剩下的一顆A粒子碰撞形成C粒子．（3）最后剩下的不可能是B粒子．A、B、C三種粒子每一次碰撞有以下6種可能的情況：A與A碰撞，會(huì)產(chǎn)生一顆B粒子，減少兩顆A粒子：（B多1個(gè)，A、C共減少兩個(gè)）；B與B碰撞，會(huì)產(chǎn)生一顆B粒子，減少兩顆B粒子：（B少1個(gè)，A、C總數(shù)不變）；C與C碰撞，會(huì)產(chǎn)生一顆B粒子，減少兩顆C粒子：（B多1個(gè)，A、C共減少兩個(gè)）；A與B碰撞，會(huì)產(chǎn)生一顆C粒子，減少A、B各一顆粒子：（B少1個(gè)，A、C總數(shù)不變）；A與C碰撞，會(huì)產(chǎn)生一顆B粒子，減少A、C各一顆粒子：（B多1個(gè)，A、C共減少兩個(gè)）；B與C碰撞，會(huì)產(chǎn)生一顆A粒子，減少B、C各一顆粒子：（B少1個(gè)，A、C總數(shù)不變），可以發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：①從B粒子的角度看：每碰撞一次，B粒子的數(shù)量增多一個(gè)或減少一個(gè)．題目中共有27顆粒子，經(jīng)過26次碰撞剩一顆粒子，整個(gè)過程變化了偶數(shù)次，由于開始B粒子共有8顆，所以26次碰撞之后，剩余的B粒子個(gè)數(shù)必為偶數(shù)，不可能是1個(gè)，所以，最后剩下的不可能是B粒子．②從A、C粒子的角度看：每次碰撞之后，A、C粒子總數(shù)或者不變、或者減少兩個(gè)．題目中A、C粒子之和為19個(gè)，無論碰撞多少次，A、C粒子都沒了是不可能的．所以，剩下的最后一顆粒子一定是A或C．故答案為：①③．【點(diǎn)睛】本題考查簡單的合情推理，需列舉，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，是解題的關(guān)鍵．三、解答題（10小題，共64分）19．（24-25九年級(jí)上·江蘇南京·期中）甲、乙兩名同學(xué)分別從某月1號(hào)、2號(hào)、3號(hào)中隨機(jī)選擇一天外出游玩．(1)甲選擇1號(hào)的概率為______；(2)用列表或樹狀圖求甲、乙恰好選擇相鄰兩天的概率．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了簡單事件的概率、樹狀圖或列表法求概率；求出所有可能結(jié)果數(shù)是解題的關(guān)鍵；（1）所有可能結(jié)果有3種，甲選擇1號(hào)有1種，由概率公式即可求得概率；（2）列表，由表即可得所有可能結(jié)果數(shù)，兩人選擇相鄰兩天的結(jié)果數(shù)，由概率公式即可求解．【詳解】（1）解：甲選擇任一天外出游玩有3種情況，甲選擇1號(hào)游玩只有1種情況，則甲選擇1號(hào)的概率為；故答案為：；（2）解：列表如下：12311，11，21，321，22，22，331，32，33，3由表知，所有可能結(jié)果數(shù)共有9種，兩人選擇相鄰兩天的結(jié)果數(shù)有4種，∴甲、乙恰好選擇相鄰兩天的概率為．20．（24-25九年級(jí)上·浙江杭州·期中）2024年4月23日是第29個(gè)世界讀書日．某校開展豐富多彩的閱讀活動(dòng)，每位學(xué)生根據(jù)自己的愛好選擇一類書籍（A：科技類、B：文學(xué)類、C：政史類、D：藝術(shù)類、E：其他類），甲同學(xué)從A、B、C三類書籍中隨機(jī)選擇一種，乙同學(xué)從B、C、D、E四類書籍中隨機(jī)選擇一種．(1)乙同學(xué)恰好選中B的概率是______；(2)求甲、乙兩位同學(xué)選擇相同類別書籍的概率．（用樹狀圖或列表法）【答案】(1)(2)【分析】本題考查的是概率．（1）直接運(yùn)用概率公式解答即可．（2）畫樹狀圖共有12種等可能的結(jié)果，其中甲乙兩位同學(xué)選擇相同類別書籍的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．【詳解】（1）解：乙同學(xué)從B、C、D、E四類書籍中隨機(jī)選擇一種，則乙同學(xué)恰好選中B的概率是，故答案為：．（2）解：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中甲乙兩位同學(xué)選擇相同類別書籍的結(jié)果有2種，即，∴甲乙兩位同學(xué)選擇相同類別書籍的概率為．21．（24-25九年級(jí)上·江蘇南通·期中）我市某校組織九年級(jí)學(xué)生開展以“講好紅色故事，傳承紅色基因”為主題的研學(xué)活動(dòng)，策劃了三條研學(xué)線路供學(xué)生選擇：A蘇中七戰(zhàn)七捷紀(jì)念館，B韓國鈞故居，C烈士陵園，每名學(xué)生只能任意選擇一條線路．(1)小強(qiáng)選擇線路A的概率為__________；(2)請用畫樹狀圖或列表的方法，求小強(qiáng)和小麗選擇同一線路的概率．【答案】(1)(2)【分析】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．（1）直接利用概率公式可得答案．（2）列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及小強(qiáng)和小麗選擇同一線路的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【詳解】（1）解：由題意得，小強(qiáng)選擇線路A的概率為；故答案為：；（2）列表如下：ABCABC共有9種等可能的結(jié)果，其中小強(qiáng)和小麗選擇同一線路的結(jié)果有3種，∴小強(qiáng)和小麗選擇同一線路的概率為．22．（24-25九年級(jí)上·浙江溫州·期中）“二十四節(jié)氣”是中華上古農(nóng)耕文明的智慧結(jié)晶，被國際氣象界譽(yù)為“中國第五大發(fā)明“．小李同學(xué)購買了“二十四節(jié)氣”主題郵票，他將A（小雪）、B（寒露）、C（秋分）、D（立秋）四張紀(jì)念郵票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗勻．(1)小李從中隨機(jī)抽取一張郵票，抽中是B（寒露）的概率是．(2)小李先從中隨機(jī)抽取一張郵票，記下內(nèi)容后，正面朝下放回，重新洗勻后再隨機(jī)抽取一張郵票．請用樹狀圖或列表的辦法求小李兩次抽取的郵票中至少有一張是D（立秋）的概率．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了概率公式，畫樹狀圖求概率，（1）根據(jù)概率公式計(jì)算；（2）畫出樹狀圖，確定所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，符合題意的結(jié)果，再根據(jù)概率公式得出答案．【詳解】（1）解：一共有4張郵票，符合題意的有1張，所以，抽中B的概率是．故答案為：；（2）畫樹狀圖如下：一共有16種可能出現(xiàn)的結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，符合題意的有7種，所以兩次抽取郵票中至少有一張是D的概率是．23．（24-25九年級(jí)上·江蘇連云港·階段練習(xí)）化學(xué)實(shí)驗(yàn)課上，王老師帶來了（鎂）、（鋁）、（鋅）、（銅）四種金屬，這四種金屬分別用四個(gè)相同的不透明容器裝著，讓同學(xué)們隨機(jī)選擇一種金屬與鹽酸反應(yīng)來制取氫氣．（根據(jù)金屬活動(dòng)順序可知：可以置換出氫氣，而不能置換出氫氣）(1)小明從四種金屬中隨機(jī)選一種，則選到（鎂）的概率為________；(2)小明和小紅分別從四種金屬中隨機(jī)選一種金屬分別進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，請用列表或畫樹狀圖的方法，求二人所選金屬均能置換出氫氣的概率．【答案】(1)(2)【分析】本題考查的是根據(jù)概率公式求概率，用列表法求概率．（1）直接由概率公式求解即可；（2）根據(jù)列表法求概率即可求解．【詳解】（1）由題意得，選到的概率為

故答案為：（2）列表如下：由表格知共有16種等可能的結(jié)果，其中二人所選金屬均能置換出氫氣的結(jié)果有：，，，，，，，，，共種，二人所選金屬均能置換出氫氣的概率為．24．（24-25九年級(jí)上·江蘇徐州·期末）一個(gè)不透明的盒子里裝有4張卡片，分別描繪“春”，“夏”，“秋”，“冬”四個(gè)季節(jié)，卡片除圖案外都相同，并將4張卡片充分?jǐn)噭颍?1)若從盒子中任意抽取1張卡片，恰好抽到“夏”的概率為；(2)若從盒子中任意抽取2張卡片，求抽取的卡片恰好1張為“春”，1張為“冬”的概率．（請用畫樹狀圖或列表等方法說明理由）【答案】(1)(2)【分析】本題考查了利用畫樹狀圖或列表的方法求兩次事件的概率，解題的關(guān)鍵是：（1）用標(biāo)有“夏”書簽的張數(shù)除以書簽的總張數(shù)即得結(jié)果；（2）利用樹狀圖畫出所有出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，再找出1張為“春”，1張為“冬”的結(jié)果數(shù)，然后利用概率公式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵有4張書簽，分別描繪“春”，“夏”，“秋”，“冬”四個(gè)季節(jié)，∴恰好抽到“夏”的概率為，故答案為：；（2）解：用樹狀圖列出所有等可的結(jié)果：等可能的結(jié)果：（春，夏），（春，秋），（春，冬），（夏，春），（夏，秋），（夏，冬），（秋，春），（秋，夏），（秋，冬），（冬，春），（冬，夏），（冬，秋）．在12個(gè)等可能的結(jié)果中，抽取的書簽1張為“春”，1張為“冬”出現(xiàn)了2次，P（抽取的書簽價(jià)好1張為“春”，1張為“冬”）．25．（24-25九年級(jí)上·浙江杭州·期中）下圖是用幾個(gè)電子元件組成的一個(gè)電路系統(tǒng)，當(dāng)且僅當(dāng)從A到B的電路為通路狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)正常工作，系統(tǒng)正常工作的概率稱為該系統(tǒng)的可靠，每個(gè)元件正常工作的概率均為，當(dāng)某元件不能正常工作時(shí)，該元件在電路中將形成斷路．(1)如圖1，只用1個(gè)電子元件①，該電路為斷路的概率為________；(2)如圖2，用2個(gè)電子元件①、②組成一個(gè)電路系統(tǒng)，求系統(tǒng)正常工作的概率．（用畫樹狀圖或列表方法求解）【答案】(1)(2)【分析】本題考查的是畫樹狀圖或列表法求解隨機(jī)事件的概率，熟練的列表是解本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)概率公式得出只用1個(gè)電子元件①，得出該電路為斷路的概率；（2）先列表得到用2個(gè)電子元件①，②組成一個(gè)電路系統(tǒng)時(shí)，所有等可能的結(jié)果數(shù)與符合條件的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：只用1個(gè)電子元件①，該電路為斷路的概率為；故答案為：；（2）解：每個(gè)元件正常工作分別記為：，，每個(gè)元件不能正常工作分別記為：，，用2個(gè)電子元件①，②組成一個(gè)電路系統(tǒng)，所有情況如下表：

∵從到的電路共4種等可能結(jié)果，其中該電路為正常狀態(tài)的有1種，∴該電路為正常狀態(tài)的概率為．26．（24-25九年級(jí)上·江蘇蘇州·期中）為了了解中學(xué)生現(xiàn)階段對國家時(shí)事熱點(diǎn)的關(guān)注情況，以提高當(dāng)代中學(xué)生的公民素質(zhì)和社會(huì)責(zé)任感．某校做了一次學(xué)生對時(shí)事熱點(diǎn)的關(guān)注程度的抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果共分為四個(gè)等級(jí)：A．很深入的了解，如果有后續(xù)報(bào)道會(huì)持續(xù)關(guān)注；B．比較了解，掌握當(dāng)下的情況；C．基本了解，當(dāng)時(shí)看過之后就忘記了；D．不了解，沒有興趣．根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)的結(jié)果，繪制了不完整的三種統(tǒng)計(jì)圖表．對時(shí)事熱點(diǎn)關(guān)注程度的統(tǒng)計(jì)表：對時(shí)事熱點(diǎn)關(guān)注程度百分比A．很深入的了解15%B．比較了解mC．基本了解35%D．不了解n請結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖表，回答下列問題：(1)本次參與調(diào)查的學(xué)生共有_____人，_____，_____；(2)圖2所示的扇形統(tǒng)計(jì)圖中部分扇形所對應(yīng)的圓心角是______度；(3)請補(bǔ)全圖1所示的條形統(tǒng)計(jì)圖；(4)根據(jù)調(diào)查結(jié)果，學(xué)校準(zhǔn)備開展一次關(guān)于時(shí)事熱點(diǎn)的知識(shí)競賽，某班要從“很深入的了解”態(tài)度中的小明和小麗中選一人參加，現(xiàn)設(shè)計(jì)了如下游戲來確定，具體規(guī)則：把四個(gè)完全相同的乒乓球上分別標(biāo)上數(shù)字1，2，3，4，然后放到一個(gè)不透明的袋子中，一個(gè)人先從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，另一個(gè)人再從剩下的三個(gè)球中隨機(jī)摸出一個(gè)球，若摸出的兩個(gè)球上的數(shù)字之積小于5，則小麗去；否則小明去．這個(gè)游戲規(guī)則是否公平？如果公平，請說明理由；如果不公平，誰選中的可能性大？【答案】(1)(2)(3)見解析(4)游戲公平，見解析【分析】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖、統(tǒng)計(jì)表，求扇形統(tǒng)計(jì)圖中扇形的圓心角，判斷游戲的公平性，樹狀圖法或列表法求概率等知識(shí)．（1）根據(jù)A的占比及人數(shù)，可求得抽取的總?cè)藬?shù)；根據(jù)B的人數(shù)及抽取的總?cè)藬?shù)，可求得m；由總?cè)藬?shù)減去A、B、C的人數(shù)，可求得D的人數(shù)，從而可求得n；（2）部分的占比與圓周角的積即可求出；（3）根據(jù)（1）中求得D的人數(shù)，即可補(bǔ)充條形統(tǒng)計(jì)圖；（4）畫出樹狀圖，計(jì)算出小明去與小麗去的概率，進(jìn)行比較即可．【詳解】（1）解：抽取的總?cè)藬?shù)為：（人）；；（人），；故答案為：；（2）解：；故答案為：；（3）解：補(bǔ)全的條形統(tǒng)計(jì)圖如下：（4）解：游戲公平，理由如下：畫出樹狀圖如下：小麗去的概率為：，小明去的概率為：，由于兩人去的概率相等，則游戲公平．27．（22-23九年級(jí)上·廣東惠州·期中）為了培養(yǎng)青少年體育興趣、體育意識(shí)，某校初中開展了“陽光體育活動(dòng)”，決定開設(shè)籃球、足球、乒乓球、羽毛球、排球這五項(xiàng)球類活動(dòng)，為了了解學(xué)生對這五項(xiàng)活動(dòng)的喜愛情況，隨機(jī)調(diào)查了一些學(xué)生（每名學(xué)生必選且只能選擇這五項(xiàng)活動(dòng)中的一種）．根據(jù)以下統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，請解答下列問題：(1)本次被調(diào)查的學(xué)生有______名，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中“羽毛球”對應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)是______；(3)學(xué)校準(zhǔn)備推薦甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中的2名參加全市中學(xué)生籃球比賽，則甲和乙同學(xué)同時(shí)被選中的概率是多少？【答案】(1)100，見解析(2)(3)【分析】本題考查列表法與樹狀圖法、條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖，能夠讀懂條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖，掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．（1）用選擇籃球的人數(shù)除以其所占百分比，可得本次被調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)：求出選擇“足球”的人數(shù)