專題06概率與統(tǒng)計（12個考點清單+11類題型解讀）知識點01：條件概率（1）一般地，設(shè)，為兩個隨機事件，且，我們稱為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率．知識點02：條件概率性質(zhì)應(yīng)用（1）由條件概率的定義，對任意兩個事件與，若，則．我們稱上式為概率的乘法公式．（2）如果和是兩個互斥事件，則；知識點03：全概率公式及其應(yīng)用一般地,設(shè),,是一組兩兩互斥的事件,,且，,則對任意的事件,有,我們稱此公式為全概率公式.知識點04：貝葉斯公式及其應(yīng)用（1）設(shè),,是一組兩兩互斥的事件,,且，，則對任意的事件,，有，.知識點05：離散型隨機變量分布列均值，方差知識點06：均值和方差的性質(zhì)①若與都是隨機變量，且，則由與之間分布列的關(guān)系可知.②若與相互獨立，則.③若與都是隨機變量，且，則由與之間分布列的關(guān)系可知.知識點07：二項分布1.定義一般地，在次獨立重復(fù)試驗中，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗中事件發(fā)生的概率為，不發(fā)生的概率，那么事件恰好發(fā)生次的概率是（，，，…，）于是得到的分布列…………由于表中第二行恰好是二項式展開式各對應(yīng)項的值，稱這樣的離散型隨機變量服從參數(shù)為，的二項分布，記作，并稱為成功概率．注意：由二項分布的定義可以發(fā)現(xiàn)，兩點分布是一種特殊的二項分布，即時的二項分布，所以二項分布可以看成是兩點分布的一般形式．2.二項分布的適用范圍及本質(zhì)（1）適用范圍：①各次試驗中的事件是相互獨立的；②每次試驗只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生；③隨機變量是這次獨立重復(fù)試驗中事件發(fā)生的次數(shù)．（2）本質(zhì)：二項分布是放回抽樣問題，在每次試驗中某一事件發(fā)生的概率是相同的．3.二項分布的期望、方差若，則，．知識點08：超幾何分布1.定義在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則事件發(fā)生的概率為，，1，2，…，，其中，且，，，，，稱分布列為超幾何分布列．如果隨機變量的分布列為超幾何分布列，則稱隨機變量服從超幾何分布．01……2.超幾何分布的適用范圍件及本質(zhì)（1）適用范圍：①考察對象分兩類；②已知各類對象的個數(shù)；③從中抽取若干個個體，考察某類個體個數(shù)的概率分布．（2）本質(zhì)：超幾何分布是不放回抽樣問題，在每次試驗中某一事件發(fā)生的概率是不相同的．知識點09：正態(tài)分布一、正態(tài)曲線1.定義：我們把函數(shù)，（其中是樣本均值，是樣本標準差）的圖象稱為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線．正態(tài)曲線呈鐘形，即中間高，兩邊低．2.正態(tài)曲線的性質(zhì)（1）曲線位于軸上方，與軸不相交；（2）曲線是單峰的，它關(guān)于直線對稱；（3）曲線在處達到峰值（最大值）；（4）曲線與軸之間的面積為1；（5）當一定時，曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿軸平移，如圖甲所示：（6）當一定時，曲線的形狀由確定．越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示：：甲乙二、正態(tài)分布1.定義隨機變量落在區(qū)間的概率為，即由正態(tài)曲線，過點和點的兩條軸的垂線，及軸所圍成的平面圖形的面積，如下圖中陰影部分所示，就是落在區(qū)間的概率的近似值．一般地，如果對于任何實數(shù)，，隨機變量滿足，則稱隨機變量服從正態(tài)分布．正態(tài)分布完全由參數(shù)，確定，因此正態(tài)分布常記作．如果隨機變量服從正態(tài)分布，則記為．其中，參數(shù)是反映隨機變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本的均值去估計；是衡量隨機變量總體波動大小的特征數(shù)，可以用樣本的標準差去估計．2.原則若，則對于任意的實數(shù)，為下圖中陰影部分的面積，對于固定的和而言，該面積隨著的減小而變大．這說明越小，落在區(qū)間的概率越大，即集中在周圍的概率越大特別地，有；；．由，知正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間之內(nèi)．而在此區(qū)間以外取值的概率只有，通常認為這種情況在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生，即為小概率事件．在實際應(yīng)用中，通常認為服從于正態(tài)分布的隨機變量只取之間的值，并簡稱之為原則．知識點10：線性回歸模型1.線性回歸線性回歸是研究不具備確定的函數(shù)關(guān)系的兩個變量之間的關(guān)系（相關(guān)關(guān)系）的方法．對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回歸方程的求法為其中，，，（，）稱為樣本點的中心．2.殘差分析對于預(yù)報變量，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值，通過回歸方程得到的稱為預(yù)測值，觀測值減去預(yù)測值等于殘差，稱為相應(yīng)于點的殘差，即有．殘差是隨機誤差的估計結(jié)果，通過對殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析．（1）殘差圖通過殘差分析，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，其中這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精確度越高；反之，不合適．（2）通過殘差平方和分析，如果殘差平方和越小，則說明選用的模型的擬合效果越好；反之，不合適．（3）相關(guān)指數(shù)用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸的效果，其計算公式是：．越接近于，說明殘差的平方和越小，也表示回歸的效果越好．題型六】線性回歸模型知識點11：非線性回歸模型解答非線性擬合問題，要先根據(jù)散點圖選擇合適的函數(shù)類型，設(shè)出回歸方程，通過換元將陌生的非線性回歸方程化歸轉(zhuǎn)化為我們熟悉的線性回歸方程．求出樣本數(shù)據(jù)換元后的值，然后根據(jù)線性回歸方程的計算方法計算變換后的線性回歸方程系數(shù)，還原后即可求出非線性回歸方程，再利用回歸方程進行預(yù)報預(yù)測，注意計算要細心，避免計算錯誤．1.建立非線性回歸模型的基本步驟：（1）確定研究對象，明確哪個是解釋變量，哪個是預(yù)報變量；（2）畫出確定好的解釋變量和預(yù)報變量的散點圖，觀察它們之間的關(guān)系（是否存在非線性關(guān)系）；（3）由經(jīng)驗確定非線性回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈非線性關(guān)系，一般選用反比例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)模型等）；（4）通過換元，將非線性回歸方程模型轉(zhuǎn)化為線性回歸方程模型；（5）按照公式計算線性回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法），得到線性回歸方程；（6）消去新元，得到非線性回歸方程；（7）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常．若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等．知識點12：獨立性檢驗1.分類變量和列聯(lián)表（1）分類變量：變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量．（2）列聯(lián)表：①定義：列出的兩個分類變量的頻數(shù)表稱為列聯(lián)表．②2×2列聯(lián)表．一般地，假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為2×2列聯(lián)表）為總計總計從列表中，依據(jù)與的值可直觀得出結(jié)論：兩個變量是否有關(guān)系．2.等高條形圖（1）等高條形圖和表格相比，更能直觀地反映出兩個分類變量間是否相互影響，常用等高條形圖表示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征．（2）觀察等高條形圖發(fā)現(xiàn)與相差很大，就判斷兩個分類變量之間有關(guān)系．3.獨立性檢驗（1）定義：利用獨立性假設(shè)、隨機變量來確定是否有一定把握認為“兩個分類變量有關(guān)系”的方法稱為兩個分類變量的獨立性檢驗．（2）公式：，其中為樣本容量．（3）獨立性檢驗的具體步驟如下：①計算隨機變量的觀測值，查下表確定臨界值：0.50.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828②如果，就推斷“與有關(guān)系”，這種推斷犯錯誤的概率不超過；否則，就認為在犯錯誤的概率不超過的前提下不能推斷“與有關(guān)系”．題型一：條件概率 7題型二：全概率公式 8題型三：貝葉斯公式 9題型四：離散型隨機變量的均值與方差 10題型五：獨立事件的乘法公式 12題型六：二項分布及其應(yīng)用 14題型七：超幾何分布 15題型八：正態(tài)分布 18題型九：線性回歸方程 20題型十：非線性回歸方程 22題型十一：獨立性檢驗 24【題型一：條件概率】一、單選題1．（23-24高二下·天津濱海新·期末）中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙．假設(shè)中國空間站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天員開展實驗，設(shè)事件A=“有4名航天員在天和核心艙”，事件B=“甲乙二人在天和核心艙”，則（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·上?！て谀⒁幻队矌胚B續(xù)拋擲三次，每次得到正面或反面的概率均為，且三次拋擲的結(jié)果互相獨立．記事件為“至少兩次結(jié)果為正面”，事件為“第三次結(jié)果為正面”，則（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·河南商丘·期中）已知事件，，若，且，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．4．（2024·山西太原·二模）某校高二年級學(xué)生中有60%的學(xué)生喜歡打籃球，40%的學(xué)生喜歡打排球，80%的學(xué)生喜歡打籃球或排球．在該校高二年級的學(xué)生中隨機調(diào)查一名學(xué)生，若該學(xué)生喜歡打籃球，則他也喜歡打排球的概率為（

）A． B． C． D．5．（23-24高二下·安徽馬鞍山·期末）假設(shè)A，B是兩個事件，且，，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B．C． D．6．（23-24高二下·重慶九龍坡·期中）在某次流感疫情爆發(fā)期間，A，B，C三個地區(qū)均爆發(fā)了流感，經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計A，B，C地區(qū)分別有的人患過流感，且A，B，C三個地區(qū)的人數(shù)的比為．現(xiàn)從這三個地區(qū)中隨機選取一人，則此人患過流感的概率為（

）A． B． C． D．【題型二：全概率公式】一、單選題1．（23-24高二下·湖北·期末）隨著我國鐵路的發(fā)展，列車的正點率有了顯著的提高．據(jù)統(tǒng)計，途經(jīng)某車站的只有和諧號和復(fù)興號列車，且和諧號列車的列次為復(fù)興號列車的列次的3倍，和諧號列車的正點率為0.98，復(fù)興號列車的正點率為0.99，則一列車能正點到達該車站的概率為（

）A．0.9825 B．0.9833 C．0.9867 D．0.98752．（23-24高二下·江西南昌·階段練習）已知某羽毛球小組共有20名運動員，其中一級運動員4人，二級運動員6人，三級運動員10人.現(xiàn)在舉行一場羽毛球選拔賽，若一級、二級、三級運動員能夠晉級的概率分別為0.9，0.6，0.2，則這20名運動員中任選一名運動員能夠晉級的概率為（

）A．0.42 B．0.46 C．0.58 D．0.623．（24-25高二上·四川眉山·階段練習）在5張彩票中有2張有獎，甲、乙兩人先后從中各任取一張，則乙中獎的概率為（

）A． B． C． D．4．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）某醫(yī)院針對某種疾病研制了新的特效藥，可有效減輕癥狀，縮短病程．現(xiàn)將該藥品投入臨床試驗，若不使用新藥，病人3天可痊愈的概率為0.3，若使用新藥，則3天痊愈的概率為0.9，假設(shè)臨床病人有0.7的概率選擇新藥，若某病人3天痊愈，則該病人未使用新藥的概率為（

）A．0.3 B．0.21 C．0.125 D．0.095．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）無人酒店是利用人工智能與物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)，為客人提供自助入住等服務(wù)的新型酒店，勝在科技感與新奇感．去某地旅游的游客有無人酒店和常規(guī)酒店兩種選擇，某游客去該地旅游，第一天隨機選擇一種酒店入住，如果第一天入住無人酒店，那么第二天還入住無人酒店的概率為0.8，如果第一天入住常規(guī)酒店，那么第二天入住無人酒店的概率為0.6，則該游客第二天入住無人酒店的概率為（

）A．0.8 B．0.7 C．0.6 D．0.5【題型三：貝葉斯公式】一、單選題1．（23-24高三上·云南曲靖·階段練習）根據(jù)曲靖一中食堂人臉識別支付系統(tǒng)后臺數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)，高三年級小孔同學(xué)一周只去食堂一樓和二樓吃飯．周一去食堂一樓和二樓的概率分別為和，若他周一去了食堂一樓，那么周二去食堂二樓的概率為，若他周一去了食堂二樓，那么周二去食堂一樓的概率為，現(xiàn)已知小孔同學(xué)周二去了食堂二樓，則周一去食堂一樓的概率為（

）．A． B． C． D．2．（23-24高二下·廣東廣州·期末）有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為，第2，3臺加工的次品率均為，加工出來的零件混放在一起.已知第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的.如果取到的零件是次品，則它是第3臺車床加工的概率是（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·福建龍巖·階段練習）某人下午5:00下班，他所積累的資料表明：到家時間5:35到5:395:40到5:445:45到5:495:50到5:54遲于5:54乘地鐵到家的概率0.100.250.450.150.05乘汽車到家的概率0.300.350.200.100.05某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵還是乘汽車回家，結(jié)果他是5:47到家的，則他乘地鐵回家的概率為（

）A． B． C． D．4．（23-24高二下·廣東廣州·期中）某校高三（1）班和（2）班各有40名同學(xué)，其中參加數(shù)學(xué)興趣社團的學(xué)生分別有10人和8人，現(xiàn)從這兩個班中隨機抽取一名同學(xué)，若抽到的是參加數(shù)學(xué)興趣社團的學(xué)生，則他來自高三（1）班的概率是（

）A． B． C． D．5．（23-24高二下·福建廈門·期中）現(xiàn)有編號為1，2，3的三個口袋，其中1號口袋內(nèi)裝有兩個1號球，一個2號球和一個3號球；2號口袋內(nèi)裝有兩個1號球，一個3號球；3號口袋內(nèi)裝有三個1號球，兩個2號球；第一次先從1號口袋內(nèi)隨機抽取1個球，將取出的球放入與球同編號的口袋中，第二次從該口袋中任取一個球，下列說法不正確的是（

）A．在第一次抽到3號球的條件下，第二次抽到1號球的概率是B．第二次取到1號球的概率C．如果第二次取到1號球，則它來自1號口袋的概率最大D．如果將5個不同小球放入這3個口袋內(nèi)，每個口袋至少放1個，則不同的分配方法有150種【題型四：離散型隨機變量的均值與方差】一、單選題1．（23-24高二下·新疆·期中）已知X服從兩點分布，若，則（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·江蘇南通·期中）已知，若，則（

）A． B．4 C． D．93．（23-24高二下·湖北武漢·期末）2024年“與輝同行”直播間開播，董宇輝領(lǐng)銜7位主播從“心”出發(fā)，其中男性5人，女性3人，現(xiàn)需排班晚8：00黃金檔，隨機抽取兩人，則女生人數(shù)的期望為（

）A． B． C． D．4．（23-24高二下·江蘇南京·階段練習）已知離散型隨機變量X的概率分布如表，離散型隨機變量Y滿足，則（

）X0123Pa5aA． B． C． D．5．（23-24高二下·江蘇連云港·期中）已知X的分布列為01且，，則的值為（

）A．1 B． C． D．6．（23-24高二下·全國·期末）離散型隨機變量X的分布列中部分數(shù)據(jù)丟失，丟失數(shù)據(jù)以x，代替，分布列如下：則（

）1234560.210.200.100.10A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.657．（23-24高二下·甘肅·期末）隨機變量的概率分布列為，其中是常數(shù)，則的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．358．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）已知兩個盒子中分別裝有形狀、大小、質(zhì)量均相同的小球．其中，盒中有3個紅球，1個白球；盒中有1個紅球，3個白球，現(xiàn)從兩個盒子中同時各取走一個小球，一共取三次，此時記盒中的紅球個數(shù)為盒中的紅球個數(shù)為，則（

）A． B．C． D．【題型五：獨立事件的乘法公式】一、單選題1．（24-25高二上·吉林·階段練習）某乒乓球隊在長春訓(xùn)練基地進行封閉式集訓(xùn)，甲、乙兩位隊員進行對抗賽，每局依次輪流發(fā)球，連續(xù)贏2個球者獲勝，通過分析甲、乙過去對抗賽的數(shù)據(jù)知，甲發(fā)球甲贏的概率為，乙發(fā)球甲贏的概率為，不同球的結(jié)果互不影響，已知某局甲先發(fā)球．則該局打4個球甲贏的概率為（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·湖北鄂州·期中）“五道方”是一種民間棋類游戲，甲，乙兩人進行“五道方”比賽，約定連勝兩場者贏得比賽.若每場比賽，甲勝的概率為，乙勝的概率為，則比賽6場后甲贏得比賽的概率為（

）A． B． C． D．3．（24-25高二上·吉林長春·期中）2024年斯諾克武漢公開賽前夕，肖國棟與斯佳輝兩人進行了熱身賽，約定每局勝者得1分，負者得0分，熱身進行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止，設(shè)肖國棟在每局中獲勝的概率為，斯佳輝在每局中獲勝的概率為，且各局勝負相互獨立，比賽停止時已打局數(shù)為，則（

）A． B． C． D．4．（24-25高二上·山東淄博·階段練習）對于一個古典概型的樣本空間和事件，若，，，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．事件A與事件互斥 B．C．事件與事件相互獨立 D．5．（24-25高二上·內(nèi)蒙古赤峰·期中）金秋十月，某校舉行運動會，甲、乙兩名同學(xué)均從跳高、跳遠、100米跑和200米跑這四個項目中選擇兩個項目參加.設(shè)事件“甲、乙兩人所選項目恰有一個相同”，事件“甲、乙兩人所選項目完全不同”，事件“甲、乙兩人所選項目完全相同”，事件“甲、乙兩人均未選擇100米跑項目”，則（

）A．A與C是對立事件 B．C與D相互獨立C．A與D相互獨立 D．B與D不互斥二、解答題6．（23-24高二下·江蘇南通·期中）為普及安全知識，某單位舉辦了一場安全知識競賽，經(jīng)過初賽、復(fù)賽，有甲、乙兩個代表隊（每隊三人）進入決賽，決賽規(guī)則如下：共進行三輪比賽，每輪比賽中每人各答一題，每答對一題得10分，答錯不得分.假設(shè)甲隊每人答題正確的概率均為，乙隊三人答題正確的概率分別.(1)若決賽中三輪總得分大于70分就能獲得特別獎，求乙隊獲得特別獎的概率;(2)因兩隊在決賽中得分相同，現(xiàn)進行附加賽.規(guī)則如下：甲，乙兩隊抽簽決定誰先答題，每隊每人各答題一次為一輪，有兩人及以上答對就算成功答題，并繼續(xù)下一輪答題，否則換另一隊答題，連續(xù)兩輪成功答題的隊伍獲勝，比賽結(jié)束.求附加賽中甲隊恰好在第5輪結(jié)束時獲勝的概率.7．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)某電子元件制造廠有甲、乙、丙、丁4條生產(chǎn)線，現(xiàn)有40個該廠生產(chǎn)的電子元件，其中由甲、乙、丙、丁生產(chǎn)線生產(chǎn)的電子元件分別為5個、10個、10個、15個，且甲、乙、丙、丁生產(chǎn)線生產(chǎn)該電子元件的次品率依次為．(1)若將這40個電子元件按生產(chǎn)線生產(chǎn)的分成4箱，現(xiàn)從中任取1箱，再從中任取1個電子元件，求取到的電子元件是次品的概率．(2)若將這40個電子元件裝入同一個箱子中，再從這40個電子元件中任取1個電子元件，取到的電子元件是次品，求該電子元件是乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的概率．8．（24-25高二上·四川成都·期中）中國乒乓球隊是中國體育軍團的王牌之師，屢次在國際大賽上爭金奪銀，被體育迷們習慣地稱為“夢之隊”.2024年巴黎奧運會，中國乒乓球隊包攬全部五枚金牌.其中團體賽由四場單打和一場雙打比賽組成，采用五場三勝制.每個隊由三名運動員組成，當一個隊贏得三場比賽時，比賽結(jié)束.2024年8月10日，中國隊對戰(zhàn)瑞典隊，最終以取得團體賽冠軍，賽前某乒乓球愛好者對賽事情況進行分析，根據(jù)以往戰(zhàn)績，中國隊在每場比賽中獲勝的概率均為.(1)求中國隊以的比分獲勝的概率；(2)求中國隊在已輸一場的情況下獲勝的概率；(3)求至多進行四場比賽的概率.【題型六：二項分布及其應(yīng)用】一、單選題1．（23-24高二下·天津西青·期末）某人每次射擊擊中目標的概率均為，此人連續(xù)射擊三次，至少有兩次擊中目標的概率為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·江蘇淮安·期末）已知隨機變量，若，則（

）A． B．或 C． D．或二、填空題3．（23-24高二下·江蘇南通·期末）設(shè)隨機變量，且，則；若，則的方差為．三、解答題4．（23-24高二下·安徽合肥·期中）某大學(xué)為豐富學(xué)生課余生活，舉辦趣味知識競賽，分為“個人賽”和“對抗賽”，競賽規(guī)則如下：①個人賽規(guī)則：每位學(xué)生需要從“歷史類、數(shù)學(xué)類、生活類”問題中隨機選1道試題作答，其中“歷史類”有8道，“數(shù)學(xué)類”有6道，“生活類”有4道，若答對將獲得一份獎品.②對抗賽規(guī)則：兩位學(xué)生進行答題比賽，每輪只有1道題目，比賽時兩位參賽者同時回答這一個問題，若一人答對且另一人答錯，則答對者獲得1分，答錯者得分；若兩人都答對或都答錯，則兩人均得0分，對抗賽共設(shè)3輪，每輪獲得1分的學(xué)生會獲得一份獎品，且兩位參賽者答對與否互不影響，每次答題的結(jié)果也互不影響.(1)學(xué)生甲參加個人賽，若學(xué)生甲答對“歷史類”“數(shù)學(xué)類”“生活類”的概率分別為，，，求學(xué)生甲答對所選試題的概率；(2)學(xué)生乙和學(xué)生丙參加對抗賽，若每道題學(xué)生乙和學(xué)生丙答對的概率分別為，，求三輪結(jié)束學(xué)生乙僅獲得一份獎品的概率.5．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）隨著生活水平的提高，家用小轎車進入千家萬戶，在給出行帶來方便的同時也給交通造成擁堵．交通部門為了解決某十字路口的擁堵問題，安裝了紅綠燈．通過測試后發(fā)現(xiàn)，私家車在此路口遇到紅燈的概率為．(1)若遇到紅燈的概率為，求不同時刻的5輛私家車在該路口有3輛車遇到紅燈的概率；(2)當私家車遇到紅燈的方差達到最大時，求5輛私家車遇到紅燈的車輛數(shù)的分布列與期望．6．（23-24高二下·天津·階段練習）我國是全球制造業(yè)大國，制造業(yè)增加值自2010年起連續(xù)12年位居世界第一，主要產(chǎn)品產(chǎn)量穩(wěn)居世界前列．為深入推進傳統(tǒng)制造業(yè)改造提升，全面提高傳統(tǒng)制造業(yè)核心競爭力，某設(shè)備生產(chǎn)企業(yè)對現(xiàn)有生產(chǎn)設(shè)備進行技術(shù)攻堅突破．設(shè)備生產(chǎn)的零件的直徑為X（單位：nm）．(1)現(xiàn)有舊設(shè)備生產(chǎn)的零件共7個，其中直徑大于10nm的有4個．現(xiàn)從這7個零件中隨機抽取3個．記ξ表示取出的零件中直徑大于10nm的零件的個數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．(2)技術(shù)攻堅突破后設(shè)備生產(chǎn)的零件的合格率為，每個零件是否合格相互獨立．現(xiàn)任取6個零件進行檢測，若合格的零件數(shù)η超過半數(shù)，則可認為技術(shù)攻堅成功．求技術(shù)攻堅成功的概率及η的方差；【題型七：超幾何分布】一、單選題1．（23-24高二下·江蘇揚州·階段練習）已知甲參加青年志愿者的選拔，選拔以現(xiàn)場答題的方式進行．已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6道題，規(guī)定每次考試都從備選題中隨機抽出3道題進行測試，設(shè)甲答對的試題數(shù)為X，則的概率為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·浙江寧波·期末）袋子中有n個大小質(zhì)地完全相同的球，其中4個為紅球，其余均為黃球，從中不放回地依次隨機摸出2個球，已知摸出的2個球都是紅球的概率為，則兩次摸到的球顏色不相同的概率為（

）A． B． C． D．二、解答題3．（23-24高二下·北京懷柔·期末）某學(xué)校對食堂飯菜質(zhì)量進行滿意度調(diào)查，隨機抽取了200名學(xué)生進行調(diào)查，獲取數(shù)據(jù)如下：滿意度性別滿意不滿意棄權(quán)男生803010女生502010(1)用頻率估計概率，該校學(xué)生對食堂飯菜質(zhì)量滿意的概率；(2)用分層抽樣的方法從上表中不滿意的50人中抽取5人征求整改建議，再從這5個人中隨機抽取2人參與食堂的整改監(jiān)督，則抽取的2人中女生的人數(shù)X，求X的分布列和期望．4．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）某試驗機床生產(chǎn)了12個電子元件，其中8個合格品，4個次品.從中隨機抽出4個電子元件作為樣本，用X表示樣本中合格品的個數(shù).(1)若有放回的抽取，求X的分布列；(2)若不放回的抽取，求樣本中合格品的比例與總體中合格品的比例之差的絕對值不超過的概率.5．（23-24高二下·上海松江·期末）某超市為促進消費推出優(yōu)惠活動，為預(yù)估活動期間客戶投入的消費金額，采用隨機抽樣統(tǒng)計了200名客戶的消費金額，分組如下：（單位：元），得到如圖所示頻率分布直方圖：活躍客戶非活躍客戶總計男20女60總計(1)若把消費金額不低于800元的客戶，稱為“活躍客戶”，經(jīng)數(shù)據(jù)處理，現(xiàn)在列聯(lián)表中得到一定的相關(guān)數(shù)據(jù)，求列聯(lián)表中的值，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認為“活躍客戶”與性別有關(guān)？(2)為感謝客戶，該超市推出免單福利，方案如下：從“活躍客戶”中按分層抽樣的方法抽取12人，從中抽取2人進行免單，試寫出免單總單金額的分布列及其期望．（每一組消費金額按該組中點值估計，期望結(jié)果保留至整數(shù)）附：0.1500.1000.0500.0100.005k2.0722.7063.8416.6357.8796．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）4月23日是聯(lián)合國教科文組織確定的“世界讀書日”．為了解某地區(qū)高一學(xué)生閱讀時間的分配情況，從該地區(qū)隨機抽取500名高一學(xué)生進行在線調(diào)查，得到了這500名學(xué)生的日平均閱讀時間（單位：h），并將樣本數(shù)據(jù)分成九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)從這500名學(xué)生中隨機抽取一人，求日平均閱讀時間在內(nèi)的概率；(2)為進一步了解這500名學(xué)生數(shù)字媒體閱讀時間和紙質(zhì)圖書閱讀時間的分配情況，從日平均閱讀時間在三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機抽取3人，記日平均閱讀時間在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列；(3)以樣本的頻率估計概率，從該地區(qū)所有高一學(xué)生中隨機抽取10名學(xué)生，用表示這10名學(xué)生中恰有k名學(xué)生日平均閱讀時間在內(nèi)的概率，其中．當最大時，寫出k的值．（只需寫出結(jié)論）【題型八：正態(tài)分布】一、單選題1．（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·期中）某市高中數(shù)學(xué)統(tǒng)考中，甲、乙、丙三所學(xué)校的數(shù)學(xué)成績分別服從正態(tài)分布，，，其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示，則（

）A． B．C． D．2．（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知隨機變量服從正態(tài)分布，則（

）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.43．（23-24高二下·陜西西安·期末）某市高中數(shù)學(xué)統(tǒng)考，假設(shè)考試成績服從正態(tài)分布.如果按照，，，的比例將考試成績從高到低分為四個等級.若某同學(xué)考試成績的等級為，則該同學(xué)的考試成績可能為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．120 B．90 C．80 D．60二、解答題4．（23-24高二下·山西長治·期中）某種香梨的重量（單位：）服從正態(tài)分布，將該種香梨按照其重量及對應(yīng)的售價進行分揀，分為4類依次記為.已知，售價最高，為10元；，售價為8元；，售價為6元；其余的為，售價為5元.(1)任選1個香梨，求其重量大于的概率；(2)以表示香梨的售價（單位：元），寫出的分布列，并估計該種香梨售價的平均值.附：若，則，，.5．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）某企業(yè)的產(chǎn)品正常生產(chǎn)時，產(chǎn)品尺寸（單位：）服從正態(tài)分布，從當前生產(chǎn)線上隨機抽取400件產(chǎn)品進行檢測，產(chǎn)品尺寸匯總?cè)绫懋a(chǎn)品尺寸/件數(shù)85454160724012根據(jù)產(chǎn)品質(zhì)量標準和生產(chǎn)線的實際情況，產(chǎn)品尺寸在以外視為小概率事件，一旦小概率事件發(fā)生視為生產(chǎn)線出現(xiàn)異常，產(chǎn)品尺寸在以內(nèi)為正品，以外為次品.(1)判斷生產(chǎn)線是否正常工作，并說明理由；(2)用頻率表示概率，若再隨機從生產(chǎn)線上取3件產(chǎn)品復(fù)檢，正品檢測費為20元/件，次品檢測費為30元/件，記這3件產(chǎn)品檢測費為隨機變量X，求X的均值及方差.附：.6．（23-24高二下·浙江·期中）某校高三年級有750人，某次考試不同成績段的人數(shù)，且所有得分都是整數(shù)．(1)求該校高三年級本次考試的平均成績及標準差；(2)計算本次考試得分超過141的人數(shù)；（精確到整數(shù)）(3)本次考試中有一類多項選擇題，每道題的四個選項中有兩個或三個選項正確，全部選對得6分，部分選對得部分分（正確答案有三個選項的，則每個選項2分；正確答案是2個選項的，則每個選項為3分），有選擇錯誤的得0分．小明同學(xué)在做多項選擇題時，選擇一個選項的概率為，選擇兩個選項的概率為，選擇三個選項的概率為．已知某個多項選擇題有三個選項是正確的，小明在完全不知道四個選項正誤的情況下，只好根據(jù)自己的經(jīng)驗隨機選擇，記小明做這道多項選擇題所得的分數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：若，則；；．【題型九：線性回歸方程】一、單選題1．（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·期中）下列命題是真命題的是（

）A．經(jīng)驗回歸方程至少經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點，，…，中的一個B．可以用相關(guān)系數(shù)r來刻畫兩個變量x和y線性相關(guān)程度的強弱，r的絕對值越小，說明兩個變量線性相關(guān)程度越強C．線性回歸分析中決定系數(shù)用來刻畫回歸的效果，若值越小，則模型的擬合效果越好D．殘差點分布在以橫軸為對稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)，該區(qū)域越窄，擬合效果越好2．（24-25高二上·河南南陽·階段練習）某產(chǎn)品的廣告費用與銷售額的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：廣告費用/萬元4235銷售額/萬元49263954根據(jù)上表可得線性回歸方程中的為9.4，據(jù)此模型預(yù)測廣告費用為6萬元時銷售額為（

）A．9.1萬元 B．9.2萬元C．67.7萬元 D．65.5萬元3．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）已知由樣本數(shù)據(jù)組成的一個樣本，得到經(jīng)驗回歸方程為，且，增加兩個樣本點和后，得到新樣本的經(jīng)驗回歸方程為．在新的經(jīng)驗回歸方程下，樣本的殘差為（

）A． B． C． D．4．（23-24高二下·廣東珠?！るA段練習）一唱片公司欲知唱片費用（十萬元）與唱片銷售量（千張）之間的關(guān)系，從其所發(fā)行的唱片中隨機抽選了10張，得如下的資料：，則與的相關(guān)系數(shù)的絕對值為（

）（相關(guān)系數(shù)：）A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3二、解答題5．（23-24高二下·黑龍江雙鴨山·開學(xué)考試）如圖是某機構(gòu)統(tǒng)計的某地區(qū)2016年至2022年生活垃圾無害化處理量y（單位：萬噸）的折線圖．注：年份代碼1-7分別對應(yīng)年份2016-2022．求y關(guān)于t的回歸直線方程（系數(shù)精確到0.01），并預(yù)測2024年該地區(qū)生活垃圾無害化處理量．參考數(shù)據(jù)：，，，參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小乘估計公式分別為，．6．（23-24高二下·河北滄州·期中）2023年全國競走大獎賽（第1站）暨世錦賽及亞運會選拔賽3月4日在安徽黃山開賽．重慶隊的賀相紅以2小時22分55秒的成績打破男子35公里競走亞洲紀錄．某田徑協(xié)會組織開展競走的步長和步頻之間的關(guān)系的課題研究，得到相應(yīng)的試驗數(shù)據(jù)：步頻（單位：）0.280.290.300.310.32步長（單位：）909599103117(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到步頻和步長近似為線性相關(guān)關(guān)系，求出關(guān)于的回歸直線方程，并利用回歸方程預(yù)測，當步長為時，步頻約是多少？(2)記，其中為觀測值，為預(yù)測值，為對應(yīng)的殘差，求（1）中步長的殘差的和，并探究這個結(jié)果是否對任意具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量都成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．參考數(shù)據(jù)：，．參考公式：，．7．（24-25高三上·山東濟寧·階段練習）某學(xué)校對高三（1）班50名學(xué)生的第一次模擬考試的數(shù)學(xué)成績和化學(xué)成績統(tǒng)計得到數(shù)據(jù)如下：數(shù)學(xué)成績的方差為，化學(xué)成績的方差為，，其中（，且）分別表示這50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和化學(xué)成績，關(guān)于的線性回歸方程為.(1)求與的樣本相關(guān)系數(shù)；(2)從概率統(tǒng)計規(guī)律來看，本次考試高三（1）班學(xué)生數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，用樣本平均數(shù)作為的估計值，用樣本方差作為的估計值，試估計該校共1600名高三學(xué)生中，數(shù)學(xué)成績位于區(qū)間的人數(shù).附：①回歸方程中，；②樣本相關(guān)系數(shù)；③；④若，則.【題型十：非線性回歸方程】一、解答題1．（23-24高二下·寧夏石嘴山·期中）紅鈴蟲（Pectinophoragossypiella）是棉花的主要害蟲之一，其產(chǎn)卵數(shù)與溫度有關(guān)．現(xiàn)收集到一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)（個）和溫度（）的8組觀測數(shù)據(jù)，制成圖1所示的散點圖.現(xiàn)用兩種模型①，②分別進行擬合，由此得到相應(yīng)的回歸方程并進行殘差分析，進一步得到圖2所示的殘差圖．根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，計算得到如下值：252.964616842268850.470308表中；；；(1)根據(jù)殘差圖，比較模型①、②的擬合效果，哪種模型比較合適？(2)根據(jù)（1）中所選擇的模型，求出關(guān)于的回歸方程．附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，，2．（23-24高二下·河北石家莊·階段練習）網(wǎng)絡(luò)直播帶貨助力鄉(xiāng)村振興，它作為一種新穎的銷售土特產(chǎn)的方式，受到社會各界的追捧.某直播間開展地標優(yōu)品帶貨直播活動，其主播直播周期次數(shù)x（其中10場為一個周期）與產(chǎn)品銷售額y（千元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：直播周期數(shù)x12345產(chǎn)品銷售額y（千元）37153040根據(jù)數(shù)據(jù)特點，甲認為樣本點分布在指數(shù)型曲線的周圍，據(jù)此他對數(shù)據(jù)進行了一些初步處理.如下表：3.75538265978101其中(1)請根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；(2)乙認為樣本點分布在直線的周圍，并計算得回歸方程為，以及該回歸模型的相關(guān)指數(shù)，試比較甲、乙兩人所建立的模型，誰的擬合效果更好？（精確到0.01）附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，相關(guān)指數(shù)：.3．（23-24高二下·湖北·期末）某鄉(xiāng)村企業(yè)希望通過技術(shù)革新增加產(chǎn)品收益，根據(jù)市場調(diào)研，技術(shù)革新投入經(jīng)費（單位：萬元）和增加收益（單位：萬元）的數(shù)據(jù)如下表：46810122742555660為了進一步了解技術(shù)革新投入經(jīng)費對增加收益的影響，通過對表中數(shù)據(jù)進行分析，分別提出了兩個回歸模型：①，②．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，計算模型①中與的相關(guān)系數(shù)（結(jié)果精確到0.01）；(2)若，則選擇模型①；否則選擇模型②．根據(jù)（1）的結(jié)果，試建立增加收益關(guān)于技術(shù)革新投入經(jīng)費的回歸模型，并預(yù)測時的值（結(jié)果精確到0.01）．附：i）回歸直線的斜率、截距的最小二乘估計以及相關(guān)系數(shù)分別為：，，ii）參考數(shù)據(jù)：設(shè)，，，，，．【題型十一：獨立性檢驗】一、解答題1．（2025高三·全國·專題練習）2022年北京冬奧組委發(fā)布的《北京2022年冬奧會和冬殘奧會經(jīng)濟遺產(chǎn)報告（2022）》顯示，北京冬奧會已簽約45家贊助企業(yè)，冬奧會贊助成為一項跨度時間較長的營銷方式.為了解該45家贊助企業(yè)每天銷售額與每天線上銷售時間之間的相關(guān)關(guān)系，某平臺對45家贊助企業(yè)進行跟蹤調(diào)查，其中每天線上銷售時間不少于8小時的企業(yè)有20家，余下的企業(yè)中，每天的銷售額不足30萬元的企業(yè)占，統(tǒng)計后得到如下列聯(lián)表：銷售額不少于30萬元銷售額不足30萬元合計線上銷售時間不少于8小時1720線上銷售時間不足8小時合計45請完成上面的列聯(lián)表，并依據(jù)的獨立性檢驗，能否認為贊助企業(yè)每天的銷售額與每天線上銷售時間有關(guān)？附：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828參考公式：，其中.2．（2024高三·全國·專題練習）中國大學(xué)先修課程，是在高中開設(shè)的具有大學(xué)水平的課程，旨在讓學(xué)有余力的高中生早接受大學(xué)思維方式、學(xué)習方法的訓(xùn)練，為大學(xué)學(xué)習乃至未來的職業(yè)生涯做好準備.某高中開設(shè)大學(xué)先修課程已有兩年，兩年共招收學(xué)生2000人，其中有300人參與學(xué)習先修課程，兩年