專題06概率與統(tǒng)計(jì)（12個(gè)考點(diǎn)清單+11類題型解讀）知識(shí)點(diǎn)01：條件概率（1）一般地，設(shè)，為兩個(gè)隨機(jī)事件，且，我們稱為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率，簡(jiǎn)稱條件概率．知識(shí)點(diǎn)02：條件概率性質(zhì)應(yīng)用（1）由條件概率的定義，對(duì)任意兩個(gè)事件與，若，則．我們稱上式為概率的乘法公式．（2）如果和是兩個(gè)互斥事件，則；知識(shí)點(diǎn)03：全概率公式及其應(yīng)用一般地,設(shè),,是一組兩兩互斥的事件,,且，,則對(duì)任意的事件,有,我們稱此公式為全概率公式.知識(shí)點(diǎn)04：貝葉斯公式及其應(yīng)用（1）設(shè),,是一組兩兩互斥的事件,,且，，則對(duì)任意的事件,，有，.知識(shí)點(diǎn)05：離散型隨機(jī)變量分布列均值，方差知識(shí)點(diǎn)06：均值和方差的性質(zhì)①若與都是隨機(jī)變量，且，則由與之間分布列的關(guān)系可知.②若與相互獨(dú)立，則.③若與都是隨機(jī)變量，且，則由與之間分布列的關(guān)系可知.知識(shí)點(diǎn)07：二項(xiàng)分布1.定義一般地，在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為，不發(fā)生的概率，那么事件恰好發(fā)生次的概率是（，，，…，）于是得到的分布列…………由于表中第二行恰好是二項(xiàng)式展開(kāi)式各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值，稱這樣的離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布，記作，并稱為成功概率．注意：由二項(xiàng)分布的定義可以發(fā)現(xiàn)，兩點(diǎn)分布是一種特殊的二項(xiàng)分布，即時(shí)的二項(xiàng)分布，所以二項(xiàng)分布可以看成是兩點(diǎn)分布的一般形式．2.二項(xiàng)分布的適用范圍及本質(zhì)（1）適用范圍：①各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的；②每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生；③隨機(jī)變量是這次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)．（2）本質(zhì)：二項(xiàng)分布是放回抽樣問(wèn)題，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是相同的．3.二項(xiàng)分布的期望、方差若，則，．知識(shí)點(diǎn)08：超幾何分布1.定義在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則事件發(fā)生的概率為，，1，2，…，，其中，且，，，，，稱分布列為超幾何分布列．如果隨機(jī)變量的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量服從超幾何分布．01……2.超幾何分布的適用范圍件及本質(zhì)（1）適用范圍：①考察對(duì)象分兩類；②已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考察某類個(gè)體個(gè)數(shù)的概率分布．（2）本質(zhì)：超幾何分布是不放回抽樣問(wèn)題，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是不相同的．知識(shí)點(diǎn)09：正態(tài)分布一、正態(tài)曲線1.定義：我們把函數(shù)，（其中是樣本均值，是樣本標(biāo)準(zhǔn)差）的圖象稱為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線．正態(tài)曲線呈鐘形，即中間高，兩邊低．2.正態(tài)曲線的性質(zhì)（1）曲線位于軸上方，與軸不相交；（2）曲線是單峰的，它關(guān)于直線對(duì)稱；（3）曲線在處達(dá)到峰值（最大值）；（4）曲線與軸之間的面積為1；（5）當(dāng)一定時(shí)，曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿軸平移，如圖甲所示：（6）當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定．越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示：：甲乙二、正態(tài)分布1.定義隨機(jī)變量落在區(qū)間的概率為，即由正態(tài)曲線，過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的兩條軸的垂線，及軸所圍成的平面圖形的面積，如下圖中陰影部分所示，就是落在區(qū)間的概率的近似值．一般地，如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)，，隨機(jī)變量滿足，則稱隨機(jī)變量服從正態(tài)分布．正態(tài)分布完全由參數(shù)，確定，因此正態(tài)分布常記作．如果隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則記為．其中，參數(shù)是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本的均值去估計(jì)；是衡量隨機(jī)變量總體波動(dòng)大小的特征數(shù)，可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)．2.原則若，則對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，為下圖中陰影部分的面積，對(duì)于固定的和而言，該面積隨著的減小而變大．這說(shuō)明越小，落在區(qū)間的概率越大，即集中在周圍的概率越大特別地，有；；．由，知正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間之內(nèi)．而在此區(qū)間以外取值的概率只有，通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生，即為小概率事件．在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布的隨機(jī)變量只取之間的值，并簡(jiǎn)稱之為原則．知識(shí)點(diǎn)10：線性回歸模型1.線性回歸線性回歸是研究不具備確定的函數(shù)關(guān)系的兩個(gè)變量之間的關(guān)系（相關(guān)關(guān)系）的方法．對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回歸方程的求法為其中，，，（，）稱為樣本點(diǎn)的中心．2.殘差分析對(duì)于預(yù)報(bào)變量，通過(guò)觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為觀測(cè)值，通過(guò)回歸方程得到的稱為預(yù)測(cè)值，觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值等于殘差，稱為相應(yīng)于點(diǎn)的殘差，即有．殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果，通過(guò)對(duì)殘差的分析可以判斷模型刻畫(huà)數(shù)據(jù)的效果以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析．（1）殘差圖通過(guò)殘差分析，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說(shuō)明選用的模型比較合適，其中這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說(shuō)明模型擬合精確度越高；反之，不合適．（2）通過(guò)殘差平方和分析，如果殘差平方和越小，則說(shuō)明選用的模型的擬合效果越好；反之，不合適．（3）相關(guān)指數(shù)用相關(guān)指數(shù)來(lái)刻畫(huà)回歸的效果，其計(jì)算公式是：．越接近于，說(shuō)明殘差的平方和越小，也表示回歸的效果越好．題型六】線性回歸模型知識(shí)點(diǎn)11：非線性回歸模型解答非線性擬合問(wèn)題，要先根據(jù)散點(diǎn)圖選擇合適的函數(shù)類型，設(shè)出回歸方程，通過(guò)換元將陌生的非線性回歸方程化歸轉(zhuǎn)化為我們熟悉的線性回歸方程．求出樣本數(shù)據(jù)換元后的值，然后根據(jù)線性回歸方程的計(jì)算方法計(jì)算變換后的線性回歸方程系數(shù)，還原后即可求出非線性回歸方程，再利用回歸方程進(jìn)行預(yù)報(bào)預(yù)測(cè)，注意計(jì)算要細(xì)心，避免計(jì)算錯(cuò)誤．1.建立非線性回歸模型的基本步驟：（1）確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)是解釋變量，哪個(gè)是預(yù)報(bào)變量；（2）畫(huà)出確定好的解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系（是否存在非線性關(guān)系）；（3）由經(jīng)驗(yàn)確定非線性回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈非線性關(guān)系，一般選用反比例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)模型等）；（4）通過(guò)換元，將非線性回歸方程模型轉(zhuǎn)化為線性回歸方程模型；（5）按照公式計(jì)算線性回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法），得到線性回歸方程；（6）消去新元，得到非線性回歸方程；（7）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常．若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等．知識(shí)點(diǎn)12：獨(dú)立性檢驗(yàn)1.分類變量和列聯(lián)表（1）分類變量：變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量．（2）列聯(lián)表：①定義：列出的兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表稱為列聯(lián)表．②2×2列聯(lián)表．一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為2×2列聯(lián)表）為總計(jì)總計(jì)從列表中，依據(jù)與的值可直觀得出結(jié)論：兩個(gè)變量是否有關(guān)系．2.等高條形圖（1）等高條形圖和表格相比，更能直觀地反映出兩個(gè)分類變量間是否相互影響，常用等高條形圖表示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征．（2）觀察等高條形圖發(fā)現(xiàn)與相差很大，就判斷兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系．3.獨(dú)立性檢驗(yàn)（1）定義：利用獨(dú)立性假設(shè)、隨機(jī)變量來(lái)確定是否有一定把握認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)．（2）公式：，其中為樣本容量．（3）獨(dú)立性檢驗(yàn)的具體步驟如下：①計(jì)算隨機(jī)變量的觀測(cè)值，查下表確定臨界值：0.50.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828②如果，就推斷“與有關(guān)系”，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)；否則，就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下不能推斷“與有關(guān)系”．題型一：條件概率 7題型二：全概率公式 8題型三：貝葉斯公式 9題型四：離散型隨機(jī)變量的均值與方差 10題型五：獨(dú)立事件的乘法公式 12題型六：二項(xiàng)分布及其應(yīng)用 14題型七：超幾何分布 15題型八：正態(tài)分布 18題型九：線性回歸方程 20題型十：非線性回歸方程 22題型十一：獨(dú)立性檢驗(yàn) 24【題型一：條件概率】一、單選題1．（23-24高二下·天津?yàn)I海新·期末）中國(guó)空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙．假設(shè)中國(guó)空間站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天員開(kāi)展實(shí)驗(yàn)，設(shè)事件A=“有4名航天員在天和核心艙”，事件B=“甲乙二人在天和核心艙”，則（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·上?！て谀⒁幻队矌胚B續(xù)拋擲三次，每次得到正面或反面的概率均為，且三次拋擲的結(jié)果互相獨(dú)立．記事件為“至少兩次結(jié)果為正面”，事件為“第三次結(jié)果為正面”，則（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·河南商丘·期中）已知事件，，若，且，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．4．（2024·山西太原·二模）某校高二年級(jí)學(xué)生中有60%的學(xué)生喜歡打籃球，40%的學(xué)生喜歡打排球，80%的學(xué)生喜歡打籃球或排球．在該校高二年級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一名學(xué)生，若該學(xué)生喜歡打籃球，則他也喜歡打排球的概率為（

）A． B． C． D．5．（23-24高二下·安徽馬鞍山·期末）假設(shè)A，B是兩個(gè)事件，且，，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B．C． D．6．（23-24高二下·重慶九龍坡·期中）在某次流感疫情爆發(fā)期間，A，B，C三個(gè)地區(qū)均爆發(fā)了流感，經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計(jì)A，B，C地區(qū)分別有的人患過(guò)流感，且A，B，C三個(gè)地區(qū)的人數(shù)的比為．現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)中隨機(jī)選取一人，則此人患過(guò)流感的概率為（

）A． B． C． D．【題型二：全概率公式】一、單選題1．（23-24高二下·湖北·期末）隨著我國(guó)鐵路的發(fā)展，列車的正點(diǎn)率有了顯著的提高．據(jù)統(tǒng)計(jì)，途經(jīng)某車站的只有和諧號(hào)和復(fù)興號(hào)列車，且和諧號(hào)列車的列次為復(fù)興號(hào)列車的列次的3倍，和諧號(hào)列車的正點(diǎn)率為0.98，復(fù)興號(hào)列車的正點(diǎn)率為0.99，則一列車能正點(diǎn)到達(dá)該車站的概率為（

）A．0.9825 B．0.9833 C．0.9867 D．0.98752．（23-24高二下·江西南昌·階段練習(xí)）已知某羽毛球小組共有20名運(yùn)動(dòng)員，其中一級(jí)運(yùn)動(dòng)員4人，二級(jí)運(yùn)動(dòng)員6人，三級(jí)運(yùn)動(dòng)員10人.現(xiàn)在舉行一場(chǎng)羽毛球選拔賽，若一級(jí)、二級(jí)、三級(jí)運(yùn)動(dòng)員能夠晉級(jí)的概率分別為0.9，0.6，0.2，則這20名運(yùn)動(dòng)員中任選一名運(yùn)動(dòng)員能夠晉級(jí)的概率為（

）A．0.42 B．0.46 C．0.58 D．0.623．（24-25高二上·四川眉山·階段練習(xí)）在5張彩票中有2張有獎(jiǎng)，甲、乙兩人先后從中各任取一張，則乙中獎(jiǎng)的概率為（

）A． B． C． D．4．（24-25高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）某醫(yī)院針對(duì)某種疾病研制了新的特效藥，可有效減輕癥狀，縮短病程．現(xiàn)將該藥品投入臨床試驗(yàn)，若不使用新藥，病人3天可痊愈的概率為0.3，若使用新藥，則3天痊愈的概率為0.9，假設(shè)臨床病人有0.7的概率選擇新藥，若某病人3天痊愈，則該病人未使用新藥的概率為（

）A．0.3 B．0.21 C．0.125 D．0.095．（24-25高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）無(wú)人酒店是利用人工智能與物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)，為客人提供自助入住等服務(wù)的新型酒店，勝在科技感與新奇感．去某地旅游的游客有無(wú)人酒店和常規(guī)酒店兩種選擇，某游客去該地旅游，第一天隨機(jī)選擇一種酒店入住，如果第一天入住無(wú)人酒店，那么第二天還入住無(wú)人酒店的概率為0.8，如果第一天入住常規(guī)酒店，那么第二天入住無(wú)人酒店的概率為0.6，則該游客第二天入住無(wú)人酒店的概率為（

）A．0.8 B．0.7 C．0.6 D．0.5【題型三：貝葉斯公式】一、單選題1．（23-24高三上·云南曲靖·階段練習(xí)）根據(jù)曲靖一中食堂人臉識(shí)別支付系統(tǒng)后臺(tái)數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)，高三年級(jí)小孔同學(xué)一周只去食堂一樓和二樓吃飯．周一去食堂一樓和二樓的概率分別為和，若他周一去了食堂一樓，那么周二去食堂二樓的概率為，若他周一去了食堂二樓，那么周二去食堂一樓的概率為，現(xiàn)已知小孔同學(xué)周二去了食堂二樓，則周一去食堂一樓的概率為（

）．A． B． C． D．2．（23-24高二下·廣東廣州·期末）有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為，第2，3臺(tái)加工的次品率均為，加工出來(lái)的零件混放在一起.已知第1，2，3臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的.如果取到的零件是次品，則它是第3臺(tái)車床加工的概率是（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·福建龍巖·階段練習(xí)）某人下午5:00下班，他所積累的資料表明：到家時(shí)間5:35到5:395:40到5:445:45到5:495:50到5:54遲于5:54乘地鐵到家的概率0.100.250.450.150.05乘汽車到家的概率0.300.350.200.100.05某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵還是乘汽車回家，結(jié)果他是5:47到家的，則他乘地鐵回家的概率為（

）A． B． C． D．4．（23-24高二下·廣東廣州·期中）某校高三（1）班和（2）班各有40名同學(xué)，其中參加數(shù)學(xué)興趣社團(tuán)的學(xué)生分別有10人和8人，現(xiàn)從這兩個(gè)班中隨機(jī)抽取一名同學(xué)，若抽到的是參加數(shù)學(xué)興趣社團(tuán)的學(xué)生，則他來(lái)自高三（1）班的概率是（

）A． B． C． D．5．（23-24高二下·福建廈門·期中）現(xiàn)有編號(hào)為1，2，3的三個(gè)口袋，其中1號(hào)口袋內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一個(gè)2號(hào)球和一個(gè)3號(hào)球；2號(hào)口袋內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一個(gè)3號(hào)球；3號(hào)口袋內(nèi)裝有三個(gè)1號(hào)球，兩個(gè)2號(hào)球；第一次先從1號(hào)口袋內(nèi)隨機(jī)抽取1個(gè)球，將取出的球放入與球同編號(hào)的口袋中，第二次從該口袋中任取一個(gè)球，下列說(shuō)法不正確的是（

）A．在第一次抽到3號(hào)球的條件下，第二次抽到1號(hào)球的概率是B．第二次取到1號(hào)球的概率C．如果第二次取到1號(hào)球，則它來(lái)自1號(hào)口袋的概率最大D．如果將5個(gè)不同小球放入這3個(gè)口袋內(nèi)，每個(gè)口袋至少放1個(gè)，則不同的分配方法有150種【題型四：離散型隨機(jī)變量的均值與方差】一、單選題1．（23-24高二下·新疆·期中）已知X服從兩點(diǎn)分布，若，則（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·江蘇南通·期中）已知，若，則（

）A． B．4 C． D．93．（23-24高二下·湖北武漢·期末）2024年“與輝同行”直播間開(kāi)播，董宇輝領(lǐng)銜7位主播從“心”出發(fā)，其中男性5人，女性3人，現(xiàn)需排班晚8：00黃金檔，隨機(jī)抽取兩人，則女生人數(shù)的期望為（

）A． B． C． D．4．（23-24高二下·江蘇南京·階段練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量X的概率分布如表，離散型隨機(jī)變量Y滿足，則（

）X0123Pa5aA． B． C． D．5．（23-24高二下·江蘇連云港·期中）已知X的分布列為01且，，則的值為（

）A．1 B． C． D．6．（23-24高二下·全國(guó)·期末）離散型隨機(jī)變量X的分布列中部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，丟失數(shù)據(jù)以x，代替，分布列如下：則（

）1234560.210.200.100.10A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.657．（23-24高二下·甘肅·期末）隨機(jī)變量的概率分布列為，其中是常數(shù)，則的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．358．（24-25高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知兩個(gè)盒子中分別裝有形狀、大小、質(zhì)量均相同的小球．其中，盒中有3個(gè)紅球，1個(gè)白球；盒中有1個(gè)紅球，3個(gè)白球，現(xiàn)從兩個(gè)盒子中同時(shí)各取走一個(gè)小球，一共取三次，此時(shí)記盒中的紅球個(gè)數(shù)為盒中的紅球個(gè)數(shù)為，則（

）A． B．C． D．【題型五：獨(dú)立事件的乘法公式】一、單選題1．（24-25高二上·吉林·階段練習(xí)）某乒乓球隊(duì)在長(zhǎng)春訓(xùn)練基地進(jìn)行封閉式集訓(xùn)，甲、乙兩位隊(duì)員進(jìn)行對(duì)抗賽，每局依次輪流發(fā)球，連續(xù)贏2個(gè)球者獲勝，通過(guò)分析甲、乙過(guò)去對(duì)抗賽的數(shù)據(jù)知，甲發(fā)球甲贏的概率為，乙發(fā)球甲贏的概率為，不同球的結(jié)果互不影響，已知某局甲先發(fā)球．則該局打4個(gè)球甲贏的概率為（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·湖北鄂州·期中）“五道方”是一種民間棋類游戲，甲，乙兩人進(jìn)行“五道方”比賽，約定連勝兩場(chǎng)者贏得比賽.若每場(chǎng)比賽，甲勝的概率為，乙勝的概率為，則比賽6場(chǎng)后甲贏得比賽的概率為（

）A． B． C． D．3．（24-25高二上·吉林長(zhǎng)春·期中）2024年斯諾克武漢公開(kāi)賽前夕，肖國(guó)棟與斯佳輝兩人進(jìn)行了熱身賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，熱身進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿6局時(shí)停止，設(shè)肖國(guó)棟在每局中獲勝的概率為，斯佳輝在每局中獲勝的概率為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立，比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)為，則（

）A． B． C． D．4．（24-25高二上·山東淄博·階段練習(xí)）對(duì)于一個(gè)古典概型的樣本空間和事件，若，，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．事件A與事件互斥 B．C．事件與事件相互獨(dú)立 D．5．（24-25高二上·內(nèi)蒙古赤峰·期中）金秋十月，某校舉行運(yùn)動(dòng)會(huì)，甲、乙兩名同學(xué)均從跳高、跳遠(yuǎn)、100米跑和200米跑這四個(gè)項(xiàng)目中選擇兩個(gè)項(xiàng)目參加.設(shè)事件“甲、乙兩人所選項(xiàng)目恰有一個(gè)相同”，事件“甲、乙兩人所選項(xiàng)目完全不同”，事件“甲、乙兩人所選項(xiàng)目完全相同”，事件“甲、乙兩人均未選擇100米跑項(xiàng)目”，則（

）A．A與C是對(duì)立事件 B．C與D相互獨(dú)立C．A與D相互獨(dú)立 D．B與D不互斥二、解答題6．（23-24高二下·江蘇南通·期中）為普及安全知識(shí)，某單位舉辦了一場(chǎng)安全知識(shí)競(jìng)賽，經(jīng)過(guò)初賽、復(fù)賽，有甲、乙兩個(gè)代表隊(duì)（每隊(duì)三人）進(jìn)入決賽，決賽規(guī)則如下：共進(jìn)行三輪比賽，每輪比賽中每人各答一題，每答對(duì)一題得10分，答錯(cuò)不得分.假設(shè)甲隊(duì)每人答題正確的概率均為，乙隊(duì)三人答題正確的概率分別.(1)若決賽中三輪總得分大于70分就能獲得特別獎(jiǎng)，求乙隊(duì)獲得特別獎(jiǎng)的概率;(2)因兩隊(duì)在決賽中得分相同，現(xiàn)進(jìn)行附加賽.規(guī)則如下：甲，乙兩隊(duì)抽簽決定誰(shuí)先答題，每隊(duì)每人各答題一次為一輪，有兩人及以上答對(duì)就算成功答題，并繼續(xù)下一輪答題，否則換另一隊(duì)答題，連續(xù)兩輪成功答題的隊(duì)伍獲勝，比賽結(jié)束.求附加賽中甲隊(duì)恰好在第5輪結(jié)束時(shí)獲勝的概率.7．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)某電子元件制造廠有甲、乙、丙、丁4條生產(chǎn)線，現(xiàn)有40個(gè)該廠生產(chǎn)的電子元件，其中由甲、乙、丙、丁生產(chǎn)線生產(chǎn)的電子元件分別為5個(gè)、10個(gè)、10個(gè)、15個(gè)，且甲、乙、丙、丁生產(chǎn)線生產(chǎn)該電子元件的次品率依次為．(1)若將這40個(gè)電子元件按生產(chǎn)線生產(chǎn)的分成4箱，現(xiàn)從中任取1箱，再?gòu)闹腥稳?個(gè)電子元件，求取到的電子元件是次品的概率．(2)若將這40個(gè)電子元件裝入同一個(gè)箱子中，再?gòu)倪@40個(gè)電子元件中任取1個(gè)電子元件，取到的電子元件是次品，求該電子元件是乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的概率．8．（24-25高二上·四川成都·期中）中國(guó)乒乓球隊(duì)是中國(guó)體育軍團(tuán)的王牌之師，屢次在國(guó)際大賽上爭(zhēng)金奪銀，被體育迷們習(xí)慣地稱為“夢(mèng)之隊(duì)”.2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)，中國(guó)乒乓球隊(duì)包攬全部五枚金牌.其中團(tuán)體賽由四場(chǎng)單打和一場(chǎng)雙打比賽組成，采用五場(chǎng)三勝制.每個(gè)隊(duì)由三名運(yùn)動(dòng)員組成，當(dāng)一個(gè)隊(duì)贏得三場(chǎng)比賽時(shí)，比賽結(jié)束.2024年8月10日，中國(guó)隊(duì)對(duì)戰(zhàn)瑞典隊(duì)，最終以取得團(tuán)體賽冠軍，賽前某乒乓球愛(ài)好者對(duì)賽事情況進(jìn)行分析，根據(jù)以往戰(zhàn)績(jī)，中國(guó)隊(duì)在每場(chǎng)比賽中獲勝的概率均為.(1)求中國(guó)隊(duì)以的比分獲勝的概率；(2)求中國(guó)隊(duì)在已輸一場(chǎng)的情況下獲勝的概率；(3)求至多進(jìn)行四場(chǎng)比賽的概率.【題型六：二項(xiàng)分布及其應(yīng)用】一、單選題1．（23-24高二下·天津西青·期末）某人每次射擊擊中目標(biāo)的概率均為，此人連續(xù)射擊三次，至少有兩次擊中目標(biāo)的概率為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·江蘇淮安·期末）已知隨機(jī)變量，若，則（

）A． B．或 C． D．或二、填空題3．（23-24高二下·江蘇南通·期末）設(shè)隨機(jī)變量，且，則；若，則的方差為．三、解答題4．（23-24高二下·安徽合肥·期中）某大學(xué)為豐富學(xué)生課余生活，舉辦趣味知識(shí)競(jìng)賽，分為“個(gè)人賽”和“對(duì)抗賽”，競(jìng)賽規(guī)則如下：①個(gè)人賽規(guī)則：每位學(xué)生需要從“歷史類、數(shù)學(xué)類、生活類”問(wèn)題中隨機(jī)選1道試題作答，其中“歷史類”有8道，“數(shù)學(xué)類”有6道，“生活類”有4道，若答對(duì)將獲得一份獎(jiǎng)品.②對(duì)抗賽規(guī)則：兩位學(xué)生進(jìn)行答題比賽，每輪只有1道題目，比賽時(shí)兩位參賽者同時(shí)回答這一個(gè)問(wèn)題，若一人答對(duì)且另一人答錯(cuò)，則答對(duì)者獲得1分，答錯(cuò)者得分；若兩人都答對(duì)或都答錯(cuò)，則兩人均得0分，對(duì)抗賽共設(shè)3輪，每輪獲得1分的學(xué)生會(huì)獲得一份獎(jiǎng)品，且兩位參賽者答對(duì)與否互不影響，每次答題的結(jié)果也互不影響.(1)學(xué)生甲參加個(gè)人賽，若學(xué)生甲答對(duì)“歷史類”“數(shù)學(xué)類”“生活類”的概率分別為，，，求學(xué)生甲答對(duì)所選試題的概率；(2)學(xué)生乙和學(xué)生丙參加對(duì)抗賽，若每道題學(xué)生乙和學(xué)生丙答對(duì)的概率分別為，，求三輪結(jié)束學(xué)生乙僅獲得一份獎(jiǎng)品的概率.5．（24-25高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）隨著生活水平的提高，家用小轎車進(jìn)入千家萬(wàn)戶，在給出行帶來(lái)方便的同時(shí)也給交通造成擁堵．交通部門為了解決某十字路口的擁堵問(wèn)題，安裝了紅綠燈．通過(guò)測(cè)試后發(fā)現(xiàn)，私家車在此路口遇到紅燈的概率為．(1)若遇到紅燈的概率為，求不同時(shí)刻的5輛私家車在該路口有3輛車遇到紅燈的概率；(2)當(dāng)私家車遇到紅燈的方差達(dá)到最大時(shí)，求5輛私家車遇到紅燈的車輛數(shù)的分布列與期望．6．（23-24高二下·天津·階段練習(xí)）我國(guó)是全球制造業(yè)大國(guó)，制造業(yè)增加值自2010年起連續(xù)12年位居世界第一，主要產(chǎn)品產(chǎn)量穩(wěn)居世界前列．為深入推進(jìn)傳統(tǒng)制造業(yè)改造提升，全面提高傳統(tǒng)制造業(yè)核心競(jìng)爭(zhēng)力，某設(shè)備生產(chǎn)企業(yè)對(duì)現(xiàn)有生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行技術(shù)攻堅(jiān)突破．設(shè)備生產(chǎn)的零件的直徑為X（單位：nm）．(1)現(xiàn)有舊設(shè)備生產(chǎn)的零件共7個(gè)，其中直徑大于10nm的有4個(gè)．現(xiàn)從這7個(gè)零件中隨機(jī)抽取3個(gè)．記ξ表示取出的零件中直徑大于10nm的零件的個(gè)數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．(2)技術(shù)攻堅(jiān)突破后設(shè)備生產(chǎn)的零件的合格率為，每個(gè)零件是否合格相互獨(dú)立．現(xiàn)任取6個(gè)零件進(jìn)行檢測(cè)，若合格的零件數(shù)η超過(guò)半數(shù)，則可認(rèn)為技術(shù)攻堅(jiān)成功．求技術(shù)攻堅(jiān)成功的概率及η的方差；【題型七：超幾何分布】一、單選題1．（23-24高二下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）已知甲參加青年志愿者的選拔，選拔以現(xiàn)場(chǎng)答題的方式進(jìn)行．已知在備選的10道試題中，甲能答對(duì)其中的6道題，規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行測(cè)試，設(shè)甲答對(duì)的試題數(shù)為X，則的概率為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·浙江寧波·期末）袋子中有n個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中4個(gè)為紅球，其余均為黃球，從中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，已知摸出的2個(gè)球都是紅球的概率為，則兩次摸到的球顏色不相同的概率為（

）A． B． C． D．二、解答題3．（23-24高二下·北京懷柔·期末）某學(xué)校對(duì)食堂飯菜質(zhì)量進(jìn)行滿意度調(diào)查，隨機(jī)抽取了200名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，獲取數(shù)據(jù)如下：滿意度性別滿意不滿意棄權(quán)男生803010女生502010(1)用頻率估計(jì)概率，該校學(xué)生對(duì)食堂飯菜質(zhì)量滿意的概率；(2)用分層抽樣的方法從上表中不滿意的50人中抽取5人征求整改建議，再?gòu)倪@5個(gè)人中隨機(jī)抽取2人參與食堂的整改監(jiān)督，則抽取的2人中女生的人數(shù)X，求X的分布列和期望．4．（24-25高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）某試驗(yàn)機(jī)床生產(chǎn)了12個(gè)電子元件，其中8個(gè)合格品，4個(gè)次品.從中隨機(jī)抽出4個(gè)電子元件作為樣本，用X表示樣本中合格品的個(gè)數(shù).(1)若有放回的抽取，求X的分布列；(2)若不放回的抽取，求樣本中合格品的比例與總體中合格品的比例之差的絕對(duì)值不超過(guò)的概率.5．（23-24高二下·上海松江·期末）某超市為促進(jìn)消費(fèi)推出優(yōu)惠活動(dòng)，為預(yù)估活動(dòng)期間客戶投入的消費(fèi)金額，采用隨機(jī)抽樣統(tǒng)計(jì)了200名客戶的消費(fèi)金額，分組如下：（單位：元），得到如圖所示頻率分布直方圖：活躍客戶非活躍客戶總計(jì)男20女60總計(jì)(1)若把消費(fèi)金額不低于800元的客戶，稱為“活躍客戶”，經(jīng)數(shù)據(jù)處理，現(xiàn)在列聯(lián)表中得到一定的相關(guān)數(shù)據(jù)，求列聯(lián)表中的值，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為“活躍客戶”與性別有關(guān)？(2)為感謝客戶，該超市推出免單福利，方案如下：從“活躍客戶”中按分層抽樣的方法抽取12人，從中抽取2人進(jìn)行免單，試寫出免單總單金額的分布列及其期望．（每一組消費(fèi)金額按該組中點(diǎn)值估計(jì)，期望結(jié)果保留至整數(shù)）附：0.1500.1000.0500.0100.005k2.0722.7063.8416.6357.8796．（24-25高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）4月23日是聯(lián)合國(guó)教科文組織確定的“世界讀書(shū)日”．為了解某地區(qū)高一學(xué)生閱讀時(shí)間的分配情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取500名高一學(xué)生進(jìn)行在線調(diào)查，得到了這500名學(xué)生的日平均閱讀時(shí)間（單位：h），并將樣本數(shù)據(jù)分成九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)從這500名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，求日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率；(2)為進(jìn)一步了解這500名學(xué)生數(shù)字媒體閱讀時(shí)間和紙質(zhì)圖書(shū)閱讀時(shí)間的分配情況，從日平均閱讀時(shí)間在三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人，記日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列；(3)以樣本的頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)所有高一學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生，用表示這10名學(xué)生中恰有k名學(xué)生日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率，其中．當(dāng)最大時(shí)，寫出k的值．（只需寫出結(jié)論）【題型八：正態(tài)分布】一、單選題1．（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·期中）某市高中數(shù)學(xué)統(tǒng)考中，甲、乙、丙三所學(xué)校的數(shù)學(xué)成績(jī)分別服從正態(tài)分布，，，其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示，則（

）A． B．C． D．2．（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則（

）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.43．（23-24高二下·陜西西安·期末）某市高中數(shù)學(xué)統(tǒng)考，假設(shè)考試成績(jī)服從正態(tài)分布.如果按照，，，的比例將考試成績(jī)從高到低分為四個(gè)等級(jí).若某同學(xué)考試成績(jī)的等級(jí)為，則該同學(xué)的考試成績(jī)可能為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．120 B．90 C．80 D．60二、解答題4．（23-24高二下·山西長(zhǎng)治·期中）某種香梨的重量（單位：）服從正態(tài)分布，將該種香梨按照其重量及對(duì)應(yīng)的售價(jià)進(jìn)行分揀，分為4類依次記為.已知，售價(jià)最高，為10元；，售價(jià)為8元；，售價(jià)為6元；其余的為，售價(jià)為5元.(1)任選1個(gè)香梨，求其重量大于的概率；(2)以表示香梨的售價(jià)（單位：元），寫出的分布列，并估計(jì)該種香梨售價(jià)的平均值.附：若，則，，.5．（24-25高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）某企業(yè)的產(chǎn)品正常生產(chǎn)時(shí)，產(chǎn)品尺寸（單位：）服從正態(tài)分布，從當(dāng)前生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取400件產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，產(chǎn)品尺寸匯總?cè)绫懋a(chǎn)品尺寸/件數(shù)85454160724012根據(jù)產(chǎn)品質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)和生產(chǎn)線的實(shí)際情況，產(chǎn)品尺寸在以外視為小概率事件，一旦小概率事件發(fā)生視為生產(chǎn)線出現(xiàn)異常，產(chǎn)品尺寸在以內(nèi)為正品，以外為次品.(1)判斷生產(chǎn)線是否正常工作，并說(shuō)明理由；(2)用頻率表示概率，若再隨機(jī)從生產(chǎn)線上取3件產(chǎn)品復(fù)檢，正品檢測(cè)費(fèi)為20元/件，次品檢測(cè)費(fèi)為30元/件，記這3件產(chǎn)品檢測(cè)費(fèi)為隨機(jī)變量X，求X的均值及方差.附：.6．（23-24高二下·浙江·期中）某校高三年級(jí)有750人，某次考試不同成績(jī)段的人數(shù)，且所有得分都是整數(shù)．(1)求該校高三年級(jí)本次考試的平均成績(jī)及標(biāo)準(zhǔn)差；(2)計(jì)算本次考試得分超過(guò)141的人數(shù)；（精確到整數(shù)）(3)本次考試中有一類多項(xiàng)選擇題，每道題的四個(gè)選項(xiàng)中有兩個(gè)或三個(gè)選項(xiàng)正確，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分（正確答案有三個(gè)選項(xiàng)的，則每個(gè)選項(xiàng)2分；正確答案是2個(gè)選項(xiàng)的，則每個(gè)選項(xiàng)為3分），有選擇錯(cuò)誤的得0分．小明同學(xué)在做多項(xiàng)選擇題時(shí)，選擇一個(gè)選項(xiàng)的概率為，選擇兩個(gè)選項(xiàng)的概率為，選擇三個(gè)選項(xiàng)的概率為．已知某個(gè)多項(xiàng)選擇題有三個(gè)選項(xiàng)是正確的，小明在完全不知道四個(gè)選項(xiàng)正誤的情況下，只好根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)隨機(jī)選擇，記小明做這道多項(xiàng)選擇題所得的分?jǐn)?shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：若，則；；．【題型九：線性回歸方程】一、單選題1．（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·期中）下列命題是真命題的是（

）A．經(jīng)驗(yàn)回歸方程至少經(jīng)過(guò)其樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)，，…，中的一個(gè)B．可以用相關(guān)系數(shù)r來(lái)刻畫(huà)兩個(gè)變量x和y線性相關(guān)程度的強(qiáng)弱，r的絕對(duì)值越小，說(shuō)明兩個(gè)變量線性相關(guān)程度越強(qiáng)C．線性回歸分析中決定系數(shù)用來(lái)刻畫(huà)回歸的效果，若值越小，則模型的擬合效果越好D．殘差點(diǎn)分布在以橫軸為對(duì)稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)，該區(qū)域越窄，擬合效果越好2．（24-25高二上·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用與銷售額的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：廣告費(fèi)用/萬(wàn)元4235銷售額/萬(wàn)元49263954根據(jù)上表可得線性回歸方程中的為9.4，據(jù)此模型預(yù)測(cè)廣告費(fèi)用為6萬(wàn)元時(shí)銷售額為（

）A．9.1萬(wàn)元 B．9.2萬(wàn)元C．67.7萬(wàn)元 D．65.5萬(wàn)元3．（24-25高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知由樣本數(shù)據(jù)組成的一個(gè)樣本，得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，且，增加兩個(gè)樣本點(diǎn)和后，得到新樣本的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為．在新的經(jīng)驗(yàn)回歸方程下，樣本的殘差為（

）A． B． C． D．4．（23-24高二下·廣東珠?！るA段練習(xí)）一唱片公司欲知唱片費(fèi)用（十萬(wàn)元）與唱片銷售量（千張）之間的關(guān)系，從其所發(fā)行的唱片中隨機(jī)抽選了10張，得如下的資料：，則與的相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值為（

）（相關(guān)系數(shù)：）A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3二、解答題5．（23-24高二下·黑龍江雙鴨山·開(kāi)學(xué)考試）如圖是某機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)的某地區(qū)2016年至2022年生活垃圾無(wú)害化處理量y（單位：萬(wàn)噸）的折線圖．注：年份代碼1-7分別對(duì)應(yīng)年份2016-2022．求y關(guān)于t的回歸直線方程（系數(shù)精確到0.01），并預(yù)測(cè)2024年該地區(qū)生活垃圾無(wú)害化處理量．參考數(shù)據(jù)：，，，參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小乘估計(jì)公式分別為，．6．（23-24高二下·河北滄州·期中）2023年全國(guó)競(jìng)走大獎(jiǎng)賽（第1站）暨世錦賽及亞運(yùn)會(huì)選拔賽3月4日在安徽黃山開(kāi)賽．重慶隊(duì)的賀相紅以2小時(shí)22分55秒的成績(jī)打破男子35公里競(jìng)走亞洲紀(jì)錄．某田徑協(xié)會(huì)組織開(kāi)展競(jìng)走的步長(zhǎng)和步頻之間的關(guān)系的課題研究，得到相應(yīng)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)：步頻（單位：）0.280.290.300.310.32步長(zhǎng)（單位：）909599103117(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到步頻和步長(zhǎng)近似為線性相關(guān)關(guān)系，求出關(guān)于的回歸直線方程，并利用回歸方程預(yù)測(cè)，當(dāng)步長(zhǎng)為時(shí)，步頻約是多少？(2)記，其中為觀測(cè)值，為預(yù)測(cè)值，為對(duì)應(yīng)的殘差，求（1）中步長(zhǎng)的殘差的和，并探究這個(gè)結(jié)果是否對(duì)任意具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量都成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考數(shù)據(jù)：，．參考公式：，．7．（24-25高三上·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）某學(xué)校對(duì)高三（1）班50名學(xué)生的第一次模擬考試的數(shù)學(xué)成績(jī)和化學(xué)成績(jī)統(tǒng)計(jì)得到數(shù)據(jù)如下：數(shù)學(xué)成績(jī)的方差為，化學(xué)成績(jī)的方差為，，其中（，且）分別表示這50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)和化學(xué)成績(jī)，關(guān)于的線性回歸方程為.(1)求與的樣本相關(guān)系數(shù)；(2)從概率統(tǒng)計(jì)規(guī)律來(lái)看，本次考試高三（1）班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本方差作為的估計(jì)值，試估計(jì)該校共1600名高三學(xué)生中，數(shù)學(xué)成績(jī)位于區(qū)間的人數(shù).附：①回歸方程中，；②樣本相關(guān)系數(shù)；③；④若，則.【題型十：非線性回歸方程】一、解答題1．（23-24高二下·寧夏石嘴山·期中）紅鈴蟲(chóng)（Pectinophoragossypiella）是棉花的主要害蟲(chóng)之一，其產(chǎn)卵數(shù)與溫度有關(guān)．現(xiàn)收集到一只紅鈴蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)（個(gè)）和溫度（）的8組觀測(cè)數(shù)據(jù)，制成圖1所示的散點(diǎn)圖.現(xiàn)用兩種模型①，②分別進(jìn)行擬合，由此得到相應(yīng)的回歸方程并進(jìn)行殘差分析，進(jìn)一步得到圖2所示的殘差圖．根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到如下值：252.964616842268850.470308表中；；；(1)根據(jù)殘差圖，比較模型①、②的擬合效果，哪種模型比較合適？(2)根據(jù)（1）中所選擇的模型，求出關(guān)于的回歸方程．附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，，2．（23-24高二下·河北石家莊·階段練習(xí)）網(wǎng)絡(luò)直播帶貨助力鄉(xiāng)村振興，它作為一種新穎的銷售土特產(chǎn)的方式，受到社會(huì)各界的追捧.某直播間開(kāi)展地標(biāo)優(yōu)品帶貨直播活動(dòng)，其主播直播周期次數(shù)x（其中10場(chǎng)為一個(gè)周期）與產(chǎn)品銷售額y（千元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：直播周期數(shù)x12345產(chǎn)品銷售額y（千元）37153040根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)，甲認(rèn)為樣本點(diǎn)分布在指數(shù)型曲線的周圍，據(jù)此他對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了一些初步處理.如下表：3.75538265978101其中(1)請(qǐng)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；(2)乙認(rèn)為樣本點(diǎn)分布在直線的周圍，并計(jì)算得回歸方程為，以及該回歸模型的相關(guān)指數(shù)，試比較甲、乙兩人所建立的模型，誰(shuí)的擬合效果更好？（精確到0.01）附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，相關(guān)指數(shù)：.3．（23-24高二下·湖北·期末）某鄉(xiāng)村企業(yè)希望通過(guò)技術(shù)革新增加產(chǎn)品收益，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，技術(shù)革新投入經(jīng)費(fèi)（單位：萬(wàn)元）和增加收益（單位：萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)如下表：46810122742555660為了進(jìn)一步了解技術(shù)革新投入經(jīng)費(fèi)對(duì)增加收益的影響，通過(guò)對(duì)表中數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，分別提出了兩個(gè)回歸模型：①，②．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，計(jì)算模型①中與的相關(guān)系數(shù)（結(jié)果精確到0.01）；(2)若，則選擇模型①；否則選擇模型②．根據(jù)（1）的結(jié)果，試建立增加收益關(guān)于技術(shù)革新投入經(jīng)費(fèi)的回歸模型，并預(yù)測(cè)時(shí)的值（結(jié)果精確到0.01）．附：i）回歸直線的斜率、截距的最小二乘估計(jì)以及相關(guān)系數(shù)分別為：，，ii）參考數(shù)據(jù)：設(shè)，，，，，．【題型十一：獨(dú)立性檢驗(yàn)】一、解答題1．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）2022年北京冬奧組委發(fā)布的《北京2022年冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì)經(jīng)濟(jì)遺產(chǎn)報(bào)告（2022）》顯示，北京冬奧會(huì)已簽約45家贊助企業(yè)，冬奧會(huì)贊助成為一項(xiàng)跨度時(shí)間較長(zhǎng)的營(yíng)銷方式.為了解該45家贊助企業(yè)每天銷售額與每天線上銷售時(shí)間之間的相關(guān)關(guān)系，某平臺(tái)對(duì)45家贊助企業(yè)進(jìn)行跟蹤調(diào)查，其中每天線上銷售時(shí)間不少于8小時(shí)的企業(yè)有20家，余下的企業(yè)中，每天的銷售額不足30萬(wàn)元的企業(yè)占，統(tǒng)計(jì)后得到如下列聯(lián)表：銷售額不少于30萬(wàn)元銷售額不足30萬(wàn)元合計(jì)線上銷售時(shí)間不少于8小時(shí)1720線上銷售時(shí)間不足8小時(shí)合計(jì)45請(qǐng)完成上面的列聯(lián)表，并依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為贊助企業(yè)每天的銷售額與每天線上銷售時(shí)間有關(guān)？附：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828參考公式：，其中.2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）中國(guó)大學(xué)先修課程，是在高中開(kāi)設(shè)的具有大學(xué)水平的課程，旨在讓學(xué)有余力的高中生早接受大學(xué)思維方式、學(xué)習(xí)方法的訓(xùn)練，為大學(xué)學(xué)習(xí)乃至未來(lái)的職業(yè)生涯做好準(zhǔn)備.某高中開(kāi)設(shè)大學(xué)先修課程已有兩年，兩年共招收學(xué)生2000人，其中有300人參與學(xué)習(xí)先修課程，兩年全校共有優(yōu)等生200人，學(xué)習(xí)先修課程的優(yōu)等生有60人.這兩年學(xué)習(xí)先修課程的學(xué)生都參加了考試，并且都參加了某高校的自主招生考試，結(jié)果如下表所示：分?jǐn)?shù)人數(shù)20551057050參加自主招生獲得通過(guò)的概率0.90.80.60.50.4填寫列聯(lián)表，并畫(huà)出列聯(lián)表的等高條形圖，并通過(guò)圖形判斷學(xué)習(xí)先修課程與優(yōu)等生是否有關(guān)系，根據(jù)列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為學(xué)習(xí)先修課程與優(yōu)等生有關(guān)系？?jī)?yōu)等生非優(yōu)等生總計(jì)學(xué)習(xí)大學(xué)先修課程沒(méi)有學(xué)習(xí)大學(xué)先修課程總計(jì)參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.879參考公式：，其中.3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）微生物生態(tài)學(xué)的研究表明，水生生物中存在大量的有益微生物，這些有益水生微生物對(duì)于維持水質(zhì)平衡具有非常重要的作用．研究人員為了研究某種有益水生微生物在特定營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)濃度下的增長(zhǎng)速率與水體類型（淡水或咸水）的關(guān)系，對(duì)100個(gè)水體環(huán)境樣本中的有益水生微生物在一段時(shí)間內(nèi)的數(shù)量進(jìn)行了觀察，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下的列聯(lián)表：水體環(huán)境類型增長(zhǎng)情況合計(jì)快速增長(zhǎng)未快速增長(zhǎng)淡水環(huán)境25咸水環(huán)境10合計(jì)100已知從這100個(gè)水體環(huán)境樣本中隨機(jī)抽取1個(gè)，該水體環(huán)境中的有益水生微生物屬于“快速增長(zhǎng)”的概率為．(1)求；(2)根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷該有益水生微生物“快速增長(zhǎng)”與水體環(huán)境類型是否有關(guān)？根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷該有益水生微生物“快速增長(zhǎng)”與水體環(huán)境類型是否有關(guān)？附：，0.010.0050.0016.6357.87910.8284．（23-24高三下·湖南長(zhǎng)沙·期中）新型冠狀病毒疫情已經(jīng)嚴(yán)重影響了我們正常的學(xué)習(xí)、工作和生活.某市為了遏制病毒的傳播，利用各種宣傳工具向市民宣傳防治病毒傳播的科學(xué)知識(shí).某校為了解學(xué)生對(duì)新型冠狀病毒的防護(hù)認(rèn)識(shí)，對(duì)該校學(xué)生開(kāi)展防疫知識(shí)有獎(jiǎng)競(jìng)賽活動(dòng)，并從女生和男生中各隨機(jī)抽取30人，統(tǒng)計(jì)答題成績(jī)分別制成如下頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖.規(guī)定：成績(jī)?cè)?0分及以上的同學(xué)成為“防疫標(biāo)兵”.

名女生成績(jī)頻數(shù)分布表：成績(jī)頻數(shù)101064附：0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，完成以下列聯(lián)表，并判斷是否有%的把握認(rèn)為“防疫標(biāo)兵”與性別有關(guān)；男生女生合計(jì)防疫標(biāo)兵非防疫標(biāo)兵合計(jì)(2)以樣本估計(jì)總體，以頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從該校女生中隨機(jī)抽取人，其中“防疫標(biāo)兵”的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望．5．（24-25高三上·湖南·期中）電動(dòng)車的安全問(wèn)題越來(lái)越引起廣大消費(fèi)者的關(guān)注，目前電動(dòng)車的電池有石墨烯電池與鉛酸電池兩種.某公司為了了解消費(fèi)者對(duì)兩種電池的電動(dòng)車的偏好，在社會(huì)上隨機(jī)調(diào)查了500名市民，其中被調(diào)查的女性市民中偏好鉛酸電池電動(dòng)車的占，得到以下的2－2列聯(lián)表：偏好石墨烯電池電動(dòng)車偏好鉛酸電池電動(dòng)車合計(jì)男性市民200100女性市民合計(jì)500(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，完成2×2列聯(lián)表，依據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為市民對(duì)這兩種電池的電動(dòng)車的偏好與性別有關(guān)；(2)采用分層抽樣的方法從偏好石墨烯電池電動(dòng)車的市民中隨機(jī)抽取7人，再?gòu)倪@7名市民中抽取2人進(jìn)行座談，求在有女性市民參加座談的條件下，恰有一名女性市民參加座談的概率；(3)用頻率估計(jì)概率，在所有參加調(diào)查的市民中按男性和女性進(jìn)行分層抽樣，隨機(jī)抽取5名市民，再?gòu)倪@5名市民中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談，記2名參加座談的市民中來(lái)自偏好石墨烯電池電動(dòng)車的男性市民的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828

專題06概率與統(tǒng)計(jì)（12個(gè)考點(diǎn)清單+11類題型解讀）知識(shí)點(diǎn)01：條件概率（1）一般地，設(shè)，為兩個(gè)隨機(jī)事件，且，我們稱為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率，簡(jiǎn)稱條件概率．知識(shí)點(diǎn)02：條件概率性質(zhì)應(yīng)用（1）由條件概率的定義，對(duì)任意兩個(gè)事件與，若，則．我們稱上式為概率的乘法公式．（2）如果和是兩個(gè)互斥事件，則；知識(shí)點(diǎn)03：全概率公式及其應(yīng)用一般地,設(shè),,是一組兩兩互斥的事件,,且，,則對(duì)任意的事件,有,我們稱此公式為全概率公式.知識(shí)點(diǎn)04：貝葉斯公式及其應(yīng)用（1）設(shè),,是一組兩兩互斥的事件,,且，，則對(duì)任意的事件,，有，.知識(shí)點(diǎn)05：離散型隨機(jī)變量分布列均值，方差知識(shí)點(diǎn)06：均值和方差的性質(zhì)①若與都是隨機(jī)變量，且，則由與之間分布列的關(guān)系可知.②若與相互獨(dú)立，則.③若與都是隨機(jī)變量，且，則由與之間分布列的關(guān)系可知.知識(shí)點(diǎn)07：二項(xiàng)分布1.定義一般地，在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為，不發(fā)生的概率，那么事件恰好發(fā)生次的概率是（，，，…，）于是得到的分布列…………由于表中第二行恰好是二項(xiàng)式展開(kāi)式各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值，稱這樣的離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布，記作，并稱為成功概率．注意：由二項(xiàng)分布的定義可以發(fā)現(xiàn)，兩點(diǎn)分布是一種特殊的二項(xiàng)分布，即時(shí)的二項(xiàng)分布，所以二項(xiàng)分布可以看成是兩點(diǎn)分布的一般形式．2.二項(xiàng)分布的適用范圍及本質(zhì)（1）適用范圍：①各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的；②每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生；③隨機(jī)變量是這次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)．（2）本質(zhì)：二項(xiàng)分布是放回抽樣問(wèn)題，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是相同的．3.二項(xiàng)分布的期望、方差若，則，．知識(shí)點(diǎn)08：超幾何分布1.定義在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則事件發(fā)生的概率為，，1，2，…，，其中，且，，，，，稱分布列為超幾何分布列．如果隨機(jī)變量的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量服從超幾何分布．01……2.超幾何分布的適用范圍件及本質(zhì)（1）適用范圍：①考察對(duì)象分兩類；②已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考察某類個(gè)體個(gè)數(shù)的概率分布．（2）本質(zhì)：超幾何分布是不放回抽樣問(wèn)題，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是不相同的．知識(shí)點(diǎn)09：正態(tài)分布一、正態(tài)曲線1.定義：我們把函數(shù)，（其中是樣本均值，是樣本標(biāo)準(zhǔn)差）的圖象稱為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線．正態(tài)曲線呈鐘形，即中間高，兩邊低．2.正態(tài)曲線的性質(zhì)（1）曲線位于軸上方，與軸不相交；（2）曲線是單峰的，它關(guān)于直線對(duì)稱；（3）曲線在處達(dá)到峰值（最大值）；（4）曲線與軸之間的面積為1；（5）當(dāng)一定時(shí)，曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿軸平移，如圖甲所示：（6）當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定．越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示：：甲乙二、正態(tài)分布1.定義隨機(jī)變量落在區(qū)間的概率為，即由正態(tài)曲線，過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的兩條軸的垂線，及軸所圍成的平面圖形的面積，如下圖中陰影部分所示，就是落在區(qū)間的概率的近似值．一般地，如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)，，隨機(jī)變量滿足，則稱隨機(jī)變量服從正態(tài)分布．正態(tài)分布完全由參數(shù)，確定，因此正態(tài)分布常記作．如果隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則記為．其中，參數(shù)是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本的均值去估計(jì)；是衡量隨機(jī)變量總體波動(dòng)大小的特征數(shù)，可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)．2.原則若，則對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，為下圖中陰影部分的面積，對(duì)于固定的和而言，該面積隨著的減小而變大．這說(shuō)明越小，落在區(qū)間的概率越大，即集中在周圍的概率越大特別地，有；；．由，知正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間之內(nèi)．而在此區(qū)間以外取值的概率只有，通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生，即為小概率事件．在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布的隨機(jī)變量只取之間的值，并簡(jiǎn)稱之為原則．知識(shí)點(diǎn)10：線性回歸模型1.線性回歸線性回歸是研究不具備確定的函數(shù)關(guān)系的兩個(gè)變量之間的關(guān)系（相關(guān)關(guān)系）的方法．對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回歸方程的求法為其中，，，（，）稱為樣本點(diǎn)的中心．2.殘差分析對(duì)于預(yù)報(bào)變量，通過(guò)觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為觀測(cè)值，通過(guò)回歸方程得到的稱為預(yù)測(cè)值，觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值等于殘差，稱為相應(yīng)于點(diǎn)的殘差，即有．殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果，通過(guò)對(duì)殘差的分析可以判斷模型刻畫(huà)數(shù)據(jù)的效果以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析．（1）殘差圖通過(guò)殘差分析，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說(shuō)明選用的模型比較合適，其中這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說(shuō)明模型擬合精確度越高；反之，不合適．（2）通過(guò)殘差平方和分析，如果殘差平方和越小，則說(shuō)明選用的模型的擬合效果越好；反之，不合適．（3）相關(guān)指數(shù)用相關(guān)指數(shù)來(lái)刻畫(huà)回歸的效果，其計(jì)算公式是：．越接近于，說(shuō)明殘差的平方和越小，也表示回歸的效果越好．題型六】線性回歸模型知識(shí)點(diǎn)11：非線性回歸模型解答非線性擬合問(wèn)題，要先根據(jù)散點(diǎn)圖選擇合適的函數(shù)類型，設(shè)出回歸方程，通過(guò)換元將陌生的非線性回歸方程化歸轉(zhuǎn)化為我們熟悉的線性回歸方程．求出樣本數(shù)據(jù)換元后的值，然后根據(jù)線性回歸方程的計(jì)算方法計(jì)算變換后的線性回歸方程系數(shù)，還原后即可求出非線性回歸方程，再利用回歸方程進(jìn)行預(yù)報(bào)預(yù)測(cè)，注意計(jì)算要細(xì)心，避免計(jì)算錯(cuò)誤．1.建立非線性回歸模型的基本步驟：（1）確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)是解釋變量，哪個(gè)是預(yù)報(bào)變量；（2）畫(huà)出確定好的解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系（是否存在非線性關(guān)系）；（3）由經(jīng)驗(yàn)確定非線性回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈非線性關(guān)系，一般選用反比例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)模型等）；（4）通過(guò)換元，將非線性回歸方程模型轉(zhuǎn)化為線性回歸方程模型；（5）按照公式計(jì)算線性回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法），得到線性回歸方程；（6）消去新元，得到非線性回歸方程；（7）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常．若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等．知識(shí)點(diǎn)12：獨(dú)立性檢驗(yàn)1.分類變量和列聯(lián)表（1）分類變量：變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量．（2）列聯(lián)表：①定義：列出的兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表稱為列聯(lián)表．②2×2列聯(lián)表．一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為2×2列聯(lián)表）為總計(jì)總計(jì)從列表中，依據(jù)與的值可直觀得出結(jié)論：兩個(gè)變量是否有關(guān)系．2.等高條形圖（1）等高條形圖和表格相比，更能直觀地反映出兩個(gè)分類變量間是否相互影響，常用等高條形圖表示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征．（2）觀察等高條形圖發(fā)現(xiàn)與相差很大，就判斷兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系．3.獨(dú)立性檢驗(yàn)（1）定義：利用獨(dú)立性假設(shè)、隨機(jī)變量來(lái)確定是否有一定把握認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)．（2）公式：，其中為樣本容量．（3）獨(dú)立性檢驗(yàn)的具體步驟如下：①計(jì)算隨機(jī)變量的觀測(cè)值，查下表確定臨界值：0.50.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828②如果，就推斷“與有關(guān)系”，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)；否則，就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下不能推斷“與有關(guān)系”．題型一：條件概率 7題型二：全概率公式 10題型三：貝葉斯公式 13題型四：離散型隨機(jī)變量的均值與方差 16題型五：獨(dú)立事件的乘法公式 20題型六：二項(xiàng)分布及其應(yīng)用 27題型七：超幾何分布 31題型八：正態(tài)分布 38題型九：線性回歸方程 43題型十：非線性回歸方程 48題型十一：獨(dú)立性檢驗(yàn) 52【題型一：條件概率】一、單選題1．（23-24高二下·天津?yàn)I海新·期末）中國(guó)空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙．假設(shè)中國(guó)空間站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天員開(kāi)展實(shí)驗(yàn)，設(shè)事件A=“有4名航天員在天和核心艙”，事件B=“甲乙二人在天和核心艙”，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由條件概率公式、古典概型概率公式求解即可.【詳解】由條件概率公式、古典概型概率公式可知，所求為.故選：B.2．（23-24高二下·上海·期末）將一枚硬幣連續(xù)拋擲三次，每次得到正面或反面的概率均為，且三次拋擲的結(jié)果互相獨(dú)立．記事件為“至少兩次結(jié)果為正面”，事件為“第三次結(jié)果為正面”，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意，先計(jì)算，再利用條件概率的公式，即可求得結(jié)論.【詳解】由題意，，，則.故選：C3．（23-24高二下·河南商丘·期中）已知事件，，若，且，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)條件概率公式計(jì)算，注意在時(shí)，．【詳解】因?yàn)?，所以，，，，，，故選：C．4．（2024·山西太原·二模）某校高二年級(jí)學(xué)生中有60%的學(xué)生喜歡打籃球，40%的學(xué)生喜歡打排球，80%的學(xué)生喜歡打籃球或排球．在該校高二年級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一名學(xué)生，若該學(xué)生喜歡打籃球，則他也喜歡打排球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】應(yīng)用條件概率公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)在該校高二年級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一名學(xué)生，若該學(xué)生喜歡打籃球?yàn)槭录嗀,在該校高二年級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一名學(xué)生，則他也喜歡打排球?yàn)槭录﨎,,.故選：A.5．（23-24高二下·安徽馬鞍山·期末）假設(shè)A，B是兩個(gè)事件，且，，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)概率的性質(zhì)以及條件概率公式即可判斷ABC；舉例判斷D.【詳解】對(duì)于A，由于，則，A正確；對(duì)于B，由于，，而，不一定相等，故不一定成立，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)相互獨(dú)立時(shí)，，而，則，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，不妨舉例拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)A：向上點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，B：向上點(diǎn)數(shù)不小于4，則，，則，D錯(cuò)誤，故選：A6．（23-24高二下·重慶九龍坡·期中）在某次流感疫情爆發(fā)期間，A，B，C三個(gè)地區(qū)均爆發(fā)了流感，經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計(jì)A，B，C地區(qū)分別有的人患過(guò)流感，且A，B，C三個(gè)地區(qū)的人數(shù)的比為．現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)中隨機(jī)選取一人，則此人患過(guò)流感的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】記事件D：選取的這個(gè)人患了流感，記事件E：此人來(lái)自A地區(qū)，記事件F：此人來(lái)自B地區(qū)，記事件G：此人來(lái)自C地區(qū)，則，且彼此互斥，然后根據(jù)條件依次得到、、、、、的值，然后根據(jù)全概率公式公式求解即可.【詳解】記事件D：選取的這個(gè)人患了流感，記事件E：此人來(lái)自A地區(qū)，記事件F：此人來(lái)自B地區(qū)，記事件G：此人來(lái)自C地區(qū)，則，且彼此互斥，由題意可得，，，，，，由全概率公式可得.故選：A.【題型二：全概率公式】一、單選題1．（23-24高二下·湖北·期末）隨著我國(guó)鐵路的發(fā)展，列車的正點(diǎn)率有了顯著的提高．據(jù)統(tǒng)計(jì)，途經(jīng)某車站的只有和諧號(hào)和復(fù)興號(hào)列車，且和諧號(hào)列車的列次為復(fù)興號(hào)列車的列次的3倍，和諧號(hào)列車的正點(diǎn)率為0.98，復(fù)興號(hào)列車的正點(diǎn)率為0.99，則一列車能正點(diǎn)到達(dá)該車站的概率為（

）A．0.9825 B．0.9833 C．0.9867 D．0.9875【答案】A【分析】利用全概率公式可得答案.【詳解】依題意，設(shè)到達(dá)該車站列車為和諧號(hào)列車的概率為，為復(fù)興號(hào)列車的概率為，則一列車能正點(diǎn)到達(dá)該車站的概率為.故選：A.2．（23-24高二下·江西南昌·階段練習(xí)）已知某羽毛球小組共有20名運(yùn)動(dòng)員，其中一級(jí)運(yùn)動(dòng)員4人，二級(jí)運(yùn)動(dòng)員6人，三級(jí)運(yùn)動(dòng)員10人.現(xiàn)在舉行一場(chǎng)羽毛球選拔賽，若一級(jí)、二級(jí)、三級(jí)運(yùn)動(dòng)員能夠晉級(jí)的概率分別為0.9，0.6，0.2，則這20名運(yùn)動(dòng)員中任選一名運(yùn)動(dòng)員能夠晉級(jí)的概率為（

）A．0.42 B．0.46 C．0.58 D．0.62【答案】B【分析】由全概率公式即可求解.【詳解】設(shè)事件B為“選出的運(yùn)動(dòng)員能晉級(jí)”，為“選出的運(yùn)動(dòng)員是一級(jí)運(yùn)動(dòng)員”，為“選出的運(yùn)動(dòng)員是二級(jí)運(yùn)動(dòng)員”，為“選出的運(yùn)動(dòng)員是三級(jí)運(yùn)動(dòng)員”，則，，，又根據(jù)題意可得，，，由全概率公式可得：，任選一名運(yùn)動(dòng)員能夠晉級(jí)的概率為0.46.故選：B.3．（24-25高二上·四川眉山·階段練習(xí)）在5張彩票中有2張有獎(jiǎng)，甲、乙兩人先后從中各任取一張，則乙中獎(jiǎng)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用全概率公式列式計(jì)算即得.【詳解】記甲中獎(jiǎng)的事件為，乙中獎(jiǎng)的事件為，則，，，所以.故選：B4．（24-25高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）某醫(yī)院針對(duì)某種疾病研制了新的特效藥，可有效減輕癥狀，縮短病程．現(xiàn)將該藥品投入臨床試驗(yàn)，若不使用新藥，病人3天可痊愈的概率為0.3，若使用新藥，則3天痊愈的概率為0.9，假設(shè)臨床病人有0.7的概率選擇新藥，若某病人3天痊愈，則該病人未使用新藥的概率為（

）A．0.3 B．0.21 C．0.125 D．0.09【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用全概率公式及條件概率公式計(jì)算即得.【詳解】記事件使用新藥，則不使用新藥，病人3天病愈，依題意，，所以.故選：C5．（24-25高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）無(wú)人酒店是利用人工智能與物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)，為客人提供自助入住等服務(wù)的新型酒店，勝在科技感與新奇感．去某地旅游的游客有無(wú)人酒店和常規(guī)酒店兩種選擇，某游客去該地旅游，第一天隨機(jī)選擇一種酒店入住，如果第一天入住無(wú)人酒店，那么第二天還入住無(wú)人酒店的概率為0.8，如果第一天入住常規(guī)酒店，那么第二天入住無(wú)人酒店的概率為0.6，則該游客第二天入住無(wú)人酒店的概率為（

）A．0.8 B．0.7 C．0.6 D．0.5【答案】B【分析】由題意記事件第一天入住無(wú)人酒店，第二天入住無(wú)人酒店，第一天入住常規(guī)酒店，得到和，再由全概率公式求解即可；【詳解】記事件第一天入住無(wú)人酒店，第二天入住無(wú)人酒店，第一天入住常規(guī)酒店，根據(jù)題意可知，，則由全概率公式可得．故選：B.【題型三：貝葉斯公式】一、單選題1．（23-24高三上·云南曲靖·階段練習(xí)）根據(jù)曲靖一中食堂人臉識(shí)別支付系統(tǒng)后臺(tái)數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)，高三年級(jí)小孔同學(xué)一周只去食堂一樓和二樓吃飯．周一去食堂一樓和二樓的概率分別為和，若他周一去了食堂一樓，那么周二去食堂二樓的概率為，若他周一去了食堂二樓，那么周二去食堂一樓的概率為，現(xiàn)已知小孔同學(xué)周二去了食堂二樓，則周一去食堂一樓的概率為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】利用貝葉斯概率公式求解即可.【詳解】記小孔同學(xué)周一去食堂一樓為事件A，周二去食堂一樓為事件B，則本題所求．故選：A．2．（23-24高二下·廣東廣州·期末）有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為，第2，3臺(tái)加工的次品率均為，加工出來(lái)的零件混放在一起.已知第1，2，3臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的.如果取到的零件是次品，則它是第3臺(tái)車床加工的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)全概率公式找出，再由貝葉斯公式求解.【詳解】記取到“第1，2，3臺(tái)車床加工的零件”分別為事件,“取到次品”為事件，故,,由全概率公式可得：,由貝葉斯公式：,故選:B.3．（23-24高二下·福建龍巖·階段練習(xí)）某人下午5:00下班，他所積累的資料表明：到家時(shí)間5:35到5:395:40到5:445:45到5:495:50到5:54遲于5:54乘地鐵到家的概率0.100.250.450.150.05乘汽車到家的概率0.300.350.200.100.05某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵還是乘汽車回家，結(jié)果他是5:47到家的，則他乘地鐵回家的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】應(yīng)用全概率、貝葉斯公式求乘地鐵回家的概率即可.【詳解】若表示乘地鐵，表示乘汽車，則，若表示5:45到5:49到家，則，所以，所以.故選：C4．（23-24高二下·廣東廣州·期中）某校高三（1）班和（2）班各有40名同學(xué)，其中參加數(shù)學(xué)興趣社團(tuán)的學(xué)生分別有10人和8人，現(xiàn)從這兩個(gè)班中隨機(jī)抽取一名同學(xué)，若抽到的是參加數(shù)學(xué)興趣社團(tuán)的學(xué)生，則他來(lái)自高三（1）班的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)事件后根據(jù)題干得到，，，，由全概率公式求得，由乘法公式得到，由條件概率公式得到.【詳解】設(shè)事件為“抽到的學(xué)生來(lái)自高三（1）班”，事件為“抽到的學(xué)生來(lái)自高三（2）班”，事件為“抽到的學(xué)生參加數(shù)學(xué)興趣社團(tuán)”，則，，，，由全概率公式得，由乘法公式得，由條件概率公式得，故選：B.5．（23-24高二下·福建廈門·期中）現(xiàn)有編號(hào)為1，2，3的三個(gè)口袋，其中1號(hào)口袋內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一個(gè)2號(hào)球和一個(gè)3號(hào)球；2號(hào)口袋內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一個(gè)3號(hào)球；3號(hào)口袋內(nèi)裝有三個(gè)1號(hào)球，兩個(gè)2號(hào)球；第一次先從1號(hào)口袋內(nèi)隨機(jī)抽取1個(gè)球，將取出的球放入與球同編號(hào)的口袋中，第二次從該口袋中任取一個(gè)球，下列說(shuō)法不正確的是（

）A．在第一次抽到3號(hào)球的條件下，第二次抽到1號(hào)球的概率是B．第二次取到1號(hào)球的概率C．如果第二次取到1號(hào)球，則它來(lái)自1號(hào)口袋的概率最大D．如果將5個(gè)不同小球放入這3個(gè)口袋內(nèi)，每個(gè)口袋至少放1個(gè)，則不同的分配方法有150種【答案】B【分析】對(duì)于A選項(xiàng)利用條件概率公式求解；對(duì)于B選項(xiàng)利用全概率公式求解，對(duì)于C選項(xiàng)利用貝葉斯公式求解，對(duì)于D選項(xiàng)，不同元素的分配問(wèn)題，先分類再分配即可求解.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，記事件分別表示第一次、第二次取到號(hào)球,，則第一次抽到號(hào)球的條件下，第二次抽到號(hào)球的概率，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，記事件分別表示第一次、第二次取到號(hào)球,,依題意兩兩互斥,其和為,并且，，，，應(yīng)用全概率公式,有，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，依題設(shè)知,第二次的球取自口袋的編號(hào)與第一次取的球上的號(hào)數(shù)相同,則，，，故在第二次取到1號(hào)球的條件下,它取自編號(hào)為的口袋的概率最大，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，先將5個(gè)不同的小球分成1，1，3或2，2，1三份，再放入三個(gè)不同的口袋，則不同的分配方法有，故D正確.故選：B.【題型四：離散型隨機(jī)變量的均值與方差】一、單選題1．（23-24高二下·新疆·期中）已知X服從兩點(diǎn)分布，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)兩點(diǎn)分布的特征計(jì)算即可.【詳解】由題意得，則．故選：.2．（23-24高二下·江蘇南通·期中）已知，若，則（

）A． B．4 C． D．9【答案】B【分析】由題意，由期望的性質(zhì)可知，求解即可.【詳解】由已知服從二項(xiàng)分布，，.故選：B.3．（23-24高二下·湖北武漢·期末）2024年“與輝同行”直播間開(kāi)播，董宇輝領(lǐng)銜7位主播從“心”出發(fā)，其中男性5人，女性3人，現(xiàn)需排班晚8：00黃金檔，隨機(jī)抽取兩人，則女生人數(shù)的期望為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)抽取的女生人數(shù)為，則可能取值為0，1，2，然后求出相應(yīng)的概率，從而可求出期望.【詳解】設(shè)抽取的女生人數(shù)為，則可能取值為0，1，2，，，，所以.故選：C4．（23-24高二下·江蘇南京·階段練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量X的概率分布如表，離散型隨機(jī)變量Y滿足，則（

）X0123Pa5aA． B． C． D．【答案】A【分析】由概率分布列的性質(zhì)求出，然后得到離散型隨機(jī)變量Y的概率分布列，求即可.【詳解】由題意可知：，所以解得，所以離散型隨機(jī)變量Y的概率分布列為：Y-1135P所以.故選：A.5．（23-24高二下·江蘇連云港·期中）已知X的分布列為01且，，則的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)分布列的性質(zhì)求的值，可求出，，進(jìn)而可求.【詳解】由可得，所以，，所以.故選：D6．（23-24高二下·全國(guó)·期末）離散型隨機(jī)變量X的分布列中部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，丟失數(shù)據(jù)以x，代替，分布列如下：則（

）1234560.210.200.100.10A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.65【答案】B【分析】根據(jù)概率之和為1得到方程組，求出，得到答案.【詳解】由題意得，解得，，解得，故.故選：B7．（23-24高二下·甘肅·期末）隨機(jī)變量的概率分布列為，其中是常數(shù)，則的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．35【答案】A【分析】運(yùn)用概率分布列的性質(zhì)求出參數(shù)，結(jié)合方差公式和結(jié)論即可解題.【詳解】因?yàn)?，所以，解得，所以，所以，故．故選：A．8．（24-25高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知兩個(gè)盒子中分別裝有形狀、大小、質(zhì)量均相同的小球．其中，盒中有3個(gè)紅球，1個(gè)白球；盒中有1個(gè)紅球，3個(gè)白球，現(xiàn)從兩個(gè)盒子中同時(shí)各取走一個(gè)小球，一共取三次，此時(shí)記盒中的紅球個(gè)數(shù)為盒中的紅球個(gè)數(shù)為，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】得到與的所有可能取值及其對(duì)應(yīng)概率后即可得其分布列，借助分布列即可得其期望與方差.【詳解】由已知，，，則的分布列為：01可得，；由已知，，，則的分布列為：01可得，；所以.故選：A.【題型五：獨(dú)立事件的乘法公式】一、單選題1．（24-25高二上·吉林·階段練習(xí)）某乒乓球隊(duì)在長(zhǎng)春訓(xùn)練基地進(jìn)行封閉式集訓(xùn)，甲、乙兩位隊(duì)員進(jìn)行對(duì)抗賽，每局依次輪流發(fā)球，連續(xù)贏2個(gè)球者獲勝，通過(guò)分析甲、乙過(guò)去對(duì)抗賽的數(shù)據(jù)知，甲發(fā)球甲贏的概率為，乙發(fā)球甲贏的概率為，不同球的結(jié)果互不影響，已知某局甲先發(fā)球．則該局打4個(gè)球甲贏的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由于連勝兩局者贏，則可寫出四局的結(jié)果，計(jì)算即可.【詳解】由于連勝兩局者贏，甲先發(fā)球可分為：該局：第一個(gè)球甲贏、第二個(gè)球乙贏、第三個(gè)球甲贏、第四個(gè)球甲贏，則概率為；故選：C.2．（24-25高二上·湖北鄂州·期中）“五道方”是一種民間棋類游戲，甲，乙兩人進(jìn)行“五道方”比賽，約定連勝兩場(chǎng)者贏得比賽.若每場(chǎng)比賽，甲勝的概率為，乙勝的概率為，則比賽6場(chǎng)后甲贏得比賽的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用獨(dú)立事件的概率乘法公式求解.【詳解】因?yàn)榧s定連勝兩場(chǎng)者贏得比賽，所以比賽6場(chǎng)后甲贏得比賽的情況為：第一場(chǎng)甲勝，第二場(chǎng)乙勝，第三場(chǎng)甲勝，第四場(chǎng)乙勝，第五場(chǎng)甲勝，第六場(chǎng)甲勝，所以所求概率為.故選：C.3．（24-25高二上·吉林長(zhǎng)春·期中）2024年斯諾克武漢公開(kāi)賽前夕，肖國(guó)棟與斯佳輝兩人進(jìn)行了熱身賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，熱身進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿6局時(shí)停止，設(shè)肖國(guó)棟在每局中獲勝的概率為，斯佳輝在每局中獲勝的概率為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立，比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意得到的可能取值，再根據(jù)獨(dú)立事件乘法公式和加法概率公式求出對(duì)應(yīng)的概率即可.【詳解】依題意知，的所有可能值為2，4，6，設(shè)每?jī)删直荣悶橐惠啠梢缘玫皆撦喗Y(jié)束時(shí)比賽停止的概率為如果該輪結(jié)束時(shí)比賽還將繼續(xù)，那么肖國(guó)棟與斯佳輝在該輪中必是各得一分，此時(shí)，該輪比賽結(jié)果對(duì)下輪比賽是否停止沒(méi)有影響，從而有故選：D.4．（24-25高二上·山東淄博·階段練習(xí)）對(duì)于一個(gè)古典概型的樣本空間和事件，若，，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．事件A與事件互斥 B．C．事件與事件相互獨(dú)立 D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件計(jì)算，判斷B選項(xiàng)，再根據(jù)判斷C選項(xiàng)，通過(guò)計(jì)算D選項(xiàng)，通過(guò)判斷A選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，，，所以，又，則，所以，B正確；因?yàn)?，所以事件與事件相互獨(dú)立，C正確；所以，D正確；因?yàn)?，所以事件與事件不是互斥事件，A錯(cuò)誤.故選：A5．（24-25高二上·內(nèi)蒙古赤峰·期中）金秋十月，某校舉行運(yùn)動(dòng)會(huì)，甲、乙兩名同學(xué)均從跳高、跳遠(yuǎn)、100米跑和200米跑這四個(gè)項(xiàng)目中選擇兩個(gè)項(xiàng)目參加.設(shè)事件“甲、乙兩人所選項(xiàng)目恰有一個(gè)相同”，事件“甲、乙兩人所選項(xiàng)目完全不同”，事件“甲、乙兩人所選項(xiàng)目完全相同”，事件“甲、乙兩人均未選擇100米跑項(xiàng)目”，則（

）A．A與C是對(duì)立事件 B．C與D相互獨(dú)立C．A與D相互獨(dú)立 D．B與D不互斥【答案】C【分析】列舉出甲、乙兩名同學(xué)選擇兩個(gè)項(xiàng)目參加的所有情況，計(jì)算每個(gè)事件的概率，可得選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由相互獨(dú)立的定義可知選項(xiàng)B錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確；由互斥事件的概念可知選項(xiàng)D錯(cuò)誤.【詳解】設(shè)跳高、跳遠(yuǎn)、100米跑和200米跑分別為1，2，3，4，則甲、乙兩名同學(xué)均從跳高、跳遠(yuǎn)、100米跑和200米跑中選擇兩個(gè)項(xiàng)目參加的情況有：（1212），（1312），（1412），（2312），（2412），（3412），（1213），（1313），（1413），（2313），（2413），（3413），（1214），（1314），（1414），（2314），（2414），（3414），（1223），（1323），（1423），（2323），（2423），（3423），（1224），（1324），（1424），（2324），（2424），（3424），（1234），（1334），（1434），（2334），（2434），（3434），共36種，其中A有24種情況，B有6種情況，C有6種情況，D有9種情況，則，，，.由可得A與C不是對(duì)立事件，選項(xiàng)A錯(cuò)誤.，C與D不相互獨(dú)立，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.，A與D相互獨(dú)立，選項(xiàng)C正確.由B與D不可能同時(shí)發(fā)生可知B與D互斥，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：C.二、解答題6．（23-24高二下·江蘇南通·期中）為普及安全知識(shí)，某單位舉辦了一場(chǎng)安全知識(shí)競(jìng)賽，經(jīng)過(guò)初賽、復(fù)賽，有甲、乙兩個(gè)代表隊(duì)（每隊(duì)三人）進(jìn)入決賽，決賽規(guī)則如下：共進(jìn)行三輪比賽，每輪比賽中每人各答一題，每答對(duì)一題得10分，答錯(cuò)不得分.假設(shè)甲隊(duì)每人答題正確的概率均為，乙隊(duì)三人答題正確的概率分別.(1)若決賽中三輪總得分大于70分就能獲得特別獎(jiǎng)，求乙隊(duì)獲得特別獎(jiǎng)的概率;(2)因兩隊(duì)在決賽中得分相同，現(xiàn)進(jìn)行附加賽.規(guī)則如下：甲，乙兩隊(duì)抽簽決定誰(shuí)先答題，每隊(duì)每人各答題一次為一輪，有兩人及以上答對(duì)就算成功答題，并繼續(xù)下一輪答題，否則換另一隊(duì)答題，連續(xù)兩輪成功答題的隊(duì)伍獲勝，比賽結(jié)束.求附加賽中甲隊(duì)恰好在第5輪結(jié)束時(shí)獲勝的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）由獨(dú)立乘法、互斥加法公式先求出、，進(jìn)一步即可求解；（2）分別求出甲、乙兩隊(duì)成功答題的概率，分甲先答第一輪、乙先答第一輪兩種情形討論即可求解.【詳解】（1）設(shè)乙隊(duì)每輪得分為，，，三輪積分超過(guò)70分，.（2）其中甲隊(duì)成功答題的概率為，其中乙隊(duì)成功答題的概率為，若甲先答第一輪：甲（勝）甲（負(fù)）乙（負(fù)）甲（勝）甲（勝）

，甲（負(fù)）乙（勝）乙（負(fù)）甲（勝）甲（勝），若乙先答第一輪：乙（負(fù)）甲（負(fù)）乙（負(fù)）甲（勝）甲（勝），，甲隊(duì)恰好在第5輪結(jié)束獲勝的概率為.7．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)某電子元件制造廠有甲、乙、丙、丁4條生產(chǎn)線，現(xiàn)有40個(gè)該廠生產(chǎn)的電子元件，其中由甲、乙、丙、丁生產(chǎn)線生產(chǎn)的電子元件分別為5個(gè)、10個(gè)、10個(gè)、15個(gè)，且甲、乙、丙、丁生產(chǎn)線生產(chǎn)該電子元件的次品率依次為．(1)若將這4