專題07排列組合綜合（考題猜想，易錯(cuò)必刷9大題型）【題型一】捆綁法【題型二】插空法【題型三】特殊元素、特殊位置法【題型四】間接法【題型五】隔板法【題型六】倍縮法【題型七】分組分配問題【題型八】染色問題【題型九】排數(shù)問題【題型一】捆綁法一、單選題1．（23-24高二下·貴州黔南·期末）黔南布依族苗族自治州轄12個(gè)縣（市）：都勻市、福泉市、甕安縣、獨(dú)山縣、三都水族自治縣、平塘縣、荔波縣、貴定縣、龍里縣、羅甸縣、長順縣、惠水縣，為了弘揚(yáng)地方少數(shù)民族文化，州文化廣電和旅游局決定在暑假期間到這12個(gè)縣（市）舉辦文化宣傳活動(dòng)，每個(gè)縣（市）安排一次活動(dòng)，且不同時(shí)舉行.若要求羅甸縣、長順縣、惠水縣相鄰舉行，則不同的時(shí)間安排種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，先把3個(gè)縣捆綁在一起，看成一個(gè)整體，再與其他9個(gè)縣（市）合在一起共10個(gè)縣（市）進(jìn)行全排列，結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理，即可求解.【詳解】由題意，先把羅甸縣、長順縣、惠水縣這3個(gè)縣捆綁在一起，看成一個(gè)整體，有種排法；再與其他9個(gè)縣（市）合在一起共10個(gè)縣（市）進(jìn)行全排列共種，根據(jù)分步相乘計(jì)數(shù)原理，共有種排法．故選：C．2．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）一位語文老師在網(wǎng)上購買了四書五經(jīng)各一套，四書指《大學(xué)》《中庸》《論語》《孟子》，五經(jīng)指《詩經(jīng)》《尚書》《禮記》《周易》《春秋》，他將9本書整齊地放在同一層書架上，若四書，五經(jīng)必須分別排在一起，且《大學(xué)》和《春秋》不能相鄰，則不同方式的排列種數(shù)為（

）A．5760 B．5660 C．5642 D．5472【答案】D【分析】計(jì)算出所有情況后減去《大學(xué)》和《春秋》相鄰的情況即可得.【詳解】四書、五經(jīng)必須分別排在一起，共有種，若《大學(xué)》和《春秋》相鄰，則不符合條件，共有種，則共有種．故選：D.3．（24-25高三上·海南省直轄縣級單位·開學(xué)考試）小明將1，4，0，3，2，2這六個(gè)數(shù)字的一種排列設(shè)為自己的六位數(shù)字的銀行卡密碼，若兩個(gè)2不相鄰，且1與4相鄰，則可以設(shè)置的密碼種數(shù)為（

）A．144 B．72 C．36 D．24【答案】B【分析】根據(jù)相鄰問題用捆綁法和不相鄰問題用插空法即可求解.【詳解】由題意知可將當(dāng)成一個(gè)整體來計(jì)算，和總計(jì)有種排法，再根據(jù)插空法可得總排法有.故選：B4．（2025·廣東·模擬預(yù)測）甲、乙等6人圍成一圈，且甲、乙兩人相鄰，則不同的排法共有（）A．6種 B．12種 C．24種 D．48種【答案】D【分析】將甲、乙兩人看成一個(gè)人，根據(jù)n個(gè)不同元素圍成的環(huán)狀共有種排法求解.【詳解】因?yàn)橛捎诃h(huán)狀排列沒有首尾之分，將n個(gè)不同元素圍成的環(huán)狀排列剪開看成n個(gè)元素排成一排，即共有種排法，由于n個(gè)不同元素共有n種不同的剪法，則環(huán)狀排列共有種排法.甲、乙兩人相鄰而坐，可將此2人當(dāng)作1人看，即5人圍一圓桌，有種坐法，又因?yàn)榧?、?人可換位，有2!種坐法，故所求坐法為種.故選：D5．（24-25高三上·浙江杭州·階段練習(xí)）現(xiàn)有三對雙胞胎共6人排成一排，則有且只有一對雙胞胎相鄰的排法種數(shù)是（

）A．180 B．240 C．288 D．300【答案】C【分析】將6人進(jìn)行編號，先選擇一對雙胞胎令其相鄰，且兩人可內(nèi)部排列，故有種，再就這對雙胞胎分別站的位置進(jìn)行分類求解，結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行求解.【詳解】將6人進(jìn)行編號，分別為，其中為雙胞胎，為雙胞胎，為雙胞胎，從左到右站位，分別為，先從3對雙胞胎中選擇一對令兩人相鄰，且兩人可內(nèi)部排列，故有種選擇，再依次進(jìn)行求解，若這對雙胞胎分別站在位，此時(shí)3號位可以從剩余的4人中進(jìn)行選擇，那么4號位可以從剩余的雙胞胎中選擇1人，號位置將固定排剩余2人，此時(shí)共有種選擇，若這對雙胞胎分別站在位，則1號位置有4種選擇，4號位可以從剩余的雙胞胎中選擇1人，位置將固定排剩余2人，此時(shí)共有種選擇，若這對雙胞胎分別站在位，則2號位置有4種選擇，1號位可以從剩余的雙胞胎中選擇1人，位置可將剩余2人進(jìn)行全排列，此時(shí)共有種選擇，若這對雙胞胎分別站在或，可利用同種方法得到共有種選擇，綜上，共有種排法.故選：C【題型二】插空法一、單選題1．（24-25高三·上?！ふn堂例題）要排一張有6個(gè)歌唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的節(jié)目演出單，要求任意兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰，則不同的排法種數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用插空法進(jìn)行求解,【詳解】先安排6個(gè)歌唱節(jié)目，共有4個(gè)空，再將4個(gè)舞蹈節(jié)目進(jìn)行插空，故有種排法.故選：B2．（23-24高二下·天津·期中）為迎接勞動(dòng)節(jié)社區(qū)編排了一場演出，其中一個(gè)節(jié)目共有7人參加，其中4名男生3名女生，要求男女相間站成一排，并且女生甲必須站在正中間，則共有（

）種站隊(duì)方法．A．144 B．64 C．48 D．56【答案】C【分析】先排男生，再根據(jù)條件女生插空，即可求解.【詳解】先排4名男生，4名男生之間有3個(gè)空，中間的位置留給女生甲，剩下的2個(gè)空，留給剩下的2名女生，共有種站法.故選：C3．（23-24高二下·貴州安順·期末）高三某班畢業(yè)活動(dòng)中，有5名同學(xué)已站成一排照相，這時(shí)有兩位老師需要插入進(jìn)來.若同學(xué)順序不變，則不同的插入方式有（

）A．21種 B．27種 C．30種 D．42種【答案】D【分析】利用插空法，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理求解．【詳解】5位同學(xué)已經(jīng)排好，第一位老師站進(jìn)去有6種選擇，當(dāng)?shù)谝晃焕蠋熣竞煤螅诙焕蠋熣具M(jìn)去有7種選擇，所以2位老師與同學(xué)們站成一排的站法共有6×7＝42（種）.故選：D4．（23-24高二下·山西長治·期中）甲、乙、丙等六位同學(xué)參加校園安全知識決賽，決出第一名到第六名的名次，甲乙兩人向老師詢問成績.老師對甲說：“你的成績沒有乙、丙的成績高.”對乙說：“很遺憾，你不是第一名.”根據(jù)以上信息，6人的名次排列的情況有（

）A．300種 B．120種 C．240種 D．180種【答案】D【分析】根據(jù)師生對話，結(jié)合三人的相對名次，利用插空法進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)槔蠋煂渍f：“你的成績沒有乙、丙的成績高，所以有兩種相對名次，一是乙、丙、甲，二是丙、乙、甲，因此不同的名次有種可能；老師對乙說：“很遺憾，你不是第一名，當(dāng)乙是第一名時(shí)，有甲沒有丙的名次高，這時(shí)不同的名次有種可能，因此6人的名次排列的情況有種可能，故選：D5．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）用藍(lán)色和紅色給一排10個(gè)方格染色，則至多兩個(gè)藍(lán)色相鄰的方法種數(shù)為（

）A．504 B．505 C．506 D．507【答案】A【分析】分類討論，第一，全部紅色，第二，9紅1藍(lán)，第三8紅2藍(lán)，第四，7紅3藍(lán)，第五6紅4藍(lán)，第六，5紅5藍(lán)，第七，4紅6藍(lán)，第八，3紅7藍(lán)，再把各類相加即可.【詳解】第一類，10紅0藍(lán)，有種，小計(jì)1種第二類，9紅1藍(lán)，有種，小計(jì)10種，第三類，8紅2藍(lán)，有種，小計(jì)45種，第四類，7紅3藍(lán)，可分為3藍(lán)分開，有種，2藍(lán)在一起，有，小計(jì)112種第五類，6紅4藍(lán)，可分為4藍(lán)分開，有種，兩藍(lán)，兩藍(lán)在一起，有種，2藍(lán)1藍(lán)1藍(lán)，有，小計(jì)161種第六類，5紅5藍(lán)，可分5藍(lán)分開，有種，2藍(lán)1藍(lán)1藍(lán)1藍(lán)，有，2藍(lán)2藍(lán)1藍(lán)，有，小計(jì)126種第七類，4紅6藍(lán)，可分2藍(lán)1藍(lán)1藍(lán)1藍(lán)1藍(lán)，有種，2藍(lán)2藍(lán)1藍(lán)1藍(lán)，有種，2藍(lán)2藍(lán)2藍(lán)，有種，小計(jì)45種第八類，3紅7藍(lán)，有種，小計(jì)4種合計(jì)504種.故選：A【題型三】特殊元素、特殊位置法一、單選題1．（23-24高二下·北京海淀·期末）將分別寫有2，0，2，4的四張卡片，按一定次序排成一行組成一個(gè)四位數(shù)（首位不為0），則組成的不同四位數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】因四位數(shù)首位非零，且四個(gè)數(shù)字中有重復(fù)數(shù)字，故可先安排首位，再確定其他數(shù)位.【詳解】根據(jù)題意，可將四位數(shù)分成兩類：第一類，首位是2，則只需要將所剩下的三個(gè)數(shù)字全排即得，有個(gè)；第二類，首位是4，只需在余下的三個(gè)數(shù)位選一個(gè)給0即可，有個(gè).由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，組成的不同四位數(shù)的個(gè)數(shù)為.故選：A.2．（23-24高二下·北京房山·期末）要安排5位同學(xué)表演文藝節(jié)目的順序，要求甲同學(xué)既不能第一個(gè)出場，也不能最后一個(gè)出場，則不同的安排方法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】A【分析】先將甲同學(xué)排列在中間3個(gè)位置，再將其余節(jié)目全排列即可.【詳解】第一步：先將甲同學(xué)排列除第一個(gè)、最后一個(gè)之外得3個(gè)位置，共有種排法，第二步：將剩余得4個(gè)節(jié)目全排列，共有種排法，所以共有種，故選：3．（23-24高二下·內(nèi)蒙古·期中）從6人（包含甲）中選派出3人參加，，這三項(xiàng)不同的活動(dòng)，且每項(xiàng)活動(dòng)有且僅有1人參加，若甲不參加和活動(dòng)，則不同的選派方案有（

）A．60種 B．80種 C．90種 D．150種【答案】B【分析】分甲被選中和甲沒被選中兩種情況，結(jié)合排列數(shù)公式即可求解.【詳解】當(dāng)甲被選中時(shí)，不同的選派方案有種；甲沒被選中時(shí)，不同的選派方案有種.故滿足條件的不同的選派方案有種.故選：B.4．（23-24高二下·黑龍江齊齊哈爾·期末）現(xiàn)有3男3女站成一排照相，左右兩端恰好性別不同，則不同的排法種數(shù)為（

）A．216 B．240 C．432 D．720【答案】C【分析】先排特殊位置，再排其它位置，由分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算.【詳解】3男3女站成一排拍照，左右兩端的恰好是一男一女，先分別選1男1女排在左右兩端，有種排法，再排中間4個(gè)位置，有種排法，所以不同的排法種數(shù)為種.故選：C.5．（24-25高三上·河北·開學(xué)考試）現(xiàn)從環(huán)保公益演講團(tuán)的6名教師中選出3名，分別到三所學(xué)校參加公益演講活動(dòng)，則甲、乙2名教師不能到學(xué)校，且丙教師不能到學(xué)校的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合排列組合知識，以及古典概型概率公式即可求得解【詳解】6名教師選出3人分別到三所學(xué)校的方法共有種.甲、乙2名教師不能到學(xué)校，且丙教師不能到學(xué)校的：第一種情況：若丙去校，有種選法；第二種情況，若丙不去校，則校有種選法，校有種選法，校有種選法，共有種，所以一共有種.所以由古典概型可得，所求概率.故選：D.【題型四】間接法一、單選題1．（23-24高二下·江蘇徐州·期中）房間里有6盞電燈，分別由6個(gè)開關(guān)控制，至少開1盞燈用以照明，則不同的方法種數(shù)是（

）A．31 B．32 C．63 D．64【答案】C【分析】使用間接法，計(jì)算出所有情況總數(shù)減去不開燈的情況總數(shù)即可得.【詳解】每盞燈都有開或不開兩種情況，故共有種情況，其中不開燈的情況共有1種，則至少開1盞燈的情況有種.故選：C.2．（23-24高二下·河南·期中）現(xiàn)某酒店要從3名男廚師和2名女廚師中選出兩人，分別做調(diào)料師和營養(yǎng)師，則至少有1名女廚師被選中的不同選法有（

）A．14種 B．18種 C．12種 D．7種【答案】A【分析】先求出5人中選出2人分別做調(diào)料師和營養(yǎng)師，再求出沒有女廚師被選中的選法，兩個(gè)選法數(shù)相減可得至少有1名女廚師被選中的方法數(shù).【詳解】從3名男剅師和2名女廚師中選出兩人，分別做調(diào)料師和營養(yǎng)師，共有20（種），沒有女廚師被選中的選法共有（種），故至少有1名女廚師被選中的不同選法有（種）.故選：A.3．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）從集合中任取2個(gè)不同的數(shù)，作為直線的系數(shù)，則形成的不同的直線有（

）A．18條 B．20條 C．25條 D．10條【答案】A【分析】按照分步計(jì)數(shù)原理，再減去重復(fù)的直線，即可求解.【詳解】第一步取A的值，有5種取法，第二步取B的值，有4種取法，其中當(dāng)，時(shí)，與當(dāng)，時(shí)所得直線是相同的；當(dāng)，時(shí)，與當(dāng)，時(shí)所得直線是相同的，故共有（條）不同的直線．故選：A4．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）計(jì)劃在4個(gè)體育館舉辦排球、籃球、足球3個(gè)項(xiàng)目的比賽，每個(gè)項(xiàng)目的比賽只能安排在一個(gè)體育館進(jìn)行，則在同一個(gè)體育館比賽的項(xiàng)目不超過2項(xiàng)的安排方案共有（

）A．24種 B．36種 C．42種 D．60種【答案】D【分析】利用分步計(jì)數(shù)原理，結(jié)合間接法，即可求解.【詳解】把3個(gè)項(xiàng)目分配到4個(gè)體育館，所有方案共有（種），其中，3個(gè)項(xiàng)目被分配到同一體育館進(jìn)行的有4種方法，故滿足條件的分配方案有（種）．故選：D5．（23-24高二下·安徽安慶·期中）某中學(xué)派6名教師到A，B，C，D，E五個(gè)山區(qū)支教，每位教師去一個(gè)地方，每個(gè)地方至少安排一名教師前去支教．學(xué)校考慮到教師甲的家鄉(xiāng)在山區(qū)A，決定派教師甲到山區(qū)A，同時(shí)考慮到教師乙與丙為同一學(xué)科，決定將教師乙與丙安排到不同山區(qū)，則不同安排方法共有（

）A．360種 B．336種 C．216種 D．120種【答案】B【分析】對山區(qū)的派發(fā)人數(shù)分類，若派到山區(qū)只有甲，剩下教師按人數(shù)分組以后計(jì)算種數(shù)，再減去乙丙教師安排到同一山區(qū)的種數(shù)，即可得山區(qū)只派甲的情況的種數(shù)，進(jìn)而求出總的情況數(shù)量.【詳解】若派到山區(qū)有人，則不同的派法有種；若派到山區(qū)只有甲，先把其余人分為四組，每組人數(shù)分別為，再將四組教師分配到四個(gè)山區(qū)，不同派法有種，其中乙和丙安排到同一山區(qū)的情況有種，所以派到山區(qū)只有甲的派法有種；所以不同的派法共有種.故選：【題型五】隔板法一、單選題1．（23-24高二上·江西吉安·期末）將8個(gè)外觀相同的蘋果分給甲、乙、丙三人，每人至少分到1個(gè)蘋果，共有不同的分法（

）A．15種 B．18種 C．21種 D．24種【答案】C【分析】利用隔板法求解即可.【詳解】8個(gè)蘋果間會(huì)產(chǎn)生7個(gè)空隙，任選2個(gè)空隙將蘋果分開，即分成三份，共有種分法．故選：C.2．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·期末）經(jīng)哈三中數(shù)學(xué)組集體備課研究，預(yù)計(jì)每周（五天）安排8堂數(shù)學(xué)課，每天至少1堂，不同的安排方法有（

）A．35種 B．126種 C．495種 D．1001種【答案】A【分析】用隔板法將8堂數(shù)學(xué)課分成5份即可得解.【詳解】將8堂數(shù)學(xué)課當(dāng)做8個(gè)排成一列的相同的球，這八個(gè)球之間共有7個(gè)空隙，從中選出4個(gè)空隙，用4塊板放入這些空隙之間，每塊板放入的空隙不同，正好將這八個(gè)球分隔成5份，分別對應(yīng)每周五天的數(shù)學(xué)課課堂量安排，所以題目所求的不同安排方法共有種.故選：A.3．（23-24高二上·遼寧沈陽·期末）將20個(gè)無任何區(qū)別的小球放入編號為1，2，3的三個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒子內(nèi)的小球個(gè)數(shù)不小于它的編號數(shù)，則不同的放法有（

）A．90種 B．120種 C．160種 D．190種【答案】B【分析】應(yīng)用“隔板法”求解即可.【詳解】先在編號為2，3的盒子內(nèi)分別放入1個(gè)，2個(gè)球，還剩17個(gè)小球，則三個(gè)盒子內(nèi)每個(gè)至少再放入1個(gè)球，將17個(gè)球排成一排，有16個(gè)空隙，插入2塊擋板分為三堆放入三個(gè)盒子中，不同的放法共有（種）.故選：B.4．（23-24高三下·云南昆明·階段練習(xí)）把分別寫有1，2，3，4，5，6的六張卡片全部分給甲、乙、丙三個(gè)人，每人至少一張，若分得的卡片超過一張，則必須是連號，那么不同的分法種數(shù)為（

）A．60 B．36 C．30 D．12【答案】A【分析】分析可知原題意相當(dāng)于將，，，，，這六個(gè)數(shù)用兩個(gè)隔板隔開，在五個(gè)空位插上兩個(gè)隔板，再對應(yīng)到具體三個(gè)人，利用隔板法分析求解.【詳解】先將卡片分為符合條件的三份，由題意知：三人分六張卡片，且每人至少一張，至多四張，若分得的卡片超過一張，則必須是連號，相當(dāng)于將，，，，，這六個(gè)數(shù)用兩個(gè)隔板隔開，在五個(gè)空位插上兩個(gè)隔板，共種情況，再對應(yīng)到三個(gè)人有種情況，則共有種法.故選：A．5．（23-24高三上·浙江·階段練習(xí)）某市抽調(diào)5位老師分赴3所山區(qū)學(xué)校支教，要求每位老師只能去一所學(xué)校，每所學(xué)校至少安排一位老師．由于工作需要，甲、乙兩位老師必須安排在不同的學(xué)校，則不同的分派方法的種數(shù)是（

）A．124 B．246 C．114 D．108【答案】C【分析】利用分布乘法計(jì)數(shù)原理，根據(jù)排列及間接法計(jì)算.【詳解】設(shè)學(xué)校為，先把甲乙兩人安排到不同學(xué)校，有種，不妨設(shè)甲在A，乙在B，只需剩余3人至少有1人去C即可，利用間接法計(jì)算，有種不同安排方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有種不同安排方法.故選：C【題型六】倍縮法一、單選題1．（23-24高二下·黑龍江牡丹江·階段練習(xí)）五人相約到電影院觀看電影《第二十條》，恰好買到了五張連號的電影票．若甲、乙兩人必須坐在丙的同一側(cè)，則不同的坐法種數(shù)為（

）A．60 B．80 C．100 D．120【答案】B【分析】先求得五人的全排列數(shù)，再由定序排列法代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意，五人全排列共有種不同的排法，其中甲乙丙三人全排列共有種不同的排法，其中甲乙在丙的同側(cè)有：甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲共4種排法，所以甲、乙兩人必須坐在丙的同一側(cè)，則不同的坐法種數(shù)為.故選：B2．（23-24高二下·山西忻州·階段練習(xí)）用0，3，5，7，9組成的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字更大的五位數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．48 B．96 C．60 D．120【答案】A【分析】根據(jù)特殊位置優(yōu)先安排，萬位上的數(shù)字不能為0，先排萬位，再排其他數(shù)位，最后根據(jù)定序問題求解即可.【詳解】萬位上的數(shù)字不能為0，先排萬位，再排其他數(shù)位，則用0，3，5，7，9組成的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)的個(gè)數(shù)為，所以個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字更大的五位數(shù)的個(gè)數(shù)為．故選：A.3．（23-24高二下·安徽滁州·階段練習(xí)）五聲音階是中國古樂基本音階，故有成語“五音不全”，中國古樂中的五聲音階依次為：宮?商?角?徵?羽，把這五個(gè)音階排成一列，形成一個(gè)音序，若徵、羽兩音階相鄰且在宮音階之后，則可排成不同音序的種數(shù)為（

）A．128 B．64 C．48 D．24【答案】D【分析】相鄰問題用捆綁法，定序問題用倍縮法.【詳解】先將徵、羽兩音階相鄰捆綁在一起有種，然后與宮、商、角進(jìn)行全排列有種，考慮到順序問題，則可排成不同音序的種數(shù)為.故選：D.4．（23-24高二下·安徽合肥·階段練習(xí)）一班有5名棋手，出場次序已經(jīng)排定，二班有2名棋手，現(xiàn)要排出這7人的出場順序，如果不改變一班棋手出場次序，那么不同排法有（

）種A．12 B．20 C．30 D．42【答案】D【分析】把7名棋手作全排列，而原有5名棋手的排列只有一種順序，利用縮倍法列式計(jì)算即得.【詳解】依題意，7名棋手作全排列為，其中原有5名棋手的排列有，所以不改變一班棋手出場次序的不同排法種數(shù)有.故選：D5．（23-24高二下·山東菏澤·期末）已知袋中有標(biāo)記為1，2，3，4的卡片各一張，每次從中取出一張，記下號碼后放回，當(dāng)4種號碼的卡片全部取出時(shí)即停止，則恰好取6次卡片時(shí)停止的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】恰好取6次卡片時(shí)停止，說明前5次出現(xiàn)了3種號碼且第6次出現(xiàn)第4種號碼．三種號碼出現(xiàn)的次數(shù)分別為3，1，1或者2，2，1．可以分步完成，先確定前三種種顏色的出現(xiàn)順序有種，再分別確定這三種顏色出現(xiàn)的位置（注意平均分組問題），最后讓第四種顏色出現(xiàn)有一種方法，相乘可得．【詳解】恰好取6次卡片時(shí)停止，說明前5次出現(xiàn)了3種號碼且第6次出現(xiàn)第4種號碼．三種號碼出現(xiàn)的次數(shù)分別為3，1，1或者2，2，1．三種號碼分別出現(xiàn)3，1，1且6次時(shí)停止的取法數(shù)為：種，三種號碼分別出現(xiàn)2，2，1且6次時(shí)停止的取法數(shù)為：種，恰好取6次卡片時(shí)停止的概率為：．故選：．【題型七】分組分配問題一、單選題1．（24-25高三上·浙江·階段練習(xí)）將6棵高度不同的景觀樹種植在道路兩側(cè)，要求每一側(cè)種植3棵，且每一側(cè)中間的景觀樹都要比兩邊的高，則不同的種植方法共有（

）A．20種 B．40種 C．80種 D．160種【答案】C【分析】先分步計(jì)算兩側(cè)的排法，再結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.【詳解】一側(cè)的種植方法有種排法，另一側(cè)的種植方法有種排法再由分步計(jì)數(shù)原理得不同的種植方法共有種排法，故選:C.2．（23-24高二下·河北石家莊·期末）某大學(xué)學(xué)生會(huì)安排5名學(xué)生作為“校慶70周年——?dú)g迎校友回家”活動(dòng)的志愿者，已知該活動(dòng)的志愿者值班區(qū)域分為主樓區(qū)、偏樓區(qū)和大廳區(qū)三個(gè)區(qū)域，每名志愿者只需去一個(gè)區(qū)域進(jìn)行志愿值班服務(wù)，且每個(gè)區(qū)域至少有1名志愿者，則不同的安排方法有（

）A．45種 B．90種 C．150種 D．240種【答案】C【分析】先將5人按照，或進(jìn)行分組，然后再將3組進(jìn)行全排列即可.【詳解】5名學(xué)生分成三組的情況有或，當(dāng)為時(shí)，則不同的安排方法有種，當(dāng)為時(shí)，則不同的安排方法有種，所以，一共有種方法.故選：C.3．（23-24高二下·新疆烏魯木齊·期中）將5名大學(xué)生分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)當(dāng)村官.每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同分配方案有（

）A．240種 B．150種 C．60種 D．180種【答案】B【分析】根據(jù)題意要求，有“”或“”兩種分配方案，因分配時(shí)出現(xiàn)部分平均分組，應(yīng)在方法數(shù)上除以相同數(shù)目組數(shù)的階乘.【詳解】依題意，要使每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，可以有“”或“”兩種分配方案.按照“”分配時(shí)，有種方法；按照“”分配時(shí)，有種方法.由分類加法計(jì)數(shù)原理，可得不同分配方案有種.故選：B.4．（23-24高二下·安徽亳州·階段練習(xí)）2024年5月3日，嫦娥六號搭乘長征五號遙五運(yùn)載火箭在海南文昌發(fā)射場發(fā)射升空，并進(jìn)入地月轉(zhuǎn)移軌道，發(fā)射任務(wù)圓滿成功，由此開啟了預(yù)計(jì)為期53天的全球首次月球背面取樣返回之旅.某科研所有六位地質(zhì)學(xué)家應(yīng)邀去甲?乙?丙?丁四所中學(xué)開展月球土壤有關(guān)知識的科普活動(dòng)，要求每所中學(xué)至少有一名地質(zhì)學(xué)家，每名地質(zhì)學(xué)家去一所中學(xué)，則不同的派遣方法的種數(shù)為（

）A．288 B．376 C．1560 D．1520【答案】C【分析】先將六名科學(xué)家分成四組，分類討論分組分法后再分配即可.【詳解】先將六位地質(zhì)學(xué)家分為4組，若分為的四組，有種分組方法，若分為的四組，有種分組方法，則共有種分組方法；再將4組分配到4所中學(xué)，有24種分派方法，則共有種不同的派遣方法.故選：C.5．（23-24高三上·江蘇無錫·階段練習(xí)）學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，有A、B、C三位運(yùn)動(dòng)員分別參加1500米，800米和100米比賽，為了安全起見，班委為這三位運(yùn)動(dòng)員分別成立了后勤服務(wù)小組，甲和另外四個(gè)同學(xué)參加后勤服務(wù)工作（每個(gè)同學(xué)只能參加一個(gè)后勤服務(wù)小組）．若甲在A的后勤服務(wù)小組，則這五位同學(xué)的分派方案種數(shù)為（

）A．44 B．50 C．42 D．38【答案】B【分析】分類考慮A小組只有一人，兩人或恰有三人，分別求出5人的分配方案，再由分類加法計(jì)數(shù)原理即可得出答案.【詳解】若A小組只有一人，則5人的分配方案有種；若A小組只有兩人，則5人的分配方案有種；若A小組恰有三人，則5人的分配方案有種，所以共有種.故選：B.6．（24-25高二上·江西景德鎮(zhèn)·期中）在打結(jié)計(jì)時(shí)賽中，現(xiàn)有5根繩子，共有10個(gè)繩頭，每個(gè)繩頭只打一次結(jié)，且每個(gè)結(jié)僅含兩個(gè)繩頭，所有繩頭打結(jié)完畢視為結(jié)束．則這5根繩子恰好能圍成一個(gè)圈的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】可以把問題看做10個(gè)繩頭平均分成5組，按平均分組問題求總的基本事件，再求恰好能圍成一個(gè)圓的基本事件數(shù)，結(jié)合古典概型計(jì)算.【詳解】10個(gè)繩頭，每個(gè)繩頭只打一次結(jié)，且每個(gè)結(jié)僅含兩個(gè)繩頭，所有的打結(jié)方式有：種.其中恰好能圍成一個(gè)圈的打結(jié)方式有：種.所以5根繩子恰好能圍成一個(gè)圈的概率為：.故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）10個(gè)繩頭打結(jié)，按要求，每次打結(jié)都減少2個(gè)繩頭，所以可以把問題看成平均分組來解決.（2）恰好圍成一個(gè)圓時(shí)，先選1根繩子，不能兩端打結(jié)，只能從其余的8個(gè)繩頭選1個(gè)打結(jié)，完成后，這段繩子不能兩端打結(jié)，再從其余的6個(gè)繩頭選1個(gè)…，最后這段繩子兩端打結(jié).【題型八】染色問題一、單選題1．（23-24高二下·江蘇鹽城·期中）用4種不同的顏色給如圖所示的4塊區(qū)域上色，要求相鄰2塊涂不同的顏色，問有（

）種不同的涂法？A．24 B．48 C．96 D．120【答案】B【分析】首先涂，再涂，第三步涂，最后涂，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得.【詳解】首先給涂色有種涂法，再涂有種涂法，第三步涂有種涂法，最后涂有種涂法，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理可知一共有種涂法.故選：B2．（23-24高二下·吉林遼源·階段練習(xí)）用5種不同顏色的粉筆寫黑板報(bào)，板報(bào)設(shè)計(jì)如圖所示，要求相鄰區(qū)域不能用同一種顏色的粉筆，則該板報(bào)共有多少種不同的書寫方案？（

）A．240 B．480 C．120 D．200【答案】A【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理與排列的知識即可得解.【詳解】根據(jù)題意，“英語角”、“語文學(xué)苑”和“理綜世界”兩兩相鄰，有種方案，而“數(shù)學(xué)天地”只和“理綜世界”相鄰，只要和“理綜世界”的顏色不同即可，故有4種方案，總共有種方法.故選：A3．（22-23高二下·河北石家莊·期中）某五面體木塊的直觀圖如圖所示，現(xiàn)準(zhǔn)備給其5個(gè)面涂色，每個(gè)面涂一種顏色，且相鄰兩個(gè)面（有公共棱的兩個(gè)面）所涂顏色不能相同.若有6種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（

）A．600種 B．1080種 C．1200種 D．1560種【答案】D【分析】分三類：用5種、4種、3種顏色涂在5個(gè)面上，再由分步計(jì)數(shù)及排列組合數(shù)求不同的涂色方案.【詳解】若用5種顏色，從6種顏色任選5種再作全排，即種；若用4種顏色，從6種顏色任選4種有種，再任選一種顏色涂在其中一組對面上有種，其它3種顏色作全排有，所以，共有種；若用3種顏色，從6種顏色任選3種有種，再任選兩種顏色涂在兩組對面上種，余下的一種顏色涂在底面有1種，所以，共有種；綜上，不同的涂色方案有種.故選：D4．（23-24高二上·山東德州·階段練習(xí)）中國是世界上最早發(fā)明雨傘的國家，傘是中國勞動(dòng)人民一個(gè)重要的創(chuàng)造．如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域分別印有數(shù)字，，，，現(xiàn)準(zhǔn)備給該傘面的每個(gè)區(qū)域涂色，要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個(gè)區(qū)域所涂顏色不能相同，對稱的兩個(gè)區(qū)域如區(qū)域與區(qū)域所涂顏色相同．若有種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（

）A．種 B．種C．種 D．種【答案】B【分析】確定區(qū)域，，，的顏色，分區(qū)域與區(qū)域涂的顏色是否相同兩種情況討論，進(jìn)而可得出答案.【詳解】由題意可得，只需確定區(qū)域，，，的顏色，即可確定整個(gè)傘面的涂色．先涂區(qū)域，有種選擇，再涂區(qū)域，有種選擇，當(dāng)區(qū)域與區(qū)域涂的顏色不同時(shí)，區(qū)域有種選擇，剩下的區(qū)域有種選擇；當(dāng)區(qū)域與區(qū)域涂的顏色相同時(shí)，剩下的區(qū)域有種選擇，故不同的涂色方案有種．故選：B．5．（23-24高二下·重慶·期中）給正六邊形的六條邊涂色，現(xiàn)有3種不同的顏色可以選擇，要求相鄰兩條邊顏色不同，則不同的涂法有（

）種A．99 B．96 C．66 D．60【答案】C【分析】對三條邊所涂顏色的種數(shù)進(jìn)行分類討論，確定另外三條邊所涂顏色的方法種數(shù)，利用分步乘法和分類加法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】第一類，三條邊用同一種顏色，先涂有種方法，再涂有種方法，再涂有種方法，再涂有種方法，共有方法數(shù)為種；第二類，三條邊用種顏色，由三條邊用種顏色，可得必有條邊涂同一種顏色，先涂有種方法，再涂，，有種方法，共有方法數(shù)為種；第三類三條邊用種顏色，先涂有種方法，再涂有種方法，再涂有種方法，再涂有種方法，共有方法數(shù)為種；由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，共有方法數(shù)種．故選：C．【題型九】排數(shù)問題一、單選題1．（23-24高三下·廣東廣州·階段練習(xí)）在中不重復(fù)地選取4個(gè)數(shù)字，共能組成（

）個(gè)不同的四位數(shù).A．96 B．18 C．120 D．84【答案】A【分析】5個(gè)數(shù)抽4個(gè)數(shù)全排列再減去首位是0的情況即可.【詳解】四位數(shù)首位不能為零，故為種不同的四位數(shù)，故選：A.2．（22