專題03空間向量和立體幾何【清單01】空間向量的加減運算①，．如圖所示．②空間向量的加法運算滿足交換律及結(jié)合律，【清單02】空間向量的數(shù)乘運算（1）數(shù)乘運算實數(shù)與空間向量的乘積稱為向量的數(shù)乘運算．當(dāng)時，與向量方向相同；當(dāng)時，向量與向量方向相反．的長度是的長度的倍．（2）共面向量如圖8-154所示，已知平面與向量，作，如果直線平行于平面或在平面內(nèi)，則說明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量．（3）共面向量定理如果兩個向量，不共線，那么向量與向量，共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使．推論：①空間一點位于平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使；或?qū)臻g任意一點，有，該式稱為空間平面的向量表達(dá)式．②已知空間任意一點和不共線的三點，，，滿足向量關(guān)系式（其中）的點與點，，共面；反之也成立．【清單03】空間向量的數(shù)量積運算（1）數(shù)量積定義已知兩個非零向量，，則叫做，的數(shù)量積，記作，即．零向量與任何向量的數(shù)量積為0，特別地，．（2）空間向量的數(shù)量積滿足的運算律：，（交換律）；（分配律）．【清單04】空間向量的坐標(biāo)運算及其應(yīng)用（1）設(shè)，，則；；；；；．（2）設(shè)，，則．這就是說，一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示該向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減起點的坐標(biāo)．（3）兩個向量的夾角及兩點間的距離公式．①已知，，則；；；；②已知，，則，或者．其中表示與兩點間的距離，這就是空間兩點的距離公式．（4）向量在向量上的投影為．【清單05】向量法證明平行、垂直（1）平面的法向量：如果表示向量的有向線段所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作，如果，那么向量叫做平面的法向量．注意：=1\*GB3①法向量一定是非零向量；=2\*GB3②一個平面的所有法向量都互相平行；=3\*GB3③向量是平面的法向量，向量是與平面平行或在平面內(nèi)，則有．第一步：寫出平面內(nèi)兩個不平行的向；第二步：那么平面法向量，滿足．（2）判定直線、平面間的位置關(guān)系=1\*GB3①直線與直線的位置關(guān)系：不重合的兩條直線，的方向向量分別為，．若∥，即，則；若，即，則．=2\*GB3②直線與平面的位置關(guān)系：直線的方向向量為，平面的法向量為，且．若∥，即，則；若，即，則．（3）平面與平面的位置關(guān)系平面的法向量為，平面的法向量為．若∥，即，則；若⊥，即，則⊥．【清單05】空間角的公式（1）異面直線所成角公式：設(shè)，分別為異面直線，上的方向向量，為異面直線所成角的大小，則．（2）線面角公式：設(shè)為平面的斜線，為的方向向量，為平面的法向量，為與所成角的大小，則．（3）二面角公式：設(shè)，分別為平面，的法向量，二面角的大小為，則或（需要根據(jù)具體情況判斷相等或互補），其中．【考點題型一】空間直角坐標(biāo)系【例1】.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點，點，則（

）A．點和點關(guān)于x軸對稱 B．點和點關(guān)于平面對稱C．點和點關(guān)于y軸對稱 D．點和點關(guān)于平面對稱【變式1-1】．在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【變式1-2】.若點關(guān)于平面和軸對稱的點分別為，，則（

）A． B． C．1 D．9【變式1-3】.已知點關(guān)于軸的對稱點為，則（

）A． B． C． D．【變式1-4】.（多選）如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，已知直三棱柱，，，F(xiàn)是棱的中點，則（

）

A． B．C． D．【變式1-5】．如圖所示，在空間直角坐標(biāo)系中，，原點是的中點，點在平面內(nèi)，且，，則點的坐標(biāo)為．【考點題型二】空間向量的基本定理【例2】.如圖，已知空間四邊形，其對角線，，，分別是對邊，的中點，點在線段上，且，現(xiàn)用向量，，表示向量，設(shè)，則（

）

A． B． C． D．【變式2-1】.若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【變式2-2】.如圖，空間四邊形中，，點在上，且，點為中點，則（

）A． B．C． D．【變式2-3】.如圖，在四面體中，為棱的中點，點，分別滿足，，則（

）A． B．C． D．【變式2-4】.在三棱錐中，、分別是、的中點，是的重心，用基向量、、表示，則下列表示正確的是（

）A． B．C． D．【變式2-5】.已知平行六面體，底面是正方形，，，，，，，設(shè)，，．(1)用向量表示向量，并求的長度；(2)設(shè)點滿足，是否存在使得，，三點共線，若存在求出，若不存在請說明理由．【考點題型三】空間向量的坐標(biāo)運算【例3】.如圖，在多面體中，底面是邊長為1的正方形，為底面內(nèi)的一個動點（包括邊界），底面底面，且，則的最小值與最大值分別為（

）A． B． C． D．【變式3-1】.設(shè)，向量，且，則（

）A． B． C．2 D．8【變式3-2】.已知空間向量，則向量在向量上的投影向量是（

）A． B．C． D．【變式3-3】.已知，，，點在平面內(nèi)，則的值為（

）A． B．1 C．10 D．11【變式3-4】.已知向量，，若，則.【變式3-5】.如圖，長方體中，，點為線段上一點，則的最大值為.【變式3-6】.已知，，，，．(1)求；(2)若，求實數(shù)，的值．【考點題型四】空間向量在立體幾何中的應(yīng)用【例4】.如圖，將邊長為2的正方形沿對角線折成一個直二面角，且平面，.(1)若，（i）求證：平面；（ii）求直線與平面所成角的正弦值；(2)求實數(shù)的值，使得二面角的大小為60°.【變式4-1】.如圖，在等腰梯形中，，，，為中點，點分別為的中點，將沿折起到的位置，使得平面平面（如圖）．

(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；【變式4-2】.如圖，在四棱錐中，平面，，，且，，M是AD的中點，N是AB的中點．(1)求證：平面ADE；(2)求直線CM與平面DEN所成角的正弦值．【變式4-3】.如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，是斜邊為AD的等腰直角三角形，

(1)求證：平面(2)求PB與平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PB上是否存在點M，使得平面ADM與平面ABCD所成角的余弦值為若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.【變式4-4】.如圖，在三棱錐中，分別為的中點，.

(1)證明：：(2)求平面和平面夾角的正弦值；(3)在線段上是否存在點，使得點到平面的距離是？若存在，求出的值：苦不存在，請說明理由.【變式4-5】.如圖1，在矩形中，，，連接，沿折起到的位置，如圖2，.(1)求證：平面平面；(2)若點M是線段的中點，求平面與平面夾角的余弦值..課后檢測練習(xí)1．棱長為的正四面體中，點是AD的中點，則（

）A． B． C． D．2．如圖．空間四邊形OABC中，，，，點M在OA上，且滿足，點N為BC的中點，則（

）A． B．C． D．3．對任意的空間向量，下列說法正確的是（

）A．若，，則 B．C． D．若，則4．在空間中，兩兩互相垂直且有公共原點的三條數(shù)軸構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系，若任意兩條數(shù)軸的夾角均為，我們將這種坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”．我們類比空間直角坐標(biāo)系，定義“空間斜坐標(biāo)系”下向量的斜坐標(biāo)：已知分別為“空間斜坐標(biāo)系”下三條數(shù)軸（軸、軸、軸）正方向的單位向量，若向量，則與有序?qū)崝?shù)組相對應(yīng)，稱向量的斜坐標(biāo)為，記作．如圖，在平行六面體中，，以為基底建立“空間斜坐標(biāo)系”，若，且與的夾角為，則（

）

A． B． C． D．25.已知，，，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．6．已知，，，若，，共面，則（

）A．0 B．1 C．2 D．－17．已知四面體中，，，兩兩垂直，，與平面所成角的正切值為，則點到平面的距離為（

）A． B． C． D．8．（多選）下面關(guān)于空間直角坐標(biāo)系的敘述正確的是（

）A．點與點關(guān)于軸對稱B．點與點關(guān)于軸對稱C．點與點關(guān)于平面對稱D．空間直角坐標(biāo)系中的三條坐標(biāo)軸組成的平面把空間分為八個部分9．（多選）下列說法正確的有（

）A．設(shè)是空間向量，若與共線，與共線，則與共線B．若兩個非零向量與滿足，則C．零向量與任何向量都共線D．兩個單位向量一定是相等向量10．（多選）下列說法命題正確的是（

）A．已知，，則在上的投影向量為B．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則C．已知三棱錐，點為平面上的一點，且，則D．若向量（，，是不共面的向量）則稱在基底下的坐標(biāo)為，若在基底下的坐標(biāo)為，則在基底下的坐標(biāo)為11.已知正三棱錐如圖所示，其中，，點D在平面內(nèi)的投影為點E，點F為線段上靠近B的三等分點.(1)若，求的值；(2)求的值.12．如圖，在空間四邊形中，，分別為，的中點，點為的重心，設(shè)，，.(1)試用向量，，，表示向量；(2)若，，，求的值.13.如圖，在棱長為2的正方體中，，分別為棱的中點.

(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求點到平面的距離.14.如圖1，在邊長為4的菱形中，，點，分別是邊，的中點，，．沿將翻折到的