專題09概率（考題猜想，易錯必刷7大題型）【題型一】條件概率【題型二】全概率與貝葉斯公式【題型三】離散型隨機(jī)變量的均值與方差【題型四】獨立事件的乘法公式【題型五】二項分布【題型六】超幾何分布【題型七】正態(tài)分布【題型一】條件概率一、單選題1．（23-24高二下·天津濱海新·期末）中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙．假設(shè)中國空間站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天員開展實驗，設(shè)事件A=“有4名航天員在天和核心艙”，事件B=“甲乙二人在天和核心艙”，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由條件概率公式、古典概型概率公式求解即可.【詳解】由條件概率公式、古典概型概率公式可知，所求為.故選：B.2．（23-24高二下·天津西青·期末）從一副不含大小王的52張撲克牌中，每次從中隨機(jī)曲取1張撲克牌，抽出的牌不再放回．在第一次抽到K牌的條件下，第二次抽到K牌的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用條件概率公式計算可求得結(jié)果.【詳解】記“第一次抽到K牌”為事件，“第二次抽到K牌”為事件；根據(jù)題意可得；因此所求概率為.故選：D3．（23-24高二下·貴州畢節(jié)·期末）一個盒子中裝有4個黑球和6個白球，每個球編有不同的號碼，現(xiàn)從中任取2個球，已知一個球是白球，則另一個球也是白球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用條件概率公式求解即可.【詳解】任取兩個球，設(shè)其中有一個球是白球為事件A,另一個球也是白球為事件B,則，，所以已知一個球是白球,則另一個球也是白球的概率為，故選：B.4．（23-24高二下·新疆·期末）不透明的袋子中有8個除顏色外其余完全相同的小球，其中4個紅色小球，4個藍(lán)色小球，從袋子中隨機(jī)摸出4個小球，在摸出紅色小球的條件下，摸出的紅色小球個數(shù)大于藍(lán)色小球個數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意知從袋中隨機(jī)摸出4球情況有種，摸出紅球的情況是摸出4球的情況減去摸出4個球都藍(lán)球的情況，即，摸出紅色小球個數(shù)大于藍(lán)色小球個數(shù)是紅色球摸3個藍(lán)色摸1個再加4個都是紅色小球情況，即，代入條件概率公式即可得.【詳解】設(shè)事件A為摸出紅色小球，事件B為摸出的紅色小球個數(shù)大于藍(lán)色小球個數(shù)，則PA=C故選：A5．（23-24高二下·甘肅臨夏·期末）已知，為某隨機(jī)試驗的兩個事件，為事件的對立事件．若，，．則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由求出，再求出，最后由條件概率公式計算可得.【詳解】因為，所以，所以，又，所以，所以.故選：D【題型二】全概率與貝葉斯公式一、單選題1．（23-24高二下·山東煙臺·期末）某產(chǎn)品只有一等品?二等品，現(xiàn)隨機(jī)裝箱銷售，每箱15件.假定任意一箱含二等品件數(shù)為的概率分別為.一顧客欲購一箱該產(chǎn)品，開箱隨機(jī)查看其中1件，若該件產(chǎn)品為一等品，則買下這箱產(chǎn)品，否則退回，則該顧客買下這箱產(chǎn)品的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合全概率公式、對立事件概率公式即可求解.【詳解】由全概率公式可知，抽到二等品的概率為，故所求概率為.故選：C.2．（23-24高二下·遼寧大連·期末）小明每天從騎自行車?坐公交車兩種方式中選擇一種去上學(xué).已知他選擇騎自行車的概率為0.6，在他騎自行車的條件下，7：20之前到達(dá)學(xué)校的概率為0.95.若小明7：20之前到達(dá)學(xué)校的概率為0.93，則在他坐公交車的條件下，7：20之前到達(dá)學(xué)校的概率為（

）A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.6【答案】A【分析】根據(jù)已知條件及全概率公式即可求解.【詳解】設(shè)“小明騎自行車去上學(xué)”為事件,“小明坐公交車去上學(xué)”為事件,“小明7：20之前到達(dá)學(xué)?！睘槭录?，則,由全概率公式可得,即，解得，所以在他坐公交車的條件下，7：20之前到達(dá)學(xué)校的概率為.故選：A.3．（23-24高二下·廣東廣州·期末）有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為，第2，3臺加工的次品率均為，加工出來的零件混放在一起.已知第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的.如果取到的零件是次品，則它是第3臺車床加工的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)全概率公式找出，再由貝葉斯公式求解.【詳解】記取到“第1，2，3臺車床加工的零件”分別為事件,“取到次品”為事件，故,,由全概率公式可得：,由貝葉斯公式：,故選:B.4．（2024·海南省直轄縣級單位·一模）英國數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計理論，隨機(jī)事件A，B存在如下關(guān)系：.若某地區(qū)一種疾病的患病率是0.05，現(xiàn)有一種試劑可以檢驗被檢者是否患病.已知該試劑的準(zhǔn)確率為95%，即在被檢驗者患病的前提下用該試劑檢測，有95%的可能呈現(xiàn)陽性；該試劑的誤報率為0.5%，即在被檢驗者未患病的情況下用該試劑檢測，有0.5%的可能會誤報陽性.現(xiàn)隨機(jī)抽取該地區(qū)的一個被檢驗者，已知檢驗結(jié)果呈現(xiàn)陽性，則此人患病的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)出事件，利用條件概率和全概率公式得到，使用貝葉斯公式得到答案.【詳解】設(shè)檢驗結(jié)果呈現(xiàn)陽性為事件，此人患病為事件，，，則.故選：C5．（23-24高二下·福建泉州·期末）某學(xué)校有兩家餐廳，王同學(xué)第1天選擇餐廳就餐的概率是，若第1天選擇餐廳，則第2天選擇餐廳的概率為；若第1天選擇餐廳就餐，則第2天選擇餐廳的概率為；已知王同學(xué)第2天是去餐廳就餐，則第1天去餐廳就餐的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用互斥事件的概率加法公式、積事件的乘法公式進(jìn)行計算求解.【詳解】設(shè)“王同學(xué)第i天去A餐廳就餐”，“王同學(xué)第i天去B餐廳就餐”，，依題意，，，，則，由有：，因為，所以，所以.故選：B.二、解答題6．（23-24高二下·福建三明·期末）假設(shè)有兩箱零件，第一箱內(nèi)裝有件，其中有件次品；第二箱內(nèi)裝有件，其中有件次品.現(xiàn)從兩箱中隨意挑選一箱，然后從該箱中隨機(jī)取1個零件.(1)求取出的零件是次品的概率；(2)已知取出的是次品，求它是從第一箱取出的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可得解；（2）根據(jù)條件概率公式可得解.【詳解】（1）設(shè)事件“從第箱中取一個零件”，事件“取出的零件是次品”，則，且互斥，則，，所以，，所以，所以取出的零件是次品的概率為；（2）取出的是次品是從第一箱取出的概率，所以已知取出的是次品，則它是從第一箱取出的概率為.7．（23-24高二下·云南楚雄·期末）在一個牌堆中有6張牌，分別標(biāo)有數(shù)字0，1，2，3，5，7．(1)規(guī)定每次隨機(jī)翻出一張牌，若數(shù)字為奇數(shù)，則放回這張牌，若數(shù)字為偶數(shù)，則不放回這張牌，求第二次翻出的數(shù)字是偶數(shù)的概率．(2)規(guī)定每次隨機(jī)翻出一張牌，然后放回，若數(shù)字為奇數(shù)，則得1分，若數(shù)字為偶數(shù)，則得2分，翻牌次數(shù)不限，直到總得分達(dá)到或超過5分，游戲結(jié)束．設(shè)游戲結(jié)束時翻牌的總次數(shù)為隨機(jī)變量X，求隨機(jī)變量X的分布列和期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）第二次翻出的數(shù)字是偶數(shù)的概率受第一次翻出的數(shù)字是奇數(shù)還是偶數(shù)的影響，可以根據(jù)第一次翻出的數(shù)字的情況，將樣本空間表示為“第一次翻出的數(shù)字是奇數(shù)”和“第一次翻出的數(shù)字是偶數(shù)”兩個互斥事件的并，利用全概率公式求解；（2）根據(jù)題意求出隨機(jī)變量X的每一個取值，再根據(jù)每個取值的含義求出其概率，列表即可得分布列，再用期望公式計算期望即可.【詳解】（1）設(shè)事件A:第一次翻出的數(shù)字是奇數(shù)，事件B:第一次翻出的數(shù)字是偶數(shù)，事件C:第二次翻出的數(shù)字是偶數(shù)，則，且與互斥，由題意得：，，，，由全概率公式得：，所以第二次翻出的數(shù)字是偶數(shù)的概率為.（2）隨機(jī)變量的可能取值為3，4，5．當(dāng)時，若前兩次都翻到偶數(shù)牌，則翻牌的總次數(shù)為3的概率為，若前兩次都只翻到一張偶數(shù)牌，則翻牌的總次數(shù)為3的概率為，則，，，所以隨機(jī)變量的分布列如下：345．8．（22-23高二下·甘肅白銀·期末）某同學(xué)正在研究投擲骰子的概率問題，在連續(xù)3次得到6點朝上的結(jié)果時，他產(chǎn)生了一個疑問：在連續(xù)多少次6點朝上時，是否該合理懷疑骰子不是均勻的?帶著這個疑問，他研究了以下問題：有兩個骰子，一個是正常的、均勻的1號骰子，另一個是不均勻的2號骰子.經(jīng)測1試，投擲2號骰子得到6點朝上的概率為.(1)若等可能地選擇其中一個骰子，連續(xù)投擲3次，在得到都是6點朝上的結(jié)果的前提下，求這個骰子是2號骰子的概率.(2)若每次都等可能地選擇其中一個骰子，投擲了10次，在得到都是6點朝上的結(jié)果的前提下，設(shè)這10次中有次用了2號骰子的概率為，試問當(dāng)取何值時最大?并求的最大值.【答案】(1)(2)當(dāng)時最大，且最大值為【分析】（1）利用條件概型概率計算公式求得所求的概率.（2）利用條件概型概率計算公式求得，利用商比較法求得的最大值.【詳解】（1）設(shè)事件{3次6點朝上}，事件{選擇了2號骰子}，則，，所以所求概率為.（2）設(shè)事件{10次有次用了2號骰子}，則.設(shè)事件{10次6點朝上}，則.，.令，，則.當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即.因為，所以的最大值是，因為，所以的最大值是，所以當(dāng)時最大，且最大值為.【題型三】離散型隨機(jī)變量的均值與方差一、單選題1．（23-24高二下·河南信陽·期末）2024年5月中國郵政發(fā)行了《巢湖》特種郵票3枚，巢湖是繼《太湖》（5枚）、《鄱陽湖》（3枚）、《洞庭湖》（4枚）后，第四個登上特種郵票的五大淡水湖.現(xiàn)從15枚郵票中隨機(jī)抽取2枚，記抽取郵票《巢湖》的枚數(shù)為，則（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】利用超幾何分布概率公式，分別求出，再求.【詳解】依題意，的可能取值有0，1，2.則，，，則.故選:A.2．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期末）已知隨機(jī)變量的分布列如下:01設(shè)，則的數(shù)學(xué)期望的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)期望公式求出，再根據(jù)期望的性質(zhì)即可得到正確答案.【詳解】，所以.故選：B.3．（23-24高二下·廣西玉林·期末）隨機(jī)變量Y的分布列為下表所示，若Y的期望值為1，則：（

）02A． B．C． D．【答案】A【分析】由分布列的性質(zhì)及數(shù)學(xué)期望的計算求解即可.【詳解】由分布列的性質(zhì)可知，，故A正確；因為Y的期望值為1，所以，所以C錯.若，不滿足分布列性質(zhì)，B錯，由上，有，顯然D錯.故選：A4．（23-24高二下·河南商丘·期末）設(shè)隨機(jī)變量，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)二項分布方差的計算公式求，再根據(jù)求解.【詳解】由題意知，，解得，所以.故選：D5．（23-24高二下·青?！て谀┮阎唤M數(shù)據(jù)1，2，2，5，5，6的第60百分位數(shù)為，隨機(jī)變量X的分布列為2m140.30.60.1（

）A．5 B．6 C．9.8 D．10.8【答案】D【分析】先求的值，再求的期望與方差.【詳解】∵，∴，∴，∴故選：D6．（23-24高二下·吉林長春·期末）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01P且，則（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分布列求出，，再根據(jù)條件得，計算答案即可.【詳解】由X的分布列得，，因為，則故選：D.【題型四】獨立事件的乘法公式一、單選題1．（23-24高二下·福建漳州·期末）在一個關(guān)于智能助手的準(zhǔn)確率測試中，有三種不同的模型，，.模型的準(zhǔn)確率為0.8，模型的準(zhǔn)確率為0.75，模型的準(zhǔn)確率為0.7.已知選擇模型，，的概率分別為，，.現(xiàn)隨機(jī)選取一個模型進(jìn)行測試，則準(zhǔn)確率為（

）A．0.56 B．0.66 C．0.76 D．0.86【答案】C【分析】直接由全概率公式進(jìn)行計算即可求解.【詳解】由全概率公式可知，所求準(zhǔn)確率為.故選：C.2．（23-24高二下·河南漯河·期末）甲乙兩人獨立地對同一目標(biāo)各射擊一次，命中率分別為和，在目標(biāo)被擊中的情況下，甲乙同時擊中目標(biāo)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，記甲擊中目標(biāo)為事件，乙擊中目標(biāo)為事件，目標(biāo)被擊中為事件，由相互獨立事件的概率公式，計算可得目標(biāo)被擊中的概率，再由條件概率公式計算可得.【詳解】記甲擊中目標(biāo)為事件，乙擊中目標(biāo)為事件，目標(biāo)被擊中為事件，甲乙同時擊中目標(biāo)為事件，由題意，得，，所以，，所以，所以在目標(biāo)被擊中的情況下，甲乙同時擊中目標(biāo)的概率為.故選：A.3．（23-24高二下·江蘇南京·期末）連續(xù)地擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記錄每次的點數(shù)，記事件為“第一次出現(xiàn)2點”，事件為“第二次的點數(shù)小于等于4點”，事件為“兩次點數(shù)之和為奇數(shù)”，事件為“兩次點數(shù)之和為9”，則下列說法不正確的是（

）A．與不是互斥事件 B．與相互獨立C．與相互獨立 D．與相互獨立【答案】B【分析】先利用古典概型概率公式分別求出事件的概率，再按照選項要求，利用事件的交事件是否為空集，確定是否互斥；兩事件交事件的概率是否等于兩事件概率的乘積，判斷兩時間是否獨立即得.【詳解】依題意，試驗的樣本空間為，，顯然，則；，；，；，.對于A，因,故與不是互斥事件，A正確；對于B，因，，而,故與不獨立，即B錯誤；對于C，因，,故與相互獨立，即C正確；對于D，因，，故與相互獨立，即D正確.故選：B.二、解答題4．（23-24高二上·四川綿陽·期末）多項選擇題是標(biāo)準(zhǔn)化考試中常見題型，從，，，四個選項中選出所有正確的答案（四個選項中至少有兩個選項是正確的），其評分標(biāo)準(zhǔn)為全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.(1)甲同學(xué)有一道多項選擇題不會做，他隨機(jī)選擇至少兩個選項，求他猜對本題得5分的概率；(2)現(xiàn)有2道多項選擇題，根據(jù)訓(xùn)練經(jīng)驗，每道題乙同學(xué)得5分的概率為，得2分的概率為；丙同學(xué)得5分的概率為，得2分的概率為.乙、丙二人答題互不影響，且兩題答對與否也互不影響，求這2道多項選擇題乙比丙總分剛好多得5分的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出樣本空間基本事件總數(shù)，由古典概型概率計算公式即可求解.（2）由互斥加法以及獨立乘法公式即可求解.【詳解】（1）甲同學(xué)所有可能的選擇答案有11種：，其中正確選項只有一個，樣本空間,共11個基本事件，所以他猜對本題得5分的概率為.（2）由題意得乙得0分的概率為，丙得0分的概率為，乙比丙剛好多得5分的情況包含：事件：乙得10分，丙得5分，則；事件：乙得7分，丙得2分，則；事件：乙得5分，丙得0分，則；所以乙比丙總分剛好多得5分的概率.5．（23-24高二下·廣西南寧·期末）2024年5月底，各省教育廳陸續(xù)召開了2024年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的相關(guān)工作，某市經(jīng)過初次選拔后有小明，小王，小紅三名同學(xué)成功進(jìn)入決賽，在決賽環(huán)節(jié)中三名同學(xué)同時解答一道有關(guān)組合數(shù)論的試題．已知小明成功解出這道題的概率是，小明，小紅兩名同學(xué)都解答錯誤的概率是，小王、小紅兩名同學(xué)都成功解出的概率是，這三名同學(xué)解答是否正確相互獨立.(1)分別求出小王，小紅兩名同學(xué)成功解出這道題的概率；(2)求三人中至少有兩人成功解出這道題的概率．【答案】(1)小王、小紅解出概率分別為，(2)【分析】（1）借助對立事件的性質(zhì)及相互獨立事件乘法公式計算即可得；（2）借助相互獨立事件乘法公式計算即可得.【詳解】（1）設(shè)小明、小王、小紅成功解出該道題分別為事件A，B，C，根據(jù)題意，則有，則，又，所以，即，又，則．即小王、小紅成功解出這道題的概率分別為，；（2）設(shè)三人中至少有兩人成功解出這道題為事件D，則有，所以三人中至少有兩人成功解出這道題的概率為．6．（23-24高二上·廣東茂名·期末）“猜燈謎”又叫“打燈謎”，是元宵節(jié)的一項活動，出現(xiàn)在宋朝．南宋時，首都臨安每逢元宵節(jié)時制迷，猜謎的人眾多．開始時是好事者把謎語寫在紙條上，貼在五光十色的彩燈上供人猜．因為謎語既能啟迪智慧又饒有興趣，所以流傳過程中深受社會各階層的歡迎．在一次元宵節(jié)猜燈謎活動中，共有20道燈謎，三位同學(xué)獨立競猜，甲同學(xué)猜對了12道，乙同學(xué)猜對了8道，丙同學(xué)猜對了n道．假設(shè)每道燈謎被猜對的可能性都相等．(1)任選一道燈謎，求甲，乙兩位同學(xué)恰有一個人猜對的概率；(2)任選一道燈謎，若甲，乙，丙三個人中至少有一個人猜對的概率為，求n的值．【答案】(1)(2)10【分析】（1）設(shè)出相應(yīng)事件后，利用相互獨立事件概率乘法公式進(jìn)行求解即可；（2）利用相互獨立事件概率乘法公式即可求出n的值.【詳解】（1）設(shè)“甲猜對燈謎”為事件A，“乙猜對燈謎”為事件B，“任選一道燈謎，恰有一個人猜對”為事件C，由題意得，，，且事件A、B相互獨立，則，所以任選一道燈謎，恰有一個人猜對的概率為；（2）設(shè)“丙猜對燈謎”為事件D，“任選一道燈謎，甲、乙、丙三個人都沒有猜對”為事件E，則由題意，，解得．【題型五】二項分布一、解答題1．（23-24高二下·安徽·期末）某大型企業(yè)準(zhǔn)備把某一型號的零件交給甲工廠或乙工廠生產(chǎn).經(jīng)過調(diào)研和試生產(chǎn)，質(zhì)檢人員抽樣發(fā)現(xiàn)：甲工廠試生產(chǎn)的一批零件的合格品率為：乙工廠試生產(chǎn)的另一批零件的合格品率為；若將這兩批零件混合放在一起，則合格品率為.(1)混合零件中甲廠零件和乙廠零件的比例是多少？(2)從混合放在一起的零件中隨機(jī)抽取4個，用頻率估計概率，記這4個零件中來自甲工廠的個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）設(shè)甲工廠有件，乙工廠有件，得到，，根據(jù)題意，列出方程，求得，即可求解；（2）由（1）知所以，且的可能取值為，取得相應(yīng)的概率，列出分布列，利用二項分布的期望公式，即可求解.【詳解】（1）解：設(shè)甲工廠試生產(chǎn)的這批零件有件，乙工廠試生產(chǎn)的這批零件有件，事件“混合放在一起零件來自甲工廠”，事件“混合放在一起零件來自乙工廠”，事件“混合放在一起的某一零件是合格品”，則，，，解得，即.（2）解：由（1）知所以，隨機(jī)變量的可能取值為，且，可得，，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為：01234所以期望為.2．（23-24高二下·廣東佛山·期末）某工廠制造甲、乙、丙三件產(chǎn)品，制造過程必須先后經(jīng)過兩道工序.當(dāng)?shù)谝坏拦ば蛲瓿刹⒑细窈蠓娇蛇M(jìn)入第二道工序，兩道工序過程相互獨立.根據(jù)該廠現(xiàn)有的技術(shù)水平，經(jīng)過第一道工序后，甲、乙、丙三件合格的概率依次為，，經(jīng)過第二道工序后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為，，.(1)求第一道工序完成后至少有一件產(chǎn)品合格的概率；(2)若前后兩道工序均合格的產(chǎn)品為合格產(chǎn)品，記合格產(chǎn)品的個數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）利用對立事件求概率即可；（2）由已知確定隨機(jī)變量ξ的可能取值，再求其取各值的概率，由此可得其分布列，再由期望公式求期望.【詳解】（1）分別記甲、乙、丙經(jīng)第一次燒制后合格為事件，，，則，，，設(shè)E表示第一次燒制后至少有一件合格，，所以即第一次燒制后至少有一件產(chǎn)品合格的概率為.（2）設(shè)甲、乙、丙經(jīng)第二次燒制后合格為事件，分別記甲、乙、丙經(jīng)過兩次燒制后合格為事件，則，，，，，所以，，，．所以的分布列如下：0123P于是期望3．（23-24高二下·天津西青·期末）歷史悠久的楊柳青年畫，全稱“楊柳青木版年畫”，屬木版印繪制品，是我國著名民間傳統(tǒng)木版年畫．它起源于明代崇禎年間，距今已有近400年的歷史，是首批國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)．楊柳青年畫制作特別之處是它采用“印畫結(jié)合”的獨特工藝，制作程序大致是：創(chuàng)稿、分版、刻版、套印、彩繪、裝裱，前期工序與其他木彼年畫大致相同，而楊柳青年畫的后期制作藝術(shù)風(fēng)格迥然不同．一個優(yōu)秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技術(shù)要求，已知某年工藝畫師在后期套印、彩繪、裝裱每個環(huán)節(jié)制作成功的概率分別為，只有當(dāng)每個環(huán)節(jié)制作都成功才認(rèn)為是一次優(yōu)秀制作．(1)設(shè)事件“制作一件優(yōu)秀作品”，求事件A的概率；(2)若該工藝畫師進(jìn)行3次制作，事件”恰有一件優(yōu)秀作品”，求事件B的概率；(3)若該工藝畫師制作3次，其中優(yōu)秀作品數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)(3)分布列見解析；期望為【分析】（1）運用獨立事件概率乘法公式求解即可；（2）運用二項分布概率公式求解即可；（3）運用二項分布概率公式求解概率分布列，進(jìn)而求出數(shù)學(xué)期望即可.【詳解】（1）由題意得；（2）該工藝畫師進(jìn)行3次制作，恰有一件優(yōu)秀作品為事件B；（3）隨機(jī)變量X的取值為由題意可知：隨機(jī)變量X的分布列為X0123P或者．4．（23-24高二下·浙江寧波·期末）4月23日是聯(lián)合國教科文組織確定的“世界讀書日”.為了解某地區(qū)高一學(xué)生閱讀時間的分配情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了500名高一學(xué)生進(jìn)行在線調(diào)查，得到了這500名學(xué)生的日平均閱讀時間（單位：小時），并將樣本數(shù)據(jù)分九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)估計該地區(qū)高一學(xué)生閱讀時間的上四分位數(shù)；(2)為進(jìn)一步了解這500名學(xué)生數(shù)字媒體閱讀時間和紙質(zhì)圖書閱讀時間的分配情況，從日平均閱讀時間在，二組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了20個學(xué)生，得到均值為8，方差為3.75，現(xiàn)在已知這一組學(xué)生的均值為5，方差為2；求這一組學(xué)生的均值和方差；(3)以樣本的頻率估計概率，從該地區(qū)所有高一學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生，用表示這10名學(xué)生中恰有名學(xué)生日平均閱讀時間在內(nèi)的概率，其中.當(dāng)最大時，寫出的值，并說明理由.【答案】(1)11.5(2)平均值為9，方差為(3)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中概率之和等于1，得出再計算高一學(xué)生閱讀時間的上四分位數(shù)；（2）根據(jù)分層抽樣抽取人數(shù)，利用平均數(shù)和方差公式解出結(jié)果；（3）以樣本的頻率估計概率，該問題是二項分布問題，根據(jù)最大不等式節(jié)出的值；【詳解】（1）由頻率分布直方圖得：，解得頻率分布直方圖中，第一個小長方形面積為第二個小長方形面積為第三、四個小長方形面積為第五個小長方形面積為第六個小長方形面積為前六個長方形面積和為0.8，所以高一學(xué)生閱讀時間的上四分位數(shù)在第六個小長方形內(nèi)，設(shè)高一學(xué)生閱讀時間的上四分位數(shù)為；，解得（2）按分層抽樣二組內(nèi)的學(xué)生抽取的學(xué)生分別為5人，15人設(shè)這一組的平均值，方差所以總體方差是，解得（3）以樣本的頻率估計概率，該問題是二項分布問題，由頻率分布直方圖可知內(nèi)的概率是，由得解得所以當(dāng)最大時，5．（23-24高二下·西藏拉薩·期末）在第九個全民國家安全教育日即將來臨之際，拉薩市人民檢察院于12日會同拉薩市委宣傳部、拉薩市普法辦、拉薩市教育局等部門，共同舉辦了以“檢愛同行，共護(hù)花開”為主題的首屆拉薩市青少年國家安全知識競賽.每人可參加多輪答題活動，每輪答題情況互不影響.每輪比賽共有兩組題，每組都有兩道題，只有第一組的兩道題均答對，方可進(jìn)行第二組答題，否則本輪答題結(jié)束.已知吳科同學(xué)第一組每道題答對的概率均為，第二組每道題答對的概率均為，兩組題至少答對3題才可獲得一枚紀(jì)念章.經(jīng)過激烈的角逐，拉薩江蘇實驗中學(xué)代表隊獲得一等獎，拉薩市第三高級中學(xué)、拉薩市北京中學(xué)代表隊獲得二等獎，拉薩市第二高級中學(xué)、拉薩市第二中等職業(yè)技術(shù)學(xué)校、拉薩市第四高級中學(xué)代表隊獲得三等獎.(1)記吳科同學(xué)在一輪比賽答對的題目數(shù)為，請寫出的分布列，并求；(2)若吳科同學(xué)進(jìn)行了10輪答題，試問獲得多少枚紀(jì)念章的概率最大.【答案】(1)分布列見解析，(2)2枚【分析】（1）根據(jù)獨立事件概率乘法公式求出各種情況概率，列出的分布列，并求；（2）運用二項分布的概率公式，假設(shè)最大，則，解不等式組即可.【詳解】（1）由題意得，可取0，1，2，3，4.，，，，…，則的分布列為：01234（2）每一輪獲得紀(jì)念章的概率為，每一輪相互獨立，則每一輪比賽可視為二項分布，設(shè)10輪答題獲得紀(jì)念章的數(shù)量為，則，，.由，得，解得，又，得，則獲得2枚紀(jì)念章的概率最大.【題型六】超幾何分布一、解答題1．（23-24高二下·重慶長壽·期末）已知6名學(xué)生中，有4名男生，2名女生.現(xiàn)從這6名學(xué)生中任意抽取3名學(xué)生去參加一個趣味活動.(1)求抽出的3名學(xué)生中恰好有一名是女生的概率；(2)求抽出的3名學(xué)生中女生人數(shù)的分布列.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）轉(zhuǎn)化為求抽到1名女生，2名男生的概率；（2）首先確定，再根據(jù)隨機(jī)變量的意義，求概率，再列出分布列.【詳解】（1）抽出的3名學(xué)生中恰好有一名是女生的概率，即抽出的3名學(xué)生是2名男生和1名女生的概率為：；（2）設(shè)抽出的3名學(xué)生中女生人數(shù)為，則可能取值為0，1，2.

的分布列如下0122．（23-24高二下·北京懷柔·期末）某學(xué)校對食堂飯菜質(zhì)量進(jìn)行滿意度調(diào)查，隨機(jī)抽取了200名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，獲取數(shù)據(jù)如下：滿意度性別滿意不滿意棄權(quán)男生803010女生502010(1)用頻率估計概率，該校學(xué)生對食堂飯菜質(zhì)量滿意的概率；(2)用分層抽樣的方法從上表中不滿意的50人中抽取5人征求整改建議，再從這5個人中隨機(jī)抽取2人參與食堂的整改監(jiān)督，則抽取的2人中女生的人數(shù)X，求X的分布列和期望．【答案】(1).(2)分布列見解析；期望為.【分析】（1）根據(jù)已知，計算該校學(xué)生對食堂飯菜質(zhì)量滿意的的頻率即可.（2）根據(jù)已知，利用超幾何分布計算公式、期望的計算公式求解.【詳解】（1）設(shè)“對食堂飯菜質(zhì)量滿意”為事件A．在200人中對飯菜質(zhì)量滿意的有130人，.（2）分層抽取比例男生抽取人，女生抽取人抽取的2人中女生人數(shù)X的所有可能為0，1，2

-

-

-X012P隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.3．（23-24高二下·重慶·期末）喝酒不開車，開車不喝酒．根據(jù)《中華人民共和國道路交通安全法》規(guī)定：血液酒精濃度在（含80）以上認(rèn)定為醉酒駕車．某地統(tǒng)計近年來查處的醉酒駕車共200人，這200人血液酒精濃度檢測結(jié)果按，，??，分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求這200人血液酒精濃度的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點值作為代表）；(2)求這200人中血液酒精濃度在的人數(shù)；(3)按比例分配分層隨機(jī)抽樣的方法，在酒精濃度為和人員中隨機(jī)抽取16人集中學(xué)習(xí)．現(xiàn)從這16人中抽取4人檢查學(xué)習(xí)效果，求抽到的人員恰有3人酒精濃度為的概率．【答案】(1)116mg/100mL(2)50人(3)【分析】（1）利用頻率分布直方圖求出數(shù)據(jù)的平均值即可;（2）根據(jù)頻率=,計算所求的頻數(shù)即可;（3）借助組合數(shù)公式和古典概型的計算公式求解.【詳解】（1）設(shè)第一組縱坐標(biāo)為a，則，則，這200人血液酒精濃度的平均值約為.（2）這200人中血液酒精濃度在的人數(shù)為人.（3）在酒精濃度為和人員中分別有人，人.設(shè)從這16人中抽取4人檢查學(xué)習(xí)效果，抽到的人員恰有3人酒精濃度為為事件A，.4．（23-24高二下·上海松江·期末）某超市為促進(jìn)消費推出優(yōu)惠活動，為預(yù)估活動期間客戶投入的消費金額，采用隨機(jī)抽樣統(tǒng)計了200名客戶的消費金額，分組如下：（單位：元），得到如圖所示頻率分布直方圖：活躍客戶非活躍客戶總計男20女60總計(1)若把消費金額不低于800元的客戶，稱為“活躍客戶”，經(jīng)數(shù)據(jù)處理，現(xiàn)在列聯(lián)表中得到一定的相關(guān)數(shù)據(jù)，求列聯(lián)表中的值，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為“活躍客戶”與性別有關(guān)？(2)為感謝客戶，該超市推出免單福利，方案如下：從“活躍客戶”中按分層抽樣的方法抽取12人，從中抽取2人進(jìn)行免單，試寫出免單總單金額的分布列及其期望．（每一組消費金額按該組中點值估計，期望結(jié)果保留至整數(shù)）附：0.1500.1000.0500.0100.005k2.0722.7063.8416.6357.879【答案】(1)40；80；有關(guān)(2)分布列見解析，1933【分析】（1）先完善列聯(lián)表，再求卡方,即可作出判斷；（2）先用分層抽樣，然后用超幾何分布的概率公式計算，即可得分布列與期望.【詳解】（1）消費金額不低于800元的人數(shù)為：人，則活躍客戶共有60人，所以，，列聯(lián)表如下活躍客戶非活躍客戶總計男2080100女4060100總計60140200計算，因此有的把握與性別有關(guān)．（2）從“活躍客戶”中用分層抽樣，抽出消費900元：人，消費1100元：人，從中抽取2人免單總金額的取值有：，則，，，所以的分布列為：即.5．（23-24高二下·北京房山·期末）人工智能（簡稱）的相關(guān)技術(shù)首先在互聯(lián)網(wǎng)開始應(yīng)用，然后陸續(xù)普及到其他行業(yè).某公司推出的軟件主要有四項功能：“視頻創(chuàng)作”、“圖像修復(fù)”、“語言翻譯”、“智繪設(shè)計”.為了解某地區(qū)大學(xué)生對這款軟件的使用情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了名大學(xué)生，統(tǒng)計他們最喜愛使用的軟件功能（每人只能選一項），統(tǒng)計結(jié)果如下：軟件功能視頻創(chuàng)作圖像修復(fù)語言翻譯智繪設(shè)計大學(xué)生人數(shù)假設(shè)大學(xué)生對軟件的喜愛傾向互不影響.(1)從該地區(qū)的大學(xué)生中隨機(jī)抽取人，試估計此人最喜愛“視頻創(chuàng)作”的概率；(2)采用分層抽樣的方式先從名大學(xué)生中隨機(jī)抽取人，再從這人中隨機(jī)抽取人，其中最喜愛“視頻創(chuàng)作”的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)從該地區(qū)的大學(xué)生中隨機(jī)抽取人，其中最喜愛“視頻創(chuàng)作”的人數(shù)為，的方差記作，（2）中的方差記作，比較與的大小.（結(jié)論不要求證明）【答案】(1)(2)分布列見解析，(3)【分析】（1）有古典概型計算可得結(jié)果；（2）利用抽樣比可確定6人中有2人最喜歡“視頻創(chuàng)作”，求得的所有可能取值及其對應(yīng)概率可得分布列和期望值（或利用超幾何分布計算可得結(jié)果）；（3）由（2）可得，由頻率估計概率可得地區(qū)的大學(xué)生中最喜歡“視頻創(chuàng)作”的概率為，因此，可得.【詳解】（1）設(shè)從該地區(qū)的大學(xué)生隨機(jī)抽取1人，此人選擇“視頻創(chuàng)作”的事件為A，則（2）因為抽取的6人中喜歡“視頻創(chuàng)作”的人數(shù)為，所以的所有可能取值為，

所以的分布列為：

（或則）（3）由（2）可得；由頻率估計概率可得地區(qū)的大學(xué)生中最喜歡“視頻創(chuàng)作”的概率為，因此，可得.因此.【題型七】正態(tài)分布一、單選題1．（23-24高二下·陜西西安·期末）某市高中數(shù)學(xué)統(tǒng)考，假設(shè)考試成績服從正態(tài)分布.如果按照，，，的比例將考試成績從高到低分為四個等級.若某同學(xué)考試成績的等級為，則該同學(xué)的考試成績可能為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．120 B．90 C．80 D．60【答案】B【分析】根據(jù)題意分析可知，結(jié)合正態(tài)分布的對稱性分析求解即可.【詳解】數(shù)學(xué)測試成績服從正態(tài)分布，則，，由于等級的概率之和為，所以，又因為，即，故為A等級，為等級，為等級，為等級，結(jié)合選項可知：該同學(xué)的考試成績可能為90.故選：B.2．（23-24高二下·四川德陽·期末）為弘揚我國優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化，某市教育局對全市所有中小學(xué)生進(jìn)行了“成語”聽寫測試，經(jīng)過大數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)本次聽寫測試成績服從正態(tài)分布．試根據(jù)正態(tài)分布的相關(guān)知識估計測試成績不小于90的學(xué)生所占的百分比為（

）參考數(shù)據(jù)：若，則，，．A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求得正確答案.【詳解】依題意，所以測試成績不小于90的學(xué)生所占的百分比為.故選：A.3．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期末）已知隨機(jī)變量.若，設(shè)事件“”，事件“”，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】，即或，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可求及的概率，再結(jié)合條件概率公式即可求解.【詳解】因為隨機(jī)變量，且，，，，即或，，.故選：.二、解答題4．（23-24高二下·青