專題09概率（考題猜想，易錯必刷7大題型）【題型一】條件概率【題型二】全概率與貝葉斯公式【題型三】離散型隨機變量的均值與方差【題型四】獨立事件的乘法公式【題型五】二項分布【題型六】超幾何分布【題型七】正態(tài)分布【題型一】條件概率一、單選題1．（23-24高二下·天津濱海新·期末）中國空間站的主體結構包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙．假設中國空間站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天員開展實驗，設事件A=“有4名航天員在天和核心艙”，事件B=“甲乙二人在天和核心艙”，則（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·天津西青·期末）從一副不含大小王的52張撲克牌中，每次從中隨機曲取1張撲克牌，抽出的牌不再放回．在第一次抽到K牌的條件下，第二次抽到K牌的概率為（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·貴州畢節(jié)·期末）一個盒子中裝有4個黑球和6個白球，每個球編有不同的號碼，現從中任取2個球，已知一個球是白球，則另一個球也是白球的概率為（

）A． B． C． D．4．（23-24高二下·新疆·期末）不透明的袋子中有8個除顏色外其余完全相同的小球，其中4個紅色小球，4個藍色小球，從袋子中隨機摸出4個小球，在摸出紅色小球的條件下，摸出的紅色小球個數大于藍色小球個數的概率為（

）A． B． C． D．5．（23-24高二下·甘肅臨夏·期末）已知，為某隨機試驗的兩個事件，為事件的對立事件．若，，．則（

）A． B． C． D．【題型二】全概率與貝葉斯公式一、單選題1．（23-24高二下·山東煙臺·期末）某產品只有一等品?二等品，現隨機裝箱銷售，每箱15件.假定任意一箱含二等品件數為的概率分別為.一顧客欲購一箱該產品，開箱隨機查看其中1件，若該件產品為一等品，則買下這箱產品，否則退回，則該顧客買下這箱產品的概率為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·遼寧大連·期末）小明每天從騎自行車?坐公交車兩種方式中選擇一種去上學.已知他選擇騎自行車的概率為0.6，在他騎自行車的條件下，7：20之前到達學校的概率為0.95.若小明7：20之前到達學校的概率為0.93，則在他坐公交車的條件下，7：20之前到達學校的概率為（

）A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.63．（23-24高二下·廣東廣州·期末）有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為，第2，3臺加工的次品率均為，加工出來的零件混放在一起.已知第1，2，3臺車床加工的零件數分別占總數的.如果取到的零件是次品，則它是第3臺車床加工的概率是（

）A． B． C． D．4．（2024·海南省直轄縣級單位·一模）英國數學家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據貝葉斯統(tǒng)計理論，隨機事件A，B存在如下關系：.若某地區(qū)一種疾病的患病率是0.05，現有一種試劑可以檢驗被檢者是否患病.已知該試劑的準確率為95%，即在被檢驗者患病的前提下用該試劑檢測，有95%的可能呈現陽性；該試劑的誤報率為0.5%，即在被檢驗者未患病的情況下用該試劑檢測，有0.5%的可能會誤報陽性.現隨機抽取該地區(qū)的一個被檢驗者，已知檢驗結果呈現陽性，則此人患病的概率為（

）A． B． C． D．5．（23-24高二下·福建泉州·期末）某學校有兩家餐廳，王同學第1天選擇餐廳就餐的概率是，若第1天選擇餐廳，則第2天選擇餐廳的概率為；若第1天選擇餐廳就餐，則第2天選擇餐廳的概率為；已知王同學第2天是去餐廳就餐，則第1天去餐廳就餐的概率為（

）A． B． C． D．二、解答題6．（23-24高二下·福建三明·期末）假設有兩箱零件，第一箱內裝有件，其中有件次品；第二箱內裝有件，其中有件次品.現從兩箱中隨意挑選一箱，然后從該箱中隨機取1個零件.(1)求取出的零件是次品的概率；(2)已知取出的是次品，求它是從第一箱取出的概率.7．（23-24高二下·云南楚雄·期末）在一個牌堆中有6張牌，分別標有數字0，1，2，3，5，7．(1)規(guī)定每次隨機翻出一張牌，若數字為奇數，則放回這張牌，若數字為偶數，則不放回這張牌，求第二次翻出的數字是偶數的概率．(2)規(guī)定每次隨機翻出一張牌，然后放回，若數字為奇數，則得1分，若數字為偶數，則得2分，翻牌次數不限，直到總得分達到或超過5分，游戲結束．設游戲結束時翻牌的總次數為隨機變量X，求隨機變量X的分布列和期望．8．（22-23高二下·甘肅白銀·期末）某同學正在研究投擲骰子的概率問題，在連續(xù)3次得到6點朝上的結果時，他產生了一個疑問：在連續(xù)多少次6點朝上時，是否該合理懷疑骰子不是均勻的?帶著這個疑問，他研究了以下問題：有兩個骰子，一個是正常的、均勻的1號骰子，另一個是不均勻的2號骰子.經測1試，投擲2號骰子得到6點朝上的概率為.(1)若等可能地選擇其中一個骰子，連續(xù)投擲3次，在得到都是6點朝上的結果的前提下，求這個骰子是2號骰子的概率.(2)若每次都等可能地選擇其中一個骰子，投擲了10次，在得到都是6點朝上的結果的前提下，設這10次中有次用了2號骰子的概率為，試問當取何值時最大?并求的最大值.【題型三】離散型隨機變量的均值與方差一、單選題1．（23-24高二下·河南信陽·期末）2024年5月中國郵政發(fā)行了《巢湖》特種郵票3枚，巢湖是繼《太湖》（5枚）、《鄱陽湖》（3枚）、《洞庭湖》（4枚）后，第四個登上特種郵票的五大淡水湖.現從15枚郵票中隨機抽取2枚，記抽取郵票《巢湖》的枚數為，則（

）A． B． C．1 D．2．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期末）已知隨機變量的分布列如下:01設，則的數學期望的值是（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·廣西玉林·期末）隨機變量Y的分布列為下表所示，若Y的期望值為1，則：（

）02A． B．C． D．4．（23-24高二下·河南商丘·期末）設隨機變量，若，則（

）A． B． C． D．5．（23-24高二下·青?！て谀┮阎唤M數據1，2，2，5，5，6的第60百分位數為，隨機變量X的分布列為2m140.30.60.1（

）A．5 B．6 C．9.8 D．10.86．（23-24高二下·吉林長春·期末）已知離散型隨機變量X的分布列為X01P且，則（

）A．1 B． C． D．【題型四】獨立事件的乘法公式一、單選題1．（23-24高二下·福建漳州·期末）在一個關于智能助手的準確率測試中，有三種不同的模型，，.模型的準確率為0.8，模型的準確率為0.75，模型的準確率為0.7.已知選擇模型，，的概率分別為，，.現隨機選取一個模型進行測試，則準確率為（

）A．0.56 B．0.66 C．0.76 D．0.862．（23-24高二下·河南漯河·期末）甲乙兩人獨立地對同一目標各射擊一次，命中率分別為和，在目標被擊中的情況下，甲乙同時擊中目標的概率為（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·江蘇南京·期末）連續(xù)地擲一枚質地均勻的骰子兩次，記錄每次的點數，記事件為“第一次出現2點”，事件為“第二次的點數小于等于4點”，事件為“兩次點數之和為奇數”，事件為“兩次點數之和為9”，則下列說法不正確的是（

）A．與不是互斥事件 B．與相互獨立C．與相互獨立 D．與相互獨立二、解答題4．（23-24高二上·四川綿陽·期末）多項選擇題是標準化考試中常見題型，從，，，四個選項中選出所有正確的答案（四個選項中至少有兩個選項是正確的），其評分標準為全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.(1)甲同學有一道多項選擇題不會做，他隨機選擇至少兩個選項，求他猜對本題得5分的概率；(2)現有2道多項選擇題，根據訓練經驗，每道題乙同學得5分的概率為，得2分的概率為；丙同學得5分的概率為，得2分的概率為.乙、丙二人答題互不影響，且兩題答對與否也互不影響，求這2道多項選擇題乙比丙總分剛好多得5分的概率.5．（23-24高二下·廣西南寧·期末）2024年5月底，各省教育廳陸續(xù)召開了2024年高中數學聯賽的相關工作，某市經過初次選拔后有小明，小王，小紅三名同學成功進入決賽，在決賽環(huán)節(jié)中三名同學同時解答一道有關組合數論的試題．已知小明成功解出這道題的概率是，小明，小紅兩名同學都解答錯誤的概率是，小王、小紅兩名同學都成功解出的概率是，這三名同學解答是否正確相互獨立.(1)分別求出小王，小紅兩名同學成功解出這道題的概率；(2)求三人中至少有兩人成功解出這道題的概率．6．（23-24高二上·廣東茂名·期末）“猜燈謎”又叫“打燈謎”，是元宵節(jié)的一項活動，出現在宋朝．南宋時，首都臨安每逢元宵節(jié)時制迷，猜謎的人眾多．開始時是好事者把謎語寫在紙條上，貼在五光十色的彩燈上供人猜．因為謎語既能啟迪智慧又饒有興趣，所以流傳過程中深受社會各階層的歡迎．在一次元宵節(jié)猜燈謎活動中，共有20道燈謎，三位同學獨立競猜，甲同學猜對了12道，乙同學猜對了8道，丙同學猜對了n道．假設每道燈謎被猜對的可能性都相等．(1)任選一道燈謎，求甲，乙兩位同學恰有一個人猜對的概率；(2)任選一道燈謎，若甲，乙，丙三個人中至少有一個人猜對的概率為，求n的值．【題型五】二項分布一、解答題1．（23-24高二下·安徽·期末）某大型企業(yè)準備把某一型號的零件交給甲工廠或乙工廠生產.經過調研和試生產，質檢人員抽樣發(fā)現：甲工廠試生產的一批零件的合格品率為：乙工廠試生產的另一批零件的合格品率為；若將這兩批零件混合放在一起，則合格品率為.(1)混合零件中甲廠零件和乙廠零件的比例是多少？(2)從混合放在一起的零件中隨機抽取4個，用頻率估計概率，記這4個零件中來自甲工廠的個數為，求的分布列和數學期望.2．（23-24高二下·廣東佛山·期末）某工廠制造甲、乙、丙三件產品，制造過程必須先后經過兩道工序.當第一道工序完成并合格后方可進入第二道工序，兩道工序過程相互獨立.根據該廠現有的技術水平，經過第一道工序后，甲、乙、丙三件合格的概率依次為，，經過第二道工序后，甲、乙、丙三件產品合格的概率依次為，，.(1)求第一道工序完成后至少有一件產品合格的概率；(2)若前后兩道工序均合格的產品為合格產品，記合格產品的個數為，求隨機變量的分布列與數學期望.3．（23-24高二下·天津西青·期末）歷史悠久的楊柳青年畫，全稱“楊柳青木版年畫”，屬木版印繪制品，是我國著名民間傳統(tǒng)木版年畫．它起源于明代崇禎年間，距今已有近400年的歷史，是首批國家級非物質文化遺產．楊柳青年畫制作特別之處是它采用“印畫結合”的獨特工藝，制作程序大致是：創(chuàng)稿、分版、刻版、套印、彩繪、裝裱，前期工序與其他木彼年畫大致相同，而楊柳青年畫的后期制作藝術風格迥然不同．一個優(yōu)秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技術要求，已知某年工藝畫師在后期套印、彩繪、裝裱每個環(huán)節(jié)制作成功的概率分別為，只有當每個環(huán)節(jié)制作都成功才認為是一次優(yōu)秀制作．(1)設事件“制作一件優(yōu)秀作品”，求事件A的概率；(2)若該工藝畫師進行3次制作，事件”恰有一件優(yōu)秀作品”，求事件B的概率；(3)若該工藝畫師制作3次，其中優(yōu)秀作品數為X，求X的分布列和數學期望．4．（23-24高二下·浙江寧波·期末）4月23日是聯合國教科文組織確定的“世界讀書日”.為了解某地區(qū)高一學生閱讀時間的分配情況，從該地區(qū)隨機抽取了500名高一學生進行在線調查，得到了這500名學生的日平均閱讀時間（單位：小時），并將樣本數據分九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)估計該地區(qū)高一學生閱讀時間的上四分位數；(2)為進一步了解這500名學生數字媒體閱讀時間和紙質圖書閱讀時間的分配情況，從日平均閱讀時間在，二組內的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了20個學生，得到均值為8，方差為3.75，現在已知這一組學生的均值為5，方差為2；求這一組學生的均值和方差；(3)以樣本的頻率估計概率，從該地區(qū)所有高一學生中隨機抽取10名學生，用表示這10名學生中恰有名學生日平均閱讀時間在內的概率，其中.當最大時，寫出的值，并說明理由.5．（23-24高二下·西藏拉薩·期末）在第九個全民國家安全教育日即將來臨之際，拉薩市人民檢察院于12日會同拉薩市委宣傳部、拉薩市普法辦、拉薩市教育局等部門，共同舉辦了以“檢愛同行，共護花開”為主題的首屆拉薩市青少年國家安全知識競賽.每人可參加多輪答題活動，每輪答題情況互不影響.每輪比賽共有兩組題，每組都有兩道題，只有第一組的兩道題均答對，方可進行第二組答題，否則本輪答題結束.已知吳科同學第一組每道題答對的概率均為，第二組每道題答對的概率均為，兩組題至少答對3題才可獲得一枚紀念章.經過激烈的角逐，拉薩江蘇實驗中學代表隊獲得一等獎，拉薩市第三高級中學、拉薩市北京中學代表隊獲得二等獎，拉薩市第二高級中學、拉薩市第二中等職業(yè)技術學校、拉薩市第四高級中學代表隊獲得三等獎.(1)記吳科同學在一輪比賽答對的題目數為，請寫出的分布列，并求；(2)若吳科同學進行了10輪答題，試問獲得多少枚紀念章的概率最大.【題型六】超幾何分布一、解答題1．（23-24高二下·重慶長壽·期末）已知6名學生中，有4名男生，2名女生.現從這6名學生中任意抽取3名學生去參加一個趣味活動.(1)求抽出的3名學生中恰好有一名是女生的概率；(2)求抽出的3名學生中女生人數的分布列.2．（23-24高二下·北京懷柔·期末）某學校對食堂飯菜質量進行滿意度調查，隨機抽取了200名學生進行調查，獲取數據如下：滿意度性別滿意不滿意棄權男生803010女生502010(1)用頻率估計概率，該校學生對食堂飯菜質量滿意的概率；(2)用分層抽樣的方法從上表中不滿意的50人中抽取5人征求整改建議，再從這5個人中隨機抽取2人參與食堂的整改監(jiān)督，則抽取的2人中女生的人數X，求X的分布列和期望．3．（23-24高二下·重慶·期末）喝酒不開車，開車不喝酒．根據《中華人民共和國道路交通安全法》規(guī)定：血液酒精濃度在（含80）以上認定為醉酒駕車．某地統(tǒng)計近年來查處的醉酒駕車共200人，這200人血液酒精濃度檢測結果按，，??，分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求這200人血液酒精濃度的平均值（同一組數據用該區(qū)間中點值作為代表）；(2)求這200人中血液酒精濃度在的人數；(3)按比例分配分層隨機抽樣的方法，在酒精濃度為和人員中隨機抽取16人集中學習．現從這16人中抽取4人檢查學習效果，求抽到的人員恰有3人酒精濃度為的概率．4．（23-24高二下·上海松江·期末）某超市為促進消費推出優(yōu)惠活動，為預估活動期間客戶投入的消費金額，采用隨機抽樣統(tǒng)計了200名客戶的消費金額，分組如下：（單位：元），得到如圖所示頻率分布直方圖：活躍客戶非活躍客戶總計男20女60總計(1)若把消費金額不低于800元的客戶，稱為“活躍客戶”，經數據處理，現在列聯表中得到一定的相關數據，求列聯表中的值，并根據列聯表判斷是否有的把握認為“活躍客戶”與性別有關？(2)為感謝客戶，該超市推出免單福利，方案如下：從“活躍客戶”中按分層抽樣的方法抽取12人，從中抽取2人進行免單，試寫出免單總單金額的分布列及其期望．（每一組消費金額按該組中點值估計，期望結果保留至整數）附：0.1500.1000.0500.0100.005k2.0722.7063.8416.6357.8795．（23-24高二下·北京房山·期末）人工智能（簡稱）的相關技術首先在互聯網開始應用，然后陸續(xù)普及到其他行業(yè).某公司推出的軟件主要有四項功能：“視頻創(chuàng)作”、“圖像修復”、“語言翻譯”、“智繪設計”.為了解某地區(qū)大學生對這款軟件的使用情況，從該地區(qū)隨機抽取了名大學生，統(tǒng)計他們最喜愛使用的軟件功能（每人只能選一項），統(tǒng)計結果如下：軟件功能視頻創(chuàng)作圖像修復語言翻譯智繪設計大學生人數假設大學生對軟件的喜愛傾向互不影響.(1)從該地區(qū)的大學生中隨機抽取人，試估計此人最喜愛“視頻創(chuàng)作”的概率；(2)采用分層抽樣的方式先從名大學生中隨機抽取人，再從這人中隨機抽取人，其中最喜愛“視頻創(chuàng)作”的人數為，求的分布列和數學期望；(3)從該地區(qū)的大學生中隨機抽取人，其中最喜愛“視頻創(chuàng)作”的人數為，的方差記作，（2）中的方差記作，比較與的大小.（結論不要求證明）【題型七】正態(tài)分布一、單選題1．（23-24高二下·陜西西安·期末）某市高中數學統(tǒng)考，假設考試成績服從正態(tài)分布.如果按照，，，的比例將考試成績從高到低分為四個等級.若某同學考試成績的等級為，則該同學的考試成績可能為（

）（參考數據：）A．120 B．90 C．80 D．602．（23-24高二下·四川德陽·期末）為弘揚我國優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化，某市教育局對全市所有中小學生進行了“成語”聽寫測試，經過大數據分析，發(fā)現本次聽寫測試成績服從正態(tài)分布．試根據正態(tài)分布的相關知識估計測試成績不小于90的學生所占的百分比為（

）參考數據：若，則，，．A． B． C． D．3．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期末）已知隨機變量.若，設事件“”，事件“”，則（）A． B． C． D．二、解答題4．（23-24高二下·青海·期末）已知某地生產的白砂糖是按袋裝銷售的，每袋白砂糖的質量（單位：）服從正態(tài)分布，且.(1)求，；(2)若甲從該