2026年教師資格（高中數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)與教學(xué)能力）考試題及答案

班級(jí)______姓名______（考試時(shí)間：90分鐘滿分100分）一、選擇題（總共8題，每題5分，每題只有一個(gè)正確答案，請(qǐng)將正確答案填在括號(hào)內(nèi)）1.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x-1}$，則$f(x)$的定義域?yàn)椋ǎ〢.$x\neq1$B.$x\gt1$C.$x\lt1$D.$x\inR$2.若向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(3,4)$，則$\vec{a}\cdot\vec$的值為（）A.5B.7C.11D.133.雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$的漸近線方程為（）A.$y=\pm\frac{3}{4}x$B.$y=\pm\frac{4}{3}x$C.$y=\pm\frac{9}{16}x$D.$y=\pm\frac{16}{9}x$4.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_3=5$，$a_5=9$，則公差$d$為（）A.1B.2C.3D.45.函數(shù)$y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$的最小正周期為（）A.$\pi$B.$2\pi$C.$\frac{\pi}{2}$D.$\frac{\pi}{4}$6.曲線$y=x^3-3x^2+1$在點(diǎn)$(1,-1)$處的切線方程為（）A.$y=-3x+2$B.$y=3x-4$C.$y=-4x+3$D.$y=4x-5$7.設(shè)集合$A=\{x|x^2-3x+2=0\}$，$B=\{x|x^2-ax+a-1=0\}$，若$A\cupB=A$，則實(shí)數(shù)$a$的值為（）A.2B.3C.2或3D.1或2或38.已知$\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{1}{3}$，則$\int_{0}^{1}(2x^2+1)dx$的值為（）A.$\frac{5}{3}$B.$\frac{7}{3}$C.$\frac{8}{3}$D.$\frac{11}{3}$二、填空題（總共6題，每題5分，請(qǐng)將答案填在橫線上）1.函數(shù)$f(x)=\sqrt{x+2}+\frac{1}{x-1}$的定義域?yàn)開(kāi)_____。2.已知圓的方程為$(x-2)^2+y^2=9$，則圓心坐標(biāo)為_(kāi)_____，半徑為_(kāi)_____。3.若$x\gt0$，$y\gt0$，且$x+2y=1$，則$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值為_(kāi)_____。4.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2$，則$f^\prime(x)=$______。5.若$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，且$\alpha$為第二象限角，則$\cos\alpha=$______。6.已知數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n=2n^2-3n$，則$a_n=$______。三、解答題（總共3題，每題10分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）1.已知函數(shù)$f(x)=\log_2(x+1)$，若$f(x)\gt1$，求$x$的取值范圍。2.已知橢圓方程為$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$，求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率。3.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$，求數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式。四、綜合題（1題，20分，閱讀材料，回答問(wèn)題）材料：在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)。對(duì)于函數(shù)$f(x)$，如果在定義域$I$內(nèi)的某個(gè)區(qū)間$D$上，當(dāng)$x_1\ltx_2$時(shí)，都有$f(x_1)\ltf(x_2)$（或$f(x_1)\gtf(x_2)$），那么就說(shuō)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$D$上是增函數(shù)（或減函數(shù)）。問(wèn)題：1.請(qǐng)舉例說(shuō)明如何判斷一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性。（10分）2.函數(shù)單調(diào)性在實(shí)際生活中有哪些應(yīng)用？請(qǐng)舉例說(shuō)明。（10分）五、教學(xué)設(shè)計(jì)題（1題，20分）請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一份關(guān)于“等差數(shù)列”的教學(xué)方案，要求包括教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重難點(diǎn)、教學(xué)方法、教學(xué)過(guò)程以及教學(xué)反思。答案：一、選擇題1.A2.D3.B4.B5.A6.A7.C8.B二、填空題1.$[-2,1)\cup(1,+\infty)$2.$(2,0)$；33.$3+2\sqrt{2}$4.$3x^2-6x$5.$-\frac{4}{5}$6.$4n-5$三、解答題1.由$f(x)=\log_2(x+1)\gt1$，即$\log_2(x+1)\gt\log_22$，因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)$y=\log_2x$在定義域上單調(diào)遞增，所以$x+1\gt2$且$x+1\gt0$，解得$x\gt1$。2.由橢圓方程$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$，可知$a=5$，$b=4$，$c=\sqrt{a^2-b^2}=3$。長(zhǎng)軸長(zhǎng)$2a=10$，短軸長(zhǎng)$2b=8$，離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5}$。3.由$a_{n+1}=2a_n+1$，可得$a_{n+1}+1=2(a_n+1)$，則數(shù)列$\{a_n+1\}$是以$a_1+1=2$為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以$a_n+1=2\times2^{n-1}=2^n$，則$a_n=2^n-1$。四、綜