試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁高一新生綜合能力測試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共5小題，每小題5分，共25分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．1．已知的最大邊上的高線和中線恰好把三等分，，則的長度為（

）A． B． C． D．2．若滿足，的恰好有兩個，則邊的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．如圖，在中，，于F，交于E，若，則的大小是（）

A． B． C． D．4．九年級某班有人參加數(shù)學(xué)綜合能力測試，他們的總分為分，其中任意人分?jǐn)?shù)之和不超過分，那么一個人最多得分（

）A． B． C． D．5．如圖，是線段上一點(diǎn)，和是位于直線同側(cè)的兩個等邊三角形，點(diǎn)、分別是，的中點(diǎn)．若，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值為 B．的面積為C．周長的最小值為16 D．的最小值為二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．6．已知二次函數(shù)為常數(shù)）的對稱軸為，其圖象如圖所示，則下列選項(xiàng)正確的有（

）A．B．對任意實(shí)數(shù)，都有C．關(guān)于的不等式恒成立D．若關(guān)于的函數(shù)與關(guān)于的函數(shù)有相同最小值，則的最大值為7．如圖，在矩形中，平分，將沿折疊至，點(diǎn)恰好落在上．延長交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．8．設(shè)正整數(shù)，其中、、、只能取0或者1，記，則（

）A． B．C． D．三、填空題：本題共8小題，每小題5分，共40分．9．設(shè)矩形的面積為2025，點(diǎn)在邊上．則以、、的重心為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為．10．如果一個正整數(shù)可以表示為兩個連續(xù)奇數(shù)的立方差，則稱這個正整數(shù)為“和諧數(shù)”．那么，在不超過2025的所有正整數(shù)中，最大的“和諧數(shù)”為．11．如圖，的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格紙的格點(diǎn)上，則．12．如圖，點(diǎn)為反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)，其橫坐標(biāo)依次為．過點(diǎn)作軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)；過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．記的面積為的面積為的面積為．則．13．已知、、是非零實(shí)數(shù)，關(guān)于的一元二次方程，，有公共解，則代數(shù)式的值為．14．一個箱子里有4個除標(biāo)號外其余均相同的球，分別以1、2、3、4進(jìn)行標(biāo)號，若每次取一個，有放回地取三次，則至少有2個不同標(biāo)號的球被取出的概率為．15．設(shè)是正整數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)，如果兩個函數(shù)的圖象的交點(diǎn)都是整點(diǎn)（橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)），則的值為．16．若對任意實(shí)數(shù)都有，則的取值范圍．四、解答題：本題共5小題，共67分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（1）設(shè)，求的值；（2）已知滿足，且點(diǎn)不在一次函數(shù)的圖像上，求與的一次函數(shù)關(guān)系式；（3）若為正有理數(shù)，證明：若為有理數(shù)，則為有理數(shù)．18．如圖1，為圓的直徑，是圓上異于的任一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作射線為射線上一點(diǎn)，連接．(1)若點(diǎn)在直線同側(cè)，且，求的長度；(2)若在點(diǎn)運(yùn)動過程中，始終有，連接．①如圖2，當(dāng)與圓相切時，求的長度；②求長度的取值范圍．19．?dāng)?shù)學(xué)來源于生活，生活中處處有數(shù)學(xué)，我們用平時喝的糖水做“糖水實(shí)驗(yàn)”也能驗(yàn)證一些數(shù)學(xué)結(jié)論．現(xiàn)有克糖水，其中含有克糖，則糖水的濃度（即糖與糖水的質(zhì)量比）為．實(shí)驗(yàn)：加入克糖，則糖水的濃度發(fā)生了變化．(1)根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，請你寫出一個“糖水不等式”，并驗(yàn)證你寫的不等式的正確性；(2)根據(jù)上述實(shí)驗(yàn)，求證：；(3)證明：．20．已知三角形紙片和中，．(1)如圖1，連接，在紙片繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)不重合且不共線時，證明：．(2)如圖2，在紙片繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)恰好落在的中線的延長線上時，延長交于點(diǎn)，求的長．(3)在紙片繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，若為直角三角形，求直角三角形面積的最小值．21．如圖，拋物線與軸交于（在的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上的動點(diǎn)，且在直線的下方，過點(diǎn)作，垂足為，且直線與軸交于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．(1)關(guān)于的不等式組有解，求的最大值；(2)直線與直線交于點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，若長為8，求的面積；(3)當(dāng)軸時，把繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到，再把沿直線平移至，在平面上是否存在點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．B【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，利用平方根解方程等知識，掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．過點(diǎn)作于點(diǎn)．設(shè)，由題意得，證明出，得到，由角平分線的性質(zhì)定理，得到，進(jìn)而得出，則，再利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)．設(shè)，是的中線，，和恰好把三等分，，為的高線，，又，，，．，，，，．，．在中，，即，（負(fù)值已舍），，．故選：B．2．C【分析】本題考查的知識點(diǎn)是三角形解的個數(shù)問題，解題關(guān)鍵是熟練掌握三角形有兩個解的條件．設(shè)，中，，三角形有兩個解的條件是，代入即可求解．【詳解】解：設(shè)，中，，若此三角形有兩個，則有，即，解得且，的取值范圍是．故選：．3．D【分析】取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得，結(jié)合已知條件可得，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，進(jìn)而可得，求得，根據(jù)直角三角兩銳角互余即可求得．【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)，連接，

四邊形是平行四邊形∴，，，是直角三角形，的的中點(diǎn)，，，，，，∵，，，，，，∴，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，直角三角形的兩銳角互余，等邊對等角，三角形的外角性質(zhì)，找中點(diǎn)作輔助線是解題的關(guān)鍵．4．C【分析】本題考查的知識點(diǎn)是一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，解題關(guān)鍵是通過任意人分?jǐn)?shù)之和不超過分分析得到不含最高分的其余人滿足任意三人分?jǐn)?shù)之和不超過．設(shè)得分最高的人分?jǐn)?shù)為，則其他人總分為，結(jié)合任意人分?jǐn)?shù)和，分析可得包括最高分者時，任意其他三人分?jǐn)?shù)之和不超過，則其他人需滿足任意三人分?jǐn)?shù)之和不超過，列出不等式后即可得解．【詳解】解：總分，設(shè)最高分為，則其他人總分為，又任意人分?jǐn)?shù)和，包括最高分時，任意其他三人分?jǐn)?shù)和，其他人任意三人分?jǐn)?shù)和，其總分，，即，，，當(dāng)時，其他人分?jǐn)?shù)均為，任意三人之和為，此時任意四人之和為，滿足條件，一個人最多得分．故選：．5．D【分析】延長、交于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，由等邊三角形的性質(zhì)可得，，證明四邊形為平行四邊形，得出為中點(diǎn)，從而可得在直線上運(yùn)動，證明為等邊三角形，得出，連接，則，，求出，從而可得點(diǎn)到直線的距離都為，再由三角形的面積公式即可判斷B錯誤；作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到與直線的交點(diǎn)，即、、共線時，最小，由勾股定理即可判斷D正確；由得出當(dāng)、、共線時，最小，最小值為的長度，即可判斷A錯誤；過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，由等邊三角形的性質(zhì)可得，，求出，即可判斷C錯誤．【詳解】解：如圖，延長、交于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，∵和是位于直線同側(cè)的兩個等邊三角形，∴，，∴，，∴四邊形為平行四邊形，∵為中點(diǎn)，∴為中點(diǎn)，∵在線段上運(yùn)動，∴在直線上運(yùn)動，∵，∴為等邊三角形，∴，連接，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，，∴，∴點(diǎn)到直線的距離都為，∴的面積為，故B錯誤；作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到與直線的交點(diǎn)，即、、共線時，最小，此時最小值為，故D正確；∵，∴，∴當(dāng)、、共線時，最小，最小值為的長度，∴的最小值為，故A錯誤；如圖，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，∵和是位于直線同側(cè)的兩個等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，即，∴，∴周長的最小值為，故C錯誤；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．6．ACD【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的最值，函數(shù)值大小比較，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象和性質(zhì)．根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A.由函數(shù)圖象可知，，當(dāng)時，，∴，∵，∴，∴，由函數(shù)圖象可得，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故該項(xiàng)正確；B.當(dāng)時，函數(shù)值最小，為，當(dāng)時，為任意實(shí)數(shù)，函數(shù)值為，∴，即，故該選項(xiàng)錯誤；C.根據(jù)拋物線可得，距離對稱軸越遠(yuǎn)的點(diǎn)，函數(shù)值越大，，，∵，∴，∴，即，故該選項(xiàng)正確；D.∵，∴當(dāng)時，的最小值為，∵，∴當(dāng)時，的最小值為，∴當(dāng)時，兩個函數(shù)的最小值相同，∴，∴或（正值舍去），∴的最大值為，故該選項(xiàng)正確；故選：ACD．7．BCD【分析】利用矩形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)可得，利用證明，由平分可得，得出為等腰直角三角形，得，，得出，可得，故可判斷A、B；由得，由折疊得，又，可求出，故可判斷C；利用等腰三角形兩個底角相等，通過計(jì)算角度，可證明，得，可判斷D．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∵平分，∴，∴，∵將沿折疊至，∴，∴，，,∴，，，∴；又，∴，∴，，∴,又，∴，∴，故選項(xiàng)A錯誤，選項(xiàng)B正確；∴，∴，故選項(xiàng)C正確；∵，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，故選項(xiàng)D正確；故選：BCD．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，翻折的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，利用設(shè)參數(shù)表示出各線段的長是解決問題的關(guān)鍵．8．ACD【分析】本題考查正整數(shù)二進(jìn)制表示中權(quán)重函數(shù)的性質(zhì)，即二進(jìn)制數(shù)碼中的個數(shù)，選項(xiàng)A通過直接計(jì)算驗(yàn)證；選項(xiàng)B通過反例判斷不成立；選項(xiàng)C利用左移運(yùn)算不改變權(quán)重的性質(zhì)；選項(xiàng)D通過分析加法運(yùn)算的低位變化及無進(jìn)位情況判斷相等，熟練掌握此知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、的二進(jìn)制表示為，故，正確；B、取，則（二進(jìn)制表示為，即），（二進(jìn)制表示為，即），，不成立；C、相當(dāng)于的二進(jìn)制左移兩位（低位補(bǔ)），不改變的個數(shù)，故，正確；D、中末兩位為，加（二進(jìn)制表示為）得末兩位，無進(jìn)位，故；中末四位為，加（二進(jìn)制表示為）得末四位，無進(jìn)位，故，二者相等，正確；故選：ACD．9．225【分析】本題考查了三角形的重心的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，通過建立坐標(biāo)系，設(shè)矩形邊長，利用重心坐標(biāo)公式求得三個重心點(diǎn)坐標(biāo)，再計(jì)算所構(gòu)成三角形的面積，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，，設(shè)，，則矩形面積為，∵點(diǎn)在上，∴設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為．由的頂點(diǎn)為，，，可得其重心坐標(biāo)為，即．由的頂點(diǎn)為，，，可得其重心坐標(biāo)為，即．由的頂點(diǎn)為，，，可得其重心坐標(biāo)為，即；∵點(diǎn)和的縱坐標(biāo)相同，∴線段平行于軸，其長度為，∵點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，與的垂直距離為．因此，的面積為．代入，得面積為，故答案為：．10．1946【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算的應(yīng)用，根據(jù)“和諧數(shù)”的定義，設(shè)兩個連續(xù)奇數(shù)為和，其中為整數(shù)，則和諧數(shù)為，化簡得，要求不超過2025的最大和諧數(shù)，即求最大使得，熟練掌握“和諧數(shù)”的定義是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)兩個連續(xù)奇數(shù)為和，其中為整數(shù)，則“和諧數(shù)”為，由于的值僅與有關(guān)，故只需考慮為非負(fù)整數(shù)的情況即可，由題意可得：，∴，∴，∴，且為整數(shù)，∴當(dāng)時，和諧數(shù)為，此時最大，故最大和諧數(shù)為1946，故答案為：1946．11．【分析】在網(wǎng)格中找到格點(diǎn)M，證明CM平分∠ACB，再求∠ACM的正弦值即可．【詳解】解：如圖：連接格點(diǎn)MA，由圖可知，∠MAC=90°，作MN⊥BC，垂足為N，連接BM，，，，，∵，∴，∴MN=，∴MN=AM，∴∠ACM=，；故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了求銳角的三角函數(shù)值，勾股定理，解題關(guān)鍵是找到恰當(dāng)?shù)木W(wǎng)格點(diǎn)，平分∠ACB，并且能夠構(gòu)建直角三角形，求三角函數(shù)值．12．【分析】本題考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，圖形類的規(guī)律探索，先利用反比例函數(shù)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)，再根據(jù)三角形的面積公式求出，求出和，找到規(guī)律，據(jù)此即可求解，正確識圖是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵點(diǎn)為反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴，，，∵軸，∴，，∵，∴，，∴，依題意，，∴同理可得，，∴，，，∴，，，∴，∴故答案為：．13．或【分析】設(shè)公共解為，代入三個方程后相加得到關(guān)于和的關(guān)系，分兩種情況討論，分別代入代數(shù)式計(jì)算其值即可．【詳解】解：設(shè)公共解為，則，，，三式相加得，即，∵，∴或，當(dāng)時，即時，原式；當(dāng)時，分別代入三個方程可得，，聯(lián)立兩式解得，此時；綜上所述，代數(shù)式的值為或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，因式分解的應(yīng)用，求代數(shù)式的值，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用，采用分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵．14．##【分析】本題主要考查了概率的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是求出符合題目對立事件的可能數(shù)．每次取球有4種選擇，有放回地取三次，總可能結(jié)果數(shù)為，至少有2個不同標(biāo)號的球被取出的對立事件為3次都取同一個球，3次都取同一個球有4種可能，即至少有2個不同標(biāo)號的球被取出的可能結(jié)果數(shù)為，進(jìn)而求出概率．【詳解】解：∵一個箱子里有4個除標(biāo)號外其余均相同的球，分別以1、2、3、4進(jìn)行標(biāo)號，若每次取一個，有放回地取三次，∴總可能結(jié)果數(shù)為：（種），∵至少有2個不同標(biāo)號的球被取出的對立事件為：3次都取同一個球，又∵3次都取同一個球有4種可能，∴至少有2個不同標(biāo)號的球被取出的可能結(jié)果數(shù)為：（種），∴至少有2個不同標(biāo)號的球被取出的概率為：．故答案為：．15．或【分析】先聯(lián)立兩函數(shù)解析式，得到關(guān)于x的三次方程，把此方程的一邊分解因式，化為一個一元一次方程和一個一元二次方程，再根據(jù)一元二次方程根的判別式為一個完全平方數(shù)分類求解即可．【詳解】解：聯(lián)立，消去y得，即，拆項(xiàng)添項(xiàng)，得，提公因式，得，提公因式，得①．∴當(dāng)時，，是方程①的一個根，是兩個函數(shù)的圖象恒有的一個交點(diǎn)．當(dāng)②，，∵兩個函數(shù)的圖象的交點(diǎn)都是整點(diǎn)，∴方程②的兩個不相等的實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，∴是一個完全平方數(shù)．設(shè)（其中k為非負(fù)整數(shù)），則，即．∴與的奇偶性相同，且，，∵，∴，或，或，解得，或，或，∵a是正整數(shù)，∴只可能，或，當(dāng)時，方程②為，它的兩根分別為和，此時兩個函數(shù)的圖象還有兩個交點(diǎn)和．當(dāng)時，方程②為，它的兩根分別為和，此時兩個函數(shù)的圖象還有兩個交點(diǎn)和．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合．熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，一元二次方程根的判別式、完全平方數(shù)，分解因式，整數(shù)的奇偶性，分類討論，是解題的關(guān)鍵．16．【分析】本題主要考查了絕對值的幾何意義，一次函數(shù)的性質(zhì)．設(shè)，則，然后分三種情況，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：，∴，設(shè)，則，，當(dāng)時，此時，，滿足；當(dāng)時，此時，若，，此時y隨x的增大而減小，若，，此時y隨x的增大而減小，若，，此時y隨x的增大而增大，∴此時當(dāng)時，y取得最小值；當(dāng)時，此時，若，，此時y隨x的增大而減小，若，，此時y隨x的增大而減小，若，，此時y隨x的增大而增大，∴此時當(dāng)時，y取得最小值；綜上所述，當(dāng)時，取得最小值，最小值為，∴，解得：．故答案為：．17．（1）（2）（3）見詳解【分析】本題考查了分母有理化，二次根式的混合運(yùn)算，二次根式的性質(zhì)，一次函數(shù)的應(yīng)用，因式分解的應(yīng)用，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）分別化簡得出，再代入進(jìn)行計(jì)算，即可作答．（2）先根據(jù)，整理得到，則或，因?yàn)辄c(diǎn)不在一次函數(shù)的圖像上，即，故，整理得，即可作答．（3）先設(shè)，結(jié)合，得，則為有理數(shù)，設(shè)，建立，兩式子相加得；兩式子相減得；故都是有理數(shù)，所以都是有理數(shù)，即可作答．【詳解】解：（1）；．．（2）∵，∴，則或，∵點(diǎn)不在一次函數(shù)的圖像上，∴即，∴，∴∴，∴與的一次函數(shù)關(guān)系式為；（3）依題意，設(shè)，∵為有理數(shù)，∴為有理數(shù)，且不為0，則，∴∴，∵為正有理數(shù)，為有理數(shù)，且不為0，∴為有理數(shù)，設(shè)，依題意，為有理數(shù)，則兩式子相加得，即；兩式子相減得，即；∵,為有理數(shù)，∴都是有理數(shù)，即都是有理數(shù)．∴若為有理數(shù)，則為有理數(shù)．18．(1)6(2)，【分析】本題考查了圓的綜合題，圓周角定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出點(diǎn)是在定圓上運(yùn)動，從而根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系確定的取值范圍．（1）只需證四邊形是平行四邊形即可；（2）連接，根據(jù)角所對的直角邊等于斜邊的一半，先求出，再根據(jù)勾股定理求出，最后在中求出即可;根據(jù)點(diǎn)運(yùn)動過程中，始終有，確定點(diǎn)在圓上運(yùn)動，然后確定定圓圓心的位置并求出半徑，然后根據(jù)點(diǎn)到圓的最近距離及最遠(yuǎn)距離確定的取值范圍．【詳解】（1）解：是的直徑，，，，，在中，，在中，，，，四邊形是平行四邊形，；（2）連接，與圓相切，，，在中，，，，，是等邊三角形，，在中，，，，，，在中，；，，即，在點(diǎn)運(yùn)動過程中，始終有，點(diǎn)在一個定圓上運(yùn)動，又是的一條弦，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，弦的最大，此時是定圓的直徑，設(shè)定圓的圓心為，當(dāng)時，，，即，的直徑為，半徑為，如圖所示，連接，，的最短距離為，最大距離為，．19．(1)，驗(yàn)證見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】本題考查了分式的混合運(yùn)算，不等式的性質(zhì)，理解題意是解決本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意寫出新的分式和不等式，然后根據(jù)加入m克糖后，分子分母都變化，此時需要證明不等式的正確性，利用作差法即可；（2）令，，，代入“糖水不等式”，即可求證；（3）設(shè)，，求出的值，再根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求證．【詳解】（1）解：，證明如下：由題意得，加入克糖后，糖水濃度為，則糖水濃度的變化為，，，，即，；（2）證明：令，，，代入“糖水不等式”，得由（1）可得，∵，∴，∴不等式得證．（3）證明：設(shè)，則，∴，假設(shè)∴，不符合實(shí)際，∴，∴，∴，∵，，且，∴，即，∴，則不等式得證．20．(1)見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定定理得到，則，，即可證；（2）連接，延長交于點(diǎn)Q，根據(jù)（1）得，，得到，根據(jù)中線得到，繼而得到，結(jié)合，得到即，得到，再證明，證得四邊形為矩形，再利用勾股定理求得，設(shè)，則，，證明，在中，求得，再證明，三角形相似的判定和性質(zhì)計(jì)算即可；（3）在紙片繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)C，D，E三點(diǎn)能構(gòu)成直角三角形時，分四種情況：①當(dāng)在上時，，此時是直角三角形；②當(dāng)在的延長線上時，，此時是直角三角形；③當(dāng)時，是直角三角形；④當(dāng)時，是直角三角形；分類作圖，求出相關(guān)線段長，由三角形面積公式代值求解即可得到答案．【詳解】（1）證明：在和中，，∴，∴，，∴，，∴，∴；（2）解：連接，延長交于點(diǎn)Q，連接交于P，延長交于N，如圖2：同（1）得，，∴，在中，，，由勾股定理得：，∴，∵是中線，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴，，又∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形，∴，，，，∴，，∴，∴，設(shè)，則，，在和中，，∴，∴，在中，由勾股定理得：，∴，解得；∴，，∵，，∴，∴，∴，∴．（3）解：分四種情況：①當(dāng)在上時，，此時是直角三角形，如圖3，∴；②當(dāng)在的延長線上時，，此時是直角三角形，如圖4：∴；③當(dāng)時，是直角三角形，過點(diǎn)A作于點(diǎn)Q，如圖5，∵，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴，則，解得，∴；④當(dāng)時，是直角三角形，過點(diǎn)A作于點(diǎn)Q，交于點(diǎn)，如圖6，∵，∴，∴，∵，，∴，∴是的中位線，∴，，∵，，∴，∴，則，∴，在中，由勾股定理可得，則，解得，∴，，∴，∴；∵，∴直角三角形面積的最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形相似的綜合應(yīng)用，涉及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形中位線定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練掌握三角形相似的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．