第=page11頁(yè)，共=sectionpages88頁(yè)2025年浙江省杭州二中自主招生簽約選拔數(shù)學(xué)試卷一、填空題：本題共7小題，每小題8分，共56分。1.數(shù)學(xué)中最為人熟知的常數(shù)是π，觀察數(shù)列：6，2，8，2，10，18，4，…，則下一個(gè)數(shù)是

.2.學(xué)生王芳、李聰、張濤三人競(jìng)選學(xué)校的學(xué)生會(huì)主席，選舉時(shí)收到有效選票1500張，統(tǒng)計(jì)其中1000張選票的結(jié)果如圖(方框上方數(shù)字表示得票數(shù))，則李聰在剩下的500張選票中只要再得

票，就可確保以得票最多當(dāng)選該校的學(xué)生會(huì)主席.3.如圖，長(zhǎng)方形ABCD的面積為48.E，F(xiàn)分別在BC，CD上，并且BE=FD=2，那么△AEF的面積是

.

4.如果x?y=2+1，y?z=2?15.有4名同學(xué)下課后一起來(lái)到圖書館看書，到圖書館以后把書包放到了一起，后來(lái)停電了，大家隨機(jī)拿起了一個(gè)書包離開(kāi)圖書館，則至少有兩名同學(xué)拿對(duì)了書包的概率是

.6.已知關(guān)于x的方程xx?2?m2?x=?1的解大于1，則實(shí)數(shù)7.四面體棱長(zhǎng)為4，7，20，22，28，t，其中t為整數(shù)，則t的最小值為

.二、計(jì)算題：本大題共1小題，共16分。8.已知：點(diǎn)A在射線CE上，∠C=∠D.

(1)如圖1，若AC//BD，求證：AD//BC；

(2)如圖2，若∠BAC=∠BAD，BD⊥BC，請(qǐng)?zhí)骄俊螪AE與∠C的數(shù)量關(guān)系，寫出你的探究結(jié)論，并加以證明；

(3)如圖3，在(2)的條件下，過(guò)點(diǎn)D作DF//BC交射線于點(diǎn)F，當(dāng)∠DFE=8∠DAE時(shí)，求∠BAD的度數(shù)．

三、解答題：本題共2小題，共40分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。9.(本小題20分)

求出所有實(shí)數(shù)x，使得x2+4x?17x2?6x?510.(本小題20分)

某次考試共有333名學(xué)生參加，共做對(duì)了1000道題.做對(duì)3道及以下為不及格，做對(duì)6道及以上為優(yōu)秀，問(wèn)不及格的人數(shù)和優(yōu)秀的人數(shù)的大小關(guān)系？并給出理由.

答案和解析1.【答案】12

【解析】解：根據(jù)題意可知，6，2，8，2，10，18，4，…，與常數(shù)π=3.1415926……具有同樣的規(guī)律，

∴下一個(gè)數(shù)=8+4=12，

故答案為：12.

根據(jù)π=3.1415926……的順序推斷即可．

本題考查規(guī)律型：數(shù)字的變化類，解題的關(guān)鍵是觀察數(shù)列，發(fā)現(xiàn)規(guī)律．2.【答案】241

【解析】解：由王芳350張，李聰370張，得出王芳與李聰相差20，剩下500張只分給王芳、李聰兩人選票，

首先使兩人票數(shù)相同，從500張中先拿出20張給王芳，

若剩下的500?20=480張中，王芳、李聰各占一半，

則李聰至少需要240+1=241才能當(dāng)主席．

故答案為：241.

此題運(yùn)用極端考慮的方法，因?yàn)橥醴?、李聰兩人選票最多，所以把500張票只分給王芳、李聰兩人選票，進(jìn)一步分析解答即可．

此題主要考查了條形統(tǒng)計(jì)圖的知識(shí)，利用簡(jiǎn)單的極端原理，從一個(gè)出發(fā)點(diǎn)考慮解決問(wèn)題．3.【答案】22

【解析】解：設(shè)長(zhǎng)為x，寬為y，由題意可知△AEF的面積=S□ABCD?S△ABE?S△ECF?S△ADF，

=48?x?y?(x?2)(y?2)÷2，

=48?xy÷2?2，

∵長(zhǎng)方形ABCD的面積為48，即xy=48，

∴△AEF的面積為48?24?2=22.

故答案為：22.

4.【答案】7

【解析】解：∵x?y=2+1①，y?z=2?1②，

∴x?z=22③，

則①?2+②?2+③?2=(x?y)2+(y?z)2+(x?z)2=(5.【答案】724【解析】解：設(shè)這4名同學(xué)的書包分別記為A，B，C，D，

由題意得，4名同學(xué)拿書包的所有可能有：(A,B,C,D)，(A,B,D,C)，(A,C,B,D)，(A,C,D,B)，(A,D,B,C)，(A,D,C,B)，(B,A,C,D)，(B,A,D,C)，(B,C,A,D)，(B,C,D,A)，(B,D,A,C)，(B,D,C,A)，(C,A,B,D)，(C,A,D,B)，(C,B,A,D)，(C,B,D,A)，(C,D,A,B)，(C,D,B,A)，(D,A,B,C)，(D,A,C,B)，(D,B,A,C)，(D,B,C,A)，(D,C,A,B)，(D,C,B,A)，共24種，

其中至少有兩名同學(xué)拿對(duì)了書包的結(jié)果有：(A,B,C,D)，(A,B,D,C)，(A,C,B,D)，(A,D,C,B)，(B,A,C,D)，(C,B,A,D)，(D,B,C,A)，共7種，

∴至少有兩名同學(xué)拿對(duì)了書包的概率為724.

故答案為：724.6.【答案】m<0，且m≠?2

【解析】解：方程兩邊乘x?2得：x+m=2?x，

移項(xiàng)得：2x=2?m，

系數(shù)化為1得：x=2?m2，

∵方程的解大于1，

∴2?m2>1，且2?m2≠2，解得m<0，且m≠?2.

故答案為：m<0，且m≠?2.

先解方程x7.【答案】9

【解析】解：由28?4=24>22>20>7，得長(zhǎng)為4和28的棱不能為四面體的同一個(gè)表面三角形的邊，

則長(zhǎng)為4和28的棱必為四面體的相對(duì)棱，

又4+7=11<20<22，

則四面體與長(zhǎng)為7的棱相對(duì)的棱長(zhǎng)為20或22，

因此8<t<11，而t∈Z，

所以t的最小值是9.

故答案為：9.

利用三角形任意兩邊的和大于第三邊可得長(zhǎng)為4和28的棱必為相對(duì)棱，4，7，t為四面體的一個(gè)表面三角形三邊，求出t的范圍得解．

本題考查四面體的結(jié)構(gòu)特征，屬于中檔題．8.【答案】解：(1)如圖1，∵AD//BC，

∴∠DAE=∠C，

又∵∠C=∠D，

∴∠DAE=∠D，

∴AD//BC；

(2)∠EAD+2∠C=90°.

證明：如圖2，設(shè)CE與BD交點(diǎn)為G，

∵∠CGB是△ADG是外角，

∴∠CGB=∠D+∠DAE，

∵BD⊥BC，

∴∠CBD=90°，

∴△BCG中，∠CGB+∠C=90°，

∴∠D+∠DAE+∠C=90°，

又∵∠D=∠C，

∴2∠C+∠DAE=90°；

(3)如圖3，設(shè)∠DAE=α，則∠DFE=8α，

∵∠DFE+∠AFD=180°，

∴∠AFD=180°?8α，

∵DF//BC，

∴∠C=∠AFD=180°?8α，

又∵2∠C+∠DAE=90°，

∴2(180°【解析】(1)根據(jù)AC//BD，可得∠DAE=∠C，再根據(jù)∠C=∠D，即可得到∠DAE=∠D，則結(jié)論得證；

(2)根據(jù)∠CGB是△ADG是外角，即可得到∠CGB=∠D+∠DAE，再根據(jù)△BCG中，∠CGB+∠C=90°，即可得到∠D+∠DAE+∠C=90°，進(jìn)而得出2∠C+∠DAE=90°；

(3)設(shè)∠DAE=α，則∠DFE=8α，∠AFD=180°?8α，根據(jù)DF//BC，即可得到∠C=∠AFD=180°9.【答案】x=1.

【解析】解：1?x1+x=2?1?x1+x=?(1+x)+21+x=?1+21+x，

∵1?x1+x為整數(shù)，

∴21+x為整數(shù)，

∴1+x=±1或±2，

解得：x=0或?2或1或?3，

將x=0代入，

x2+4x?17x2?6x?5=15(不合題意，舍去)；

將x=?2代入，

x2+4x?17x2?6x?5

=(?2)2+4×(?2)?17×(?2)2?6×(?2)?5

=4?8?17×4+6×2?5

=4?8?128+12?5

10.【答案】不及格的人數(shù)不少于優(yōu)秀的人數(shù)，

設(shè)優(yōu)秀的人數(shù)為x，則優(yōu)秀的人做對(duì)的題目數(shù)為600x，

所以不優(yōu)秀的人做對(duì)的題目數(shù)最多為(1000?6x)道，因而及格但不優(yōu)秀的人最多有(1000?6x4)人，

因此不及格的人數(shù)最少有(333?x?1000?6x4

)人，

若

優(yōu)秀的人比不及格的人多，根據(jù)題意可得：x>333?x?1000?6x4，

解得：x>166，

因?yàn)?x≤1000，【解析】解：設(shè)優(yōu)秀的人數(shù)為x，則優(yōu)秀