第六章

計數(shù)原理6.1

分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理圖解課標(biāo)要點教材幫

新知課丨必備知識解讀知識點1

分類加法計數(shù)原理定義推廣.

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.學(xué)思用·典例詳解圖6.1-1例1-1

[教材改編P11習(xí)題6.1

T3]在如圖6.1-1所示的電路（規(guī)定只能閉合其中一個開關(guān)）中，接通電源使燈泡發(fā)光的方法有___種.5【解析】

要完成的事是閉合開關(guān)使燈泡發(fā)光，完成這件事的方案可分兩類：

圖6.1-2

將電路圖變形，如圖6.1-2所示，圖中有5個開關(guān)，閉合其中任意一個開關(guān)，均能接通電源使燈泡發(fā)光，因此有5種方法.知識點2

分步乘法計數(shù)原理定義推廣.

.知識剖析

理解分步乘法計數(shù)原理的關(guān)鍵點（1）定性：①明確要完成的事及怎樣才算完成這件事；②完成這件事要經(jīng)過幾步，每步中有哪些方法.（2）相關(guān)性：①完成這件事需要分成若干個步驟；②只有每個步驟都完成了，才算完成這件事，缺少任一步驟，這件事都不可能完成.（3）分步（這是利用分步乘法計數(shù)原理解題的關(guān)鍵.）：①分步標(biāo)準(zhǔn)必須明確，一般地，分步的標(biāo)準(zhǔn)不同，分成的步驟數(shù)也會不同；②要注意各步驟之間必須連續(xù)；③各步驟之間既不能重復(fù)，也不能遺漏.#1.1.1.3.

.學(xué)思用·典例詳解例2-2

(2025·天津市第二十五中學(xué)月考)在如圖6.1-3所示的電路（規(guī)定只能閉合其中2個開關(guān)）中，接通電源使燈泡發(fā)光的方法有___種.6圖6.1-3

知識點3

兩個計數(shù)原理的聯(lián)系與區(qū)別分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理聯(lián)系回答的都是有關(guān)完成一件事的不同方法種數(shù)的問題區(qū)別針對的是“分類”問題針對的是“分步”問題其中各種方法相互獨立各個步驟中的方法互相依存用其中任何一種方法都可以做完這件事只有每一個步驟都完成才能完成這件事知識剖析

用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題時，最重要的是在開始計算之前要仔細(xì)分析兩點：（1）要完成的“一件事”是什么及怎樣才算完成這件事；（2）需要分類還是需要分步．.

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分類要做到“不重不漏”．分類后再分別對每一類進(jìn)行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù).

分步要做到“步驟完整”，即完成了所有步驟才能完成這件事．分步后再計算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù).（有些問題既有分類也有分步，可以根據(jù)題意畫出流程圖，直觀解決問題）學(xué)思用·典例詳解圖6.1-4

DA.4

B.5

C.9

D.10【解析】首先電路接通分兩類（每類中需要分步，先

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.方法幫

解題課丨關(guān)鍵能力構(gòu)建題型1

分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用例4

[教材改編P11練習(xí)T2]在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)是(

)BA.18

B.36

C.72

D.48【解析】

（按十位上的數(shù)字分類）

按十位上的數(shù)字分別是1,2,3,4,5,6,7,8分成八類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別有8個、7個、6個、5個、4個、3個、2個、1個．

（按個位上的數(shù)字分類）

按個位上的數(shù)字分別是2,3,4,5,6,7,8,9分成八類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別有1個、2個、3個、4個、5個、6個、7個、8個．

20

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.圖6.1-5

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.應(yīng)用分類加法計數(shù)原理解題的一般思路【學(xué)會了嗎丨變式題】1.[教材改編P5

T1（1）]解1道數(shù)學(xué)題，有三種方法，有3個人只會用第一種方法，有4個人只會用第二種方法，有3個人只會用第三種方法，從這10個人中選1個人解這道題目，則不同的選法共有(

)AA.10種

B.21種

C.24種

D.36種

12

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題型2

分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用1

可重復(fù)選取問題例6

[教材改編P12

T8]（1）4名同學(xué)選報跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個項目，每人報一項，共有多少種報名方法？【解析】依次確定4名同學(xué)的選報項目,第一名同學(xué)在三項運動中選擇一項，有3種選法，同理，第二、三、四名同學(xué)也都有3種選法.（每個人都要報項目，分步標(biāo)準(zhǔn)為人）

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.（2）4名同學(xué)爭奪跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三項冠軍（每個項目只有一個冠軍且每名同學(xué)可奪得多項冠軍），共有多少種可能的結(jié)果？

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.名師點評

用分步乘法計數(shù)原理求解此類對象可重復(fù)選取的問題時,哪類對象必須“用完”就以哪類對象作為分步的標(biāo)準(zhǔn).2

不可重復(fù)選取問題例7

(2025·福建省泉州市期中)將3個不同的小球放入5個不同的盒子，每個盒子內(nèi)至多放1個小球，不同的放法種數(shù)有(

)BA.36

B.60

C.64

D.81【解析】

以小球為研究對象，分三步完成.

以盒子為研究對象，盒子序號記為1,2,3,4,5.

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.應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理解題的一般思路【學(xué)會了嗎丨變式題】3.[教材改編P7

T5]（1）用數(shù)字7,8,9可以組成多少個三位數(shù)？

（2）用數(shù)字7,8,9可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

以個位數(shù)字，十位數(shù)字，百位數(shù)字的順序分三步.題型3

計數(shù)問題中間接法的應(yīng)用

14

（間接法）

分兩步：

利用間接法求計數(shù)問題的著手點間接法體現(xiàn)了“正難則反”的思想.當(dāng)問題從正面考慮的情況較多,而從反面考慮的情況較少,且容易計數(shù)時,宜采用間接法,即先求出方法總數(shù),再減去不符合條件的方法數(shù)或重復(fù)計數(shù)的方法數(shù).對于含有“至少”“不少于”“不超過”等關(guān)鍵詞的題目，要從正面和反面去比較，當(dāng)用直接法不易求解時，可采用間接法求解.【學(xué)會了嗎丨變式題】圖6.1-6

63【解析】電路不通可能是由一個或多個焊接點脫落造成的，問題比較復(fù)雜.但電路通的情況只有一種（電路焊接點的所有情況減去電路通的情況就是電路不通的情況），即各個焊接點均未

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.題型4

兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用解決較為復(fù)雜的計數(shù)問題，一般要將兩個計數(shù)原理綜合應(yīng)用.

使用時要做到目的明確,層次分明,先后有序,還需特別注意以下兩點:（1）合理分類,準(zhǔn)確分步:處理計數(shù)問題,應(yīng)緊扣兩個計數(shù)原理,首先弄清楚是“分類”還是“分步”,其次搞清楚“分類”或“分步”的標(biāo)準(zhǔn),做到合理分類,準(zhǔn)確分步.（2）特殊優(yōu)先,一般在后:解含有特殊元素、特殊位置的計數(shù)問題時,優(yōu)先安排特殊元素,優(yōu)先確定特殊位置,再考慮其他位置，體現(xiàn)出解題過程中特殊與一般的思想.1

“類中有步”計數(shù)問題例9

新情境

十二生肖(2025·遼寧省本溪市高級中學(xué)月考)中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個人的出生年份對應(yīng)了十二種動物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬）中的一種．現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個，三位同學(xué)依次選一個作為禮物，甲同學(xué)喜歡牛和馬，乙同學(xué)喜歡牛、狗和羊，丙同學(xué)每個吉祥物都喜歡，如果讓三位同學(xué)選取禮物都滿意，則選法有(

)BA.30種

B.50種

C.60種

D.90種

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.“類中有步”計數(shù)問題的解題策略用流程圖描述計數(shù)問題，“類中有步”的情形如圖6.1-7所示.圖6.1-7

【學(xué)會了嗎丨變式題】圖6.1-8

BA.8種

B.12種

C.16種

D.24種

2

“步中有類”計數(shù)問題例10

(2025·河北省承德市高新區(qū)第一中學(xué)期中)將3種農(nóng)作物全部種植在如圖6.1-9所示的5塊試驗田里，每塊試驗田種植1種農(nóng)作物，且相鄰的試驗田不能種植同一種農(nóng)作物，不同的種植方法共有____種.圖6.1-942

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.“步中有類”計數(shù)問題的解題策略用流程圖描述計數(shù)問題，“步中有類”的情形如圖6.1-10所示.#2.2圖6.1-10

【學(xué)會了嗎丨變式題】圖6.1-116.[教材改編P27

T17](2025·江西省南昌中學(xué)期末)如圖6.1-11，一個地區(qū)分為5個區(qū)域，現(xiàn)給5個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色．現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的涂色方法共有____種．72【解析】先給①②③號區(qū)域涂色，分別有4種、3種和2種涂色方法.再給④號和⑤號區(qū)域涂色，

題型5

計數(shù)時常見棘手問題之“多面手”例11

在7名學(xué)生中，有3名會下象棋但不會下圍棋，有2名會下圍棋但不會下象棋，另2名既會下象棋又會下圍棋．現(xiàn)在從這7人中選1人參加象棋比賽，另選1人參加圍棋比賽，共有多少種不同的選法？圖6.1-12【解析】

畫出示意圖，如圖6.1-12所示，既會下象棋又會下圍棋的“多面手”有2名學(xué)生（對應(yīng)圖6.1-12中的陰影部分），從參加象棋比賽的1名學(xué)生入手進(jìn)行分類，可分兩類：

第2類，參加象棋比賽的1名學(xué)生來自2名“多面手”學(xué)生，

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考慮“多面手”參賽人數(shù)，分三類完成這件事：

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【學(xué)會了嗎丨變式題】7.某旅行社共有5名專業(yè)導(dǎo)游，其中3人會英語，3人會日語，若在同一天要接待3個不同的外國旅游團(tuán)，其中有2個旅游團(tuán)要安排會英語的導(dǎo)游，1個旅游團(tuán)要安排會日語的導(dǎo)游，則不同的安排方法種數(shù)有(

)CA.12

B.13

C.14

D.15

題型6

兩個計數(shù)原理與其他知識的綜合1

數(shù)列

（1）這個數(shù)列共有多少項？【解析】由題意知這個數(shù)列的項數(shù)就是由1,2,3,4四個數(shù)字組成的可有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù).

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.2

立體幾何圖6.1-13

DA.4

B.8

C.12

D.16圖6.1-14

3

古典概型

A

名師點評

求解古典概型的關(guān)鍵在于樣本點個數(shù)的計算，而兩個計數(shù)原理恰好為計算樣本點的個數(shù)提供了便捷的途徑.因此，計數(shù)原理與古典概型的結(jié)合可謂是完美搭配，之后還會遇到古典概型的問題，此處給出基礎(chǔ)試題作出鋪墊.新考法·思維創(chuàng)新計數(shù)原理中的正因數(shù)問題例15

(2025·安徽省安慶市聯(lián)考)324共有多少個不同的正因數(shù)？所有這些正因數(shù)的和是多少？

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.高考幫

考試課丨核心素養(yǎng)聚焦考情揭秘高考主要考查對兩個計數(shù)原理的理解和應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是對“類”與“步”的正確區(qū)分.一般以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度中等.核心素養(yǎng)：邏輯推理（“類”與“步”的區(qū)分）、數(shù)學(xué)抽象（將文字語言具象為數(shù)學(xué)算式）、數(shù)學(xué)運算（通過計數(shù)求得結(jié)果）考向

兩個計數(shù)原理的應(yīng)用

11213140122233421322334315243444圖6.1-1524112

9

圖6.1-16

圖6.1-17

高考新題型專練1.新情境

綠色出行［多選題］(2025·重慶市月考)某城市地鐵公司為鼓勵人們綠色出行，決定按照乘客的乘坐站數(shù)實施分段優(yōu)惠政策，不超過9站的地鐵票價如表：票價/元234現(xiàn)有甲、乙兩位乘客同時從首站乘坐同一輛地鐵，已知他們乘坐地鐵都不超過9站，且他們各自在每個站下地鐵的可能性相同，則下列結(jié)論中正確的是(

)BDA.若甲和乙兩人共花費5元，則甲和乙下地鐵的方案共有9種B.若甲和乙兩人共花費5元，則甲和乙下地鐵的方案共有18種C.若甲和乙兩人共花費6元，則甲和乙下地鐵的方案共有9種D.若甲和乙兩人共花費6元，則甲和乙下地鐵的方案共有27種

ABD

練習(xí)幫

習(xí)題課丨學(xué)業(yè)質(zhì)量測評A

基礎(chǔ)練丨知識測評建議時間：30分鐘1.[教材改編P5例3]某同學(xué)從4本不同的科普雜志，3本不同的文摘雜志，2本不同的娛樂新聞雜志中任選一本閱讀，則不同的選法共有

(

)BA.24種

B.9種

C.3種

D.26種

CA.30個

B.42個

C.36個

D.35個

3.(2025·江蘇省南京市期末)6名同學(xué)參加3個課外知識講座，每名同學(xué)必須且只能隨機(jī)選擇其中的1個，不同的選法種數(shù)是(

)B

4.(2025·陜西省西安市期中)4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動的概率為(

)D

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.5.［多選題］(2025·山東省菏澤市月考)現(xiàn)有3名老師、8名男同學(xué)和5名女同學(xué)共16人，有一項活動需派人參加，則下列命題中正確的是(

)ABCA.只需1人參加，有16種不同選法B.若需老師、男同學(xué)、女同學(xué)各1人參加，則有120種不同選法C.若需1名老師和1名同學(xué)參加，則有39種不同選法D.若需3名老師和1名同學(xué)參加，則有56種不同選法

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.6.新定義

漸降數(shù)

用0,1,2,3,4,5這6個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，若把每位數(shù)字比其左鄰的數(shù)字小的數(shù)叫做“漸降數(shù)”，則上述四位數(shù)中“漸降數(shù)”的個數(shù)是____．15

6圖6.1-1

18

8.某職業(yè)學(xué)校外貿(mào)專業(yè)高二（1）班、（2）班、（3）班分別有7，9，10人參加技能興趣選拔賽．（1）如果選一人當(dāng)組長，那么有多少種不同的選法？

（2）如果老師任組長，每班選一名副組長，那么有多少種不同的選法？

（