曾都一中、隨縣一中2025級高一實驗班12月考試數(shù)學(xué)試題時間:2025-12-16一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則的子集個數(shù)為（）A2 B.4 C.8 D.16【答案】C【解析】【分析】利用列舉法表示集合，求出函數(shù)定義域化簡集合，再利用交集的定義求解.【詳解】集合，，所以集合的子集個數(shù)為.故選：C2.某同學(xué)在研究函數(shù)時，分別給出下面四個結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（）A.函數(shù)是奇函數(shù) B.函數(shù)的值域是C.函數(shù)在R上增函數(shù) D.方程有實根【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性等對選項逐一判斷【詳解】對于A，，故是偶函數(shù)，，不是奇函數(shù)，故A錯誤，對于B，當(dāng)時，，由對勾函數(shù)性質(zhì)知，而是偶函數(shù)，的值域是，故B錯誤，對于C，當(dāng)時，，由對勾函數(shù)性質(zhì)知在上單調(diào)遞增，而是偶函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，故C錯誤，對于D，當(dāng)時，，即，解得，故D正確，故選：D3.若命題：“，”.使命題為假命題的一個必要不充分條件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由命題為真求出的范圍，再結(jié)合選項求出命題為假命題的必要不充分條件.【詳解】，，而，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則，因此命題，命題為假命題時，，由給定的選項知，集合真包含于集合，所以使命題為假命題的一個必要不充分條件是.故選：A4.在平面直角坐標系中，函數(shù)且的圖象恒過定點，若角的終邊過點，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出點,利用倍角公式可求答案.【詳解】因為函數(shù)且的圖象恒過定點，所以；因為角的終邊過點，所以，所以.故選：C5.《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)名著，其中《方田》一章給出了弧田面積的計算方法．弧田是由圓弧和其對弦圍成的圖形，如圖中陰影部分所示．若弧田所在圓的半徑為，為圓心，弦的長是3，則弧田的面積是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理得到，再利用扇形面積公式與三角形面積公式即可得解.【詳解】依題意，，，所以，因為，所以，故的弧長為，則扇形的面積為，的面積為，所以弧田的面積為．故選：D.6.已知，，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知求得，，結(jié)合求值即可.【詳解】由題設(shè)，，又，，所以，，又.故選：D7.函數(shù)的零點的個數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】將零點問題轉(zhuǎn)化為交點問題，作圖求解即可.【詳解】令，故，即的零點個數(shù)為與的交點個數(shù)，顯然在單調(diào)遞增，的周期為，且當(dāng)時，，故此時兩個函數(shù)無交點，作出圖像如下圖，由圖像得共有個交點，故有個零點，即C正確.故選：C8.已知函數(shù).若為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且在上沒有最小值，則的最大值是（）A.2 B.6 C.10 D.14【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出，再由在上沒有最小值，求出答案.【詳解】由題意知，因為為奇函數(shù)，所以，，因為為偶函數(shù)，所以，相加得，又因為，所以，當(dāng)代入得，即，代入得，即，即；當(dāng)代入得，即，代入得，即，即；因為在上沒有最小值，設(shè)，則，所以，的最大值是6.故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題求解的關(guān)鍵有兩個：一是利用奇偶性求出及的表達式；二是利用區(qū)間上沒有最小值可求的不等關(guān)系.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知，，且，則（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】對于A：利用基本不等式判斷為正確；對于B：利用“1”的妙用判斷為錯誤；對于C：根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析判斷；對于D：利用基本不等式結(jié)合對數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析判斷.【詳解】因為，，且，對于選項A：因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故A正確；對于選項B：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，且，故B錯誤；對于選項C：由題意可知：，則，且在上單調(diào)遞增，可得，故C錯誤；對于選項D：因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，且在上單調(diào)遞增，所以，故D正確；故選：AD.10.下列命題中正確的有（）A.冪函數(shù)，且在單調(diào)遞減，則B.的單調(diào)遞增區(qū)間是C.定義域為，則D.的值域是【答案】ACD【解析】【分析】對于A：根據(jù)冪函數(shù)的概念和性質(zhì)解答；對于B：先求出定義域后即可判斷；對于C：驗證，對于，求即可；對于D：利用換元法求函數(shù)值域.【詳解】對于A：，解得，正確；對于B：由得的定義域為，故單調(diào)區(qū)間不可能為，錯誤；對于C：當(dāng)時，，定義域為，當(dāng)時，對于，其，解得，綜合，正確；對于D：令，則，且，則，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，正確.故選：ACD.11.已知定義域為R的函數(shù)在上單調(diào)遞減，，且圖象關(guān)于對稱，則（）A. B.的周期C.在上單調(diào)遞增 D.滿足【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)條件，研究函數(shù)的性質(zhì)，逐項判斷即可.【詳解】在中，令，可得，又，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線成軸對稱，所以.由函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，所以.所以.用代替，可得，再用代替，可得，所以，所以函數(shù)是以為周期周期函數(shù)，因為，所以不是函數(shù)的周期.故B錯誤；因為，且，所以，故A正確；設(shè)，則，因為在上單調(diào)遞減，所以，又，，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.故C正確；又，，.在中，令得：，因為函數(shù)周期為，所以，由A選項可得，.在中，令，可得.又，但根據(jù)題意，函數(shù)在上單調(diào)遞減，而非在上單調(diào)遞減，所以的符號無法確定，故與的大小無法確定.故D錯誤.故選：AC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.求不等式的解集為______.【答案】或【解析】【分析】根據(jù)題意求解不等式即可.【詳解】由題意可得或，解得或則不等式的解集為或.故答案為：或.13.已知，則______．【答案】##.【解析】【分析】由題意求出，將要求的式子化簡為，求解即可.【詳解】分子分母同除得，，解得：，所以.故答案為：14.我們知道，設(shè)函數(shù)的定義域為I，如果對任意，都有，且，那么函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形．若函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形，則實數(shù)c的值為__________；若，則實數(shù)t的取值范圍是__________．【答案】①.2②.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得即可求出c的值；（2）根據(jù)解析式判斷函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)不等式得，利用函數(shù)的對稱性和單調(diào)性即可求解不等式.【詳解】因為函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形，所以，即，即，所以，所以在定義域上單調(diào)遞減，令，因為函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱，所以的圖象關(guān)于對稱，且單調(diào)遞減，因為，即，即，也即，所以則解得或，故實數(shù)t的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（1）計算：；（2）化簡：.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪和對數(shù)的運算法則計算；（2）先切化弦，再根據(jù)三角公式進行化簡.【詳解】（1）原式.（2）原式.16.已知函數(shù)（1）求的值；（2）求函數(shù)的遞增區(qū)間；（3）求函數(shù)在區(qū)間上的值域．【答案】（1）（2）,（3）【解析】【分析】（1）直接利用三角函數(shù)的恒等變換，把三角函數(shù)變形成正弦型函數(shù)，即可得的值；（2）根據(jù)正弦型三角函數(shù)的性質(zhì)列不等式求解單調(diào)增區(qū)間即可；（3）根據(jù)（2）確定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，求值即可得函數(shù)的值域．小問1詳解】則；【小問2詳解】令：，解得的單調(diào)遞增區(qū)間為：,；【小問3詳解】由（2）可得，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上的值域為：．17.摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機械游樂設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上旋轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色.如圖該摩天輪最高點距離地面高度為，轉(zhuǎn)盤直徑為，開啟時按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進艙，轉(zhuǎn)一周需要.（1）以軸心為原點，與地面平行的直線為軸，所在的直線為軸建立平面直角坐標系，游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉(zhuǎn)動后距離地面的高度為，求在轉(zhuǎn)動一周的過程中，關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）若游客甲在點進入座艙時，游客乙此時恰好在處（軸與圓的交點），（i）在運行一周的過程中，運行兩人首次距離地面的高度相等，求時間；（ii）當(dāng)座艙距離地面的高度不低于時，能鳥瞰全城壯觀景色，因此這段時間被稱為“震撼時刻”，求游客甲在開始運行一周的過程中，甲處于“震撼時刻”的時間段.【答案】（1）（2）（i）；（ii）第六分鐘到第十二分鐘為“震撼時刻”【解析】【分析】（1）設(shè)，，，根據(jù)最大值、最小值求，根據(jù)周期求，根據(jù)初始位置求即可；（2）（i）同（1）求出乙的座艙高度與時間函數(shù)為，令即可解方程；（ii）結(jié)合余弦函數(shù)圖象解不等式即可.【小問1詳解】設(shè)，，由題意可知，，，則，，又易知，所以，得，又當(dāng)時，，則，因，則，所以，化簡得.【小問2詳解】（i）設(shè)乙的座艙高度與時間函數(shù)為，同（1）可求得，因為甲乙離地面高度相等，即，可得：，即，可解得，即，故時，有最小值，即當(dāng)時，甲乙首次高度相等.（ii）由題意易知，所謂“震撼時刻”，即要求，化簡得，因，則，故，則，故第六分鐘到第十二分鐘為“震撼時刻”.18.已知函數(shù).（1）判斷的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明；（2）若對，都有成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）是否存在正實數(shù)，使得在上的取值范圍是？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由.【答案】（1）在上單調(diào)遞增，證明見解析（2）（3）存在，且【解析】【分析】（1）直接由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，單調(diào)性的定義證明即可.（2）將原問題轉(zhuǎn)換為不等式對恒成立.通過換元法以及對勾函數(shù)性質(zhì)即可得解.（3）由函數(shù)單調(diào)性以及換元法轉(zhuǎn)換為一元二次方程根的分布問題即可得解.【小問1詳解】在上單調(diào)遞增.任取，且，那么，，因為，所以，可得，又，所以，即，所以在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】因為，所以，所以，由第（1）問知在上單調(diào)遞增，所以，所以，即對恒成立.令，，只需，令，則，，因為在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，所以.【小問3詳解】由第（1）問知，在上單調(diào)遞增，所以所以為方程的兩個實數(shù)根，即方程有兩個不等實數(shù)根，令，即方程有兩個不等的正根，所以即，且，解得且，所以存在實數(shù)滿足題意，且.【點睛】關(guān)鍵點睛：第二問關(guān)鍵是分離參數(shù)，第三問關(guān)鍵是換元轉(zhuǎn)換為一元二次方程根的分布問題，由此即可順利得解.19.對于函數(shù)，若的圖象上存在關(guān)于原點對稱的點，則稱為定義域上的“偽奇函數(shù)”．（1）試判斷是否為“偽奇函數(shù)”，簡要說明理由；（2）若是定義在區(qū)間上的“偽奇函數(shù)”，求實數(shù)m的取值范圍；（3）試討論在上是否為“偽奇函數(shù)”？并說明理由．【答案】（1）是“偽奇函數(shù)”，理由見解析（2）（3）答案和理由見解析【解析】【分析】（1）由“偽奇函數(shù)”的定義判斷即可；（2）由題意可得在有解，進而結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即