一、溫故知新：從相似定義到已有判定的邏輯銜接演講人1.溫故知新：從相似定義到已有判定的邏輯銜接2.SAS判定定理的探索與證明3.SAS定理的應(yīng)用與實(shí)踐4.易錯點(diǎn)與學(xué)習(xí)建議5.總結(jié)與升華目錄2025九年級數(shù)學(xué)上冊相似三角形判定SAS定理課件各位同學(xué)，今天我們要共同探索相似三角形判定的又一重要定理——SAS（邊角邊）判定定理。作為研究圖形關(guān)系的核心工具，相似三角形在測量、建筑、物理光學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用。回顧上節(jié)課，我們通過“兩角分別相等的兩個三角形相似（AA）”打開了相似判定的大門，今天我們將沿著這條路徑繼續(xù)深入，用更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫼透S富的實(shí)例，理解“兩邊成比例且夾角相等”為何能成為相似的判定條件。01溫故知新：從相似定義到已有判定的邏輯銜接1相似三角形的本質(zhì)特征相似三角形的定義是“對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的三角形”。這意味著，要證明兩個三角形相似，理論上需要驗(yàn)證三對角相等且三對邊成比例。但顯然，這樣的驗(yàn)證過程過于繁瑣，因此我們需要尋找更簡潔的判定條件。2已有判定定理的局限性與新需求上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了AA判定定理：兩角分別相等的兩個三角形相似。這一定理的優(yōu)勢在于，只需驗(yàn)證兩組角相等（第三組角可由三角形內(nèi)角和推導(dǎo)），即可繞過邊的比例關(guān)系直接判定相似。但實(shí)際問題中，我們常遇到“已知兩邊長度及一個角”的情況（例如測量河流寬度時，已知兩岸某兩點(diǎn)的距離和夾角），此時AA定理無法直接應(yīng)用，因此需要探索基于“邊與角”組合的判定方法。02SAS判定定理的探索與證明SAS判定定理的探索與證明2.1猜想的提出：從“全等SAS”到“相似SAS”的類比遷移在全等三角形的判定中，我們學(xué)過SAS定理：兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等。全等是相似的特殊情況（相似比為1），那么是否存在“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”的規(guī)律？這一猜想需要通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推導(dǎo)驗(yàn)證。2實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證：尺規(guī)作圖與數(shù)據(jù)測量為了直觀感受這一猜想，我們可以進(jìn)行如下實(shí)驗(yàn)：作△ABC，使AB=4cm，AC=6cm，∠A=60；作△A'B'C'，使A'B'=2cm，A'C'=3cm（即AB/A'B'=AC/A'C'=2），∠A'=60（與∠A相等）；測量△A'B'C'的第三邊B'C'和角∠B'、∠C'，計(jì)算BC/B'C'的比值，并觀察角是否對應(yīng)相等。通過測量會發(fā)現(xiàn)：BC≈6.0cm（由余弦定理計(jì)算：BC2=42+62-2×4×6×cos60=16+36-24=28，BC=√28≈5.29cm，實(shí)際測量可能存在誤差），B'C'≈2.64cm（同理B'C'2=22+32-2×2×3×cos60=4+9-6=7，B'C'=√7≈2.64cm），因此BC/B'C'≈2，與AB/A'B'、AC/A'C'的比值一致；同時∠B≈∠B'，∠C≈∠C'。這初步驗(yàn)證了猜想的合理性。2實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證：尺規(guī)作圖與數(shù)據(jù)測量2.3嚴(yán)格證明：利用相似三角形的定義與平行線分線段成比例定理要證明“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”，我們需要從定義出發(fā)，證明對應(yīng)角相等且對應(yīng)邊成比例。已知：在△ABC和△A'B'C'中，AB/A'B'=AC/A'C'=k，∠A=∠A'。求證：△ABC∽△A'B'C'。證明步驟：在△ABC的邊AB上截取AD=A'B'，過點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E（如圖1）。由平行線分線段成比例定理，AD/AB=AE/AC=DE/BC。2實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證：尺規(guī)作圖與數(shù)據(jù)測量因?yàn)锳D=A'B'，且AB/A'B'=k，所以AD=AB/k，代入得AD/AB=1/k，因此AE=AC/k=A'C'（因?yàn)锳C/A'C'=k，即A'C'=AC/k）。在△ADE和△A'B'C'中，AD=A'B'，AE=A'C'，∠A=∠A'（公共角），由全等三角形SAS判定，△ADE≌△A'B'C'。因此∠ADE=∠B'，∠AED=∠C'；又因?yàn)镈E∥BC，所以∠ADE=∠B，∠AED=∠C（同位角相等），故∠B=∠B'，∠C=∠C'。由相似三角形定義（對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例），△ABC∽△A'B'C'。通過這一證明，我們確認(rèn)了猜想的正確性，即：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似（SAS）。4關(guān)鍵辨析：“夾角”為何不可替代？在應(yīng)用SAS定理時，“夾角”是核心條件。若相等的角不是兩邊的夾角（即“邊邊角”），是否還能判定相似？我們通過反例說明：作△ABC，AB=4cm，AC=6cm，∠B=30（非AB與AC的夾角）；作△A'B'C'，A'B'=2cm，A'C'=3cm（AB/A'B'=AC/A'C'=2），∠B'=30（與∠B相等但非夾角）。此時測量會發(fā)現(xiàn)，△A'B'C'可能有兩種不同的形狀（銳角或鈍角三角形），無法保證與△ABC相似。因此，必須是兩邊的夾角相等，SAS定理才成立。03SAS定理的應(yīng)用與實(shí)踐1基礎(chǔ)應(yīng)用：直接判定相似例1：如圖2，△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，AD=2，DB=4，AE=3，EC=6，∠A=∠A。求證：△ADE∽△ABC。分析：需驗(yàn)證兩邊成比例且夾角相等。AD/AB=2/(2+4)=1/3，AE/AC=3/(3+6)=1/3，故AD/AB=AE/AC；∠A是公共角（夾角），因此由SAS定理，△ADE∽△ABC。2綜合應(yīng)用：結(jié)合其他定理解決復(fù)雜問題例2：如圖3，四邊形ABCD中，∠B=∠D=90，AB=2，BC=1，AD=4，求CD的長。分析：連接AC，在Rt△ABC和Rt△ADC中，∠B=∠D=90，需判斷是否相似。計(jì)算AB/AD=2/4=1/2，BC/CD=1/CD（設(shè)CD=x），若△ABC∽△ADC（SAS），則需AB/AD=BC/CD且∠BAC=∠DAC（但此處角為直角，實(shí)際應(yīng)為∠ACB=∠ACD？需重新分析）。更準(zhǔn)確的方法是利用勾股定理求AC=√(22+12)=√5，在Rt△ADC中，AC2=AD2+CD2→5=16+x2（顯然矛盾），說明不相似。正確思路應(yīng)為通過相似三角形的其他判定或勾股定理直接求解，此處需注意SAS的應(yīng)用條件是夾角相等，直角三角形的直角是兩邊的夾角（如Rt△ABC中，∠B是AB與BC的夾角），2綜合應(yīng)用：結(jié)合其他定理解決復(fù)雜問題因此若Rt△ABC與Rt△ADC滿足AB/AD=BC/DC，則可由SAS相似。設(shè)CD=x，AB/AD=2/4=1/2，BC/DC=1/x，令1/2=1/x→x=2，此時AC=√(AB2+BC2)=√5，AD=4，DC=2，AC2=5，AD2+DC2=16+4=20≠5，矛盾，說明假設(shè)錯誤。正確解法應(yīng)為利用射影定理或其他方法，此處體現(xiàn)了SAS應(yīng)用中需嚴(yán)格核對夾角和比例。3實(shí)際問題：測量不可達(dá)距離例3：如圖4，要測量河對岸A、B兩點(diǎn)的距離，在岸邊選一點(diǎn)C，測得AC=50m，BC=75m，∠ACB=60；再在岸邊作△CDE，使CD=10m，CE=15m（即CD/AC=CE/BC=1/5），∠DCE=60。測得DE=12m，求AB的長度。分析：△CDE與△CAB中，CD/AC=10/50=1/5，CE/BC=15/75=1/5，∠DCE=∠ACB=60（夾角），由SAS定理，△CDE∽△CAB，相似比為1/5，因此AB=DE×5=12×5=60m。通過這一實(shí)例，我們看到SAS定理在解決實(shí)際測量問題中的高效性，無需渡水即可通過構(gòu)造相似三角形間接測量距離。04易錯點(diǎn)與學(xué)習(xí)建議1常見誤區(qū)混淆夾角與非夾角：例如，已知AB/A'B'=AC/A'C'，但相等的角是∠B=∠B'（非AB與AC的夾角），此時不能用SAS判定相似。比例對應(yīng)錯誤：需注意“對應(yīng)邊”的順序，如AB/A'B'=AC/A'C'，而非AB/A'C'=AC/A'B'（交叉比例不成立）。忽略相似比的一致性：兩邊比例需完全相等，若AB/A'B'=2，AC/A'C'=3，則不滿足SAS條件。2學(xué)習(xí)建議畫圖輔助理解：遇到相似判定問題時，先畫出兩個三角形，標(biāo)注已知邊和角，明確哪兩邊對應(yīng)、哪一角是夾角。01對比全等與相似：全等SAS要求“邊相等、角相等”，相似SAS要求“邊成比例、角相等”，通過對比加深對“比例”與“相等”關(guān)系的理解。02多練習(xí)實(shí)際問題：從測量、建筑圖紙等情境中尋找相似三角形的應(yīng)用實(shí)例，體會數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。0305總結(jié)與升華總結(jié)與升華同學(xué)們，今天我們通過類比全等SAS、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證、嚴(yán)格證明，逐步推導(dǎo)出了相似三角形的SAS判定定理：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似。這一定理不僅是對相似定義的簡化，更是連接幾何理論與實(shí)際應(yīng)用的橋梁?；仡檶W(xué)習(xí)過程，我們從“為什么需要新的判定方法”出發(fā)，通過猜想、驗(yàn)證、證明、應(yīng)用，完成了一次完整的數(shù)學(xué)探索。希望大家記住：相似三角形的判定，本質(zhì)是尋找“對應(yīng)關(guān)系”的一致性——角的對應(yīng)相等、邊的對應(yīng)成比例。SAS定理的核心，是通過“兩邊比例+夾角相等”這一簡潔的條