一、課程導(dǎo)入：從全等到相似的思維延伸演講人課程導(dǎo)入：從全等到相似的思維延伸壹知識(shí)鋪墊：相似三角形的定義與已有判定貳定理探究：從特例到一般的歸納驗(yàn)證叁定理應(yīng)用：從理論到實(shí)踐的能力提升肆鞏固練習(xí)：分層訓(xùn)練，深化理解伍課堂總結(jié)：從知識(shí)到思維的升華陸目錄課后任務(wù)柒（課件結(jié)束）捌2025九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊相似三角形判定SSS定理課件01課程導(dǎo)入：從全等到相似的思維延伸課程導(dǎo)入：從全等到相似的思維延伸各位同學(xué)，當(dāng)我們在七年級(jí)第一次接觸三角形時(shí)，全等三角形的判定就像一把“精準(zhǔn)尺”，幫助我們通過邊與角的等量關(guān)系確認(rèn)兩個(gè)三角形的“完全一致”。而隨著學(xué)習(xí)深入，我們發(fā)現(xiàn)生活中更多的是“形狀相同、大小不同”的相似圖形——比如地圖與實(shí)際地域、照片與原圖、建筑模型與實(shí)體。今天，我們要共同探索相似三角形判定的又一重要工具：SSS（三邊成比例）判定定理。這不僅是全等判定的“比例版”延伸，更是打開相似圖形應(yīng)用大門的關(guān)鍵鑰匙。02知識(shí)鋪墊：相似三角形的定義與已有判定1相似三角形的核心定義回顧上節(jié)課內(nèi)容，相似三角形的定義是：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形，記作△ABC∽△DEF，其中對(duì)應(yīng)邊的比值稱為相似比（k）。這里需要特別注意兩點(diǎn)：對(duì)應(yīng)角相等與對(duì)應(yīng)邊成比例是“充要條件”，即二者必須同時(shí)滿足才能稱為相似；相似比具有方向性，若△ABC與△DEF的相似比為k，則△DEF與△ABC的相似比為1/k。舉個(gè)簡單例子：若△ABC的三邊為3cm、4cm、5cm，△A'B'C'的三邊為6cm、8cm、10cm，我們可以計(jì)算對(duì)應(yīng)邊的比為3:6=4:8=5:10=1:2，若測量對(duì)應(yīng)角（如∠A與∠A'）均為銳角且度數(shù)相等，即可判定兩三角形相似，相似比為1:2。2已學(xué)判定方法：AA定理的局限性在上周的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)掌握了AA（兩角分別相等）判定定理：若一個(gè)三角形的兩個(gè)角分別與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角相等，則這兩個(gè)三角形相似。這一定理的優(yōu)勢在于僅需關(guān)注角的關(guān)系，但實(shí)際問題中，我們常遇到“已知三邊長度，卻難以直接測量角度”的情況（如建筑圖紙中僅標(biāo)注邊長）。此時(shí)，能否通過三邊的比例關(guān)系直接判定相似？這正是本節(jié)課要解決的核心問題。03定理探究：從特例到一般的歸納驗(yàn)證定理探究：從特例到一般的歸納驗(yàn)證3.1特例觀察：三邊成比例的三角形是否相似？為了探究這一問題，我們先從具體案例入手。案例1：給定△ABC（邊長為2cm、3cm、4cm）和△DEF（邊長為4cm、6cm、8cm）。計(jì)算對(duì)應(yīng)邊的比：AB/DE=2/4=1/2，BC/EF=3/6=1/2，AC/DF=4/8=1/2，三邊比例均為1:2；測量對(duì)應(yīng)角：用量角器測量∠A≈33.69，∠D≈33.69；∠B≈48.59，∠E≈48.59；∠C≈97.72，∠F≈97.72；結(jié)論：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，△ABC∽△DEF。定理探究：從特例到一般的歸納驗(yàn)證案例2：給定△GHI（邊長為5cm、7cm、9cm）和△JKL（邊長為10cm、14cm、18cm）。對(duì)應(yīng)邊比例：5/10=7/14=9/18=1/2；測量對(duì)應(yīng)角（可借助幾何畫板軟件輔助）：∠G與∠J、∠H與∠K、∠I與∠L的度數(shù)均相等；結(jié)論：同樣滿足相似關(guān)系。通過這兩個(gè)案例，我們初步猜想：如果兩個(gè)三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例，那么它們相似。但這只是特例，需要進(jìn)一步驗(yàn)證一般性。2邏輯證明：從構(gòu)造到全等的嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)為了證明這一猜想，我們需要運(yùn)用相似三角形的定義和全等三角形的判定定理。已知：在△ABC和△A'B'C'中，AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'=k（k>0）。求證：△ABC∽△A'B'C'。證明步驟：在△A'B'C'的邊A'B'上取一點(diǎn)D，使得A'D=AB；過D作DE∥B'C'，交A'C'于點(diǎn)E（如圖1所示）。由平行線分線段成比例定理，A'D/A'B'=A'E/A'C'=DE/B'C'。因?yàn)锳'D=AB，且AB/A'B'=k，所以A'D/A'B'=k，即A'E=kA'C'，DE=kB'C'。2邏輯證明：從構(gòu)造到全等的嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)010203040506又因?yàn)锳B/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'=k，所以BC=kB'C'，AC=kA'C'，因此DE=BC，A'E=AC。在△ADE和△ABC中，AD=AB（已作），DE=BC（已證），AE=AC（已證），根據(jù)SSS全等判定定理，△ADE≌△ABC。由DE∥B'C'可知，△A'DE∽△A'B'C'（AA定理，公共角∠A'，同位角相等）。因此，△ABC≌△ADE∽△A'B'C'，故△ABC∽△A'B'C'。通過這一證明，我們驗(yàn)證了猜想的正確性，即SSS判定定理：如果一個(gè)三角形的三邊與另一個(gè)三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似（簡記為：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似）。04定理應(yīng)用：從理論到實(shí)踐的能力提升1基礎(chǔ)應(yīng)用：直接判斷相似性例1：判斷△ABC（邊長為6、8、10）與△DEF（邊長為9、12、15）是否相似。分析：計(jì)算對(duì)應(yīng)邊的比例：6/9=2/3，8/12=2/3，10/15=2/3，三邊比例相等，根據(jù)SSS定理，兩三角形相似，相似比為2:3。注意事項(xiàng)：必須保證三邊對(duì)應(yīng)成比例，即大邊對(duì)大邊、中邊對(duì)中邊、小邊對(duì)小邊；比例需統(tǒng)一，不能混合不同順序（如6/12=8/9=10/15，這樣的比例不成立）。2綜合應(yīng)用：結(jié)合其他定理解決復(fù)雜問題例2：如圖2，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，且CF=1/4CD。判斷△ABE與△ECF是否相似。分析：設(shè)正方形邊長為4a，則AB=4a，BE=2a（E是BC中點(diǎn)），EC=2a，CF=a（CF=1/4CD=1/4×4a=a），DF=3a；計(jì)算△ABE的三邊：AB=4a，BE=2a，AE=√(AB2+BE2)=√(16a2+4a2)=√20a=2√5a；計(jì)算△ECF的三邊：EC=2a，CF=a，EF=√(EC2+CF2)=√(4a2+a2)=√5a；2綜合應(yīng)用：結(jié)合其他定理解決復(fù)雜問題驗(yàn)證比例：AB/EC=4a/2a=2，BE/CF=2a/a=2，AE/EF=2√5a/√5a=2；三邊比例均為2:1，根據(jù)SSS定理，△ABE∽△ECF。解題關(guān)鍵：合理設(shè)元（如設(shè)正方形邊長為4a，簡化計(jì)算）；正確應(yīng)用勾股定理計(jì)算未知邊長；嚴(yán)格對(duì)應(yīng)三邊順序，確保比例一致。3實(shí)際應(yīng)用：解決生活中的相似問題例3：某模型公司制作了一個(gè)埃菲爾鐵塔的縮小模型，已知實(shí)際埃菲爾鐵塔的三段主結(jié)構(gòu)邊長分別為120米、90米、60米，模型的對(duì)應(yīng)邊長為24厘米、18厘米、12厘米。判斷模型與實(shí)際結(jié)構(gòu)是否相似。分析：統(tǒng)一單位：實(shí)際邊長為12000厘米、9000厘米、6000厘米；計(jì)算比例：24/12000=18/9000=12/6000=1/500；三邊比例相等，根據(jù)SSS定理，模型與實(shí)際結(jié)構(gòu)相似，相似比為1:500?，F(xiàn)實(shí)意義：SSS定理在建筑模型、地圖繪制、機(jī)械設(shè)計(jì)等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用，通過控制三邊比例，可確保模型與實(shí)物“形神兼?zhèn)洹薄?5鞏固練習(xí)：分層訓(xùn)練，深化理解1基礎(chǔ)鞏固（必做）下列各組三角形中，三邊成比例的是（）A.2,3,4與4,6,8B.1,2,3與2,3,4C.5,5,6與10,10,12D.3,4,5與5,6,7已知△ABC的三邊為a、b、c，△A'B'C'的三邊為a+1、b+1、c+1，判斷兩三角形是否一定相似？為什么？2能力提升（選做）如圖3，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10；△DEF中，DE=9，DF=12，EF=15。點(diǎn)G在BC上，BG=2；點(diǎn)H在EF上，EH=3。判斷△ABG與△DEH是否相似，并說明理由。3拓展思考（探究）若兩個(gè)三角形的三邊分別為a、b、c和ka、kb、kc（k>0），它們一定相似嗎？若將“三邊”改為“兩邊及夾角”，結(jié)論是否成立？（提示：結(jié)合后續(xù)要學(xué)習(xí)的SAS判定定理思考）（注：練習(xí)答案與解析見課件附件，重點(diǎn)講解第2題的反例——如a=2,b=3,c=4時(shí)，a+1=3,b+1=4,c+1=5，三邊比例2:3:4≠3:4:5，故不相似；第3題需計(jì)算AB/DE=6/9=2/3，BG/EH=2/3，AG需用勾股定理計(jì)算為√(AB2+BG2-2ABBGcosB)，但更簡便方法是利用△ABC與△DEF相似（SSS），故∠B=∠E，再結(jié)合兩邊成比例且夾角相等，可通過SAS判定相似，此處提前滲透后續(xù)知識(shí)。）06課堂總結(jié)：從知識(shí)到思維的升華1核心知識(shí)回顧SSS判定定理：三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似；關(guān)鍵步驟：確定對(duì)應(yīng)邊→計(jì)算比例→驗(yàn)證比例是否一致；與全等的聯(lián)系：全等是相似的特殊情況（相似比k=1），SSS判定是全等SSS判定的“比例化”延伸。2數(shù)學(xué)思維提煉本節(jié)課我們經(jīng)歷了“觀察特例→提出猜想→邏輯證明→應(yīng)用拓展”的完整探究過程，這是研究幾何定理的經(jīng)典路徑。特別是在證明過程中，通過構(gòu)造輔助線將未知問題轉(zhuǎn)化為已知的全等與相似問題，體現(xiàn)了“轉(zhuǎn)化與化歸”的核心思想。3學(xué)習(xí)期望希望同學(xué)們在后續(xù)學(xué)習(xí)中，繼續(xù)保持對(duì)“比例關(guān)系”的敏感度，將SSS定理與已學(xué)的AA定理結(jié)合，靈活解決相似三角形問題。同時(shí)，注意生活中的相似現(xiàn)象（如攝影中的縮放、工程圖的比例），用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維解決問題。07課后任務(wù)課后任務(wù)整理本節(jié)課筆記，重點(diǎn)標(biāo)注SSS定理的證明思路和應(yīng)用步驟；完成教材P45練習(xí)1-3題，P46習(xí)題2、4（涉及SSS與AA的綜合應(yīng)用）