一、從相似到位似：概念的遞進(jìn)與關(guān)聯(lián)演講人從相似到位似：概念的遞進(jìn)與關(guān)聯(lián)01例題精講與易錯(cuò)點(diǎn)提醒02位似中心的坐標(biāo)求解：從直觀到代數(shù)的跨越03總結(jié)與升華：從知識(shí)到能力的遷移04目錄2025九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)相似三角形與位似中心的坐標(biāo)求解課件各位同學(xué)，今天我們要共同探索相似三角形的延伸——位似圖形，重點(diǎn)突破“位似中心的坐標(biāo)求解”這一核心問題。作為陪伴大家走過半年初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的老師，我深知相似三角形是幾何變換的重要基礎(chǔ)，而位似則是相似的“特殊形態(tài)”，它不僅保留了相似的本質(zhì)，更通過“對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線共點(diǎn)”的特性，將幾何圖形與坐標(biāo)系緊密結(jié)合。這節(jié)課，我們將從相似三角形的“舊知”出發(fā)，一步步揭開位似中心的“坐標(biāo)密碼”。01從相似到位似：概念的遞進(jìn)與關(guān)聯(lián)1相似三角形的“溫故”在之前的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)系統(tǒng)掌握了相似三角形的定義與性質(zhì)：定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形，相似比（k）為對(duì)應(yīng)邊的比值。核心性質(zhì)：相似三角形的對(duì)應(yīng)高、中線、角平分線的比等于相似比；周長(zhǎng)比等于相似比；面積比等于相似比的平方。判定方法：AA（兩角對(duì)應(yīng)相等）、SAS（兩邊成比例且夾角相等）、SSS（三邊成比例）、HL（直角三角形斜邊與直角邊成比例）。這些知識(shí)是我們今天學(xué)習(xí)的“地基”。但同學(xué)們是否想過：如果兩個(gè)相似圖形不僅形狀相同，連對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線都相交于同一點(diǎn)，這樣的相似會(huì)有什么特殊性質(zhì)？這便引出了今天的主角——位似圖形。2位似圖形的“知新”位似圖形的定義：如果兩個(gè)圖形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行（或在同一直線上），那么這兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)交點(diǎn)叫做位似中心，相似比又叫做位似比。這里需要特別注意三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：（1）位似是相似的特例：所有位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形（只有當(dāng)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線共點(diǎn)時(shí)才是位似）；（2）對(duì)應(yīng)邊的位置關(guān)系：對(duì)應(yīng)邊要么平行，要么共線（這是位似區(qū)別于普通相似的重要特征）；（3）位似中心的存在性：所有對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線必須交于同一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)可能在圖形內(nèi)部、2位似圖形的“知新”外部，甚至在某一頂點(diǎn)上。舉個(gè)生活中的例子：用投影儀放大幻燈片時(shí)，屏幕上的圖像與幻燈片上的原圖就是位似圖形，投影儀的光心就是位似中心；地圖與實(shí)際地形在縮放時(shí)，若以某固定點(diǎn)為基準(zhǔn)，也可看作位似圖形。02位似中心的坐標(biāo)求解：從直觀到代數(shù)的跨越1位似中心的幾何特征與坐標(biāo)關(guān)系在平面直角坐標(biāo)系中研究位似圖形，核心是利用坐標(biāo)的代數(shù)關(guān)系刻畫幾何特征。假設(shè)圖形(A)與圖形(A')是位似圖形，位似中心為點(diǎn)(O)，位似比為(k)，則對(duì)于任意一對(duì)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)(P(x,y))和(P'(x',y'))，滿足以下關(guān)系：點(diǎn)(O)、(P)、(P')共線（三點(diǎn)共線是位似的核心條件）；(OP':OP=|k|)（位似比的絕對(duì)值），符號(hào)由位似中心的位置決定（外位似時(shí)(k>0)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)在位似中心同側(cè)；內(nèi)位似時(shí)(k<0)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)在位似中心異側(cè)）。2坐標(biāo)求解的通用方法：設(shè)點(diǎn)、列方程、解方程組要確定位似中心的坐標(biāo)，我們可以采用“代數(shù)定位法”，具體步驟如下：2坐標(biāo)求解的通用方法：設(shè)點(diǎn)、列方程、解方程組確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)明確兩個(gè)位似圖形中至少兩對(duì)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)（通常需要兩對(duì)，因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線，位似中心是兩條連線的交點(diǎn)）。步驟2：設(shè)位似中心坐標(biāo)為(O(h,k))設(shè)位似中心的坐標(biāo)為未知點(diǎn)((h,k))，利用三點(diǎn)共線的坐標(biāo)條件（斜率相等或向量共線）建立方程。步驟3：利用位似比列方程根據(jù)位似比的定義，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與位似中心的距離比等于位似比的絕對(duì)值；或利用坐標(biāo)的分點(diǎn)公式（內(nèi)分點(diǎn)或外分點(diǎn)）建立比例關(guān)系。步驟4：解方程組求(h,k)通過解聯(lián)立方程得到位似中心的坐標(biāo)。3典型情況分類解析為了更清晰地掌握方法，我們按位似中心的位置分類討論：3典型情況分類解析3.1位似中心在原點(diǎn)的特殊情況若位似中心為坐標(biāo)原點(diǎn)((0,0))，則對(duì)應(yīng)點(diǎn)(P(x,y))與(P'(x',y'))滿足(x'=kx)，(y'=ky)（(k)為位似比）。此時(shí)位似中心的坐標(biāo)可直接由對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)的比例關(guān)系確定。例1：已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(A(1,2))，(B(3,4))，(C(5,1))，其位似圖形△A'B'C'的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(A'(2,4))，(B'(6,8))，(C'(10,2))，求位似中心。解析：觀察對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，(A'(2,4)=2×(1,2)=2A)，(B'(6,8)=2×(3,4)=2B)，(C'(10,2)=2×(5,1)=2C)，因此位似比(k=2)，位似中心為原點(diǎn)((0,0))（因?yàn)樗袑?duì)應(yīng)點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率均相等，如(A)與(A')的斜率為(4/2=2/1)，3典型情況分類解析3.1位似中心在原點(diǎn)的特殊情況(B)與(B')的斜率為(8/6=4/3)，但這里實(shí)際計(jì)算發(fā)現(xiàn)斜率相同，因?yàn)?A'(2,4))與(A(1,2))的斜率為((4-0)/(2-0)=2)，(A)與原點(diǎn)的斜率為((2-0)/(1-0)=2)，故三點(diǎn)共線于過原點(diǎn)的直線）。3典型情況分類解析3.2位似中心在坐標(biāo)軸上的情況若位似中心在x軸（(y=0)）或y軸（(x=0)）上，可利用坐標(biāo)軸的特殊性簡(jiǎn)化計(jì)算。例2：△DEF與△D'E'F'是位似圖形，位似中心在x軸上。已知(D(2,3))，(D'(5,0))，(E(4,6))，(E'(7,0))，求位似中心坐標(biāo)。解析：設(shè)位似中心為(O(h,0))，根據(jù)三點(diǎn)共線，(O)、(D)、(D')共線，斜率相等：(\frac{3-0}{2-h}=\frac{0-0}{5-h})（但(D')在x軸上，縱坐標(biāo)為0，故(D')是(O)與(D)連線與x軸的交點(diǎn)）。3典型情況分類解析3.2位似中心在坐標(biāo)軸上的情況更直接的方法是利用分點(diǎn)公式：若(O)是(D)與(D')的分點(diǎn)，則(O)將(DD')分為(OD:OD'=1:|k|)。由坐標(biāo)差，(D)到(O)的縱坐標(biāo)變化為(3-0=3)，(O)到(D')的縱坐標(biāo)變化為(0-0=0)（這里可能更適合用橫坐標(biāo)比例）。另一種思路：兩點(diǎn)確定直線(DD')，求其與x軸的交點(diǎn)（即位似中心）。直線(DD')的斜率(k_{DD'}=(0-3)/(5-2)=-1)，方程為(y-3=-1(x-2))，即(y=-x+5)。令(y=0)，得(x=5)，但(D'(5,0))在直線上，這顯然有問題，說明可能我的假設(shè)有誤。實(shí)際上，位似中心是(DD')和(EE')的交點(diǎn)，直線(EE')的斜率為((0-6)/(7-4)=-2)，3典型情況分類解析3.2位似中心在坐標(biāo)軸上的情況方程為(y-6=-2(x-4))，即(y=-2x+14)。求兩直線交點(diǎn)：(-x+5=-2x+14)，解得(x=9)，代入得(y=-4)，但這與位似中心在x軸上矛盾，說明題目條件可能有誤，或我的計(jì)算錯(cuò)誤。（此處需糾正：正確方法應(yīng)為，位似中心是(DD')和(EE')的交點(diǎn)，若題目明確位似中心在x軸上，則兩直線交點(diǎn)必在x軸上，即(y=0)。重新計(jì)算直線(DD')：過(D(2,3))和(D'(5,0))，方程為(y=-x+5)，與x軸交點(diǎn)為((5,0))，但(D')本身在x軸上，這說明(D')可能是位似中心？不，位似中心是交點(diǎn)，若(E(4,6))和(E'(7,0))連線的直線方程為(y=(-6/3)(x-4)+6=-2x+14)，與x軸交點(diǎn)為((7,0))，即(E')，3典型情況分類解析3.2位似中心在坐標(biāo)軸上的情況這說明題目中的兩個(gè)位似圖形可能是以(D')和(E')為位似中心？這顯然矛盾，說明我在舉例時(shí)需更嚴(yán)謹(jǐn)。正確的例子應(yīng)保證兩對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線交于同一點(diǎn)。例如，△DEF頂點(diǎn)(D(1,2))，(E(3,4))，位似圖形△D'E'F'頂點(diǎn)(D'(2,1))，(E'(4,2))，位似中心在x軸上。求直線(DD')：過((1,2))和((2,1))，方程(y=-x+3)，與x軸交點(diǎn)((3,0))；直線(EE')：過((3,4))和((4,2))，方程(y=-2x+10)，與x軸交點(diǎn)((5,0))，不重合，說明這樣的例子不成立。正確的例子應(yīng)設(shè)計(jì)兩直線交于x軸同一點(diǎn)，例如(D(1,3))，(D'(2,0))，直線(DD')方程(y=-3x+6)，與x軸交于((2,0))；(E(2,6))，(E'(4,0))，3典型情況分類解析3.2位似中心在坐標(biāo)軸上的情況直線(EE')方程(y=-3x+12)，與x軸交于((4,0))，仍不重合。哦，原來位似中心在x軸上時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線必須都經(jīng)過該點(diǎn)，因此正確的例子應(yīng)為：△DEF頂點(diǎn)(D(1,2))，(E(2,4))，位似圖形△D'E'F'頂點(diǎn)(D'(3,0))，(E'(5,0))，位似中心在x軸上的點(diǎn)(O(h,0))。則直線(OD)的斜率為(2/(1-h))，直線(OD')的斜率為(0/(3-h)=0)，這不可能，說明位似中心在坐標(biāo)軸上時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)不能都在坐標(biāo)軸同側(cè)，應(yīng)設(shè)計(jì)為內(nèi)位似。例如，(D(1,2))，(D'(-1,-2))，位似中心在原點(diǎn)（已討論過）；或(D(2,3))，(D'(-2,-3))，位似中心在原點(diǎn)，位似比(k=-1)。3典型情況分類解析3.2位似中心在坐標(biāo)軸上的情況（此處需調(diào)整舉例，避免錯(cuò)誤。正確的例子應(yīng)保證兩對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線交于同一點(diǎn)。例如：已知△ABC的頂點(diǎn)(A(1,3))，(B(2,5))，其位似圖形△A'B'C'的頂點(diǎn)(A'(4,6))，(B'(7,10))，求位似中心。直線(AA')的斜率為((6-3)/(4-1)=1)，方程(y=x+2)；直線(BB')的斜率為((10-5)/(7-2)=1)，方程(y=x+3)，兩直線平行，無交點(diǎn)，說明這不是位似圖形。正確的位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線必須相交，例如(A(1,2))，(A'(3,6))，(B(2,3))，(B'(5,9))，直線(AA')：過((1,2))和((3,6))，方程(y=2x)；直線(BB')：過((2,3))和((5,9))，方程(y=2x-1)，兩直線不相交，仍錯(cuò)誤。哦，原來我需要確保對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線交于同一點(diǎn)，正確的例子應(yīng)為：(A(1,1))，(A'(3,3))，3典型情況分類解析3.2位似中心在坐標(biāo)軸上的情況(B(2,1))，(B'(4,3))，直線(AA')：(y=x)，直線(BB')：過((2,1))和((4,3))，方程(y=x-1)，交點(diǎn)為無解，這說明我必須重新設(shè)計(jì)。正確的位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線必交于一點(diǎn)，例如：位似中心為(O(0,0))，位似比(k=2)，則(A(1,2))對(duì)應(yīng)(A'(2,4))，(B(3,1))對(duì)應(yīng)(B'(6,2))，直線(AA')過原點(diǎn)，直線(BB')也過原點(diǎn)，符合條件。若位似中心為(O(1,1))，位似比(k=2)，則(A(2,3))對(duì)應(yīng)(A'(3,5))（因?yàn)橄蛄?OA=(2-1,3-1)=(1,2))，放大2倍得(OA'=(2,4))，故(A'=O+(2,4)=(3,5))），(B(4,5))對(duì)應(yīng)(B'(7,9))（向量(OB=(3,4))，放大2倍得((6,8))，故(B'=O+(6,8)=(7,9))），3典型情況分類解析3.2位似中心在坐標(biāo)軸上的情況此時(shí)直線(AA')：過((2,3))和((3,5))，斜率為2，方程(y=2x-1)；直線(BB')：過((4,5))和((7,9))，斜率為(4/3)，方程(y=(4/3)x-1/3)，求交點(diǎn)：(2x-1=(4/3)x-1/3)，解得(x=1)，(y=1)，即位似中心(O(1,1))，正確。通過這個(gè)例子，我們可以總結(jié)通用解法：對(duì)于任意兩對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)((x_1,y_1))與((x_1',y_1'))，((x_2,y_2))與((x_2',y_2'))，位似中心((h,k))滿足：[3典型情況分類解析3.2位似中心在坐標(biāo)軸上的情況\frac{x_1'-h}{x_1-h}=\frac{y_1'-k}{y_1-k}=k_1\quad\text{（位似比，符號(hào)由方向決定）}][\frac{x_2'-h}{x_2-h}=\frac{y_2'-k}{y_2-k}=k_2\quad\text{（位似比相同，即(k_1=k_2=k)）}]通過聯(lián)立這兩個(gè)方程，即可解出(h)和(k)。03例題精講與易錯(cuò)點(diǎn)提醒1基礎(chǔ)例題：已知對(duì)應(yīng)點(diǎn)求位似中心例3：如圖（此處可配合板書或PPT展示坐標(biāo)系），△ABC與△A'B'C'是位似圖形，其中(A(2,3))，(A'(6,9))，(B(1,2))，(B'(3,6))，求位似中心的坐標(biāo)。解析：（1）設(shè)位似中心為(O(h,k))，根據(jù)位似性質(zhì)，(O)、(A)、(A')共線，且(O)、(B)、(B')共線；（2）直線(AA')的斜率：(\frac{9-3}{6-2}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2})，方程為(y-3=\frac{3}{2}(x-2))，即(y=\frac{3}{2}x)；1基礎(chǔ)例題：已知對(duì)應(yīng)點(diǎn)求位似中心在右側(cè)編輯區(qū)輸入內(nèi)容（3）直線(BB')的斜率：(\frac{6-2}{3-1}=\frac{4}{2}=2)，方程為(y-2=2(x-1))，即(y=2x)；01驗(yàn)證：檢查(A')是否為(A)以原點(diǎn)為中心放大3倍的點(diǎn)（(6=2×3)，(9=3×3)），(B')是否為(B)放大3倍的點(diǎn)（(3=1×3)，(6=2×3)），符合位似比(k=3)，正確。（4）求兩直線交點(diǎn)：(\frac{3}{2}x=2x)，解得(x=0)，代入得(y=0)，故位似中心為原點(diǎn)((0,0))。022進(jìn)階例題：內(nèi)位似的坐標(biāo)求解例4：△PQR與△P'Q'R'是位似圖形，位似比為(-2)（內(nèi)位似，對(duì)應(yīng)點(diǎn)在位似中心異側(cè)），已知(P(1,1))，(P'(-1,-3))，(Q(2,2))，(Q'(-2,-4))，求位似中心。解析：（1）位似比為(-2)，說明(OP':OP=-2)，即(P')在(O)的另一側(cè)，且距離為2倍；（2）設(shè)(O(h,k))，則向量(\overrightarrow{OP'}=-2\overrightarrow{OP})，即((-1-h,-3-k)=-2(1-h,1-k))；2進(jìn)階例題：內(nèi)位似的坐標(biāo)求解（3）展開得方程組：[-1-h=-2(1-h)\implies-1-h=-2+2h\implies3h=1\impliesh=\frac{1}{3}][-3-k=-2(1-k)\implies-3-k=-2+2k\implies3k=-1\impliesk=-\frac{1}{3}]2進(jìn)階例題：內(nèi)位似的坐標(biāo)求解（4）驗(yàn)證(Q)與(Q')：向量(\overrightarrow{OQ}=(2-\frac{1}{3},2+\frac{1}{3})=(\frac{5}{3},\frac{7}{3}))，(\overrightarrow{OQ'}=(-2-\frac{1}{3},-4+\frac{1}{3})=(-\frac{7}{3},-\frac{11}{3}))，檢查是否滿足(\overrightarrow{OQ'}=-2\overrightarrow{OQ})：(-2×\frac{5}{3}=-\frac{10}{2進(jìn)階例題：內(nèi)位似的坐標(biāo)求解3}\neq-\frac{7}{3})，說明計(jì)算錯(cuò)誤。錯(cuò)誤原因：內(nèi)位似的向量關(guān)系應(yīng)為(\overrightarrow{OP'}=k\overrightarrow{OP})，其中(k)為位似比（負(fù)數(shù)表示方向相反）。正確的向量關(guān)系是(O)、(P)、(P')共線，且(P')在(O)的另一側(cè)，故(\frac{OP'}{OP}=|k|)，符號(hào)由方向決定。更準(zhǔn)確的方法是使用分點(diǎn)公式：若(O)是(PP')的外分點(diǎn)，分比為(k)，則(h=\frac{x_1-kx_1'}{1-k})，(k=\frac{y_1-ky_1'}{1-k})（外分點(diǎn)公式）。重新計(jì)算例4：2進(jìn)階例題：內(nèi)位似的坐標(biāo)求解位似比為(-2)，即(k=-2)，對(duì)于點(diǎn)(P(1,1))和(P'(-1,-3))，位似中心(O)滿足：[h=\frac{x_P-kx_P'}{1-k}=\frac{1-(-2)(-1)}{1-(-2)}=\frac{1-2}{3}=-\frac{1}{3}][k=\frac{y_P-ky_P'}{1-k}=\frac{1-(-2)(-3)}{1-(-2)}=\frac{1-6}{3}2進(jìn)階例題：內(nèi)位似的坐標(biāo)求解=-\frac{5}{3}]驗(yàn)證(Q(2,2))和(Q'(-2,-4))：[h=\frac{2-(-2)(-2)}{1-(-2)}=\frac{2-4}{3}=-\frac{2}{3}\quad\text{（與前結(jié)果不一致，說明位似比的定義需明確）}]2進(jìn)階例題：內(nèi)位似的坐標(biāo)求解這里的混亂源于位似比的符號(hào)定義。通常，位似比(k)定義為(A'B'=kAB)，當(dāng)(k>0)時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)在位似中心同側(cè)（外位似）；(k<0)時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)在位似中心異側(cè)（內(nèi)位似）。因此，對(duì)于對(duì)應(yīng)點(diǎn)(P(x,y))和(P'(x',y'))，位似中心(O(h,k))滿足：[\frac{x'-h}{x-h}=\frac{y'-k}{y-k}=k]對(duì)于例4，已知(k=-2)，(P(1,1))，(P'(-1,-3))，代入得：[2進(jìn)階例題：內(nèi)位似的坐標(biāo)求解\frac{-1-h}{1-h}=-2\implies-1-h=-2(1-h)\implies-1-h=-2+2h\implies3h=1\impliesh=\frac{1}{3}][\frac{-3-k}{1-k}=-2\implies-3-k=-2(1-k)\implies-3-k=-2+2k\implies3k=-1\impliesk=-\frac{1}{3}]2進(jìn)階例題：內(nèi)位似的坐標(biāo)求解再驗(yàn)證(Q(2,2))和(Q'(-2,-4))：[\frac{-2-\frac{1}{3}}{2-\frac{1}{3}}=\frac{-\frac{7}{3}}{\frac{5}{3}}=-\frac{7}{5}\neq-2]這說明題目中的點(diǎn)(Q)和(Q')不滿足與(P)、(P')同一位似中心，因此我的例題設(shè)計(jì)有誤。正確的例題應(yīng)保證所有對(duì)應(yīng)點(diǎn)滿足同一比例。例如，位似中心為(O(0,0))，位似比(k